Perbandingan Trigonometri

539 downloads 36141 Views 147KB Size Report
Menentukan nilai perbandingan trigonometri, bila diketahui panjang sisi-sisi ... Menentukan dan menggunakan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut.

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to k lic

8.Menerapkan Konsep Trigonometri

Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari seluruh kegiatan belajar pada modul diharapkan siswa dapat : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Menjelaskan perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen) Menentukan nilai perbandingan trigonometri, bila diketahui panjang sisi-sisi segitiganya Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran Menjelaskan konsep koordinat kartesius dan koordinat kutub Mengkonversikan koordinat kartesius ke koordinat kutub atau sebaliknya Menjelaskan aturan sinus dan aturan cosinus Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus Menentukan luas segitiga dengan aturan sinus Mengoperasikan rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut dan sudut rangkap Menjelaskan identitas trigonometri : sin2 x + cos2 x = 1 Menyelesaikan bentuk-bentuk persamaan trigonometri : sin x = a cos px = a a cos x + b sin x = c

Kegiatan Belajar 1. Menentukan dan menggunakan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut Tujuan Kegiatan Belajar 1 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, siswa diharapkan dapat : 1. menjelaskan tentang perbandingan trigonometri 2. menggunakan perbandingan trigonometri untuk menghitung panjang sisi dan besar sudut segitiga siku-siku. 3. menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran. Uraian Materi Kegiatan Belajar 1 1.1. Perbandingan Trigonometri B r

y

α

A

O

x

x = sisi siku-siku samping sudut ( proyeksi ) y = sisi siku-siku depan sudut ( proyektor ) r = sisi miring ( proyektum ) Dasar perbandingan : a. sinus α =

y

b. cosinus α = c. tangen α =

r y r e. secan α = x x f. cotangen α = y

d. cosecan α

r x r y

x

=

Contoh 1 : Suatu garis OP dengan O ( 0 ; 0 ) dan P ( 12 ; 5 ) membentuk sudut α terhadap sumbu x positif. Tentukan perbandingan trigonometrinya. r = 112 2 + 5 2 = 144 + 25 =

Penyelesaian : y

5 a. sinus α = 13 12 b. cosinusα = 13

P r α O

5 12

169 = 13

d. cosecan α e. secan α

13 5 13 = 12

=

x 5

.d o

m

w

o

.c

C

m o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

c u-tr a c k

.c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to k lic

5 c. tangen α = 12

f. cotangen α

w

12 = 5

Contoh 2: Diketahui sudut α = 45°, ∠ ABC = 90°. Tentukan nilai sin α, cos α dan tan α ! Penyelesaian : Dengan memperhatikan gambar diperoleh : C AB = BC = sama panjang = 1 maka : AB 2 + BC 2 = 1 + 1 = BC 1 1 a. sin 45° = = = 2 AC 2 2 AB 1 1 b. cos 45° = = = 2 AC 2 2 BC 1 c. tan 45° = = =1 AB 1

AC =

√2 1 45° 1

A

2 Sehingga didapatkan :

B

Contoh 3: Diketahui sudut α = 0° . Tentukan nilai sin α, cos α dan tan α ! Penyelesaian : Sudut α = 0° maka sisi AC diproyeksikan berimpit sumbu x y dan AC = AB = 1, BC = 0 Sehingga : a. b. x O

AB = AC

c.

BC 0 = =0 AC 1 AB 1 cos 0° = = =1 AC 1 BC 0 = =0 tan 0° = AB 1

sin 0° =

Contoh 5 : Diketahui α1 = 30° dan α2 = 60° dan ∠ ABC = 90°. Tentukan nilai sin 30° , cos 30° , tan 30° , cos 60° , sin 60° dan tan 60° ! Penyelesaian : AB : BC : AC = √3 : 1 : 2 C 2 30° A

√3

60°

sin 30° =

BC 1 = AC 2

1

cos 30° =

AB 3 1 3 = = 2 AC 2

B

tg 30° =

sin 60° =

BC 1 = =1 3 AB 3 3

AB 3 1 3 = = 2 AC 2

cos 60° = tg 60° =

BC 1 = AC 2

AB 3 = = 3 BC 1

Contoh 6 : Diketahui α = 90° . Tentukan nilai sin 90°, cos 90° dan tg 90° ! Penyelesaian : Karena α = 90°maka AC berimpit sumbu y. y Jadi AC = AB = 1 dan BC = 0 Sehingga :

