RETI DI TELECOMUNICAZIONE Teoria delle code

RETI DI TELECOMUNICAZIONE TEORIA DELLE CODE

Teoria delle code ¾ Obiettivo 9 Avere uno strumento analitico per determinare le condizioni di funzionamento di una rete in termini prestazionali

¾ La teoria delle code consente l’analisi di un sistema modellato da una coda al quale arrivano “clienti” in modo random ¾ Si assumono noti: 9 La distribuzione di probabilità dei tempi di interarrivo dei clienti 9 La distribuzione di probabilità dei tempi di servizio

¾ Si possono calcolare:

CLIENTI

BUFFER (o coda)

SERVENTE

9 Il numero medio di clienti nel sistema In coda o nel servente

9 Il ritardo medio per cliente Tempo di attesa in coda e di servizio TEORIA DELLE CODE

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Corso "Reti di Telecomunicazione" - CdL Magistrale in Ingegneria Informatica - (Ing. Salvatore Serrano)

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Teoria delle code ¾ Esempio di sistema a coda: Ufficio Postale 9 Clienti Persone che entrano nell’ufficio per usufruire di un servizio

Pagare un conto corrente Prelevare la pensione Spedire una raccomandata …

I tempi di arrivo sono casuali

9 Serventi Impiegati dell’ufficio postale La durata del servizio dipende dall’operazione richiesta e dalla “velocità” dell’impiegato

9 Coda Quando tutti i serventi sono occupati i clienti si dispongono in coda per accedere “ordinatamente” ai vari serventi Unica coda per tutti i serventi Singola coda per ogni servente

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Teoria delle code ¾ Nodo di rete a commutazione di pacchetto 9 Clienti Pacchetti che arrivano al nodo dai collegamenti in ingresso

9 Serventi Diversi collegamenti in uscita dal nodo La durata del servizio dipende dalla capacità del collegamento e dalla dimensione del pacchetto (T=L/C) Sarà costante se i pacchetti hanno tutti le stesse dimensioni (situazione tipica dei sistemi TDM-SS) Sarà variabile se i pacchetti possono avere dimensione diversa (situazione tipica dei sistemi TDM – Continuous)

9 Coda Area di memoria dove vengono memorizzati i pacchetti in attesa che si liberi il collegamento in uscita richiesto Il tempo di attesa in coda dipende dal numero di pacchetti in attesa, dalla politica di gestione della coda (FIFO, LIFO, …) e dalla capacità del collegamento in uscita

SISTEMA A PURA ATTESA (buffer infinito) SISTEMA AD ATTESA E PERDITA (buffer finito) TEORIA DELLE CODE

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Teoria delle code ¾ Nodo di rete a commutazione di circuito 9 Clienti Richiesta di un dato collegamento in uscita verso un altro nodo

9 Serventi Disponibilità del collegamento Per un collegamento TDM-SP il servente è lo slot a disposizione per una specifica chiamata

La durata del servizio dipende dalla durata del collegamento Periodo di tempo durante il quale una data chiamata rimane attiva

9 Coda Non esiste (o meglio è di lunghezza 0) Nelle reti a commutazione di circuito deve essere disponibile almeno un servente (time slot nelle reti TDM-SP) affinché la chiamata possa essere attivata e il servizio sia disponibile Il tempo di attesa in coda è quindi sempre 0s

SISTEMA A PURA PERDITA TEORIA DELLE CODE

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Sistemi stazionari ed ergodici -numero clienti¾ Probabilità che al tempo t ci siano n clienti nel sistema 9 Dato l’istante t è una distribuzione discreta

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Sistemi stazionari ed ergodici -numero clienti¾ Il numero medio di clienti nel sistema al tempo t sarà

¾ Il sistema si dice STAZIONARIO se

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Sistemi stazionari ed ergodici -numero clienti¾ Sia N(t) una funzione di campionamento che rappresenta il numero di clienti nel sistema all’istante t.

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Sistemi stazionari ed ergodici -numero clienti¾ Il numero medio di clienti nel sistema nel tempo [0, t] può essere espresso come

¾ Il sistema si dice ERGODICO se

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Sistemi stazionari ed ergodici -ritardo¾ La distribuzione di probabilità del ritardo del generico cliente k

9 Dato il cliente k è una distribuzione continua (densità di probabilità)

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Sistemi stazionari ed ergodici -ritardo¾ Il valore atteso del ritardo per il generico cliente k sarà

¾ Il sistema si dice STAZIONARIO se

¾ Il sistema sarà anche ERGODICO se

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Teorema di Little -enunciato¾ Sia N il numero medio di utenti nel sistema T il ritardo medio di un utente nel sistema λ la frequenza media degli arrivi

¾ Allora, per un sistema stazionario ed ergodico vale la relazione

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Teorema di Little -dimostrazione¾ Sia

sarà

¾ il numero di clienti nel sistema al generico istante t

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Teorema di Little -dimostrazione-

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Teorema di Little -dimostrazione¾ Sappiamo che la media temporale di N(t) in [0, t] è

l’integrale al numeratore è dato dall’area tratteggiata della figura, che possiamo scrivere nella forma

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Teorema di Little -dimostrazione¾ Quindi

9 dove

rappresenta la MEDIA TEMPORALE DELLA FREQUENZA DEGLI ARRIVI (numero di arrivi su tempo trascorso) TEORIA DELLE CODE

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Teorema di Little -dimostrazione9 e considerando che per t molto grande sarà

si trova che

rappresenta la MEDIA DEI TEMPI SPESI DEI CLIENTI NEL SISTEMA (sommatoria dei tempi spesi da ciascun cliente arrivato su numero di clienti arrivati)

¾ Quindi….

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Teorema di Little -dimostrazione¾ ….

¾ Nell’ipotesi di sistema stazionario ed ergodico sarà per

da cui segue la dimostrazione del teorema

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Teorema di Little ¾ La formula può essere applicata a ciascuna delle due parti che compongono il sistema a coda ¾ Se

sarà ¾ Se

sarà TEORIA DELLE CODE

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Teorema di Little -applicazione¾ Throughput di un sistema time-sharing a N terminali

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Teorema di Little -applicazione¾ Throughput di un sistema time-sharing a N terminali 9 Sia R il tempo medio di impostazione di un job 9 Sia P il tempo medio di elaborazione di un job

¾ Il tempo medio T che un job spende per essere impostato ed eseguito sarà tale che

¾ Applicando il teorema di Little si ha che

da cui

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Teorema di Little -applicazione¾ Il troughput è ovviamente limitato dalla capacità di elaborazione, quindi

da cui si deduce che

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Teorema di Little -applicazione-

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Teorema di Little -applicazione-

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Nomenclatura per i sistemi a coda ¾ Sequenza di 5 simboli A/B/C/D/E (Notazione di Kendall) 9 1° simbolo (lettera): indica la natura del processo degli arrivi 9 2° simbolo (lettera): indica la natura della distribuzione di probabilità dei tempi di servizio I primi due simboli assumono tipicamente i valori: M: Memoryless Proccesso di Poisson Distribuzione di probabilità esponenziale

G: General D: Deterministic 9 3° simbolo (numero): indica il numero di serventi 9 4° simbolo (numero): indica il numero massimo di clienti nel sistema Può essere omesso, in questo caso si assume che il limite sia infinito

9 5° simbolo (numero): indica la dimensione della popolazione dalla quale possono arrivare i clienti TEORIA DELLE CODE

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