Sistemas de ecuaciones y desigualdades

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C APÍTULO

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Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Continúe pensando acerca de su interacción con su estudiante con respecto a las matemáticas. Acuérdese de animar a su estudiante a volverse un aprendiz y un pensador más independiente pidiéndole que dé explicaciones. Si usted le está explicando, no le está dando a su estudiante la oportunidad de ver lo que él o ella no entiende.

Resumen del contenido El Capítulo 5 refuerza las ideas de linealidad del Capítulo 3. El Capítulo 5 presenta problemas modelados por más de una ecuación lineal a la vez y luego considera problemas representados por desigualdades lineales.

Sistemas de ecuaciones lineales Muchos problemas reales tienen que ver con situaciones en las cuales dos o más valores cambian linealmente a la misma vez. A menudo, se desea hallar cuándo estos valores serán iguales. Por ejemplo, los valores pueden ser la ubicación de dos caminantes y se desea determinar cuándo se encontrarán los caminantes. Cada valor creciente se representa por una ecuación lineal. Así que varios valores que cambian linealmente se representan por varias ecuaciones lineales, llamadas un sistema de ecuaciones lineales. Identificar dónde los valores serán iguales requiere resolver el sistema, esto es, hallar los valores de las variables que hacen ciertas todas las ecuaciones lineales en el sistema. Discovering Algebra incluye cuatro métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales: por gráficas, por sustitución, por eliminación y por matrices.

Desigualdades lineales Otra manera de extender los conceptos de una ecuación lineal es cambiar el signo de igualdad por un signo de menor o de mayor. Si hace esto, está expresando que las dos expresiones no son equivalentes. Este capítulo introduce las desigualdades (inequalities) lineales en las cuales una de las variables tiene un valor conocido, tal como 5 2a ⬎ 21. Tal desigualdad tiene un número infinito de soluciones y usted lo puede visualizar en una recta numérica. Los estudiantes hallan las soluciones usando los mismos métodos que usaron para resolver ecuaciones lineales en el Capítulo 3. Luego este capítulo considera una desigualdad lineal en dos variables. Al igual que el par de números que satisface una ecuación puede representarse por una recta en una gráfica, los pares de números que satisfacen una desigualdad pueden representarse en una gráfica. Estos aparecen como todos los puntos a un lado de la recta que representan la ecuación correspondiente. Para una desigualdad estricta, tal como y ⬍ 2x 1, los puntos en la recta fronteriza y 2x 1 hacen falsa la desigualdad, así que la recta está entrecortada para mostrar que sólo la porción sombreada de la gráfica, y no la recta fronteriza, representa la solución.

y 10

5

Sistema de desigualdades lineales

x

5

Los métodos matemáticos llamados programación lineal (linear programming) aplican a muchas situaciones reales. Estos métodos dependen de sistemas de desigualdades lineales. Se pueden visualizar las soluciones a estos sistemas gráficamente como la región que contiene sólo los puntos que satisfacen todas las desigualdades en el sistema.

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10

(continuado)

Discovering Algebra: Una guía para padres

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Capítulo 5 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades (continuado) Problema de resumen Este problema de resumen está basado en el Ejercicio 10 de la Lección 5.4. Will está horneando pan. Él tiene dos clases diferentes de harina. La Harina X está enriquecida con 0.12 mg de calcio por gramo; la Harina Y está enriquecida con 0.04 mg de calcio por gramo. Cada barra de pan tiene 300 g de harina y Will quiere que cada barra de pan tenga 30 mg de calcio. ¿Cuánto de cada tipo de harina debería usar para cada barra de pan? Si el profesor de su estudiante cubrió la Lección 5.7, añada la siguiente modificación: Will ha comenzado a vender su pan y tiene problemas en sacar ganancias. Para mantener sus gastos generales bajos, cada barra de pan puede contener a lo máximo 300 g de harina. A él le gustaría al menos 25 g de calcio por barra de pan. Discuta estas preguntas y situaciones con su estudiante en su papel de estudiante para su estudiante: ● ● ● ●

Escribe un sistema de ecuaciones que representa el problema y explica el significado de cada variable y cada ecuación en el contexto del problema. ¿Cuál método de resolver sistemas de ecuaciones escogerías para resolver el sistema? Resuelve el sistema usando un método. Luego verifica resolviendo el sistema usando el segundo método. Supón que Will está casi sin harina. A él sólo le quedan 275 g de harina. Aún así, ¿puede hornear una barra de pan con 30 mg de calcio?

Respuestas ejemplares Un sistema de ecuaciones posible es: x y 300 冦 0.12x 0.04y 30 La variable x representa la cantidad de Harina X en gramos, y y representa la cantidad de Harina Y en gramos. La primera ecuación representa la restricción de que cada barra de pan tiene 300 g de harina. 0.12x representa la cantidad de calcio que contribuye la Harina X, y 0.04y representa la cantidad de calcio que contribuye la Harina Y. La segunda ecuación representa la cantidad total de calcio en la barra de pan. Sustitución, eliminación y matrices probablemente son las mejores opciones para resolver este sistema. Los estudiantes también pueden escoger resolverlo graficándolo en su calculadora. Usted puede pedirle a su estudiante que resuelva este sistema por diferentes métodos a medida que usted revisa diferentes lecciones. Ellos deberían hallar que la barra de pan requiere 225 g de Harina X y 75 g de Harina Y. Si el problema se cambia para usar sólo 275 g de harina, la solución será 237.5 g de Harina X y 37.5 g de Harina Y. Si Will no puede usar más de 300 g de harina, y cada barra de pan debe tener al menos 25 g de calcio, el sistema de desigualdades que puede representar la nueva situación es:

冦

x y ⱕ 300 0.12x 0.04y ⱖ 25

Los estudiantes deberían probar puntos para determinar cómo sombrear cada desigualdad y luego hallar varios puntos que satisfacen ambas desigualdades. Algunas soluciones de ejemplos son (180, 100), que representa 180 g de Harina X y 100 g de Harina Y, (215, 16) y (290, 0).