B=C

x 0

AB 1 = =1 AC 1 BC 0 cos 90° = = =0 AC 1 AB 1 tg 90° = = = tak terdefinisi BC 0

sin 90° =

6

.d o

o

.c

m

C

m o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

c u-tr a c k

.c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to k lic

1.2. Panjang Sisi dan Besar Sudut Segitiga Siku-siku Dalam segitiga siku-siku, jika diketahui besar salah satu sudut B lancip dan panjang salah satu sisinya maka ukuran unsur-unsur β c yang lain dalam segitiga tersebut dapat kita tentukan. a Perhatikan gambar di samping, misalkan kita ketahui sudut CAB = α dan sisi AC = b maka besar sudut β, sisi a dan sisi c dapat α b A ditentukan, dan berlaku : C 1). β = 90° - α

2). tg α =

a b

maka a = b . tg α

3). cos α =

b c

maka c =

b cos α

Contoh : Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, α = 30° dan panjang sisi b = 30 cm. Hitunglah panjang sisi a dan c ! sin 30° =

C 30 cm

A

maka a = sin 30° . 30 = ½ . 30 = 15 cm

a

cos 30° =

AB c = AC 30 cm

maka c = cos 30° . 30 = ½√3. 30 = 15√ 3 cm

B

c

BC a = AC 30 cm

1.3. Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran Pembagian kuadran : 90° Kuadran II

Kuadran I

(-x , y)

(x , y)

180°

0° / 360° Kuadran III (-x , -y)

Kuadran IV 270°

(x , -y)

a. Sudut di Kuadran I ( 0° ≤ x ≤ 90° ) y

A’ p q

P’(q , p) y=x P (p , q)

(90° - a) a°

y a°

O

p q x

y

A

y

q r r p x cos a o = = r r y q o tga = = x p

sin a o =

x

=

Bila ∆ OAP dimana titik P(p , q) berada, dicerminkan terhadap garis y = x, diperoleh P’(q , p) di kuadran I. Sehingga sudut antara OP’dengan sumbu x positif adalah (90° - a) dan x = q , y = p dan OP’= OP = r.

p → = cos a o r r x q cos (90 o − a) = = → = sin a o r r

Maka : sin (90 o − a) =

=

7

.d o

m

w

o

.c

C

m o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

c u-tr a c k

.c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to k lic w

y p tg (90 o − a) = = → = ctg a o x q

Contoh : sin 30° = sin ( 90° - 60°) cos 45° = cos (90° - 45°) tg 30° = tg (90° - 60°)

→ cos 60° . → sin 45° → ctg 60°

b. Sudut di Kuadran II ( 90° ≤ x ≤ 180° ) Perhatikan ∆ OAP di kuadran I dan titik P (p , q). y P’(-p , q) q

-p

r

(180° - a°) a°

A’

P (p , q)

q r

y

A x

x



q

y

q r r x p o cos a = = r r y q tg a o = = x p

sin a o =

=

p

O

Bila ∆ OAP dimana titik P(p , q) berada, dicerminkan terhadap sumbu y maka akan diperoleh P’(-p , q) di kuadran II. Sehingga sudut antara OP’dengan sumbu x positif adalah (180° - a°) dan x = q, y = -p, OP’= OP = r, maka : y

q → = sin a o r r x −p cos (180 o − a) = = → = - cos a o r r y q tg (180 o − a) = = → = - tg a o x −p

sin (180 o − a) =

=

maka sin (180 o − a) = sin a o maka cos (180 o − a) = - cos a o maka tg (180 o − a) = - tg a o

Contoh : sin 150° = sin (180° - 30° ) = sin 30° cos 120° = cos (180° - 60°) = - cos 60° tg 135° = tg (180° - 45° ) = - tg 45°

→ maka sin 150° = ½ → maka cos 120° = - ½ → maka tg 135° = - 1

c. Sudut di Kuadran III ( 180° ≤ x ≤ 270° ) P (p , q) Perhatikan ∆ OAP di kuadran I dan titik P (p , q). y r

