Tutur Widodo. Pembahasan Final KMP VIII 2012. 4. Jika x dan y adalah bilangan
bulat maka nilai dari xy adalah ... a. 90 b. 56 c. 72 d. 42 x y. √. 17. Jawaban : c.
Tutur Widodo
Pembahasan Final KMP VIII 2012
Pembahasan Soal Final Kompetisi Matematika Pasiad ( KMP ) VIII Tahun 2012 Tingkat SMP Oleh Tutur Widodo
I. Soal Pilihan Ganda (Cara Penilaian : Benar = 1 poin, Kosong = 0, Salah = −0.25 poin) √ 1. Terdapat berapa banyak solusikah untuk persamaan x 2 · 2x = 4? a. 3
c. 1
b. 2
d. 0
Jawaban : c √ x
1
2 · 2x = 4 ⇔
2 x · 2x = 4 1
⇔
2x+ x = 22 1 x+ =2 x 2 x − 2x + 1 = 0
⇔
(x − 1)2 = 0
⇔ ⇔
Oleh karena itu, hanya ada satu nilai x yang memenuhi yaitu x = 1. 2. Jika k adalah sebuah bilangan bulat ganjil, maka bentuk sederhana dari 2k ·7k ·(−2)−k adalah ... a. 14k
c. 7k
b. 7−k
d. (−7)k
Jawaban : d 2k · 7k · (−2)−k
⇔ ⇔ ⇔
2k · 7k (−2)k 2k · 7k −2k − 7k = (−7)k
x √ 2 3. Jika = 3, 5 maka nilai dari x adalah ... 7 a. − 12 b.
c. − 23
1 2
d. 1
Jawaban : a x 12 2 7 = 7 2 x − 12 2 2 ⇔ = 7 7 1 ⇔ x=− 2
x p 2 = 3, 5 ⇔ 7
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
1
Tutur Widodo
Pembahasan Final KMP VIII 2012
4. Jika x dan y adalah bilangan bulat maka nilai dari xy adalah ... x
√
a. 90 b. 56
17
y
c. 72 d. 42 Jawaban : c Dari dalil Phytagoras diperoleh, x2 − y 2 = 17 ⇔
(x − y)(x + y) = 17
Jadi, (x − y) dan (x + y) adalah faktor positif dari 17. Oleh karena itu, x + y = 17 dan x − y = 1. Sehingga didapat x = 9 dan y = 8, yang berarti xy = 72. √ √ √ √ 5. Jika diketahui a = 5 + 2, b = 6 + 1, c = 2 + 3. Maka urutan yang benar dari a, b, dan c adalah ... a. a < b < c
c. b < a < c
b. c < b < a
d. a < c < b
Jawaban : c Perhatikan, √ a2 = 7 + 2 10,
√ √ √ b2 = 7 + 2 6, dan c2 = 7 + 4 3 = 7 + 2 12
karena a, b, c > 0 dan b2 < a2 < c2 maka b < a < c q √ 6. Bentuk sederhana dari (2 − 5)2 adalah ... a. 2 −
√
b. 2 +
5
√
5
c.
√
5−2
d. 4 −
√
5
Jawaban : c q √ √ Untuk setiap bilangan riil x berlaku, x2 = |x|. Oleh karena itu, (2 − 5)2 = √ √ √ |2 − 5| = 5 − 2, karena 2 < 5. A
