Rangkuman Materi Matematika SMK

Panduan Materi Matematika SMK (Teknik Kesehatan)

MATEMATIKA TEKNIK KESEHATAN


KATA PENGANTAR Keputusan Menteri Pendidikan Nasional No. 153/U/2003, tanggal 14 Oktober 2003, tentang Ujian Akhir Nasional Tahun Pelajaran 2003/2004, antara lain menetapkan bahwa dalam pelaksanaan ujian akhir nasional ada mata pelajaran yang naskah soalnya disiapkan oleh pusat dan ada mata pelajaran yang naskah soalnya disiapkan oleh sekolah. Mata pelajaran yang naskah soalnya disiapkan oleh pusat untuk SMK adalah mata pelajaran Bahasa Indonesia, Bahasa Inggris, dan Matematika. Naskah soal tiga mata pelajaran ini disiapkan oleh Pusat Penilaian Pendidikan (Puspendik). Selain dari tiga mata pelajaran tersebut naskah soalnya disiapkan oleh sekolah/madrasah. Berkaitan dengan hal tersebut, Pusat Penilaian Pendidikan menyiapkan buku panduan materi untuk mata pelajaran-mata pelajaran yang naskah soalnya disiapkan oleh pusat. Buku ini memuat uraian tentang hal-hal sebagai berikut. 1. Gambaran umum. 2. Standar kompetensi lulusan. 3. Ruang lingkup, ringkasan materi, beserta latihan dan pembahasannya. Buku panduan materi ujian ini dimaksudkan untuk memberi arah kepada guru dan siswa tentang materi yang akan diujikan berkaitan dengan berbagai kompetensi lulusan dalam mata pelajaran-mata pelajaran tersebut. Dengan adanya buku panduan materi ujian ini, diharapkan para guru dapat menyelenggarakan proses pembelajaran yang lebih terarah, dan para siswa dapat belajar lebih terarah pula. Dengan demikian, diharapkan para siswa dapat mencapai hasil ujian yang sebaik mungkin. Semoga buku ini bermanfaat bagi berbagai pihak dalam rangka meningkatkan mutu proses dan hasil belajar siswa.

Jakarta, Desember 2003 Kepala Pusat Penilaian Pendidikan,

Bahrul Hayat, Ph.D. NIP 131602652

DEPDIKNAS

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

i


DAFTAR ISI

Kata Pengantar ........................................................................................................... Daftar Isi ....................................................................................................................

Halaman i ii

Gambaran Umum....................................................................................................... Standar Kompetensi Lulusan .....................................................................................

1 2

Ruang Lingkup dan Ringkasan Materi ......................................................................

3

• • • • • •

Kompetensi 1 ................................................................................................. Kompetensi 2 ................................................................................................. Kompetensi 3 ................................................................................................. Kompetensi 4 ................................................................................................. Kompetensi 5 ................................................................................................. Kompetensi 6 .................................................................................................

DEPDIKNAS


3 24 29 34 42 52

ii


GAMBARAN UMUM •

Pada ujian nasional tahun pelajaran 2003/2004, bentuk tes Matematika tingkat SMK berupa tes tertulis dengan bentuk soal pilihan ganda, sebanyak 40 soal dengan alokasi waktu 120 menit.

•

Acuan yang digunakan dalam menyusun tes ujian nasional adalah kurikulum 1994 beserta suplemennya, dan standar kompetensi lulusan.

•

Materi yang diujikan untuk mengukur kompetensi tersebut meliputi: bilangan berpangkat, basis bilangan, bentuk aljabar, barisan dan deret, persamaan dan pertidaksamaan, fungsi komposisi, sistem persamaan linear dan program linear, persamaan kuadrat, matriks, logaritma, logika matematika, penarikan kesimpulan, lingkaran, luas dan keliling bangun datar, jaring-jaring, volum dan luas permukaan bangun ruang, pengukuran, skala, perbandingan dan fungsi trigonometri, ukuran pemusatan, ukuran penyebaran, peluang, permutasi dan kombinasi, limit, differensial, integral, dan luas antara dua kurva.

DEPDIKNAS


1


Standar Kompetensi Lulusan 1. Siswa mampu memahami konsep dan operasi hitung pada bilangan dan bentuk aljabar, barisan dan deret, persamaan, pertidaksamaan, fungsi, sistem persamaan linear dan program linear, matriks, dan logaritma, serta mampu menerapkannya sesuai dengan bidang keahlian. 2. Siswa mampu memahami konsep logika matematika untuk pemecahan masalah. 3. Siswa mampu memahami konsep bangun datar, bangun ruang, pengukuran, dan skala, serta mampu menerapkannya sesuai dengan bidang keahlian. 4. Siswa mampu memahami konsep perbandingan dan fungsi trigonometri dan mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah. 5. Siswa mampu mengolah, menyajikan, menafsirkan data, dan mampu memahami konsep kejadian dan peluang, serta mampu menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. 6. Siswa mampu memahami konsep limit, diferensial, dan integral, serta mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.

DEPDIKNAS


2


RINGKASAN MATERI DAN CONTOH SOAL KOMPETENSI 1 Siswa mampu memahami konsep dan operasi hitung pada bilangan dan bentuk aljabar, barisan dan deret, persamaan, pertidaksamaan, fungsi, sistem persamaan linear dan program linear, matriks, dan logaritma, serta mampu menerapkannya sesuai dengan bidang keahlian.

Ringkasan Materi A.

Bilangan irasional. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk

a dengan a b

dan b = 0. Contoh 2 , 3, 5 , 6 , 7 dan sebagainya, Atau bilangan desimal berulang yang tidak beraturan, contoh 2,315645913 … Jika suatu desimal mempunyai angka berulang dan beraturan bukan termasuk bilangan irasional Contoh a. 0,111111 … b. 0,3333 … c. 0,12121212 … d. 0,6666 … dsb. a Karena bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk . b Contoh: Ubahlah bentuk desimal 0,121212 … menjadi pecahan biasa! Jawab: Misal P = 0,121212 … 100 P = 12,12121212 … 100P – P = 12,121212 … – 0,121212 … 99 P = 12 12 P = 99 4 P = 33 4 Jadi bentuk desimal dari 0,121212 … = 33

DEPDIKNAS


3


Operasi pada Bilangan Irasional 1. Penjumlahan dan pengurangan. Bilangan irasional dapat di jumlah maupun dikurangi jika bagian tersebut sejenis. Contoh: a. 2 5 + 4 5 = (2 + 4) =6 5

5

b. 7 3 + 5 3 − 4 5 = (7 + 5) 3 − 4 5 = 12 3 − 4 5 = 4 (3 3 − 5 ) c. 3 72 + 4 50 − 2 200 = 3. 36 × 2 + 4 25 × 2 − 2 100 × 2 = 3 × 6 2 + 4 × 5 2 − 2 ×10 2 = 16 2 + 20 2 − 20 2 = (18 + 20 – 20) 2 = 18 2 2. Merasionalkan penyebut Jika suatu pecahan penyebutnya bilangan irasional maka untuk merasionalkan penyebutnya dengan jalan di kalikan dengan akar sesamanya. Contoh. Rasionalkan penyebutnya! 4 2 a. b. 7 7− 5 Jawab: 2 a. × 7 b. c.

DEPDIKNAS

7 2 7 = 7 7

4 × 7− 5

c.

(

6 2+ 3

) (

7+ 5 4 7 + 5 = =2 7 + 5 7−5 7+ 5

(

) (

6 2− 3 62 − 3 × = = 62− 3 4−3 2+ 3 2− 3

)

)


4


B.

Bilangan berpangkat (Pangkat Rasional) Sifat-sifat 1. ab × ac = ab+c 2. ab : ac = ab – c 3. (ab)c = ab × c a = a

4.

1 2 b

5. c a b = a c 6. a0 = 1 −1

b a 7.   = a b c c 8. a × b = (a × b)c 1 9. a-b = ab Contoh : 2

Carilah nilai dari a.

(32) 5 3

1

× (81) 4 216 −2

2 b. 125 ×   × 9 −1 3 c. 64 × 512-1 ×8 3

Jawab:

(2 ) a.

2 5 5

( )

× 34

(6 )

1 3 3

1 4

=

22 × 3 = 2 6

1 2 1 3 3  3 b. 5 ×  ×

( )

9 2 9 1 =5× × 4 9 5 = 4 6 c. 2 × 2-9 × 23 = 26+(-9)+3 = 20 = 1 Exponen dalam bentuk ax, a bilangan Real dan x merupakan variabel dari persamaan. Contoh: Carilah nilai x pada persamaan eksponen berikut ini! 2 1 1 1 a. 23x = b. 3x+6 = c. 5 x − 4 x = 64 125 27 x − 2

DEPDIKNAS


5


Jawab: a. 23x = 2−6 3x = −6 −6 x = 3 x = −2 b.

(

3x+6 = 27 x − 2 3x+6 = 3(3x − 6 )

−

x+6

3

=3

)

1 2

1 2

−3 x + 6 2

− 3x + 6 2 2x + 12 = −3x + 6 5x = −6 −6 = −1,2 x= 5 x+6=

c.

C.

2

5 x − 4 x = 5 −3 x2 − 4x = −3 x2 −4x + 3 = 0 (x − 3)(x − 1) = 0 x2 = 1 x1 = 3

Logaritma Bentuk umum alog b = c artinya ac = b dengan bilangan pokok a dan b > 0 Sifat-sifat 1. alog b + alog c = alog b × c. b 2. alog b − alog c = alog c 3. alog a = 1 4. alog ac = c 5. alog b × blog c × c log d = alog d 6. a

a

log b

= b. dan sebagainya

Contoh: Carilah nilai logaritma berikut ini! a). 2log 12 + 2log 20 − 2log 15 1 3 log 27 − 3 log 9 b). 1 6 log 6

DEPDIKNAS


6


c). 2log x + 2log (x + 2) = 3 d). 2log 27 × 3log 125 × 5log

1 8

Jawab:

12 × 20 2 240 2 = log = log 16 15 15 = 2log 24 = 4 2log 2 =4×1 =4 27 3 log 1 3 3 log 243 log 35 5 9 b). 6 = = = = −5 6 6 −1 −1 log 6 − 1 log 6 − 1 log 6 a). 2 log

c). 2log x (x + 2) = 2log 8 2 log (x2 + 2x) = 2log 8 x2 + 2x = 8 x2 + 2x – 8 = 0 (x + 4)(x – 2) = 0 x1 = −4 x2 = 2 Untuk x = −4 tidak memenuhi jadi Hpnya x = 2 d). 2log 33 × 3log 53 ×5 log 2-3 = 3 × 3 × −3. 2log 3 × 3 log 5 × 5log 2 = −27 × 2log 2 = −27 × 1 = −27 D.

Skala dan Persen Skala 1 : 1.000.000 artinya setiap satu 1 cm pada peta mewakili 1.000.000 cm pada sesungguhnya. Contoh: 1). Jika pada peta jarak Jakarta – Bukit Tinggi 15 cm jika skala tertulis 1 : 20.000.000, berapa jarak sebenarnya antara Jakarta – Bukit Tinggi? 2). Jarak antara kota Wonogiri – Gorontalo 5.000 km. Jika skala 12.500.000. Berapa jarak ke dua kota tersebut pada peta? Jawab: 1). Pada skala tertulis 1 : 20.000.000 artinya setiap 1 cm pada peta mewakili 20.000.000 cm atau 200 km pada sesungguhnya. Jadi jarak sesungguhnya adalah 200 km × 15 = 3.000 km 500.000.000 2). Jarak sesungguhnya = 5.000 km = 500.000.000 cm. Jarak pada peta = 40 cm. 12.500.000

DEPDIKNAS


7


Persen artinya per seratus Contoh 1). Ubahlah pecahan berikut kedalam persen 1 1 1 b. c. d. 0,4 e. 0,125 a. 4 8 20 2). Di dalam kelas terdapat 35 murid wanita dan 7 murid laki-laki a. berapa persen murid laki-laki di banding jumlah murid dalam kelas? b. Berapa persen murid laki-laki di banding murid wanita? Jawab: 1 1. a. × 100% = 25% 4 1 b. × 100% = 12,5% 8 1 c. × 100% = 5% 20 d. 0,4× 100% = 40% e. 0,125× 100% = 12,5% 2. a. Murid laki-laki = 7 jumlah murid 42 7 × 100 % persentase = 42 1 = × 100 % = 16,6% 6 b. Murid laki-laki = 7 Murid wanita = 35 7 Persentase = × 100 % = 20% 35 E.