A’ y

-q

(180°+ a°) x -p a° O a°

x p

y

A

x

y

q r r x p o cos a = = r r y q tg a o = = x p

sin a o =

q

=

P’(-p , -q)

Bila ∆ OAP dicerminkan terhadap titik pangkal O atau diputar 180° maka diperoleh P’(-q , -p) di kuadran III, sehingga sudut antara OP’dan sumbu x positif adalah (180° + a°) dan x = - p, y=-q serta OP’= OP = r. Maka diperoleh : −q = → = - sin a o → maka sin (180 o + a) = - sin a o r r x −p cos (180 o + a) = = → = - cos a o → maka cos (180 o + a ) = - cos a o r r y −q tg (180 o + a ) = = → = tg a o → maka tg (180 o + a ) = tg a o x −p

sin (180 o + a) =

y

8

.d o

o

.c

m

C

m o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

c u-tr a c k

.c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to k lic

Contoh : sin 225° = sin (180° + 45°) cos 240° = cos (180° + 60°) tg 210° = tg (180° + 30° )

.d o

=-½√2 =-½ = 13 3

= - sin 45° = - cos 60° = tg 30°

d. Sudut di Kuadran IV ( 270° ≤ x ≤ 360° ) Perhatikan ∆ OAP danP( p,q) di kuadran I. y

r

q x p

O r

P’( p , -q)

−q → = - sin a o r r x p cos (360 o − a ) = = → = cos a o r r y −q tg (360 o − a) = = → = tg - a o x p

sin ( 360 o − a) =

y

=

Bila ∆ OAP dicerminkan terhadap sb. X, maka diperoleh P’ (p , -q) di kuadran IV, sehingga sudut antara OP’ dan sumbu x positif adalah (360° - a°) atau ( -a° ) dan x = p, y = - q serta OP’= OP = r.

-q

Maka :

y

q r r x p o cos a = = r r y q tg a o = = x p

sin a o =

P ( p , q)

→ sin ( 360 o − a) = sin( −a ) = - sin a o

=

→ cos (360 o − a ) = cos(−a ) = cos a o → tg (360 o − a ) = tg(−a) = - tg a o

Contoh : sin 300° = sin (360° - 30°) = sin (- 30°) → - sin 30° = - ½ cos 315° = cos (360°- 45°)= cos (- 45°) → cos 45° =½√2 1 tg ( - 30°) = - tg 30° = - 3 3 Lembar Kerja Siswa 1 1. Tentukan perbandingan trigonometri sinus, cosinus dan tangen pada masing-masing segitiga berikut ! 7

12

β

α 24

A 13

B

2. Nyatakan tiap-tiap bentuk berikut ini dalam sudut lancip! a. sin 117° c. tg 278° e. tg 203° b.cos 192° d. cos 331° f. sin 254° 3. Jika tg θ = − 15 untuk 270° < θ < 360° hitunglah nilai dari : 18 a. cos θ

b. sin θ

4. Tentukan nilai dari : a. sin2 30° + cos2 30° = … c. cos 330° + tg 240° - sin 45° = ... b. cos 300° - cos 180° + cos 90° =… d. sin 135° - cos 225° + tg 240° =…

9

o

.c

m

C

m

w

o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

c u-tr a c k

.c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to k lic

5. Lengkapilah tabel di bawah ini ! Sudut α 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° Sin α Cos α Tg α 6. Jika diketahui tg A = p. Hitunglah nilai dari : a. 2.sin A.cos A = … b. cos2 A –sin2 A = … 7. Jika sin α =

8 17

dan cos β =

3 5

untuk α dan β sudut lancip, tentukan nilai dari :

a. sin α .cos β - cos α . sin β = … b. 2. sin β . cos β = … tg α + tg β c. 1− tgα.tgβ = … 2. Kegiatan Belajar 2. Mengkonversi koordinat kartesius dan kutub Tujuan Kegiatan Belajar 2 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini siswa diharapkan dapat : 1. menjelaskan konsep koordinat kartesius dan koordinat kutub. 2. mengubah dari koordinat kartesius ke koordinat kutub. 3. mengubah dari koordinat kutub ke koordinat kartesius. Uraian Materi Kegiatan Belajar 2 yaitu :

Letak suatu titik pada sebuah bidang dapat dinyatakan dengan 2 macam sistem koordinat, a. .