7. Berapa banyak segitiga dalam gambar di samping!
D
a. 35
E
b. 154
F
c. 73 d. 220
C B
G
H
I
J
K
L
Jawaban : -
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
2
Tutur Widodo
Pembahasan Final KMP VIII 2012
• Banyak segitiga yang memuat titik A yaitu, C27 · 4 = 21 · 4 = 84 • Banyak segitiga yang tidak memuat titik A yaitu, C24 · 6 = 6 · 6 = 36 Jadi, banyaknya segitiga dari gambar adalah 84 + 36 = 120. Note : Apabila pada soal di atas terdapat garis AL, maka banyaknya segitiga adalah : • Banyak segitiga yang memuat titik A yaitu, C28 · 4 = 28 · 4 = 112 • Banyak segitiga yang tidak memuat titik A yaitu, C24 · 7 = 6 · 7 = 42 Jadi, banyaknya segitiga dari gambar adalah 112 + 42 = 154. 8. Berapa jumlah digit dari 12510 · 328 · 1505 ? a. 31
c. 48
b. 44
d. 58
Jawaban : b Misal N = 12510 · 328 · 1505 , diperoleh N = 12510 · 328 · 1505 = 530 · 240 · (6 · 52 )5 = 530 · 240 · 65 · 510 = 540 · 240 · 65 = 1040 · 7776 Jadi, banyak digit dari N adalah 44. 9. Seekor semut berjalan menyusuri rangka sebuah bangun seperti dalam gambar, dari titik A menuju B. Ada berapa banyak jalan berbeda yang dapat dilalui oleh semut tersebut? (Jalur yang dipilih merupakan lintasan terpendek)
B
a. 48 b. 90
A
c. 60 d. 180 Jawaban : b Perhatikan, agar semut berjalan pada lintasan terpendek maka dia harus berjalan 2 ke kanan, 2 ke atas dan 2 ke belakang tidak peduli bagaimanapun lintasan yang dia Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
3
Tutur Widodo
Pembahasan Final KMP VIII 2012
pilih. Sedangkan panjang lintasannya adalah 6. Oleh karena itu, banyak lintasan yang bisa dipilih si semut ada sebanyak, 6! = 90 2! · 2! · 2! 10. Jika diketahui |x − 4| +
√
y + 2 + (z + 1)2 = 0, maka nilai x + y + z adalah ...
a. −2
c. 1
b. −1
d. 2
Jawaban : c √ Untuk setiap bilangan riil, x, y, z berlaku |x − 4| ≥ 0, y + 2 ≥ 0 dan (z + 1)2 ≥ 0. Kesamaan terjadi jika dan hanya jika x − 4 = 0, y + 2 = 0 dan z + 1 = 0, sehingga x = 4, y = −2 dan z = −1. Oleh karena itu, x + y + z = 4 + (−2) + (−1) = 1. 11. m dan n adalah dua bilangan bulat positif sedemikian sehingga m + n + mn = 24. Berapakah nilai m + n? a. 7
c. 9
b. 8
d. 10
Jawaban : b Perhatikan, m + n + mn = 24 ⇔ (m + 1)(n + 1) = 25 sehingga (m + 1) dan (n + 1) adalah faktor positif dari 25. Sedangkan faktor positif dari 25 ialah 1, 5 dan 25. Akan tetapi m dan n bilangan bulat positif sehingga (m + 1) > 1, (n + 1) > 1. Oleh karena itu, m + 1 = n + 1 = 5 atau equivalen m = n = 4. Jadi, m + n = 8. 12. Sebuah angka 6 digit cdbcda dapat dibagi dengan 11. Jika a + b = 10, maka nilai ab adalah ... a. 30
c. 15
b. 25
d. 10
Jawaban : b Karena cdbcda dapat dibagi 11 maka c + b + d − (d + c + a) = b − a habis dibagi 11. Mengingat 0 ≤ a, b ≤ 9 dan b − a habis dibagi 11, maka b − a = 0 ⇔ b = a. Jadi, a = b = 5, yang berarti ab = 25. 13. Ada berapa kemungkinan bilangan asli n, sehingga a. 4
c. 2
b. 3
d. 5
Jawaban : b Perhatikan,
3n + 21 adalah bilangan asli. n+3
3n + 21 12 =3+ n+3 n+3
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
4
Tutur Widodo
Pembahasan Final KMP VIII 2012
12 Agar n+3 merupakan bilangan asli maka haruslah n + 3 membagi 12. Dengan kata lain, n + 3 adalah faktor dari 12. Karena n bilangan asli berakibat n + 3 ≥ 4. Oleh karena itu kemungkinan nilai n + 3 adalah 4, 6 dan 12 yang bersesuaian dengan nilai n sama dengan 1, 3, 9. Jadi, terdapat tiga nilai n yang memenuhi.