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y 600 500 400 300 200 100 0

100

200

300

x



Chapter 5 • Ejercicios de repaso Nombre

Periodo

Fecha

1. (Lección 5.1) Determina si el par ordenado es una solución del sistema de

ecuaciones. Grafica ambas rectas en el sistema y grafica el punto. y 2x 4 a. (1, 2) y x 1

冦

b. (3, 1)

冦

2 y 3x 3

2 y 3x 2

2. (Lección 5.2) Resuelve este sistema de ecuaciones usando el método de

sustitución y luego verifica tu respuesta.

冦 2xx 4y3y27 3. (Lección 5.3) Resuelve este sistema por eliminación y luego verifica tu

trabajo.

冦 2x5x 3y2y 2 5 4. (Lecciones 5.1–5.3) Jenna compró melocotones y peras en el mercado

local. Los melocotones costaron $2.90 por libra y las peras costaron $1.10 por libra. Jenna compró un total de 8 libras de frutas, las cuales costaron $18.34. ¿Cuántas libras de cada fruta compró Jenna? 5. (Lección 5.5) Resuelve la desigualdad 3 5x ⱖ 8 y grafica las soluciones

en una recta numérica. 6. (Lecciones 5.6, 5.7) Considera el sistema de desigualdades

冦 yy ⬍ⱖ 2xx31.

a. Determina si cada uno de los siguientes pares ordenados es una solución a este sistema de desigualdades. i. (0, 2) ii. (4, 2) iii. (3, 1) iv. (3, 2) b. Grafica el sistema de desigualdades y grafica cada uno de los puntos

de 6a.



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S O LU C I O N E S A LO S E J E R C I C I O S D E R E PA S O D E L C A P Í T U LO 5

1. a. Sí. El par ordenado (1, 2) satisface ambas ecuaciones. y 2x 4 y x 1 ? ? 2(1) 4 2 1 1 2 2 2 2 2 y

3. (1, 0) 2(2x 3y) 2(2) → 4x 6y 4

3(5x 2y) 3(5) → 15x 6y 15

Multiplica ambos lados por 3.

19x 19

Suma la ecuación.

5

5

5

Multiplica ambos lados por 2.

x

(1, 2)

x 1 Divide ambos lados por 19.

b. No. El para ordenado (3, 1) no satisface la segunda ecuación. 2 2 y 3x 3 y 3x 2 2 ? ? 2 1 3(3) 3 1 3(3) 2 ?

?

1 2 3 11

122 10

y 5 (3, 1) 4

4

Sustituye este valor de x en cualquiera de las ecuaciones originales y resuelve para hallar y. Usando la primera ecuación 2(1) 3y 2; y 0. Verifica tu solución en ambas ecuaciones. 4. 5.3 lb de melocotones, 2.7 lb de peras. Sea x el número de libras de melocotones y y el número de libras de peras que Jenna compró. Sumar las libras produce la ecuación x y 8, y sumar los precios produce la ecuación 2.90x 1.10y 18.34. Este sistema puede resolverse más fácil por sustitución. 5. 3 5x ⱖ 8 Desigualdad original. 5x ⱖ 5 Resta 3 de ambos lados. x ⱕ 1 Divide ambos lados por 5 e invierte la desigualdad.

x –10

5

2. (2, 1). Resuelve la segunda ecuación para x, y sustituye la expresión en la primera ecuación. x 4y 2 Segunda ecuación. x 4y 2 Suma 4y a ambos lados. 2(4y 2) 3y 7 Sustituye 4y 2 por x en la primera ecuación.

8y 4 3y 7 11y 4 7 11y 11 y1

Usa la propiedad distributiva. Combina términos iguales. Suma 4 a ambos lados. Divide ambos lados por 11.

Sustituye 1 por y en una de las ecuaciones originales y resuelve para x: x 4(1) 2; x 2. La solución es (2, 1). Verifica tu solución. 2x 3y 7 x 4y 2 ? ? 2(2) 3(1) 7 2 4(1) 2 77 2 2

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–5

0

5

10

6. a. Sustituye los valores para x y y en cada desigualdad y verifica si resulta en una aseveración cierta. i. No. El par ordenado satisface la segunda desigualdad pero no la primera. ii. Sí. El par ordenado satisface ambas desigualdades. iii. No el par ordenado no satisface ninguna de las desigualdades. iv. Sí. El par ordenado satisface ambas desigualdades. b. Grafica las ecuaciones y 2x 3 y y 1 x. Debido a que la y primera desigualdad tiene ⬍ en lugar de ⱕ, 5 la recta y 2x 3 i debería ser entreiii ii cortada para indicar x –5 5 que no está incluida iv en la solución. La otra recta debería –5 ser sólida. Grafica los puntos y sombrea el área que contiene las soluciones. ©2007 Key Curriculum Press