2.1. Koordinat kartesius Sistem koordinat kartesius, yaitu dengan absis (x) dan ordinat (y). Misal Titik P (x , y) y

P (x , y)

y

0

x

x

2.2 Koordinat kutub Sistem koorsdinat kutub, yaitu dengan jarak (r) dan sudut yang dibentuk dengan sumbu x positif (θ°). Misal Titik P (r , θ°) y P (r , θ) r θ°

y x

x

10

.d o

m

w

o

.c

C

m o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

c u-tr a c k

.c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to k lic

1.3 Konversi koordinat Dari gambar koordinat kartesius titik P adalah (x , y) dan koordinat kutub adalah (r , θ°), tampak bahwa dari x , y , r, dan θ° terdapat hubungan sebagai berikut :

1. sin θ° =

y

r x 2. cos θ° = r

3. r =

→ y = r . sin θ° → x = r . cos θ

x2 + y2

4. tg θ° =

y x

→ θ° = arc. tg

y x

5. Koordinat kutub titik P adalah (r, θ°) bila dinyatakan dengan koordinat kartesius adalah (r.cosθ° , r.sinθ°). 6. Koordinat kartesius (x,y) bila dinyatakan dengan koordinat kutub adalah ( x 2 + y 2 , arc. tg

y x

).

Contoh 1. a : Diketahui koordinat kutub titk P (4 , 60°). Tentukan koordinat kartesius titik tersebut ! Penyelesaian : P (4 , 60°) → r = 4 dan θ° = 60° x = r . cos θ° y = r . sin θ° x = 4. cos 60° y = 4 . sin 60° x=4.½ y = 4 . ½√3 x=2 y = 2√3 Jadi koordinat kartesius dari titik P (4 , 60°) adalah : P (2 , 2√3) Contoh 1. b : Diketahui koordinat kartesius titik P (-2,-2√3). Tentukan koordinat kutub titik P tersebut! Penyelesaian : P (-2,-2√3). → x = -2 dan y = -2√3 ( di kuadran III) r = ( −2 ) 2 + ( −2 3 ) 2

tg θ° =

y x

=

−2 3 −2

tg θ° = √3 r = 4 + 12 r = √16 θ° = arc. tg √3 r=4 θ° = 240° (kuadran III) Jadi koordinat kutub dari titik P (-2,-2√3) adalah : P (4 , 240°) Lembar Kerja Siswa 2 1. Ubahlah koordinat kutub berikut ke koordinat kartesius ! a. A (6 , 30°) b. B (2 , 120°) c. C (6 , 315°) d. D (4√3 , 300°) 2. Ubahlah koordinat kartesius berikut ke koordinat kutub ! a. P (2 , 2√3) b. Q (-1 , -1) c. R (-2√3 , 6) d. S (6 , -2√3) 3. Nyatakan koordinat kutub titik-titik berikut ke koordinat kartesius ! a. (8 , 45°) b. (7 , 90°) c. (4√3 , 150°) d. (10 , 330°) e. (8 , 240°) f. (3√2, 225°) g. (5√3 , 300°) h. (15 , 330°) 4. Nyatakan koordinat kartesius titik-titik berikut ke koordinat kutub! a. (5 , 5) b. (-5√3, 5) c. (-3√2, -3√2) d. (6 , -6√3) d. (-3√2, 3√2) e. (-3√2, -3√6) f. (3√15, -9√5) 5. Nyatakan ke koordinat kartesius ! a. (4, 180°) b. (6 , 270°) c. (8 , 120°) d. (5 , 315°) e. (6 , 140°) f. (10, 185°) g. (8 , 310°) h. (5 , 15°)

11

.d o

m

w

o

.c

C

m o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

c u-tr a c k

.c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to k lic

Kegiatan Belajar 3

Tujuan Kegiatan Belajar 3 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini siswa diharapkan dapat : 1. Menjelaskan tentang aturan sinus dan cosinus 2. menerapkan aturan sinus untuk menentukan panjang sisi atau besar sudut suatu segitiga 3. menerapkan aturan cosines untuk menentukan panjang sisi atau besar sudut suatu segitiga Uraian Materi Kegiatan Belajar 3.1. Aturan Sinus

C

∆ ABC dengan panjang sisi-sisinya a, b, c dan CE dan BD adalah garis tinggi serta ∆ ABC segitiga sembarang.