14. Misalkan a dan b adalah digit - digit pada bilangan ab dan ba, sehingga ab − ba=72. Maka berapakah nilai dari a2 + b2 a. 52
c. 82
b. 72
d. 62
Jawaban : c Perhatikan bahwa, 8 ≤ a ≤ 9 dan 1 ≤ b ≤ 2. Dari soal diperoleh, 10a + b − (10b + a) = 72
⇔
9a − 9a = 72
⇔
a−b=8
sehingga didapat a = 9 dan b = 1. Jadi, a2 + b2 = 92 + 12 = 82. 2 2 1 1 3 4 15. Diberikan 0, 5 dan y = 0, 25 . Maka nilai x + − x− = ... y y a. 128
c. 108
b. 120
d. 64
Jawaban : a 2 2 1 1 2 − x− = (2x) x+ y y y x =4 y 0, 53 =4 0, 254 3 2 · 0, 253 =4 0, 254 8 =4 0, 25 = 4 · 8 · 4 = 128 16. Diketahui x2 − 2x − 2 = 0, maka berapakah nilai dari x2 + a. 6
c. 10
b. 8
d. 14
4 ? x2
Jawaban : b Dari persamaan x2 − 2x − 2 = 0, jelas x 6= 0. Oleh karena itu, dengan membagi persamaan tersebut dengan x diperoleh, x−2−
2 2 =0 ⇔ x− =2 x x
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
5
Tutur Widodo
Pembahasan Final KMP VIII 2012
kuadratkan kedua ruas sehingga didapat, x2 +
4 −4=4 x2
⇔
x2 +
4 =8 x2
17. Berapakah sisa pembagian 50 + 51 + 52 + 53 + · · · + 52012 dibagi 125. a. 29
c. 61
b. 30
d. 31
Jawaban : d Untuk k ≥ 3 maka 5k ≡ 0
( mod 125). Oleh karena itu,
50 + 51 + 52 + 53 + · · · + 52012 ≡ 50 + 51 + 52 ≡ 1 + 5 + 25 ≡ 31
( mod 125) ( mod 125)
( mod 125)
18. Apakah digit terakhir dari bilangan (1! + 2! + 3! + · · · + 2012!)2012 . a. 1
c. 7
b. 3
d. 9
Jawaban : a Misal, N = 1! + 2! + 3! + · · · + 2012! Perhatikan untuk k ≥ 5, maka k! ≡ 0 sehingga N = 1! + 2! + 3! + · · · + 2012! ≡ 1! + 2! + 3! + 4! ≡ 1 + 2 + 6 + 24 ≡ 33 ≡3
( mod 10),
( mod 10) ( mod 10)
( mod 10) ( mod 10)
Oleh karena itu, digit terakhir dari N adalah 3. Perlu diketahui juga, 34k ≡ 1
( mod 10)
34k+1 ≡ 3
( mod 10)
34k+2 ≡ 9
( mod 10)
34k+3 ≡ 7
( mod 10)
untuk setiap bilangan bulat nonnegatif k. Sehingga N 2012 = N 4·503 ≡ 1 ( mod 10). 19. Misalkan a, b, c dan d adalah anggota bilangan bulat positif. Jika a dibagi b menghasilkan 15 sisa 7, b dibagi 6 menghasilkan c sisa 3, dan a dibagi 18 menghasilkan d sisa x. Berapakah nilai x? a. 13
c. 15
b. 14
d. 16
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
6
Tutur Widodo
Pembahasan Final KMP VIII 2012
Jawaban : d a dibagi b menghasilkan 15 sisa 7 dapat ditulis, (1)
a = 15b + 7 b dibagi 6 menghasilkan c sisa 3 dapat ditulis,
(2)
b = 6c + 3 dan a dibagi 18 menghasilkan d sisa x dapat ditulis,
(3)
a = 18d + x Dari pers.(1), (2) dan (3) diperoleh, 15b + 7 = 18d + x ⇔
15(6c + 3) + 7 = 18d + x
⇔
90c + 52 = 18d + x
⇔
18d = 90c + 52 − x