Aproksimasi Perhitungan secara matematika yang di lakukan dengan pendekatan dalam pengukuran. 1. Pengukuran terkecil pengukuran terkecil adalah nilai terkecil dari banyaknya pendekatan desimal yang ada Contoh: a. Panjang benda 15 m pengukuran terkecilnya 1 m b. panjang benda 8,6 cm pengukuran terkecilnya 0,1 cm c. Berat benda 2,35 gram pengukuran terkecilnya 0,01 gram 2. Salah mutlak 1 Salah mutlak adalah dari pengukuran terkecil 2

DEPDIKNAS


8


Contoh Diketahui berat benda 8,15 gram Carilah salah mutlak pengukuran tersebut Jawab: Pengukuran 8,15 Pengukuran terkecil 0,01 1 Salah mutlak = × 0,01 = 0,005 gr. 2 3. Salah Relatif Salah relatif adalah salah mutlak di bagi dengan hasil pengukuran Contoh : Tentukan salah relatif dari sebuah benda yang bermassa 2,5 kg. Jawab: Pengukuran terkecil 0,1 kg 1 Salah mutlak × 0,1 = 0,05 2 0,05 = 0,02 Salah relatif = 2,5 4. Persentasi kesalahan Persentasi kesalahan adalah salah relatif × 100% Contoh : Diketahui hasil pengukuran panjang suatu benda 10,0 cm Carilah prosentase kesalahannya! Jawab: Hasil pengukuran 10,0 cm Pengukuran terkecil = 0,1 Salah mutlak = 0,05 0,05 Salah relatif = = 0,005 10,0 Persentasi kesalahan 0,005 × 100% = 0,5%

LATIHAN DAN PEMBAHASAN Diketahui hasil pengukuran panjang suatu benda 12,5 cm. Carilah a. Pengukuran terkecil b. Salah mutlak c. Salah relatif d. Persentase kesalahannya!

DEPDIKNAS


9


Pembahasan: a. Hasil pengukuran 12,5 cm pengukuran terkecil = 0,1 cm 1 b. Salah mutlak = × 0,1 = 0,05 2 salah mutlak 0,05 c. Salah relatif = = hasil pengukuran 12,5 = 0,004 persentase kesalahan = salah relatif × 100% = 0,004 × 100% = 0,4% 5. A. Luas maksimum, luas minimum dan Toleransi Luas maksimum = panjang maksimum × lebar maksimum Luas minimum = panjang minimum × lebar minimum Toleransi = panjang maksimum – panjang minimum Contoh: Diketahui sebuah bidang dengan ukuran panjang 15,2 m dan lebar 12,5 m Carilah luas maksimum dan minimumnya Ukuran panjang 15,2 m Panjang maksimum = panjang pengukuran + salah mutlak Panjang minimum = panjang pengukuran – salah mutlak Lebar maksimum = lebar pengukuran + salah mutlak Lebar minimum = lebar pengukuran – salah mutlak Panjang mak = 15,2 + 0,05 = 15,25 , Panjang min = 15,2 – 0,05 = 15,15 m Lebar mak = 12,5 + 0,05 = 12,55 m Lebar min = 12,5 – 0,05 = 12,45 m Luas mak = panjang × lebar mak = 15,25 × 12,55 m = 191,3875 m2 Luas min = panjang minimum × lebar minimum = 15,15 m × 12,45 m = 188,6175 m2

DEPDIKNAS


10


5. B. Selisih maksimum dan minimum pada dua buah pengukuran. Selisih maksimum adalah selisih antara panjang maksimum pada pengukuran pertama di kurang panjang minimum pengukuran ke dua. Selisih minimum adalah panjang minimum pada pengukuran pertama di kurang panjang maksimum pengukuran ke dua. Contoh dari dua buah pengukuran panjang suatu benda di ketahui sebagai berikut: Panjang benda I 45,4 cm Panjang benda II 40,8 cm Carilah selisih maksimum dan minimumnya Jawab : Pengukuran I

Pengukuran II

Panjang = 45,4 cm Panjang mak = 45,45 Panjang min = 45,35 Panjang = 40,8 cm Panjang mak = 40,85 Panjang min = 40,75

Selisih mak = 45,45 cm – 40,75 cm = 4,70 cm Selisih min = 45,35 cm – 40,85 cm = 4,50 cm Toleransi adalah selisih pengukuran maksimum – pengukuran minimum Contoh dari hasil pengukuran berat benda 2,7 gram Berat maksimum = 2,75 gr Berat minimum = 2,65 gr Toleransi = 2,75 gr – 2,65 gr = 0,1 gr atau dapat di tulis (2,7 ± 0,5). F.

Persamaan dan Pertidaksamaan F.1. Persamaan linier dengan I variabel Contoh : Carilah nilai x pada persamaan ini! 1). 5x + 6 = 2x – 9. 2x 2). =−4 3

DEPDIKNAS


11


Jawab: 1). 5x + 6 = 2x – 9 5x – 2x = −9 – 6 3x = −15 − 15 x= 3 x = −5 2).

2x = −4 3 2x = −12 − 12 x= = −6 2

F.2. Persamaan linier dengan 2 variabel Contoh : Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan : 1). 2x – y = 11 x + 2y = 3 2). Harga 4 buku dan 3 pensil adalah Rp10.100,00 Harga 3 buku dan 5 pensil adalah Rp 9.500,00 Burhan membeli 6 buku dan 2 pensil dengan membayar Rp20.000,00. Berapakah kembaliannya? Jawab: 1). 2x – y = 11 x + 2y = 3

1 2

2x – y = 11 2x + 4y = 6 −5y = 5 y = −1

2x – (−1) = 11 2x + 1 = 11 2x = 10 10 x = = 5 Hp = {5, −1} 2 2). Misal buku = x pensil = y 4x + 3y = 10.100 3x + 5y = 9.500

DEPDIKNAS

3 4

12x + 9y = 30.300 12x + 20y = 38.000 −11y = −7.700 − 7.700 y= 11 y = 700.


12


4x + 3(700) = 10.100 4x + 2.100 =10.100 4x = 10.100 – 2.100 4x = 8.000 8.000 x= = 2.000 4 Harga 1 buku Rp2.000,00 dan harga 1 pensil 700 Harga 6 buku + 2 pensil = 6(2.000) +2(700) = 12.000 + 1.400 = 13.400. Jika Burhan membayar dengan uang Rp20.000,00 maka kembaliannya Rp20.000,00 – Rp13.400,00 = Rp6.600,00 F.3.1. Persamaan Kuadrat Bentuk umum ax2 + 6x + c = 0 dengan syarat a ≠ 0. Untuk menentukan Akar – akar persamaan kuadrat salah satunya dengan cara memfaktorkan. Contoh : Carilah akar-akar persamaan kuadrat! 1). 3x2 + 5x – 2 = 0 2). x2 − 7x – 18 = 0 Jawab : 1). 3x2 + 5x – 2 = 0 (3x – 1)(x + 2) = 0 3x – 1 = 0 x+2=0 3x = 1 x2 = − 2 1 x1 = 3 2). x2 − 7x – 18 = 0 (x – 9)(x + 2) = 0 x–9=0 x+2=0 x1 = 9 x2 = −2 F.3.2. Menyusun persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 Jika x1 dan x2 di ketahui ax2 − (x1 + x2) x + x1. x2 = 0 Contoh: Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya: 1 a. 2 dan − 3 1 b. − dan −5 3 c. 4 dan −1

DEPDIKNAS


13


Jawab: a. x2 − (2 + ( −

1 1 )x + 2 × − = 0 3 3

5 2 x− =0 3 3 3x2 − 5x – 2 = 0

x2 −

1 1 + (−5)x + × – 5 = 0 3 3 14 5 x2 − (− )x − = 0 3 3 14 5 x2 + x− =0 3 3 2 3x + 14x – 5 = 0

b. x2 – (

c. x2 – (4 + − 1)x + 4 × – 1 = 0 x2 – 3x – 4 = 0 F.3.3. Simetris Akar-akar Persamaan Kuadrat Jika persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Akar-akarnya x1 dan x2 maka nilai b c x1 + x2 = − dan x1 . x2 = . a a Contoh soal: Diketahui persamaan kuadrat 2x2 + 5x – 3 = 0 Akar-akarnya x1 dan x2 carilah: a. x1 + x2 b. x1 . x2 c. x 12 + x 22 1 1 + d. x1 x2 Jawab: −b 5 a. x1 + x2 = = − a 2 c −3 b. x1 . x2 = = a 2 2 2 c. x 1 + x 2 = (x1 + x2)2 – 2x . x2 2

 − 5  − 3 =  − 2   2   2  25 = +3 4 1 =9 4

DEPDIKNAS


14


x + x2 1 1 + = 1 = x1 x2 x1 . x 2

d.

−5 2 −3 2

=

5 3

G. Pertidaksamaan G.1. Pertidaksamaan linier Pertidaksamaan linear adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya berderajat satu. Contoh i : 2x + 5 > 2 ii : 6x – 3 < 2x + 4 Contoh soal: Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ini. a). 6x – 2 < 2x + 10 2(6x + 5) < 5x + 10 b). 3 c). −6 < 2x +4 < 12 Jawab a). 6x – 2 < 2x + 10 6x – 2x < 10 + 2 4x < 12 12 x< 3 x −3 2 x > −6 3 2 Hp = {x|x > −6 , x ∈ R} 3 c). −6 < 2x + 4 < 12 −6 – 4 < 2x + 4 – 4 < 12 – 4 −10 < 2x < 8 −5 < x < 4 Himpunan = {x| −5 < x < 4, x ∈ R}

DEPDIKNAS


15


G.2. Pertidaksamaan Kuadrat Bentuk umum i ax2 + bx + c > 0 ii ax2 + bx + c ≥ 0 iii ax2 + bx + c < 0 iv ax2 + bx + c ≤ 0

}

A≠0

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah selang (interval) pada sumbu x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Contoh soal: Carilah Hp dari pertidaksamaan berikut ini. 1. 3x2 + 5x – 2 ≤ 0 2. 2x2 – 5x – 3 > 0 3. −x2 – 2x + 3 ≥ 0 Jawab: 3x2 + 5x – 2 ≤ 0 3x2 + 5x – 2 = 0 (3x – 1)(x + 2) = 0 3x – 1 = 0 3x = 1 x+2=0 1 x1 = x2 = −2 3 1 3 Kita ambil salah satu titik pada interval garis tersebut misal 0 kita substitusikan pertidaksamaan awal (soal). 3x2 + 5x – 2 ≤ 0 3(0)2 + 5(0) – 2 ≤ 0 −2 ≤ 0 memenuhi. 1 Jadi nilai x yang memenuhi antara −2 dan . 3 1 Hp = {x| −2 ≤ x ≤ , x ∈R) 3 −2

2). 2x2 – 5x – 3 > 0 2x2 – 5x – 3 = 0 (2x + 1)(x – 3) = 0 2x + 1 = 0 x–3=0 2x = −1 x2 = 3 1 x1 = − 2

Hp + + −

DEPDIKNAS

1 2

−−−−−

+++ 3


16


Untuk x = 0 tidak memenuhi jadi yang memenuhi x < − Hp = {x| x < − 3).

