Persamaan Diferensial (PD) adalah persamaan yang mengandung ... Orde suatu
persamaan diferensial adalah orde tertinggi dalam persamaan (orde = tingkat) ...
PERTEMUAN-1
Persamaan Diferensial 1.1 Pendahuluan Persamaan Diferensial (PD) adalah persamaan yang mengandung beberapa turunan dari suatu fungsi.
F ( x, y, y (1) , y ( 2) , K , y (n) ) = 0 Orde suatu persamaan diferensial adalah orde tertinggi dalam persamaan (orde = tingkat). Derajat (degree) suatu PD adalah pangkat dari turunan yang tertinggi. Contoh PD: 2
⎛ d 3Y ⎞ ⎛ d2Y ⎞ ⎛ dy ⎞ XY ⎜⎜ 3 ⎟⎟ + sin ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + 8 X 2 y ⎜ ⎟ + Y 2 = 0 ⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠
PD linear adalah persamaan yang mempunyai bentuk:
y ( n ) + a1 ( x) y (n -1) + K + a n −1 ( x) y = k (x) Type-type PD tingkat 1 derajat 1 adalah: 1. 2. 3.
PD dengan variabel yang dapat dipisahkan PD Homogen PD yang dapat diubah menjadi PD Homogen
4. 5.
PD Eksak PD yang dapat diubah menjadi PD eksak du PD linear dalam Y dan dx PD Bernaully
6. 7.
1.2 PD dengan variabel yang dapat dipisahkan Kaidah penyelesaian: Unsur x dan y dipisah, lalu semua persamaan diintegralkan. Bentuk Umum:
P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 Teori pengerjaan: Misal:
M (x) adalah fungsi x N ( y ) adalah fungsi y
M ( x)dx + N ( y )dy = 0 Unsur-unsur x dan y sudah terpisah, Integralkan!
∫ M ( x)dx + ∫ N ( y)dy = 0 ∫ M ( x)dx + ∫ N ( y)dy = C ← konstanta Misal:
M (x) dan R(x) adalah fungsi x N ( y ) dan S ( y ) adalah fungsi y
M ( x) ⋅ S ( y )dx + N ( y ) R( x)dy = 0 Unsur x dan y belum terpisah.
M ( x) N ( y) ⋅ dx + ⋅ dy = 0 [sudah terpisah] R( x) S ( y) M ( x)
N ( y)
M ( x)
N ( y)
∫ R( x) ⋅ dx + ∫ S ( y) ⋅ dy = ∫ 0 ∫ R( x) ⋅ dx + ∫ S ( y) ⋅ dy = c Contoh-sontoh Soal: 1.
dy = 3x 2 − 6 x + 5 dx Cara I:
(
)
dy = 3x 2 − 6 x + 5 dx ← sudah terpisah
∫ dy
=
∫ (3x
2
)
− 6 x + 5 dx
dy = x 3 − 3x 2 + 5x + c Cara II: dy = 3x 2 − 6 x + 5 dx dy − 3x 2 + 6 x − 5 = 0 dx
dy − (3x 2 − 6 x + 5) dx = 0
∫ dy − ∫ (3x
2
)
− 6 x + 5 dx = ∫ 0
y − ( x 3 − 3x 2 + 5 x) = c y = x 3 − 3x 2 + 5x + c 2.
dy = (1 + x ) (1 + y) dx
dy = (1 + x ) (1 + y) dx dy − (1 + x ) (1 + y ) dx = 0 dy dy − (1 + x ) dx = 0 → ∫ − (1 + x ) dx = ∫ 0 (1 + y ) 1+ y ∫
1 2 x )=c, 2
n (1 + y ) − ( x + ln(1 + y ) − ln e ln
(1 + y ) ⎛ x2 ⎜ x+ ⎜ 2 ⎝
e (1 + y ) e
⎛ x2 ⎜ x+ ⎜ 2 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
3.
x2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
= ln c ,
= ln c ,
=c,
1+ y = c ⋅ e y = c⋅e
⎛ x2 ⎜ x+ ⎜ 2 ⎝
⎛ x2 ⎜ x+ ⎜ 2 ⎝
⎛ x2 ⎜ x+ ⎜ 2 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
,
− 1.
dy dy y2 + y2 = 0 → =− 2 dx dx x
Tentukan solusi umum PD , dan solusi PD jika syarat awal x=1; y=2
!
x 2 dy + y 2 dx = 0 dy dx dy dx + 2 = 0 → ∫ 2 + ∫ 2 = ∫0 2 y x y x
−
1 1 − = c [ Solusi Umum PD ] y x 1 1 atau + = −c y x 1 1 + =0 y x
Syarat awal ⇒ x = 1 , y = 2 1 1 3 + =D → D= 2 1 2 Solusi PD : 4.
(1 + x 2 )
1 1 3 + = y x 2
dy dy xy − xy = 0 → = dx dx 1 + x 2
x dx dy xdx dy − =0→∫ −∫ = 0 2 y 1+ x y 1+ x2 ∫ ln y −
( (
) )
1 d x2 +1 = c1 2 ∫ x2 +1
1 ln y − ln (x 2 + 1) = ln c 2 2
2 ln y − ln( x 2 + 1) = 2 ln c 2 ln y 2 − ln( x 2 + 1) = ln c2
2
⎡ y2 ⎤ y2 ln ⎢ 2 = ln c → =c ⎥ ( x 2 + 1) ⎣ ( x + 1) ⎦ y 2 = c( x 2 + 1) y = c x2 +1
5.
dy ⎛ 4 x + xy 2 ⎞ ⎟=0 −⎜ dx ⎜⎝ y − x 2 y ⎟⎠
( (
) )
y dy dy x 4 + y 2 x dx =0→ − =0 − 2 2 4+ y 1− x2 dx y 1 − x
(
) (
)
x dx = 0 2 −1 ∫
y dy
∫ (4 + y ) + ∫ (x 2
)
( ) ( ) ( ) ln ( y + 4) + ln (x − 1) = ln c ln ( y + 4) + ln (x − 1) = 2 ln c ln (( y + 4 ) (x − 1) ) = ln c 1 d 4 + y 2 1 x dx + ∫ 2 =c 2 ∫ 4 + y2 2 x −1 2
1 2
2
2
2
1 2
2
2
2
( y 2 + 4 )(x 2 − 1) = c 6.
dy = cotg x ⋅ tg y dx dy ∫ tg y − ∫ cotg x dx =∫ 0 → ∫ cotg y dy − ∫ cotg x dx = c
∫
cos y dy cos x dx d (sin y ) d (sin x ) −∫ =c→∫ −∫ =c (sin y ) (sin x ) sin y sin x
ln (sin y) − ln (sin x) = ln c ⎛ sin y ⎞ ln⎜ ⎟ = ln c ⎝ sin x ⎠