Karena 18 habis membagi 90, maka haruslah 52 − x juga habis dibagi 18. Dengan kata lain, 52 − x = 18k ⇔ x = 52 − 18k untuk suatu bilangan bulat k. Salah satu nilai x yang memenuhi adalah x = 16 untuk k = 2. 20. Sederhanakan |1 − 3x − |x − 1|| untuk x < 0. a. −2x
c. x
b. 2x
d. −x
Jawaban : a |1 − 3x − |x − 1|| = |1 − 3x − (1 − x)|
karena x < 0
= |−2x| = −2x 21. Ada berapa bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 3 atau 5 ? a. 270
c. 280
b. 269
d. 240
Jawaban : b 578 = 192. Banyaknya bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 3 yaitu 3 578 Banyaknya bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 5 yaitu = 115. 5 578 Banyaknya bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 15 yaitu = 38. 15 Jadi, banyaknya bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 3 atau 5 adalah 192 + 115 − 38 = 269. 22. Berapakah nilai maksimum dari
8 ? |x − 2| + |x + 6|
a. 4
c. 2
b. 3
d. 1
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
7
Tutur Widodo
Pembahasan Final KMP VIII 2012
Jawaban : d Misalkan, f (x) = |x − 2| + |x + 6|. Agar nilai
8 maksimum maka nilai f (x) harus f (x) minimum. Perhatikan bahwa fungsi f dapat ditulis, −2x − 4, x < −6 f (x) = 8, 6≤x > . a+b b+c a+c
a. a > b > c
c. c > a > b
b. a > c > b
d. b > a > c
Jawaban : c 1 1 1 1 Karena > maka a + b < b + c ⇔ a < c, dan > maka a+b b+c b+c a+c b + c < a + c ⇔ b < a. Sehingga diperoleh b < a < c. 34. Diketahui x, y, dan z adalah bilangan bulat positif yang memenuhi 3x + 2y + 5z = 37. Berapakah nilai y terbesar yang mungkin? a. 29
c. 14
b. 14,5
d. 13
Jawaban : d Karena 2y genap, maka 3x + 5z harus ganjil. Selain itu, agar y terbesar maka x dan z harus nilai terkecil yang mungkin. Oleh karena itu, pilih x = 2 dan z = 1 sehingga didapat 3 · 2 + 2y + 5 · 1 = 37 ⇔ y = 13. Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
10
Tutur Widodo
Pembahasan Final KMP VIII 2012
35. Berapakah nilai dari a2 + b2 + c2 , jika a + b = c + 6 dan ab − ac = bc − 1? a. 40
c. 36
b. 38
d. 34
Jawaban : b Perhatikan bahwa, ab − ac = bc − 1 ⇔ ac + bc − ab = 1, dan (a + b − c)2 = 62
⇔
a2 + b2 + c2 + 2ab − 2bc − 2ac = 36
⇔
a2 + b2 + c2 − 2(ac + bc − ab) = 36
⇔
a2 + b2 + c2 − 2 · 1 = 36
⇔
a2 + b2 + c2 = 38
36. Misalkan x = 0, 02468101214 · · · 100102104, angka - angka di belakang koma pada bilangan desimal x tersusun dari bilangan bulat genap dari 0 hingga 104. Maka, berapakah angka ke-101 di belakang koma? a. 0
c. 2
b. 1
d. 4
Jawaban : c Dari 0, 2, 4, 6, 8 ada 5 digit. Dari 10, 12, 14, · · · , 98 ada 5 x 2 x 9 = 90 digit. Dari 100, 102, 104 ada 9 digit. Jadi, total ada (5 + 90 + 9 = 104) digit angka di belakang koma. Mudah dilihat bahwa angka ke-101 adalah 2. 37. Manakah yang merupakan faktor dari x2 − y 2 − 6x − 8y − 7? a. x + y + 1