1 dan x > 3. 2

1 atau x > 3, x ∈ R}. 2

−x2 – 2x + 3 ≥ 0 −x2 – 2x + 3 = 0 (−x + 1)(x + 3) = 0 −x + 1 = 0 x+3=0 −x = −1 x2 = −3 x1 = 1

−−−

+ + + + Hp

−−−

−3 1 Untuk x = 0 kita substitusikan soal ternyata memenuhi jadi Hpnya (x | −3 ≤ x ≤ 1, x ∈ R}

H. Matriks Matriks adalah sekumpulan bilangan yang tersusun dalam bentuk baris dan kolom. Operasi matrik 1). Penjumlahan dan pengurangan 2 matriks atau lebih dapat di jumlah maupun di kurangi jika matrik tersebut mempunyai ukuran yang sama. Contoh: 4 3 5 − 2  7 10 Diket matriks A =  B=  dan C =    6 2 1 4 − 5 9 Carilah a). A + B b). A + B – C c). 2A + 3B + 4C Jawab: 2  12 a). A + B =  8 − 1  2 − 1 b). A + B – C =  7  − 10 10 − 4  c). 2A =  3B = 12 8  71 2A + 3B + 4C =  29

DEPDIKNAS

 21 − 15  20 22

12 6 

40 4C =  36


12 4 

17


2). Perkalian Matriks 2 buah matrik dapat di kalikan jika jumlah kolom matriks 1 = jumlah baris matriks 2. b f a e Misal matriks A  B = g d  h  c  Contoh: 5 − 2  − 3 4  Jika A =  dan B =   6 1 4  6 − 15 + −12 ⋅ 20 + (-2) Maka A × B =  16 + 6   − 12 + 36 18 − 27 =  . 22   24 b a 3). Invers matriks jika A =  maka invers dari matriks A di lambangkan A-1  d c  d − b 1 A-1 = a  ad − bc − c Contoh: 7 12 -1 Diket matriks A =   Carilah A 5 3   Jawab:  3 − 7 1 =  3 − 7 A-1 =    − 5 12 12  36 − 35 − 5 4). Kesamaan matriks 2 matrik dikatakan sama jika ukurannya sama dan unsur-unsur yang bersesuaian sama. −6  2a − 6 10 Contoh diket matrik A =  B=   3 a + b  5 5 Jika A = B, carilah a dan b! Jawab: 2a = 10 a+b=3 a=5 5 + b = 3 , b = −2 I.

Baris Aritmatik Baris aritmatik adalah barisan yang suku-suku berurutannya mempunyai beda yang tetap Rumus Un = a + (N – 1) b

DEPDIKNAS


18


LATIHAN DAN PEMBAHASAN Diketahui barisan aritmatik suku ke 6 nya = 28 dan suku ke 11 nya 53 . Carilah a. Suku pertama dan bedanya b. Rumus suku ke n (Un) c. Suku ke 80 d. Suku ke berapakah yang besarnya 498 Pembahasan: a) U6 = a + 5b U11 = a + 10b a + 5b a + 10b − 5b b

= 28 = 53 = − 25 − 25 = −5 b =5 a + 5b = 28 a + 5 x 5 = 28 a + 25 = 28 a=3 Jadi suku pertamanya = 3 dan bedanya = 5 b) Rumus suku ke n Un = a + (n − 1) b Un = 3 + (n − 1) 5 Un = 3 + 5n – 5 Un = 5n – 2 c) Besar suku ke 80 U80 = 5 (80) – 2 = 400 – 2 = 398 d) Un = 5n – 2 498 = 5n – 2 5n = 498 + 2 5n = 500 500 n = = 100 5 Jadi 498 adalah suku yang ke 100

DEPDIKNAS


19


J.

Barisan Geometri Suatu barisan yang suku-suku berurutan mempunyai rasio yang tetap Rumus Un = arn – 1 Diketahui barisan geometri suku ke 3 nya = 12 dan suku ke 6 nya = 96. Carilah a. Suku pertama dan rasionya b. Rumus suku ke n c. Besar suku ke 11 nya Jawab a) Diket U6 = 96 U3 = 12 ar 5 U6 96 = = 2 U3 12 ar 3 r =8 r =2 ar2 = 12 a(2)2 = 12 4a = 12 a= 3 Suku pertama 3 rasio 2 b) Un = arn – 1 = 3 (2)n – 1 3 Un = (2)n 2 3 11 (2) 2 = 3072

c) U11 =

K. Deret Aritmatik Deret aritmatik adalah jumlah dari barisan aritmatik 1 Rumus Sn = n (2a + (n – 1 ))b, atau 2 1 Sn = n (a + Un) 2

DEPDIKNAS


20


LATIHAN DAN PEMBAHASAN Diketahui deret aritmatik suku pertama = 4 dan bedanya 7 contoh jumlah dari 100 suku pertama Pembahasan: A = 4, b = 7, n = 100 1 Sn = n (2a + (n – 1) b) 2 1 S100 = (100) (2 x 4 + (100 – 1) 7) 2 = 50 (8 + (99) 7) = 50 (8 + 693) = 50 (701) S100 = 35050 Soal yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari Contoh Sebuah permasalahan farmasi memproduksi obat. Bulan pertama memproduksi obat sebanyak 2000 kardus dan setiap bulan berikutnya bertambah 200 kardus. Berapa jumlah produksi obat farmasi tersebut selama 1 tahun. Jawab A = 2000, b = 200, n = 12 n Sn = (2a + (n – 1) b) 2 12 (2 (2000) + (12 – 1) 200) S12 = 2 S12 = 6 (4000 + 2200) S12 = 6 (6200) S12 = 37200 kardus Jadi produksi obat farmasi tersebut selama 1 tahun = 37200 kardus. L.

Deret Geometri Deret geometri adalah jumlah dari barisan geometri

DEPDIKNAS

Rumus

a ( r n − 1) Sn = untuk | r | > 0 r −1

Rumus

Sn =

a (1 − r n ) untuk | r | < 0 1− r

Rumus

Sn =

a untuk | r | < 0 dan n → ∼ 1− r


21


LATIHAN DAN PEMBAHASAN Diketahui deret geometri suku pertama = 5 dan rasio = 3. Carilah jumlah dari 6 suku pertama Diket a = 5 r = 3 n = 6 Sn =

a ( r n − 1) r −1

5(36 − 1) S6 = 3−1 5 (728) S6 = 2 S6 = 1820 Contoh dalam kehidupan sehari-hari Di Indonesia pada tahun 1990 terdapat penderita HIV sebanyak 20 orang. Jika setiap tahun yang menderita penyakit HIV bertambah dengan kelipatan 2 kali. Berapa banyak penderita HIV pada tahun 2002. Pembahasan: a = 20 r = 2 n = 12 Sn =

a ( r n − 1) r −1

20( 212 − 1) 2 −1 20( 4096 − 1) = 1 = 20 (4095) = 81900 =

Pada tahun 2002 penderita HIV ada 81900

LATIHAN DAN PEMBAHASAN deret konvergen tak hingga Sebuah Bola tennis di jatuhkan dalam ketinggian 30 m setiap kali mantul tingginya

2 dari 3

tinggi semula. Carilah panjang lintasan bola tersebut sampai tidak memantul lagi.

DEPDIKNAS


22


Pembahasan: H = 30 m 2 2 2 a = h = x 30 = 20 m, r = 3 3 3 Panjang lintasan = h + 2 Sn = 30 + 2

20 (1 −

2 ) 3

= 30 + 2 (60) = 30 + 120 = 150 m.

DEPDIKNAS


23


KOMPETENSI 2 Siswa mampu memahami konsep logika matematika untuk pemecahan masalah. A. Pengertian Logika matematika adalah pola berpikir berdasarkan penalaran dan dapat di uji kebenarannya secara matematika A1. Kalimat terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat di tentukan nilai kebenarannya. Atau dengan kata lain kalimat yang masih bervariabel. Contoh a. 2x + 5 = 7 b. x2 + 1 = 10 c. Jarak kota A dan kota B 200 km d. Usia A lebih muda dari B, dll. A2. Pernyataan: Jika variabel pada kalimat terbuka di ganti maka akan menjadi pernyataan. Dan pernyataan tersebut dapat bernilai salah atau benar. Contoh pernyataan a. 2 x 5 = 10 b. 20 : 2 = 6 c. Toni lebih muda dari Susi Pernyataan a bernilai benar Pernyataan b bernilai salah Pernyataan c bisa benar atau salah B. Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk konjungsi ( Λ ) di baca “dan”. Jika P suatu pernyataan dan q juga merupakan suatu pernyataan maka nilai kebenaran dari pernyataan majemuk p dan q dapat dilihat dari tabel kebenaran p q pΛq Kesimpulan : Operasi konjungsi B B B bernilai benar jika kedua-duanya benar B S S lainnya salah. S B S S S S Contoh p adalah pernyataan 2 + 3 = 5 q adalah pernyataan Wonogiri ada di propinsi Jawa Tengah p dan q keduanya pernyataan yang benar Jika dilihat tabel kebenaran maka baris pertama berbunyi 2 + 3 = 5 dan Wonogiri ada di propinsi Jawa Tengah Pernyataan majemuk tersebut bernilai benar.

DEPDIKNAS


24


Baris ke 2 2 + 3 = 5 danWonogiri tidak ada di propinsi Jawa Tengah. Pernyataan majemuk tersebut bernilai salah. Baris ke 3 2 + 3 ≠ 5 dan Wonogiri berada di propinsi Jawa Tengah. Pernyataan majemuk tersebut bernilai salah Baris ke 4 2 + 3 ≠ 5 dan Wonogiri tidak berada di propinsi Jawa Tengah. Pernyataan majemuk tersebut bernilai salah. C. Disjungsi (∪) di baca “atau”. Jika p merupakan suatu pernyataan dan q juga merupakan suatu pernyataan maka tabel kebenaran dari pernyataan majemuk p dan q dapat di lihat dari tabel kebenaran. p q p∪q Kesimpulan : dari tabel kebenaran adalah jika p salah dan q salah maka p atau q bernilai B B B salah lainnya benar B S B S B B S S S D. Implikasi (→) di baca “jika maka”. Jika p suatu pernyataan maka pernyataan majemuk p → q di baca jika p maka q. Tabel kebenaran dari implikasi p q p→q Kesimpulan : Implikasi bernilai salah jika p B B B benar dan q salah lainnya benar. B S S S B B S S B Contoh

p = Hari hujan q = halaman rumah basah

Baris pertama Baris ke dua Baris ke tiga Baris keempat

DEPDIKNAS

: Jika hari hujan maka halaman rumah basah, bernilai benar : Jika hari hujan maka halaman rumah tidak basah. implikasi bernilai salah. : Jika hari tidak hujan maka halaman rumah basah. Implikasi ada kemungkinan benar jadi di anggap benar. : Jika hari tidak hujan maka halaman tidak basah. Implikasi bernilai benar.


25


E. Biimplikasi (implikasi dua arah) dilambangkan (p ⇔ q) di baca “p jika dan hanya jika q”. Tabel kebenaran Biimplikasi p q p ⇔q B B B B S S S B S S S B

Kesimpulan : Biimplikasi bernilai benar jika kedua-duanya benar atau kedua-duanya salah.