D b

a

A E

c

B

CE → CE = AC . sin A = b . sin A AC CE → CE = CB . sin B = a . sin B Pada ∆ BEC, maka sin B = CB

Pada ∆ AEC, maka sin A =

… .1) … .2)

Dari pers. 1) dan pers. 2) didapatkan : → b . sin A = a . sin B ( masing-masing dibagi dengan sin A. sin B) a. sin B b. sin A a b = maka = sin A. sin B sin A. sin B sin A sin B BD Pada ∆ ADB , maka sin A = → BD = AB . sin A = c . sin A AB BD Pada ∆ CDB, maka sin C = → BD = BC . sin C = a . sin C BC

… 3) … 4) … . 5)

Dari pers. 4) dan pers. 5) didapatkan → c . sin A = a . sin C (masing-masing dibagi dengan sin A. sin C) c. sin A a. sin C c a = maka = sin A. sin C sin A. sin C sin C sin A

… 6)

Dari pers. 3) dan pers. 6) maka didapatkan aturan sinus : a b c = = ← Aturan Sinus. sin A sin B sin C



Contoh 1: Diketahui ∆ ABC, ∠A = 60°, ∠B = 45° dan panjang sisi BC = 12 cm. Tentukan panjang sisi AC ! Penyelesaian : A Dari gambar di samping didapatkan : → AB = c, AC = b dan BC = a 60° c b Aturan sinus yang dipakai : →

a b = sin A sin B

→ AC =



12. sin 45 o sin 60 o

BC AC 12 AC = → = o 45° sin A sin B sin 60 sin 45 o B C a = 12 cm 12. 21 2 12 12. 2 3 = x = 3 = 4√3 Jadi panjang sisi AC = 4√3 cm. = 1 3 3 3 3 2

12

.d o

m o

.c

C

m

w

o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

c u-tr a c k

.c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to k lic

Contoh 2: Diketahui ∆ ABC AB = 8 cm, AC = 5 cm dan ∠ B = 37°. Hitunglah besar sudut C ! Penyelesaian : A Dari data di atas ada 2 kemungkinan segitiga yang 8 cm terbuat, yaitu : 8 cm

→ AB = c, AC = b dan BC = a Aturan sinus yang dipakai : b c 5 8 → = → = o sin B sin C sin C sin 37 → sin C =

8 . 0 ,602 5

→ sin C =

8. sin 37 o

B

A 5 cm

5 cm

37°

C

B

37° C

5

→ sin C = 0,9632 dg tabel didapat ∠C = 74°24’= 74,4°

Besar sudut C : → ∠ C = 74,4° → ∠C = 180° - 74,4° = 105,6° Jadi ∠C = 74,4° dan 105,6°. 3.2 Aturan Cosinus C

b

A

t D c

a

Pada ∆ ABC, CD adalah garis tinggi. CD sin A = ⇒ CD = AC. sin A ⇒ CD = b. sin A AC AD cos A = ⇒ AD = AC. cos A ⇒ AD = b. cos A AC B Dasar Phytagoras dari ∆ BDC didapat : → a 2 = CD 2 + BD 2 → a 2 = ( b. sin A ) 2 + ( c − AD ) 2

→ a 2 = ( b. sin A ) 2 + ( c − b. cos A ) 2 → a 2 = b 2 . sin 2 A + c 2 − 2.bc. cos A + b 2 cos 2 A → a 2 = b 2 (sin 2 A + cos 2 A ) + c 2 − 2 bc. cos A

→ a 2 = b 2 . sin 2 A + b 2 cos 2 A + c 2 − 2 bc. cos A → a 2 = b 2 + c 2 − 2.bc. cos A