c. x − y − 1
b. x − y − 5
d. x + y + 7
Jawaban : a x2 − y 2 − 6x − 8y − 7 = x2 − 6x + 9 − (y 2 + 8y + 16) = (x − 3)2 − (y + 4)2 = (x − 3 + y + 4)(x − 3 − (y + 4)) = (x + y + 1)(x − y − 7) 38. Berapakah angka terakhir pada bilangan 20122012 ? a. 8
c. 4
b. 6
d. 2
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
11
Tutur Widodo
Pembahasan Final KMP VIII 2012
Jawaban : b Perhatikan pola berikut, 24k ≡ 6
( mod 10)
24k+1 ≡ 2
( mod 10)
24k+2 ≡ 4
( mod 10)
4k+3
2
≡8
( mod 10)
untuk setiap bilangan bulat positif k. Selanjutnya diperoleh, 20122012 ≡ 22012
( mod 10)
≡ 24·503
( mod 10)
≡6
( mod 10)
39. Diketahui m dan n adalah bilangan bulat positif, dan m + n + mn = 34. Berapakah nilai dari m + n? a. 6
c. 10
b. 8
d. 34
Jawaban : c m + n + mn = 34 ⇔ (m + 1)(n + 1) = 35 Jadi, m + 1 dan n + 1 adalah faktor positif dari 35. Karena m dan n bilangan bulat positif maka m + 1 > 1 dan n + 1 > 1. Oleh karena itu, m + 1 = 5 ⇔ m = 4 dan n + 1 = 7 ⇔ n = 6. Sehingga m + n = 10. 40. Umur ayah sekarang adalah 60 tahun. Ketika umur ayah seumuran umurku, umurku setengah dari umurku sekarang. Berapakah umurku sekarang? a. 45
c. 35
b. 40
d. 30
Jawaban : b Misalkan, umurku sekarang x, dan misalkan pula k tahun yang lalu umur ayahku seumuran umurku, kita peroleh 60 − k = x
dan
x−k =
x 2
⇔ k=
x 2
Oleh karena itu, 60 −
x =x 2
⇔ x = 40
41. Misalkan a, b dan c adalah angka - angka pada sebuah bilangan kuadrat tiga angka abc. Jika satuan dan puluhan pada bilangan tersebut dinaikkan berturut - turut 1 dan 3, juga akan menghasilkan bilangan kuadrat. Maka berapakah nilai a + b + c? Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
12
Tutur Widodo
Pembahasan Final KMP VIII 2012
a. 9
c. 11
b. 10
d. 12
Jawaban : a Diketahui, 100a + 10b + c = m2 dan 100a + 10(b + 3) + (c + 1) = n2 untuk suatu bilangan bulat m, n. Dari kedua persamaan di atas diperoleh, n2 − m2 = (n + m)(n − m) = 31 Oleh karena itu, n+m = 31 dan n−m = 1. Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, diperoleh m = 15, sehingga m2 = 225, yang berarti a + b + c = 2 + 2 + 5 = 9. 42. Diberikan (2a − 3)2 + (b + 2)2 + 1, 5 =
√3 . 4
Carilah nilai 4a − b.
a. 6
c. 12
b. 8
d. 16
Jawaban : b 3 (2a − 3)2 + (b + 2)2 + 1, 5 = √ 4 Sehingga 2a − 3 = 0 4a − b = 6 + 2 = 8.
⇔ (2a − 3)2 + (b + 2)2 = 0
⇔ 2a = 3 dan b + 2 = 0
43. Diketahui persamaan 2x2 + (x + 1)2 = 1. Carilah p a. − 32 + (−4)2 p b. −5 (−4)2 − 3)2
c.
√
√
⇔ b = −2. Oleh karena itu,
x − 5?