F. Negasi (Ingkaran) Jika p suatu pernyataan maka negasi p di lambangkan ∼p dibaca bukan p Tabel negasi p ∼P B S S B Invers, Konvers, dan Kontra Posisi dari implikasi Jika p → q merupakan implikasi Maka: ∼p → ∼q disebut Invers q → p disebut Konvers ∼q → ∼p disebut Kontraposisi Contoh: Carilah kontraposisi dari implikasi berikut ini; Jika hari hujan maka pejalan kaki memakai payung. Dengan melihat rumus yang ada maka kontraposisinya adalah Jika pejalan kaki tidak memakai payung maka hari tidak hujan. Contoh: Carilah nilai kebenaran dari pernyataan ((p ∪ q) → (p ∩ q)) Jawab p q (p ∪ q) (p ∩ q) ((p ∪ q) → (p ∩ q)) B B B B B B S B S S S B B S S S S S S B Jadi nilai kebenaran dari ((p ∪ q) → (p ∩ q)) adalah BSSB

DEPDIKNAS


26


LATIHAN DAN PEMBAHASAN Contoh negasi dari pernyataan Jika rina rajin belajar maka ia menjadi juara kelas. Pembahasan: Negasi dari p → q adalah p ∩ ∼q. Jadi negasi dari pernyataan tersebut adalah Rina rajin belajar dan ia tidak menjadi juara kelas. Penarikan kesimpulan 1. Modus Ponen 2. Modus Tallen 3. Silogisma Modus Ponen Rumus p1 = p → q Benar p2 = p Benar K ∴= q Benar p1 = Premis satu (pernyataan 1) p2 = premis dua (pernyataan 2) K = konklusi = kesimpulan Contoh modus ponen p1 = Jika hari Senin maka diadakan upacara bendera p2 = Hari Senin K = Diadakan upacara bendera Modus Tollen Rumus P1 = p → q benar P2 = ∼q ∴K = ∼p Contoh

p1 = Jika cerita seorang perawat maka ia berseragam putih-putih P2 = Anita berseragam biru putih K = Anita bukan seorang perawat

Silogisma Rumus p1 = p → q p2 = q → r K∴p→r

DEPDIKNAS


27


Contoh p1 = Jika Rudi sakit maka ia pergi ke Dokter p2 = Jika Rudi pergi ke Dokter maka ia mengeluarkan uang K = Jika Rudi sakit maka ia mengeluarkan uang

LATIHAN DAN PEMBAHASAN Contoh konklusi dari beberapa premis berikut ini p1 = Jika pembangunan berhasil maka rakyat sejahtera p2 = Jika rakyat sejahtera maka negara kuat Pembahasan: Berdasarkan silogisma adalah Jika pembangunan berhasil maka negara kuat

DEPDIKNAS


28


KOMPETENSI 3 Siswa mampu memahami konsep bangun datar, bangun ruang, pengukuran, dan skala, serta mampu menerapkannya sesuai dengan bidang keahlian. A. Bangun Datar A.1. Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu, titik tertentu itu disebut pusat lingkaran dan jarak yang di maksud adalah jari-jari lingkaran. Unsur-unsur lingkaran. a. Busur lingkaran b. Tali busur c. Juring d. Tembereng e. Sudut pusat dan sudut keliling lingkaran dan sebagainya A.2. Luas dan keliling lingkaran 1 Luas lingkaran = πr2 atau πD2, keliling lingkaran 2πr atau πD. 4 D = Diameter atau garis tengah lingkaran.

LATIHAN DAN PEMBAHASAN 1). Diketahui lingkaran dengan sudut AOB = 120o jika keliling lingkaran = 88 cm. Carilah luas juring AOB (daerah yang diarsir). 2). Diketahui lingkaran dengan, Jika sudut AOB = 50o dan BCD 80o maka besar sudut ACD adalah …

O A

B

A

B O

D

C

Pembahasan: 1). 2πr = 88 cm 44 r = 88 cm 7 7 44 r = 14 cm r = 88 ×

DEPDIKNAS


29


120 22 × × 14 cm × 14 cm 360 7 1 = × 616 cm 2 3 = 205,3 cm3

Luas Juring AOB =

1 AOB. 2 Sudut ACD = 80o – 25o = 55o

2). Sudut ACB = 25o karena

A.3. Trapesium Luas dan keliling trapesium jumlah sisi sejajar × tinggi Luas trapesium = 2 Keliling trapesium = jumlah panjang semua sisinya

LATIHAN DAN PEMBAHASAN Diketahui gambar trapesium sebagai berikut 10 cm

C

17

cm

D

A

8 cm

E F Carilah luas trapesium tersebut

20 cm

B

Pembahasan: jumlah sisi sejajar Luas = ×t 2  38 + 10  =  cm × 15cm 2   = 360 cm2 B. Bangun Ruang B.1. Balok Luas dan volume balok Luas = 2 (p × l + p × t + l × t) Volume balok = p × l × t

DEPDIKNAS


30


LATIHAN DAN PEMBAHASAN Diketahui balok tanpa tutup dengan ukuran p = 20 cm l = 12 cm dan tinggi 8 cm, carilah luas dan volumenya! Pembahasan: Luas = p × l + 2 × p × t + 2 × l × t = 20 cm × 12 cm + 2 × 20 cm × 8 cm + 2 × 12 cm × 8 cm = 240 cm2 + 320 cm2 + 192 cm2 = 752 cm2 Volume = 20 cm × 12 cm × 8 cm = 1.920 cm3 B.2. Prisma Nama prisma di ambil dari nama alasnya misal prisma segitiga, prisma segilima dsb. Luas dan volume prisma. Luas = jumlah luas seluruh sisinya. Volume = luas alas × tinggi

LATIHAN DAN PEMBAHASAN Diketahui prisma dengan alas berupa segitiga sama sisi yang panjang sisi 8 cm. Dan tinggi prisma sama dengan keliling alas. Carilah luas permukannya! Pembahasan: 8 × 8 ⋅ 12 3 a×t = cm2 2 2 = 16 2 cm2 Karena luas alas dan tutupnya sama maka luas alas dan tutup = 2 × 16 2 = 32 2 Alas =

Luas bidang tegak = a × t × 3 = 8 cm × 24 cm × 3 = 576 cm2 luas permukaan prisma = (576 + 32 3 ) cm2.

DEPDIKNAS


31


B.2. Limas dan kerucut Luas dan volume Limas Luas = luas alas + luas sisi tegak luas alas × tinggi Volume limas = 3 Luas dan volume kerucut Luas = luas alas x luas kelimut = π r2 + rs luas alas x tinggi volume = 3

LATIHAN DAN PEMBAHASAN Diketahui limas segi empat T ABCD. AB // CD dan BC // AD AB = 8 cm BC = 6 cm. Jika garis tinggi limas 13 cm, carilah volume limas! Pembahasan: Tinggi limas dapat ditentukan dengan phitagoras. T2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144 t = 144 = 12 cm luas alas × tinggi volume limas = 3 2 48 cm × 12 cm = 3 3 = 192 cm

LATIHAN DAN PEMBAHASAN Diketahui kerucut dengan jari-jari alas 7 cm dan tinggi kerucut 24 cm. Carilah luas permukaan kerucut! Pembahasan: Panjang garis pelukis dapat ditentukan dengan phitagoras. Misal garis pelukis itu S S2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625 S = 25.

DEPDIKNAS


32


Luas permukaan kerucut

DEPDIKNAS

= π r2 + π r s = π r (r + s) 22 = × 7(7 + 25) cm 7 = 22 (32) = 704 cm2.


33


KOMPETENSI 4

Siswa mampu memahami konsep perbandingan dan fungsi trigonometri dan mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah. Mengaplikasikan rumus-rumus trigonometri untuk menyelesaikan masalah. 1. Perbandingan sinus α, cosinus α, dan tan α Perhatikan gambar berikut y

y r x Cosinus α = r y Tan α = x Sinus α

=

y = r sin α x = r cos α

r

P (x, y) α x

y

x

r2 = x2 + y2 r2 = (r cos α)2 + (r sin α)2 r2 = r2 cos2 α + r2 sin2 α r2 = r2 cos2 α + sin2 α) r2 cos α + sin α = 2 r 2

2

cos2 α + sin2 α = 1 cos2 α = 1 – sin2 α sin2 α = 1 – cos2 α cosec α =

1 r 1 = y = sin α y r

1 1 r = x = cos α x r x cotg α = y

sec α =

DEPDIKNAS


34


LATIHAN DAN PEMBAHASAN 1.) Diketahui sin α = Carilah a.) cos α b.) tan α c.) cosec α d.) sec α e.) cotg α

8 , α pada kuadran I 17

1 , α pada kuadran I. 2 Carilah sin α, cos α, ctan α, cosec α, dan sec α

2.) Diketahui tan α =

Pembahasan: I) Sin α =

y = 8 8 , 17 r = 17

x2 = r2 – y2 x2 = 172 – 82 x2 = 289 – 64 x2 = 225 x = 225 = 15 x 15 = r 17 y 8 b.) tan α = = x 15 r 17 c.) cosec α = = y 8 r 17 d.) sec α = = x 5 x 15 e.) cotg α = = y 8 a.) cos α =

2) Tan α =

1 berarti y = 1, x = 2 2

R=

x 2 + y2

= =

2 2 + 12 5

DEPDIKNAS


35


y 1 = r 5 x 2 b.) cos α = = r 5 x c.) cotg α = = 2 y r d.) cosec α = = 5 y a.) sin α =

e.) sec α =

r 5 = x 2

2. Nilai Trigonometri di berbagai kuadran Tabel-tabel sudut istimewa 00 300 450 600 α sin 0 1 1 1 2 3 2 2 2 cos 1 1 1 1 3 2 2 2 2 3 tan 0 1 3 3 cat 1 ∞ 3 3 3

900 1 0 ∞ 0

Pada kuadran pertama cos (90 – α) = sin α sin (90 – α) = cos α tan (90 – α) = cotg α

LATIHAN DAN PEMBAHASAN Yang senilai dengan sin 820 adalah …. a. sin 800 b. cos 80 c. cos 820 d. –cos 80 e. –cos 820

DEPDIKNAS


36


Pembahasan: Sin 820 = sin (900 – 820) = cos 80 (B) Pada kuadran II cos (180 – α) = – cos α sin (180 – α) = sin α tan (180 – α) = – tan α cotg (180 – α) = – cot α Contoh soal tanpa menggunakan tabel Carilah nilai dari sin 150 Jawab Sin 150 = sin (180 – 150) = sin 30 1 = 2 Pada kuadran II cos (1800 + α) = – cos α sin (1800 + α) = – sin α tan (1800 + α) = tan α cotg (1800 + α) = cotg α

LATIHAN DAN PEMBAHASAN Tanpa menggunakan tabel tentukan nilai dari tan 2400 Pembahasan: tan 2400 = tan (180 + 60) = tan 600 = 3 Pada kuadran IV cos (3600 – α) = cos α sin (3600 – α) = – sin α tan (3600 – α) = – tan α cotg (3600 – α) = – cotg α

DEPDIKNAS


37


LATIHAN DAN PEMBAHASAN Tanpa menggunakan tabel tentukan nilai dari sin 300 Pembahasan: sin 300 = sin (360 – 60) = − sin 600 1 = − 3 2 Rumus-rumus sudut rangkap sin (α + β) = sin α cos β + sin β cost α sin (α − β) = sin α cos β − sin β cost α cos (α + β) = cos α cos β − sin β sin α cos (α − β) = cos α cos β + sin β sin α

LATIHAN DAN PEMBAHASAN Tanpa menggunakan tabel tentukan nilai dari a. cos 105 b. sin 750 Pembahasan: a.) cos 1050 = cos (600 + 450) = cos 600 cos 450 – sin 600 sin 450 1 1 1 1 . = 2 − 3 . 2 2 2 2 2 1 1 = 2 − 6 4 4 1 = 2 (1 + 3 ) 4 b.) sin 750 = sin (450 + 300) = sin 45 cos 300 + sin 300 cos 450 1 1 1 1 = 2 . 3 + . 2 2 2 2 2 1 1 = 6 + 2 4 4 1 = 2 ( 3 + 1) 4

DEPDIKNAS


38


Soal diketahui tan α =

1 2

sin β =

3 , α pada kuadran I dan β pada kuadran II 5

Carilah a.) sin (α + β) b.) cos (α - β) jawab 1 2 1 tan α = sin α = , cos α = 2 5 5 3 4 sin β = , cos β = − karena pada kuadran II 5 5 a.