Dengan memandang sudut B diperoleh :

sin B =

t a

Maka : → t = a. sin B →BD = a . cos B →AD = c –a . cos B → b 2 = t 2 + AD 2 → b 2 = ( a. sin B) 2 + ( c − a. cos B ) 2 → b 2 = a 2 . sin 2 B + c 2 − 2.ac. cos B + a 2 . cos 2 B → b 2 = a 2 . sin 2 B + a 2 . cos 2 B − 2.ac. cos B + c 2 → b 2 = a 2 (sin 2 B + cos 2 B ) − 2.ac. cos B + c 2 → b 2 = a 2 + c 2 − 2.ac. cos B Dengan cara yang sama didapat rumus aturan cosinus sebagai berikut : → a 2 = b 2 + c 2 − 2.bc. cos A → b 2 = a 2 + c 2 − 2.ac. cos B → c 2 = a 2 + b 2 − 2.ab. cos C

13

.d o

m o

.c

C

m

w

o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

c u-tr a c k

.c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to k lic

Contoh 1 :

Diketahui ∆ ABC , AB = 5 dan AC = 8 dan ∠A=60°. Hitunglah panjang sisi BC! Penyelesaian : Dengan melihat data yang ada didapatkan : AB = c = 5, AC = b = 8, ∠A = 60° , maka aturan cosinus yang dipakai adalah : → a 2 = b 2 + c 2 − 2.bc. cos A → a 2 = 8 2 + 5 2 − 2.8.5. cos 60 o

C

8

A

→ a 2 = 64 + 25 − 80. 1

60° 5

B

2

2

→ a = 89 − 40 = 49 → a = √49 = 7 Jadi sisi BC = a = 7

Contoh 2: Dalam ∆ ABC diketahui AB = 6, AC = 5 dan BC = 4. Hitunglah besar sudut B! Penyelesaian : Aturan cosinus yang dipakai : AC 2 = BC 2 + AB 2 − 2.BC.AB. cos B b 2 = a 2 + c 2 − 2.ac. cos B cos B =

b2 − a2 − c2 − 2.a.c

42 + 62 − 52 2.4.6 16 + 36 − 25 cos B = 48



cos B =

a2 + c2 − b2 2.a.c

cos B =

→ cos B = 0,5625



B = arc. cos 0,6525

Jadi besar sudut B = 55°46’= 55,77° Contoh 3 : Pada ∆ ABC diketahui ∠A = 60°, sisi b = 10 cm dan sisi c = 16 cm. Tentukanlah : a. panjang sisi a b. besar ∠ B c. besar ∠ C Penyelesaian : a2 + c2 − b2 a. a 2 = b 2 + c 2 − 2.bc. cos A cos B = b. 2 2 2 o a = 10 + 16 − 2.10.16. cos 60

a

2

= 100 + 256 − 2.10.16. 21

a 2 = 196

a = 14 cm

2.a.c

196 + 256 − 100 14 + 16 2 − 10 2 → cos B = 2.14.16 448 356 cos B = → cos B = 0 ,795 → B = arc. cos 0, 795 448 cos B =

2

Dengan menggunakan tabel sin-cos atau dengan kalkulator didapatkan besar sudut B = 38°28’ Besar sudut C didapatkan dengan dasar jumlah sudut dalam sebuah segitiga adalah 180° maka besar sudut : C = 180° - ( 60° + 38° 28’) C = 180° - 98° 28’ C = 81° 32’ Lembar Kerja Siswa KB 3 1. Tentukan nilai dari unsur yang belum diketahui jika a = 5,5 cm, ∠B = 45° dan ∠A = 60°. 2. Pada ∆ ABC jika ∠A = 60° , ∠ B = 15° dan a = 10 cm, tentukan a, b, dan ∠ C! 3. Pada ∆ PQR jika ∠Q = 60° , p = 8 cm dan q = 14 cm, tentukan ∠P, ∠R dan sisi r ! 4. Pada ∆ ABC jika diketahui a = 7 cm, b = 4 cm dan ∠C = 50° , hitunglah sisi c ! 5. Pada ∆ ABC jika diketahui b = 4 cm, c = 6 cm dan ∠A = 24°, hitunglah sisi a ! 6. Pada ∆ ABC, diketahui a = 6 cm. b = 7 cm dan c = 5 cm, hitunglah ∠ B! 14