32 + 42
d. 1
Jawaban : a 2x2 + (x + 1)2 = 1 ⇔ 2x2 + x2 + 2x + 1 = 1 ⇔ 3x2 + 2x = 0 ⇔ x(3x + 2) = 0 sehingga diperoleh x = 0 atau x = − 32 . Ambil x = 0, sebab bilangan negatif bukan √ domain dari fungsi akar. Jadi, nilai x − 5 = −5. 44. Sebuah mobil angkutan antar kota biasa menempuh perjalanan dari kota A ke kota B dengan kecepatan 70 km/jam. Namun pada suatu ketika mobil itu mengalami kerusakan sehingga harus menurunkan kecepatan 50 km/jam tepat di tengah perjalanan, sehingga sampai ke kota B terlambat 3 jam dari waktu biasanya. Berapakah jarak dari kota A ke kota B? a. 525 km
c. 850 km
b. 775 km
d. 1050 km
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
13
Tutur Widodo
Pembahasan Final KMP VIII 2012
Jawaban : d Misalkan jarak kota A ke kota B adalah s, maka diperoleh s = 70t 2 dan
s = 50(t + 3) 2 dengan t waktu yang dibutuhkan untuk menempuh setengah perjalanan dengan kecepatan 70 km/jam. Dari kedua persamaan di atas diperoleh, ⇔ 20t = 150
70t = 50(t + 3)
⇔ t = 7, 5 s = 70 · 7, 5 ⇔ s = 1050 km. 2 p p √ √ 6 6 45. Misalkan A = 11 + 57 · 11 − 57, maka carilah nilai A2 + 5? Jadi,
a. 1
c. 9
b. 4
d. 16
Jawaban : c q q q √ √ √ √ 6 6 6 A = 11 + 57 · 11 − 57 = (11 + 57)(11 − 57) √ = 6 121 − 57 √ 6 = 64 √ √ Jadi, A2 + 5 = ( 6 64)2 + 5 = 3 64 + 5 = 4 + 5 = 9. s r √ √ 3 (1 + a) 1 + a 3 3 · ? 46. Sederhanakan −1 3a 9 + 18a + 9a−2 a. b.
√ 6 a √ 6
a 3
c. d.
√ 6
a 4
√ 6a √ 3 9
Jawaban : b s s √ √ 3 (1 + a) 1 + a 3 3 · = −1 3a 9 + 18a + 9a−2 =
! 12 ! 13 1 1 (1 + a)(1 + a) 3 3 2 · a2 3a 9(a2 + 2a + 1) ! 12 ! 31 4 1 (1 + a) 3 3 2 · a2 3a 32 (a + 1)2 2
=
(1 + a) 3 1
1
32 · a2
2
·
a3 1
2
3 2 (a + 1) 3
1
a6 = 3 √ 6 a = 3
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
14
Tutur Widodo
Pembahasan Final KMP VIII 2012
47. Diberikan sistem persamaan berikut : x+y =6
√ x2 + y 2 = 40 + 12 2 Carilah nilai x − y ? p √ a. 2 11 + 6 2 p √ b. 2 11 − 6 2
√ c. 2 2 d. 2
Jawaban : a x+y =6 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
(x + y)2 = 36 x2 + y 2 + 2xy = 36 √ 40 + 12 2 + 2xy = 36 √ 2xy = −4 − 12 2
(x − y)2 = x2 + y 2 − 2xy √ √ = 40 + 12 2 + 4 + 12 2 √ = 44 + 24 2 sehingga, x − y = ±
p p √ √ 44 + 24 2 = ±2 11 + 6 2.
48. Perhatikan gambar di samping! Diketahui BE = CE = DE, ∠ADB = 10◦ , dan ∠BAC = 50◦ . Maka berapakah besar sudut ACE?
A B
a. 10
E
b. 15 c. 30
D
C d. 45 Jawaban : c Karena 4BEC dan 4CED sama kaki maka ∠CBD = ∠BCE dan ∠DCE = ∠CDE. Pada 4BCD berlaku, ∠CBD + ∠BCE + ∠DCE + ∠CDE = 180◦ 2∠BCE + 2∠DCE = 180◦ ∠BCE + ∠DCE = 90◦ ∠BCD = 90◦ karena ∠BCD dan ∠BAD siku - siku maka segiempat ABCD adalah segiempat tali busur.