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α 1 −4 3 2 x = + x 5 5 5 5 6 2 −4 = + = 5 5 5 5 5 5

b.

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β 3 2 −4 1 x x = + 5 5 5 5 8 3 = − + 5 5 5 5 5 1 = = 5 5 5

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos2 α - sin2 α = 2 cos2 α - 1 cos 2 x = 1 – 2 sin2 α

LATIHAN DAN PEMBAHASAN 5 13 Carilah a.) sin 2 α b.) cos 2 α c.) tan 2 α Diketahui sin α =

DEPDIKNAS


39


Pembahasan: cos2 α = 1 – sin2 α 2

5 =1–    13  25 =1– 169 144 = 169 144 12 cos α = = 13 169 sin 2 α = 2 sin α cos α 5 12 = 2. x 13 13 120 = 169 cos 2 α = 2 cos2 α - 1 2

 12  = 2   −1  13   144  = 2  −1  169  119 = 169 120 169 sin 2α 120 = x tan 2 α = = 169 119 cos 2α 169 119 169 120 tan 2 α = 199 Persamaan Trigonometri Bentuk sin ax = P Contoh Carilah Hp dari persamaan trigonometri untuk 0 ≤ x ≤ 360 1 sin 2x = 3 2 sin 2x = sin 60 2x = 60 + k . 360 atau sin 2x = sin 120 x = 30 + k .180 2x = 120 + k . 360 untuk k = 0 x = 30 x = 60 + k . 180 k=1 x = 210 DEPDIKNAS


40


k = 0 x = 60 k = 1 x = 240 Hp {300, 600, 2100, 2400} Bentuk a cos2 x + b cos x + c = 0 Contoh Carilah Hp dari persamaan trigonometri 3 cos 2x – 2 cos x – 5 = 0 Jawab 3 ( 2 cos2 x –1) – 2 cos x – 5 = 0 6 cos2 x – 3 – 2 cos x – 5 = 0 6 cos2 x – 2 cos x – 8 = 0 3 cos2 x – cos x – 4 = 0 (3 cos x – 4) (cos x + 1) = 0 3 cos x = 4 4 cos x = 3

cos x + 1 = 0 cos x = –1 x = 1800 = π

Hp {π}

DEPDIKNAS


41


KOMPETENSI 5 Siswa mampu mengolah, menyajikan, menafsirkan data, dan mampu memahami konsep kejadian dan peluang, serta mampu menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. A. Statistika Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana mencari, mengolah, dan menyajikan suatu data sedang data yang sudah di olah disebut data statistik. A1. Data Data dibagi menjadi 2 yaitu data kuantitatip dan data kualitatip. Data kuantitatip dibagi 2 yaitu diskrit dan kontinu, sedang data kualitatip dibagi dua yaitu intern dan ekstern Penyajian data Setelah di olah data di sajikan dalam bentuk diagram-diagram di antaranya adalah 1. Diagram batang 2. Diagram lingkaran (pastel) 3. Diagram garis dll. Contoh Diketahui data penerimaan siswa baru di SMK “X” Tahun pembelajaran. 1998/1999 – 2002/2003 1998/1999 Sebanyak 120 anak 1999/2000 Sebanyak 200 anak 2000/2001 Sebanyak 300 anak 2001/2002 Sebanyak 400 anak 2002/2003 Sebanyak 180 anak Dari data tersebut buatlah diagram lingkarannya Jawab Jumlah penerimaan siswa selama 5 tahun adalah 1200 anak dan satu lingkaran penuh = 3600, maka bagian-bagian sudutnya adalah 120 Tahun 1998/1999 = x 3600 = 360 1200 200 Tahun 1999/2000 = x 3600 = 600 1200 300 Tahun 2000/2001 = x 3600 = 900 1200 400 Tahun 2001/2002 = x 3600 = 1200 1200 180 Tahun 2002/2003 = x 3600 = 540 1200

DEPDIKNAS


42


Diagram lingkarannya sebagai berikut: 2 200

/03 98/99

20

540 360 99/00 600 1200 0 90

01 /02

1

2000/0

Soal Diketahui data banyak pasien di rumah sakit ‘H’ dalam lima bulan berturut-turut sebagai berikut Bulan pertama 120 orang Bulan ke dua 150 orang Bulan ke tiga 200 orang Bulan ke empat 90 orang Bulan ke lima 160 orang Dari data tersebut a. buatlah diagram batangnya b. berapa persen banyaknya pasien pada 3 bulan pertama Jawab a. Banyaknya pasien 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 1

2

3

4

5

Bulan ke

B. Persentasi banyaknya pasien selama 3 bulan pertama adalah 120 + 150 + 200 x 100 % 720 470 = x 100 % = 65 % 720

DEPDIKNAS


43


B. Ukuran tendensi sentral pada data tunggal Yang termasuk tendensi sentral adalah rata-rata (mean) nilai tengah (median) nilai sering muncul (modus)

LATIHAN DAN PEMBAHASAN Diketahui data berat 11 benda dalam kg sebagai berikut: 5, 3, 2, 7, 11, 8, 4, 6, 7, 6, 3 Carilah a) Mean b) Modus c) Mediannya Pembahasan: 5 + 3 + 2 + 7 + 11 + 8 + 4 + 6 + 7 + 6 + 3 Σxi = a) Mean = n 11 62 Mean = = 5,63 11 b) Nilai tengah Untuk mencari nilai tengah data harus diurutkan terlebih dahulu mulai yang kecil ke yang besar 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 11 Letak median adalah : nilai tengah = 6 Mediannya adalah data ke 6 dari kiri yaitu 6. c) Modus adalah data yang sering muncul yaitu 3, 6 dan 7. C. Ukuran Penyebaran 1. Jika data dibagi empat maka pembagiannya di sebut kuartil a. kuartil bawah Q1 b. kuartil tengah Q2 (median) c. kuartil atas Q3 d. simpangan Rata e. variansi f. simpangan baku Contoh Diketahui data dari 10 berat benda dalam gram sebagai berikut: 6, 2, 4, 5, 7, 5, 8, 11, 3, 9 Dari data tersebut carilah a. Q1, Q2, Q3, dan Qd nya b. Simpangan rata-ratanya c. Variansinya d. Simpangan bakunya

DEPDIKNAS


44


Jawab Untuk mencari Q1, Q2, Q3 dan Qd data harus di urutkan terlebih dahulu mulai yang terkecil yaitu 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 11 Q2 adalah nilai tengah data tersebut yaitu antara data ke 5 dan data ke 6 data ke 5 + data ke 6 5+6 Q2 = = = 5,5 2 2 Q1 = 4 (data tengah bagian pertama) Q3 = 8 (data tengah bagian ke dua) 1 Qd = (Q3 − Q1) 2 1 = (8 − 4) 2 = 2 b. Rata simpangan (RS) Σ xi − x RS = n Xi = data ke I x = rata-ratanya n = banyak data x =6 RS = 2 − 6 + 3 − 6 + 4 − 6 + 5 − 6 + 5 − 6 + 6 − 6 + 7 − 6 + 8 − 6 + 9 − 6 + 11 − 6 10 4 + 3+ 2+1+1+ 0+1+ 2 + 3+5 22 = = 2,2 10 10 c. Variansi (S) Σ xi − x S= n S= 2−6

2

2

+ 3−6

2

+ 4−6

2

+ 5−6

2

+ 5−6

2

+ 6−6

2

2

+ 7−6 8−6

2

+ 9−6

2

+ 11 − 6

n 4 2 + 32 + 2 2 + 12 + 12 + 02 + 12 + 2 2 + 10 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 25 = = 10 Simpangan baku (Sb) Sb = S = 7 =

DEPDIKNAS

32 + 52 70 =7 10


45

2


Modus, Mean, Kuartil 1, 2, 3 pada data kelompok  d1  Modus Rumus Mo = λ +  c  d1 + d 2  Mo = Modus λ = tepi bawah dimana modus terletak Kelas modus adalah kelas yang mempunyai frekwensi paling banyak. d1 = Selisih frekwensi kelas modus – sebelum kelas modus. d2 = Selisih frekwensi kelas modus sesudah kelas modus. C = Panjang kelas interval Mean (Rata-rata) 1. Rata-rata biasa x =

Σ f xi Σf

2. Rata-rata sementara x = x s +

Σ fd Σf

 Σ fU  3. Cara Code x = x s +  C  Σf  Keterangan x = rata-rata x s = rata-rata sementara d = simpang = xi − x s U = Code C = panjang kelas interval xi = nilai tengah interval 1   n − Σf  C Kuartil bawah Q1 = λ1 +  4 f       2   n − Σf  C Kuartil tengah Q2 = λ2 +  4 f       3    n − Σf  C Kuartil atas Q = λ3 +  4 f      

DEPDIKNAS


46


Keterangan λ1 = tepi bawah dimana Q1 terletak λ2 = tepi bawah dimana Q2 terletak λ3 = tepi bawah dimana Q3 terletak n = banyak data Σ f = frekwensi komulatif sebelum Qi → I =1, 2, 3 C = panjang kelas interval F = frekwensi dimana Q terletak

LATIHAN DAN PEMBAHASAN Diketahui data dari 80 berat benda dalam kg sebagai berikut Berat benda f 20 – 24 6 25 – 29 10 30 – 34 15 35 – 39 20 40 – 44 17 45 – 49 8 50 – 54 4 Dari tabel tersebut Carilah (1) Mean dengan cara

a. biasa b. Rata-rata sementara c. Coding

(2) Modus (3) Q1, Q2 dan Q3 nya. Pembahasan: Berat benda f 20 – 24 6 25 – 29 10 30 – 34 15 35 – 39 20 40 – 44 17 45 – 49 8 50 – 54 4 Σ f = 80

DEPDIKNAS

xi 22 27 32 37 42 47 52

f.xi 132 270 480 740 714 376 208 Σ fxi = 2920

f.d d=x1 − x −15 −90 −10 −100 −5 −75 0 0 5 85 10 80 15 60 Σ f.d = −40


U −3 −2 −1 0 1 2 3

f.U −18 −20 −15 0 17 16 12 Σ f.U = −8

47


1 a. x =

2920 Σf .xi = = 36,5 Σf 80

Σfd Σf  − 40  = 37 +    80  = 37 + (−0,5) = 36,5

1 b. x = Rs +

 ΣfU  1 c. x = Rs +  C  Σf   − 8 = 37 +  5  80  = 37 – 0,5 = 36,5  d1  2. Mo = λ +  C  d1 + d 2   5  = 34,5 +  5 5 + 7 25 = 34,5 + 12 = 34,5 + 2,08 = 36,58 1 1 n = x 80 = 20 data ke 20 masuk pada kelas yang ke 3. 4 4 λ1 = 29,5, Σ f = 16, C = 5, f = 15  1 n − Σf    Q1 = λ1 +  4 C f      20 − 16  = 29,5 +  5  15  4 = 29,5 +   5  15  = 29,5 + 1,33 Q1 = 30,83

3. Letak Q1 =

DEPDIKNAS


48


2 2 x 80 = 40 data ke ke 40 masuk pada kelas ke 4 Q2 letak n = 4 4 λ2 = 34,5 , Σ f = 6 + 10 + 15 = 31, f = 20, C = 5 1   n − Σf  C Q2 = λ2 +  4 f      40 − 31  = 34,5  5  20  45 = 34,5 + 20 = 34,5 + 2,25 = 36,75 1   n − Σf  C Q3 = λ3 +  4 f      60 − 51  = 39,5 +  5  17  45 = 39,5 + 17 = 39,5 + 2,64 = 42,14 Permutasi Banyaknya cara untuk menyusun k buah unsur dari n buah unsur yang tersedia dengan memperhatikan urutannya disebut permutasi n! Dilambangkan P(n,k) = ( n − k )! Contoh Berapa banyak cara untuk menyusun 2 huruf yang terdiri dari A, B, C, D yang urutannya diperhatikan Jawab P(4,2) =

4! 4 x 3x 2 x1 = = 12 cara ( 4 − 2)! 2 x1

Huruf itu adalah AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, DC.