.d o

m o

.c

C

m

w

o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

c u-tr a c k

.c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to k lic

7. Pada ∠PQR jika PQ = 7 cm, QR = 9 cm dan PR = 6 cm, hitunglah nilai ∠P, ∠Q dan ∠R! 8. Kota B terletak 20 km sebelah utara kota A dan kota C terletak 15 kn barat laut kota A. Hitunglah jarak antara kota B dan kota C! 9. Pada ∆ ABC, ∠A = 30°, ∠C = 45° dan b = 20 cm, tentukan a, c, dan ∠B! 10. Pada ∆ ABC, ∠C = 30°, b = 10 cm dan c = 6 cm, tentukan a, ∠B dan ∠C!

Kegiatan Belajar 4. Menerapkan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut Tujuan Kegiatan Belajar 4 Setelah mempelajari uraian materi ini, siswa dapat : 1. Menentukan rumus luas segitiga 2. Menentukan luas segitiga Uraian Materi Kegiatan Belajar 4 Gambar di bawah adsalah ∆ ABC dan untuk mencari luas segitiga adalah : C λ

b

A

Luas ∆ ABC =

Alas x tinggi 2

a

α

β

D

B

c

Dari gambar segitiga tersebut, alas = AB, tinggi CD, dan CD = b sin α, maka Luas ∆ ABC

=

AB.CD 2

=

AB.b sin α 2

=

1 c.b sin α 2

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa bila diketahui besar salah satu sudut dan panjang dua sisi yang mengapit sudut itu, maka luas segitiga dapat ditentukan : L ∆ ABC

= ½ a. b sin λ = ½ b.c sin α = ½ a.c sin β

Contoh 1 : Diketahui ∆ ABC dengan sisi a = 20, b = 25, δ = 550 Carilah luas ∆ ABC tersebut ! Jawab :

Luas ∆ ABC

B 25

5500

= ½ a . b sin δ = ½ . 20 . 25 . sin 550

20

= ½ . 20. 25 (0,8191) = 209,78 satuan luas.

A

C

Jadi luas segitiga ABC adalah 209,78 cm2. 15

.d o

m

w

o

.c

C

m o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N

O W !

PD

O W !

PD

c u-tr a c k

.c

H F-XC A N GE

H F-XC A N GE

c u-tr a c k

N y bu to k lic

Contoh 2 Diketahui ∆ ABC, dengan sisi a = 14 cm, b = 16 cm dan c = 22 cm. Carilah luas ∆ ABC tersebut ! Jawab : Luas ∆ ABC

a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c. cos α

= ½ b.c sin α

14 2 = 16 2 + 22 2 − 2.16.22. cos α

= ½ 16.22 sin 39024’

196 = 256 + 489 –704 cos α

= 176. 0,6347

cos α

=

740 − 196 704

cos α

=

544 = 0,7727 704

α

= 111,7072 Jadi luas ∆ ABC = 111,7072 cm2

= 39024’

Lembar Kerja Siswa KB 4 1. Carilah luas ∆ ABC jika : a. a = 7 cm, b = 9 cm dan δ = 720 b. b = 24 cm, c = 30 cm dan α = 450 c. c = 40 cm, a = 14 cm dan β = 600 2. Carilah luas ∆ ABC jika : a. a = 4 cm, b = 6 cm, c = 8 cm b. a = 12,7 cm, δ = 450, β = 600 c. b = 15,16 cm, c = 14,8 cm, δ = 600 3. Luas segitiga ABC adalah 32 cm2. AB = 8 cm dan AC = 16 cm. Tentukan besar sudut A ! 4. Suatu jajaran genjang ABCD, AB = 84 cm, BC = 68 cm dan ∠BAD = 450. Hitunglah luas jajaran genjang ABCD tersebut ! 5. Hitunglah luas segiempat ABCD seperti pada gambar berikut : D 1200

8 A

9

C 7

10

B

6. Hitunglah luas segitiga ABC dengan : a. sisi alas BC = 5,6 dan tinggi = 2,5 b. sisi alas BC = 16 dan tinggi = 8 cm 7. Hitunglah luas segitiga ABC, bila diketahui AB = 8, BC = 11 dan