Suatu jenis baterai mobil rata-rata berumur 3,0 tahin dan simpangan baku 0,5 ...
Htiunglah persentase tahanan yang melebihi 43 ohm pada contoh 5.7 bila ...
BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang Pertemuan 8. 5. BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG KONTINU 5.1 Distribusi Normal Distribusi normal Fungsi padat peubah acak normal X, dengan rataan µ dan variansi σ 2 , ialah n(x; µ, σ) =
√ 1 e−(1/2)[(x−µ)/σ] 2πσ
2
, −∞ < x < ∞
dengan π = 3, 14159... dan e = 2, 71828... . Berikut kurva normal untuk µ = 10 dan σ = 2
Dengan melihat dua buah kurva normal dengan kedua rataan berbeda dan kedua simpangan baku berbeda serta dengan memeriksa turunan pertama dan kedua diperoleh lima sifat kurva normal berikut 1. modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat pada x = µ 2. kurva setangkup terhadap sumbu tegak yang melalui rataan µ 3. kurva mempunyai titik belok pada x = µ ± σ, cekung dari bawah bila µ − σ < X < µ + σ, dan cekung dari atas untuk x lainnya 4. kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila nilai X bergerak menjauhi µ baik ke kiri maupun kekanan 5. seluruh luas dibawah kurva dan diatas sumbu datar sama dengan 1.
1
Sekarang diperlihatkan bahwa parameter µ dan σ 2 adalah betul rataan dan variansi distribusi normal R∞ 2 1 xe−(1/2)[(x−µ)/σ] dx E(X) = √2πσ −∞ Dengan mengganti z = (x − µ)/σ dan dx = σdz, diperoleh Z ∞ 2 1 E(X) = √ (µ + σz)e−z /2 dz 2πσ −∞ Z ∞ Z ∞ 2 2 σ 1 e−z /2 dz + √ ze−z /2 dz = µ√ 2πσ −∞ 2πσ −∞ = µ.1 + 0 =µ dan begitu juga untuk variansi nya adalah σ 2 Banyak peubah acak mempunyai distribusi peluang yang dapat dinyatakan dengan cukup baik oleh kurva normal begitu µ dan σ 2 ditentukan. 5.2 Luas dibawah kurva normal Rx 2 1 P (x1 < X < x2 ) = x12 √2πσ e−(1/2)[(x−µ)/σ] dx Bilamana X mendapat nilai x, nilai Z padanannya diberikan oleh z = (x−µ)/σ, jadi Z x2 2 1 √ P (x1 < X < x2 ) = e−(1/2)[(x−µ)/σ] dx 2πσ x Z z1 2 2 1 √ e−z /2 dz = 2πσ z1 = P (z1 < Z < z2 ) dengan Z terlihat merupakan suatu peubah acak normal baku dengan rataan nol dan variansi 1. Defenisi 5.1 Distribusi peubah acak normal dengan rataan nol dan variansi 1 disebut dengan distribusi normal baku. Pada Tabel Luas dibawah kurva normal baku yang berpadanan dengan P (Z < z) untuk nilai z dari -3,49 sampai 3,49 Contoh 5.1 Diketahui suatu distribusi normal dengan µ = 50 dan σ = 10, carilah peluang bahwa X mendapat nilai antara 45 dan 62 Contoh 5.2 Diketahui distribusi normal dengan µ = 300 dan σ = 50, carilah peluangnya bahwa X mendapat suatu nilai lebih besar dari 362 2
5.3 Penerapan distribusi normal Contoh 5.3 Suatu jenis baterai mobil rata-rata berumur 3,0 tahin dan simpangan baku 0,5 tahun. Bila dianggap umur baterai berdistribusi normal, carilah peluang baterai tertentu akan berumur kurang dari 2,3 tahun. Contoh 5.4 Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluang suatu bola lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam. Contoh 5.5 Dalam suatu proses industri, diameter suatu laher merupakan bagian yang penting. Pembeli menetapkan ketentuan mengenai diameternya, yakni sebesar 3, 0 ± o, o1 cm. Maksudnya ialah tidak ada laher yang ukurannya diluar ketentuan ini akan diterima. Diketahui bahwa dalam proses pembuatan laher tersebut berdistribusi normal dengan rataan 3,0 dan simpangan baku σ = 0, 05. Berapa banyak laher yang akan terbuang?. Contoh 5.6 Suatu pengukur dipakai untuk menolak semua suku cadang yang ukurannya tidak memenuhi ketentuan 1, 50 ± d. Diketahui bahwa pengukuran tersebut berdistribusi normal dengan rataan 1,50 dan simpangan baku 0,2. Tentukan nilai d sehingga ketentuan tersebut ’mencakup’ 95% dari seluruh pengukuran. Contoh 5.7 Suatu mesin membuat alat tahanan listrik dengan rataan tahanan 40 ohm dan simpangan baku 2 ohm. Misalkanlah bahwa tahanan berdistribusi normal dan dapat diukur sampai derajat ketelitian yang diinginkan. Berapa persentase alat yang mempunyai tahanan melebihi 43 ohm. Contoh 5.8 Htiunglah persentase tahanan yang melebihi 43 ohm pada contoh 5.7 bila tahanan diukur dengan membulatkan ke bilangan bulat terdekat. Contoh 5.9 Nilai rata-rata dalam suatu ujian adalah 74 dan simpangan bakunya 7. Bila 12% dari pengikut ujian mendapat nilai A. dan nilai ujian dibuat mengikuti distribusi normal, berapakah kemungkinan nilai A yang terkecil dan nilai B tertinggi?.
Pengampuh : Afrizal,S.Pd,M.PMat Sumber : Ilmu peluang dan statistika untuk insinyur dan ilmuwan, R E Walpole
3