DEPDIKNAS


49


Kombinasi Banyaknya cara untuk menyusun k huruf dari n huruf yang tersedia tanpa memperhatikan urutannya disebut kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia di lambangkan n! C (n, k) = ( n − k )! k! Contoh Berapa banyak cara untuk menyusun 2 huruf yang terdiri dari huruf ABCD yang urutannya tidak di perhatikan Jawab Karena urutannya tidak di perhatikan maka banyak cara 4! 4 x 3x 2 x1 C(4,2) = = = 6 yaitu AB, AC, AD, BC, BD, CD ( 4 − 2)! 2! 2 x1x 2 x1 Contoh Berapa banyak cara untuk membuat formasi tim bola volly yang terdiri dari 8 orang. Jawab 1 regu bola volly ada 6 orang 8! 8x 7 x 6 x 5x 4 x 3x 2 x1 Banyak formasi tim C(8,6) = = = 28 cara (8 − 6)! 6! 6 x 5x 4 x 3x 2 x1x 2 x1 Peluang Suatu Kejadian Jika peluang suatu kejadian kita lambangkan P maka nilai P antara 0 dan 1 atau dapat ditulis 0≤P≤1 Jika P = 0 adalah kejadian yang mustahil dan jika P = 1 maka kejadian pasti terjadi Contoh: Kejadian yang pasti terjadi a. manusia akan mati b. ayam bertelor c. kuda beranak, dst Contoh: Kejadian yang mustahil a. manusia tidak akan mati b. bulan bisa ngomong c. daun sirih berbuah semangka, dst Peluang suatu kejadian berlaku rumus P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

LATIHAN DAN PEMBAHASAN Seperangkat kartu Brid di ambil salah satu kartu secara acak tentukan peluang yang terambil a) kartu merah atau AS b) kartu AS atau King

DEPDIKNAS


50


Pembahasan: P(A) = kartu merah P(B) = kartu AS a) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 26 4 2 + − = 52 52 52 28 = 52 b) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 4 4 = + −0 52 52 8 = 52 Jika P(A ∪ B) = P(A) + P(B) maka kejadian tersebut saling lepas

LATIHAN DAN PEMBAHASAN Sebuah Dadu dan mata uang dilempar sekali, tentukan peluang munculnya sisi dadu genap dan uang muncul angka. Pembahasan: P(A) = Dadu muncul sisi genap =

3 1 = 6 2

P(B) = Uang muncul sisi angka =

1 2

Peluang munculnya dadu muncul sisi genap dan uang muncul angka = P(A∩B) = P(A) x P(B) 1 1 = x 2 2 1 = 4

DEPDIKNAS


51


KOMPETENSI 6

Siswa mampu memahami konsep limit, diferensial, dan integral, serta mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah. A. Limit Limit artinya batas Limit f(x) artinya f(x) mendekati f(a) untuk nilai x mendekati a. x→a Contoh: Tentukan nilai dari Limit f(x) = 5x + 2 x→2 Jawab: Limit f(x) = 5x + 2 x→2 = limit f(2) = 5(2) + 2 = 12 Jadi limit f(x) = 5x + 2 = 12. x→2 Cara mengerjakan limit Jika x → a disubstitusikan pada f(x) ternyata hasilnya

0 ∞ atau maka ada beberapa cara 0 ∞

untuk menentukan nilai limitnya antara lain: 1). Memfaktorkan 2). Membagi dengan variabel pangkat tertinggi 3). Dengan mengalikan akar sesamanya

LATIHAN DAN PEMBAHASAN Carilah nilai limit berikut ini! lim 2x 3 − 54 1). x → 3 x −3 2).

lim 5x 3 + 6 x 2 + 8x + 2 x → ∞ 10 − x + 3x 2 − 2 x 3

DEPDIKNAS


52


3).

lim 3 − 4x + 1 x → 2 (x − 2)

Pembahasan: lim 2 (3) 3 − 54 0 2x 3 − 54 1). = limit = x → 3 x −3 3−3 0 0 Karena merupakan bilangan tak tentu maka untuk menentukan limitnya dengan 0 cara difaktorkan. lim lim 2x 3 − 54 2(x 3 − 27) = x → 3 x −3 x → 3 x −3 lim 2(x 2 + 3x + 9)( x − 3) = x → 3 x −3 = lim 2 (x2 + 3x + 9) x→3 = 2 (32 + 3(3) + 9) = 54 2).

3).

lim 2x 3 + 6x 2 + 8x − 2 x → ∞ 10 − x + 3x 2 − 2 x 3 5x 3 6x 2 8x 2 + + 3 + 3 3 3 lim x x x x 2 x → ∞ 10 x 3x 2x 3 + + − x3 x3 x3 x3 6 8 5+ + 2 +0 lim x x 1 3 x → ∞ 0− 2 + −2 x x 5+0+0+0 5 1 limit = = 2 0−0+0−2 −2 2

lim 3 − 4x + 1 x → 2 ( x − 2) lim 3 − 4x + 1 3 + 4x + 1 × x → 2 ( x − 2) 3 + 4x + 1 9 − ( 4x + 1) lim x → 2 ( x − 2) (3 + 4x + 1) 8 − 4x lim x → 2 ( x − 2) (3 + 4x + 1)

DEPDIKNAS


53


− 4( x − 2 ) lim x → 2 ( x − 2) (3 + 4x + 1) lim −4 −4 = x → 2 3 − 4x + 1 3+3 −4 = 6 −2 = 3 Limit Fungsi Trigonometri Rumus-rumus limit fungsi trigonometri lim lim sin x x = 1 atau =1 1). x → 0 x → 0 sin x x lim lim x tan x 2). = =1 x → 0 tan x x → 0 x lim sin ax a = 3). x → 0 bx b lim tan ax a = x → 0 bx b

LATIHAN DAN PEMBAHASAN a).

c).

lim 5x x → 0 2x

b).

lim sin(6 x + 3) x → 0 (2 x + 1)

lim tan 6 x x → 0 3x

d). limit

1 − cos 3x 1 − cos 4 x

Pembahasan: lim 5 5x a). = x → 0 2x 2 lim

b).

tan 6 x = 2 x → 0 3x

c).

3(2x + 1) x → 0 (2x + 1)

DEPDIKNAS

lim


54


Misal (2x + 1) = y lim 3y = 3 x→0 y lim lim 1 − (1 − 2 sin 2 1 − cos 3x = d). x → 0 1 − cos 4 x x → 0 1 − (1 − 2 sin 2 =

3 2 4 2

x) x)

lim 2 sin 2 32 x x → 0 2 sin 2 2 x

lim  sin 32 x    = x → 0  sin 2 x 

2

 32  =   2

2

=

9 4

4

=

9 . 16

B. Deferensial Deferensial (turunan) Jika fungsi y = f(x) diturunkan maka turunannya dilambangkan y′ atau f′ (x). Deferensial di ambil dari teory limit lim f (x + h ) − f ( x ) Yaitu h → 0 h

LATIHAN DAN PEMBAHASAN Carilah turunan pertama dari fungsi y = 4x2. Pembahasan: lim 4 (x + h ) 2 − 4 x 2 y′ = h → 0 h lim 4 (x 2 + 2 xh + h 2 ) − 4 x 2 y′ = h → 0 h 2 lim 4 x + 8xh + 4h 2 ) − 4 x 2 y′ = h → 0 h 2 lim 8xh + 4h y′ = h → 0 h 8x + 4h y′ = lim h→0 y′ = 8x + 4(0) y′ = 8x Jadi y′ = 8x.

DEPDIKNAS


55


Rumus-rumus deferensial. 1). Jika f(x) = axn maka f′(x) = n . axn-1 u(x) U' ( x ) ⋅ V( x ) − U( x ) ⋅ V' ( x ) 2). Jika f(x) = maka f′(x) = v( x ) (V( x ) )2 3). Jika f(x) = U(x) . V(x) maka f′(x) = U′ (x) . V(x) + U(x) V′(x) 4). Jika f(x) = (ax + b)n maka f′(x) kita tentukan sebagai berikut, misal U = (ax + b) dy du f′(x) = ⋅ du dx

LATIHAN DAN PEMBAHASAN Tentukan f′(x) dari fungsi-fungsi berikut ini! 1). f(x) = 3x12 2). f(x) = −6x2 6 4 3). f(x) = 5 − 2 x x 4). f(x) = (6x + 5)(3x + 4) 5). Y = (8x2 + 5)6 Pembahasan: 1). f′(x) = 12 ×3x12-1 2). f′(x) = 2 x – 6x2-1 = –12x 3). f′(x) = −5 × 6x-5-1 – 2 x – 4x-2-1 = −30x-6 + 8x-3 − 30 8 = + 6 x x3 4). f′(x) = 18x2 + 39x + 20 f′(x) = 36x + 39 5). f′(x) = 6(8x2 + 5)6-1 . 16x = 96x (8x2 + 5)5 Menentukan titik stasioner dengan diferensial Suatu fungsi f(x) dapat ditentukan titik stasionernya dengan deferensial. Contoh: Carilah titik stasioner dari fungsi y = x4 – 2x2

DEPDIKNAS


56


Jawab: Syarat mempunyai titik stasioner y′ = 0 4x3 – 4x = 0 4x (x2 – 1) = 0 4x = 0 x2 – 1 = 0 x=0 (x + 1)(x – 1) = 0 x+1=0 x–1=0 x = −1 x=1 Untuk

x = −1 y = 14 – 2 (1)2 = −1 (−1, −1)

Untuk

x=0 y = 04 – 2 (0)2 =0 (0, 0) Untuk x = 1 y = 14 – 2 (1)2 =1 (1, −1) Jadi titik stasionernya = (−1, −1), (0, 0), dan (1, −1) C. Integral Integral disebut juga anti deferensial atau anti turunan. f(x) = ∫ f ' ( x ) dx Integral fungsi aljabar Rumus 1). 2).

a x n +1 + c n +1 1 (ax + b )n +1 + c (ax + b) n dx = a(n + 1)

∫ ax ∫

n

dx =

LATIHAN DAN PEMBAHASAN Tentukan hasil integral berikut ini! 1). ∫ 3x 7 dx 2).

∫

2 dx x3

DEPDIKNAS


57


Pembahasan: 1).

∫ 3x

2).