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
15
Tutur Widodo
Pembahasan Final KMP VIII 2012 A
B
E
D C Oleh karena itu diperoleh, ∠ACE = ∠BCD − ∠BCA − ∠DCE = 90◦ − ∠ADB − ∠CDE = 90◦ − 10◦ − ∠BAC = 90◦ − 10◦ − 50◦ = 30◦ √ 49. Misalkan |x − |4 − x|| − 2x = 4, berapakah nilai ( x − 1)3 ? a. 9
c. 1
b. 4
d. −1
Jawaban : d • Untuk x < −4, persamaan pada soal menjadi : |x − |4 − x|| − 2x = 4 ⇔
|x − (4 − x)| − 2x = 4
⇔
|2x − 4| − 2x = 4
⇔
4 − 2x − 2x = 4
⇔
4x = 0
⇔
x=0
• Untuk x ≥ −4, persamaan pada soal menjadi : |x − |4 − x|| − 2x = 4 ⇔
|x + 4 − x| − 2x = 4
⇔ 4 − 2x = 4 ⇔ x=0 √ Oleh karena itu, satu - satunya nilai x yang memenuhi adalah x = 0. Jadi, ( x−1)3 = −1. 50. Diketahui
x2
1 1 14 + 2 = . Berapakah nilai x2 + 3? + 4x x + 4x + 4 45
a. 3
c.
13 4
b. 4
d.
76 25
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
16
Tutur Widodo
Pembahasan Final KMP VIII 2012
Jawaban : b Misal, x2 + 4x = t maka persamaan pada soal menjadi, 1 14 1 + = t t+4 45
t+4+t 14 = t2 + 4t 45 ⇔ 45(2t + 4) = 14(t2 + 4t) ⇔
⇔ 90t + 180 = 14t2 + 56t ⇔ 14t2 − 34t − 180 = 0 ⇔ 7t2 − 17t − 90 = 0 ⇔ (7t + 18)(t − 5) = 0 18 atau t = 5 ⇔ t=− 7 • Jika t = − 18 maka diperoleh persamaan : x2 +4x = − 18 ⇔ 7x2 +28x+18 = 0 7 7 yang kedua akarnya irasional. Padahal dari pilihan jawaban yang ada, tidak ada yang irasional. Oleh karena itu, untuk kasus ini tidak perlu kita cek. • Jika t = 5 maka diperoleh persamaan : x2 + 4x = 5 ⇔ x2 + 4x − 5 = 0 ⇔ (x + 5)(x − 1) = 0. (a) Jika x = −5 maka x2 + 3 = (−5)2 + 3 = 28 (b) Jika x = 1 maka x2 + 3 = 12 + 3 = 4
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
17
Tutur Widodo
Pembahasan Final KMP VIII 2012
II. Soal Uraian Carilah penyelesaian dari
Jawaban :
Misal,
√ p p √ √ √ 3 − 5 + 3 + 5 = 10 x+2−2 x+1
5 3 atau − 4 4
p p √ √ 3 − 5 + 3 + 5 = t maka diperoleh, q q √ √ 2 t = 3− 5+ 3+ 5 q √ √ √ √ = 3 − 5 + 3 + 5 + 2 (3 − 5)(3 + 5) √ =6+2 9−5 2
=6+4 = 10 1
t = 10 2 sehingga diperoleh, menjadi,
p p √ √ 1 3 − 5 + 3 + 5 = 10 2 . Oleh karena itu persamaan pada soal √ √ 10 = 10 x+2−2 x+1 1 2
⇔ ⇔ ⇔
q √ 1 = x+2−2 x+1 2 q √ 1 = ( x + 1 − 1)2 2 1 √ = x + 1 − 1 2
sehingga didapat, √
1 2 √ 3 x+1= 2 9 x+1= 4 5 x= 4
x+1−1=
atau atau atau atau
√ 1 x+1−1=− 2 √ 1 x+1= 2 1 x+1= 4 3 x=− 4
Keterangan : Soal uraian nilainya akan diperhitungkan hanya untuk peserta 5 besar nasional. Jika tidak ada perolehan nilai yang sama pada 5 besar nasional maka skor peserta hanya dilihat berdasarkan soal pilihan ganda.
Disusun oleh : Tutur Widodo Apabila ada saran, kritik maupun masukan silakan kirim via email ke
[email protected] Terima kasih. My blog : http://mathematic-room.blogspot.com
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
18