Um arqueiro aponta a sua flecha na direção do centro de um alvo que está
pendurado por ... arqueiro deixa partir a flecha alguém corta o fio que segura o
alvo.
MCT - Observatório Nacional Pós-graduação em Astronomia Prova de seleção de candidatos Nome:............................................................................ Rio de Janeiro, 6 de junho de 2007 ATENÇÃO: A prova contém 6 questões de matemática e 6 questões de física. Escolha apenas 5 questões de matemática e 5 questões de física. Marque claramente as questões escolhidas.
1 Questões de matemática 1. Desenvolver em série de Taylor até segunda ordem em torno de (x, y) = (1, 0) a função f (x, y) = cos2 (πx exp y) 2. Resolver o sistema de equações diferenciais
dx = 5x dt dy = y − 6z dt dz = −4x + 3z dt Não é necessário determinar as constantes de integração. 3. Considere o potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme q localizada na origem q Φ= |r| sendo r = (x, y, z). a) Veri que matematicamente que, para todo r 6= 0,
∇2 Φ = 0 b) É possível chegar ao mesmo resultado a partir de considerações puramente físicas? Justi que. 1
4. Determinar se a série
∞ X
k 2 exp(−k)
k=0
é convergente ou não. Justi que. 5. Dada a função vetorial f (r) = r, sendo r = (x, y, z), mostrar que I f (r) · dr = 0 γ
onde γ é uma curva fechada em R3 . 6. Desenvolver a seguinte função em série de Fourier até o terceiro harmônico ½ θ 0≤θ t0 a corrente deixa de circular pelos cabos, determinar a nova distância d que separa os cabos após esse instante de tempo. (Assuma que o deslocamento dos cabos não modi ca o campo magnético gerado). 3. Determine a quantidade de energia que a Terra recebe do Sol por unidade de tempo. Asuma os seguintes valores: raio do Sol 6.96 105 km, raio da Terra 6.378 103 km, distancia Terra-Sol 1.4959787 108 km, temperatura do Sol 5500 K, constante de Stephan-Boltzman 5.66961 10−5 erg cm2 s−1 K−4 . 4. Um foguete se desloca no espaço livre de forças externas. A casca do foguete possui massa m e foi carregado com uma quantidade de combustível de massa M . Levando em conta que o combustível é consumido a uma certa taxa dM/dt, e que o mesmo é ejetado com velocidade constante vc em relação ao foguete, determine a velocidade do foguete num sistema inercial de sua escolha. 5. Um sistema sofre um processo reversível de expansão isotérmica de um volume V0 para um volume V1 . Determine a variação da entropia do sistema.
2
6. Um feixe de luz se desloca no vácuo, cujo índice de refração é n0 = 1. Num determinado momento, o feixe incide sobre a superfície plana e in nita de um certo meio e começa a se propagar no mesmo. Se o índice de refração deste meio varia com a freqüência ν na forma
n = n0 − exp(−ν), e se o ângulo de incidência do feixe em relação à normal à superfície é θ, determinar a dispersão ¡ ¢ média, em Å/mm, no intervalo vissível do espectro 4000Å < λ < 9000Å , que o feixe terá adquirido a uma distância d da superfície.
Dados auxiliares Constante de Planck: h = 6.626 10−34 J s Velocidade da luz: c = 2.998 1015 km s−1 Operador nabla em coordenadas cartesianas:
∇=( Lei de Biot-Savart:
∂ ∂ ∂ , , ) ∂x ∂y ∂z
Z B=
1 I dl × r c r3
3