∫

7

3 x 7 +1 + c 7 +1 3 = x8 + c 8

dx =

2 dx = x3

∫ 2x

−3

2 x − 3 +1 + c −3+1 = −x−2 + c −1 = 2 +c x

dx =

Integral tertentu b

∫ f ( x ) dx = F( b) − F(a ) a

Contoh: 3

Carilah nilai dari

∫ (− x

2

+ 16) dx

−2

Jawab: 3

3

∫

(− x 2 + 16) dx = −

−2

1 3  x + 16 x  3 −2

 1   1  = − (3) 3 + 16(3) − − (−2) 3 + 16(−2)  3   3  8  = (− 9 + 48) −  − 32   3 1 = 39 + 29 3 1 = 68 3 Integral untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva. Misal daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x) selang antara garis x = a dan x = b, b

maka luasnya adalah

∫ (f (x) − g(x )) dx a

DEPDIKNAS


58


LATIHAN DAN PEMBAHASAN Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x dan y = x antara garis x = 1 dan x = 4! Pembahasan: 4

L=

∫ (2x − x ) dx

1 4

=

∫x

dx

1

=

1 2 x 2

]14

=

( )

1 2 1 2 1 4 − (1) = 7 satuan luas. 2 2 2

LATIHAN DAN PEMBAHASAN Carilah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 6x, sumbu x dan garis x = 1 sampai x = 4! Pembahasan: Sumbu x sama dengan y = 0 4

L=

∫ 0 − (x

2

− 6x ) dx

1 4

=

∫0−x

2

+ 6 x dx

1

 = −   = − 

1 3 4 x + 3x 2  3 1 1  (4) 3 + 3(4) 2  − 3  1 1 = −21 + 48 + −3 3 3 = 24 satuan luas

 1 2 2 − 3 1 + 3(1) 

Integral untuk menentukan volume benda putar. Jika fungsi y = f(x) pada interval x = a sampai x = b di putar mengelilingi sumbu x sejauh b

360 maka volumenya adalah π ∫ y 2 dx . o

a

DEPDIKNAS


59


LATIHAN DAN PEMBAHASAN Tentukan volume benda putar kurva y = 2x pada interval x = 1 sampai x = 4 di putar pada sumbu x sejauh 360o. Pembahasan: 4

V = π . ∫ (2x ) 2 dx 1 4

= π . ∫ 4 x 2 dx 1

4  4 V = π .  x3 3  1 4 4 = π . (4 3 ) − (1) 3 3 3 = π . (84) = 84π

DEPDIKNAS


60


Contoh Latihan Soal : 1. Tempat sampah industri berbentuk kubus mempunyai rusuk 12 m, dibuat model dengan skala 1 : 300. Maka volume kubus pada model adalah .... a. 64 cm3 b. 72 cm3 c. 72 cm3 d. 124 cm3 e. 360 cm3 2. Pedagang elektronika menjual televisi 14 inci seharga Rp1.500.000,00 dan memperoleh keuntungan 20% dari penjualan tersebut, maka harga pembelian pedagang itu adalah .... a. Rp 750.000,00 b. Rp1.150.000,00 c. Rp1.200.000,00 d. Rp1.250.000,00 e. Rp1.300.000,00 3. Dari sistem persamaan linier

2x + y = 4   3x − 2y = −1

Nilai x – y = .... a. −1 b. 0 c. 1 d. 2 e. 3 4. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat 3x2 + x – 2 ≥ 0, x ∈ R adalah .... 2 a. { x | x ≤ –1 atau x ≥ } 3 2 b. { x | –1 ≤ x ≤ } 3 2 c. { x | x ≤ 1 atau x ≥ } 3 2 d. {x | x ≤ – atau ≥ 1} 3 2 e. {x | ≤ x ≤ 1} 3

DEPDIKNAS


61


5. Keliling bangun pada gambar di samping yang diarsir adalah .... a. 78 cm b. 82 cm c. 86 cm d. 90 cm e. 94 cm

7cm

7cm

14cm

21cm

6. Diketahui gambar disamping dengan ∠ ACB = 40o, maka besar ∠ APB adalah .... a. 110o b. 109o c. 107o d. 105o e. 100o

O A

B P

40o

C

7. Pada gambar di samping ∠ AOB = 120o, OA = 20 cm (π = 3,14), maka panjang Busur AB = .... a. 41,87 cm b. 62,80 cm c. 125,66 cm d. 156,66 cm e. 209,33 cm

A

12

0o

O

8. Sebuah roket ditembakkan selama t detik, memenuhi persamaan h(t) = 600t – 5t2 (h dalam meter). Tinggi maksimum yang dicapai roket adalah .... a. 9.000 m b. 18.000 m c. 27.000 m d. 36.000 m e. 40.000 m

DEPDIKNAS


B

lintasan

62


3 1  3 1 −1  dan q =  9. Jika P =   maka p x q = ....  2 −1  2 − 2 4  9 5 11  a.  4 4 − 6   9 − 5 11 b.   4 − 4 − 6  c. d. e.

 − 9 − 5 − 11   4 − 4 − 6     9 − 5 11   4 4 6 −    9 − 4 11   4 5 6  

 4 − 8 10. Invers matriks A =   adalah ....  1 − 3 3  − 2  4  a.  1 − 1  4 4 1 3   4 4 b.  1 − 1  2  3  − 2  4  c.  1 − 1  4  3 − 2 d.   1 − 1  e.

DEPDIKNAS

− 1 2  1 3    4 4


63


11.

Limas T.ABCD dengan alas bujur sangkar panjang AB = 10 dm dan tinggi limas = 12 dm. Luas permukaan limas adalah .... a. 260 dm2 b. 300 dm2 c. 320 dm2 d. 360 dm2 e. 380 dm2

T To = 12 dm

D

A

C

10 dm

B

12. Panjang kawat 24 m hendak dibuat 8 buah kubus dengan ukuran tertentu. Panjang kawat untuk setiap rusuk kubus mempunyai persentase kesalahan sebesar .... a. 0,002% b. 0,02 % c. 0,2 % d. 2 % e. 20 % 13.

1

Nilai dari 2log 8 – 2 log 0,25 + 3log a. b. c. d. e.

14.

15.

–2 –1 0 1 2

1 + 2log 1 = .... 27

Daerah yang diarsir adalah daerah himpunan penyelesaian permasalahan program linear. Nilai maksimum dari fungsi tujuan z = 2x + 5y adalah …. a. 6 b. 7 c. 10 d. 15 e. 29

y E (2, 5)

A (0, 2) D (5, 1)

B (1, 1)

x C (3, 0)

Rumus suku ke – n barisan Aritmatika 15, 10, 5, 0, −5 adalah .... a. Un = 5n + 10 b. Un = 20 – 5n c. Un = 20 + 5n d. Un = 15 – 5n e. Un = 10n + 5

DEPDIKNAS


64


16.

Jumlah tak hingga dari deret: 3 3 6 + 3 + + + ... adalah .... 2 4 a. 11,25 b. 11,75 c. 12,00 d. 12,25 e. 12,75

17.

Suatu perusahaan memerlukan 3 staf pengurus yaitu Direktur Utama, Sekretaris dan Bendahara, sedangkan calon yang tersedia ada 7 orang, maka banyaknya susunan yang mungkin adalah .... a. 21 b. 24 c. 35 d. 175 e. 210

18.

Seorang siswa harus menjawab 7 soal dari 10 soal yang di sediakan. Banyaknya cara memilih 7 soal dari 10 soal tersebut adalah .... a. 17 cara b. 70 cara c. 120 cara d. 540 cara e. 720 cara

19.

Suatu pernyataan yang sesuai dengan pernyataan: “Jika anda datang, maka saya tidak pergi” adalah .... a. Jika saya pergi, maka anda tidak datang. b. Jika saya tidak pergi, maka anda datang. c. Jika anda datang, maka saya pergi. d. Jika anda tidak datang, maka saya tidak pergi. e. Jika saya pergi, maka anda datang.

20.

Diketahui diagram panah di samping, maka relasi himpunan A ke B dapat ditulis sebagai .... a. B = 2A b. B = 2A − 1 c. B = A2 d. B = A2 − 1 e. B = 2A2 − 1

DEPDIKNAS


A

B

1 2 3 4

16 9 1 4 8

65


21.

3x − 2 dan f –1 (x) merupakan invers dari fungsi f(x), maka f –1 (x) = .... 4x + 1 − 3x − 2 − 4x − 1 3x − 4 2x + 3 2−x 4x + 3 −x−2 4x − 3 x−2 4x − 3

Jika f(x) = a. b. c. d. e.

22.

Titik balik minimum kurva y = x3 – 12x + 1 adalah .... a. (2, –15) b. (1, –10) c. (0, 1) d. (–1, 12) e. (–2, 17)

23.

Nilai minimum dari f(x) = x2 – x dalam interval −1 ≤ x ≤ 3 adalah .... a. 1 1 b. 2 c. 0 1 − d. 2 1 − e. 4

24.

Diketahui tabel berikut : x 4 5 f 3 6

6 10

7 13

8 5

9 2

10 1

Mean dari data tersebut adalah .... a. 6,125 b. 6,225 c. 6,325 d. 6,425 e. 6,525

DEPDIKNAS


66


25.

Simpangan baku dari data: 5, 3, 9, 7, 6 adalah .... a. 1 b. 2 3 c. d. 5 e. 7

26.

Median dari tabel distribusi Frekuensi di samping adalah .... a. 54,5 b. 54,0 c. 53,5 d. 53,0 e. 52,5

27.

Nilai dari a. b. c. d. e.

28.

Nilai 47 – 49 50 – 52 53 – 55 56 – 58 59 – 61 Jumlah

Frekuensi 2 4 6 5 3 20

lim 2x 2 − 5x − 3 = .... x→3 x−3 0 4 6 7 12

Diketahui cotg A =

7 dengan A sudut lancip. 24

sin A + cos A = .... 25 a. 7 24 b. 7 25 c. 24 24 d. 25 31 e. 25

DEPDIKNAS


67


29.

∫ (sin x + cos 3x ) dx = .... 1 sin 3x + c 3 1 –cos x + sin 3x + c 3 1 –cos x – sin 3x + c 3 cos x + 3 sin 3x + c –cos x + 3 sin 3x + c

a.

cos x +

b. c. d. e. 3

30.

∫ (2x

2

+ x − 2) dx = ....

−2

31.

32.

1

a.

5

b.

5

c.

15

d.

16

e.

17

6 1 2 5 6 1 2 1 6

Seorang peternak mempunyai persediaan makanan selama 25 hari untuk 2000 ekor ayam. Jika ada penambahan 500 ekor ayam, maka makanan akan habis setelah …. a. 10 hari b. 20 hari c. 33 hari d. 100 hari e. 200 hari  1  Nilai x yang memenuhi persamaan 32x – 2 =  27  a. b. c. d. e.

DEPDIKNAS

x+4

adalah ....

−2 1 0 2 5


68


33.

Pada kemasan suatu obat tertulis: Tiap tablet mengandung: Zingiberis Rhizomas ..... 40% Menthol Folia ………… 50% Jika tiap tablet 100 mg, maka berat zat lain yang tidak tercantum adalah …. a. 10 mg b. 100 mg c. 400 mg d. 500 mg e. 1000 mg

34.

Sebuah botol berbentuk tabung dengan garis tengah 14 cm dan tinggi 24 cm. Jika

7 8

bagian botol itu diisi dengan zat cair, mka volume zat cair itu adalah …. a. 3.200 cm3 b. 2.500 cm3 c. 2.400 cm3 d. 2.332 cm3 e. 3.234 cm3 35.

Diketahui deret geometri kovergen dengan suku pertama 8 dan rasio

2 . Jumlah suku tak 3

hingga dari deret tersebut adalah .... 16 a. 3 b. 24 c. 26 d. 30 e. 40 36.

Setiap penduduk kelurahan “A” berpeluang untuk terkena wabah “Demam berdarah” sebesar 0,02. Jika jumlah penduduk kelurahan tersebut adalah 6000 orang, maka yang tidak terjangkit wabah tersebut adalah …. a. b. c. d. e.

DEPDIKNAS

120 orang 1.200 orang 4.800 orang 5.880 orang 30.000 orang


69


37.

Kontraposisi dari pernyataan “Jika saya sakit maka saya pergi ke dokter” adalah .... a. Jika saya tidak sakit maka saya tidak pergi ke dokter b. Jika saya tidak sakit maka saya pergi ke dokter c. Jika saya sakit maka saya pergi ke dokter d. Jika saya tidak pergi ke dokter maka saya tidak sakit e. Jika saya pergi ke dokter maka saya sakit

38.

Nilai dari a. b. c. d. e.

39.

2 lim ( x − 2 x − 15) = …. x→5 ( x − 5)

8 5 3 −3 −8

Diketahui fungsi f(x) = (2x +

1 1 ) (2x − ). Jika f′ (x) turunan f(x), maka adalah f′ (x) 2 2

adalah .... a.

4x2 −

b.

4x2 −

c.

8x2 −

d.

8x2 −

e. 40.

1 x 1 x2 1 x3 1

x3 2 8x2 − x

Dengan kendaraan yang berkecepatan rata-rata 60 km/jam, seseorang menempuh jarak 120 km dan kembali lagi dengan kecepatan 40 km/jam. kecepatan rata-rata pergi dan pulang adalah .... a. 20 km/jam b. 24 km/jam c. 25 km/jam d. 48 km/jam e. 50 km/jam

DEPDIKNAS


70


Pembahasan Soal : 1. Panjang sebenarnya 12 m = 1200 cm Skala 1 : 300 Panjang skala 1200 : 300 = 4 cm Volume kubus pada model = r3 = (4 cm)3 = 64 cm3

(Kunci : A)

2. Misal harga TV itu x 100 20 x + x = Rp1.500.000,00 100 100 120 x = Rp1.500.000,00 100 100 x = Rp1.500.000,00 x 120 = Rp1.250.000,00

(Kunci : D)

6x + 3y = 12 3. Persamaan linier 32xx ++ 2yy==4−1 3 2 6x − 4 y = −12 − 7y = 14 y = 2 2x + 2 = 4 2x =4–2 2x =2 x =1 x–y=1–2 = −1 (Kunci : A) 4. HP dari pertidaksamaan 3x2 + x – 2 ≥ 0, x ∈ R 3x2 + x – 2 = 0 (3x – 2)(x + 1) = 0 3x = 2 2 x1 = 3 x+1=0 x2 = −1

HP = {xx ≤ −1 atau x ≥

DEPDIKNAS

−1 2 } 3

2 3 (Kunci : A)


71


5. Keliling bangun yang diarsir 7 cm 7 cm 14 cm 21 cm

Keliling lingkaran r = 7 cm = 44 cm Keliling lingkaran r = 3,5 cm = 22 cm Keliling 7 x 4 cm 28 cm = + 94 cm 6. Sudut BOC = 180 – (90 + 20) = 700 Sudut AOB = 1400 karena 2 x BOC Sudut Reflek AOB = 360 – 140 = 2200 1 Besar sudut APB = Sudut reflek AOB 2 1 = x 220 2 = 1100

(Kunci : E)

(Kunci : A)

7. ∠ AOB = 1200 r = OA = 20 cm π = 3,14 Panjang busur AB =

1200

x 2 x 3,14 x 20 cm 3600 = 41,87 cm

8. Lintasan roket dengan persamaan h(t) = 600t – 5t2 (h dalam meter) Tinggi maksimum jika h1(t) = 0 600 – 10t = 0 10t = 600 600 t = = 60 10 h (60) = 600(60) – 5(60)2 = 36000 – 18000 = 18000 m

DEPDIKNAS


(Kunci : B)

72


9. P = 1 3  Q =  3 1 − 1 2 − 1 2 − 2 4  1 x 3 + 3 x 2, 1 x 1 x 3 x − 2, 1 x − 1 + 3 x 4  PxQ=  2 x 3 + −1 x 2, 2 x 1 + −1x − 2,2x − 1 + −1x4 =  9 − 5 11  (Kunci : D) 4 4 − 6 10. Matrik A =  4  1

− −

1 8 A−1 = 3  − 12 + 8 1 − 3 = − 4  − 1 3   4 − 2 =   1 − 1  4 

 − 3 8  − 1 4  8 4

(Kunci : C) 11. Luas permukaan limas Tinggi bidang segitiga T = 12 2 + 52 = 169 = 13 dm Luas permukaan = 4 x luas ∆ + luas bidang alas 13 x 10 dm 3 + 10 x 10 dm2 2 2 = 260 dm + 100 dm2 = 360 dm2 (Kunci : D) =4x

12. Kawat 24 m di buat 8 kubus panjang setiap rusuk = 24 : 96 = 0,25 m. Salah mutlak = 0,005 0,005 Persentasi kesalahan x 100% = 2% 0,25 1

13. 2log 8 − 2 log

DEPDIKNAS

1 3 1 + log + 2log 1 = 3 – 2 – 3 + 0 4 27 = −2 (Kunci : A)


73


14.

z = 2x + 5y (5,1) z = 2 (5) + 5 (5) = 10 + 5 = 15 (2,5) = 2 (2) + 5 (5) = 4 + 25 = 29 z maksimum = 29

(2,5) (0,2) (5,1)

(1,1) (3,0)

(Kunci : E)

15. Rumus suku ke n dari barisan 15, 10, 5, 0, −5, … adalah Un = a + (n − 1) b = 15 + ( n – 1) − 5 = 15 − 5 n + 5 Un = 20 – 5n

(Kunci : B)

16. Jumlah tak hingga dari deret 6 + 3 + a 1− r 6 6 = = = 12,00 1 1 1− 2 2

3 3 + +... 2 4

S∞ =

(Kunci : C)

17. Cara memilih 3 staf yang terdiri dari 7 calon. Karena setiap calon berhak menduduki jabatan, maka banyaknya cara untuk memilih 7! 7P3 = 7 x 6 x 5 = 210 (Kunci : E) (7 − 3)! 18. Banyak cara memilih 7 soal dari 10 soal 10! 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 10C7 (10 − 7)! 7! 3x 2 x1x 7 x 6 x 5x 4 x 3x 2 x1 10 x 9 x 8 = 6 = 120 cara (Kunci : C) 19. Suatu pernyataan yang sesuai dengan pernyataan “Jika anda datang maka saya tidak pergi” adalah “Jika saya tidak pergi maka anda datang” (Kunci : B)

DEPDIKNAS


74


20. Diketahui B 16 9 1 4 8

A 1 2 3 4

Relasi dari himpunan A ke B adalah B = A2 Jawaban

21. f(x) =

(Kunci : C)

1 dan g(x) = x2 + 1 x 2

1 (g o f) (x) =   + 1 x 1 = +1 x2

(Kunci : B)

22. Titik balik minimun kurva y = x2 – 12x + 1 Syarat f1(x) = 0 3x2 – 12 = 0 3(x2 – 4) = 0 x2 = 4 x= ± 4 x1 = 2 dan −2 Untuk x = 2 y = 23 – 12 (2) + 1 = 8 – 24 + 1 = −15 (2, −15) 3 Untuk x = −2 y = −2 − 12 (−2) + 1 = −8 + 24 + 1 = 17 (−2, 17) Fungsi naik dan turun Fungsi turun ∫ 1 (x) < 0 3x2 − 12 < 0 x2 − 4 < 0 −2 x2 − 4 = 0 (x + 2)(x − 2) = 0 x1 = −2 x2 = 2 Titik minimum (2, −15) karena minimum grafik dari turun lalu naik. (Kunci : A)

DEPDIKNAS


2

75


23. Nilai minimum dari f(x) = x2 − x untuk −1 ≤ x ≤ 3 adalah Syarat ∫ 1 (x) = 0 2x − 1 = 0 2x =1 1 x = 2 2

1 1 y =  + − 2 2 1 1 = − 4 2 1 = − 4 24. Tabel x 4 f 3 fox 12

5 6 30

(Kunci : E)

6 10 60

7 8 13 5 91 40 261 Σfx Σf .x = 261, Σf = 40, x = = Σf 40

9 2 18

10 1 10

= 6,525

25. Simpangan baku dari data 5, 3, 9, 7, 6 adalah x = Sb = = = =

Σx − x n

(Kunci : E) 5=3=9=7=6 30 = =6 5 5

2

12 + 32 + 32 + 12 + 0 5 20 5 4 =2

26. Tabel Nilai 47 – 49 50 – 52 53 – 55 56 – 58 59 – 61

DEPDIKNAS

Frekwensi 2 4 6 5 3

(Kunci : B)

1   n − Σf  C Me = L2 +  2 f      10 − 6  = 52,5 +   3  6  12 = 52,5 + 6 = 52,5 + 2 = 54,5 (Kunci : A) Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

76


2x 2 − 5x − 3 27. Limit x →3 x−3 + 1)( x − 2) ( 2 x Limit x →3 x−3 Limit (2x + 1) = 2 x 3 + 1 x→3 =7 28. Diketahui Cotg A =

(Kunci : D)

7 , A Sudut lancip 24

Sin A + Cos A = … 7 Cotg A = , x = 7, y = 24, r = 25 24 24 7 31 Sin A + Cos A = + = 25 25 25 29.

∫ (sin x + Cos 3x ) dx = −Cos x + 3

30.

∫

(2x2 + x − 2) dx =

−2

(Kunci : E)

1 Sin 3x + C (Kunci : B) 3

3 2 3 1 2 x + x − 2x ∫ 2 − 3 2

1 1 2  2  =  (3) 3 + (3) 2 − 2(3)  −  ( −2) 3 + ( −2) 2 − 2( −2)  2 2 3  3   54 9   16  = + − 6 −  − + 2 + 4 2  3   3  5 = 15 (Kunci : C) 6 31. Perbandingan berbalik nilai. Persediaan makanan 25 hari untuk 2.000 ekor jika di tambah 500 ekor maka akan habis selama .... 25 × 2.000 = 20 hari 2.500

DEPDIKNAS

(Kunci : B)


77


32. Nilai x pada persamaan x+4

 1  3 =   27  2x-2 3 = (3−3)x + 4 2x-2

32x-2 = 3−3x − 12 2x – 2 = −3x – 12 2x + 3x = −12 + 2 5x = −10 x = −2

(Kunci : A)

33. Zat yang tidak tercantum = 100% − (40 + 50)% dari 1.000 mg zat yang tidak tercantum = 10 × 1.000 mg = 100 mg. 100 34. Sebuah botol dengan garis tengah 14 cm tinggi 24 cm jika di isi volumenya = λ a × t 22 7 = × 7 × 7 × 24 × 7 8 = 3.234 cm3 35. Deret konvergen tak hingga a = 8 r = S∞

a 1− r 8 = 1 − 23 = 24

7 bagian maka 8

2 3

=

(Kunci : B)

36. Jumlah peluang yang tidak terkena demam berdarah. 1 – 0,02 = 0,98 0,98 × 6.000 = 5.880 (Kunci : D) 37. Kontra posisi dari pernyataan jika saya sakit maka saya pergi ke dokter adalah …. Kontra posisi dari p → q adalah −g → −p. Jika saya tidak pergi ke dokter maka saya tidak sakit (Kunci : D)

DEPDIKNAS


78


38. Nilai

(

)

lim x 2 − 2x − 15 x → 5 1x − 5 lim (x − 5)(x + 3) x → 5 x −5 lim x + 3 = 5+3 x → 5 = 8

39. Turunan dari f(x) = (2x +

(Kunci : A)

1 1 )(2a − ) adalah …. x x

Jawab: f(x) f(x) f(x) f(x)

1 x2 = 4x2 − x−2 = 8x + 2x−3 2 = 8x + 3 x

= 4x2 −

25 240 = = 48 km/jam. t1 + t 2 5 2 2 2 2 × 120 atau = 3 = 5 = 3 1 1 5 60 + 40 120 + 120 120

40. V =

= 48 km/jam.

DEPDIKNAS

(Kunci : C)

(Kunci : D)

(Kunci : D)


79