0 : 0n
V (r1 , · · · , rN ; X, t) =
1− ∆n
r1 +···+rN 2
knX −N +1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯Xi∆n − X(i−1)∆ ¯r1 · · · ¯X(i+N −1)∆ − X(i+N −2)∆ ¯rN . n n n
k=1
(1.0.6)
Dans la suite on fait varier t, et on consid`ere (essentiellement) des subdivisions r´eguli`eres, de sorte que k n = ktn = [t/∆n ]. Les variables V n (f, X, t) et V 0n (f, X, t) peuvent ˆetre consid´er´ees comme les valeurs en t de processus V n (f, X) et V 0n (f, X). Barndorff-Nielsen, Graversen, Jacod, Podolskij et Shephard ont montr´e dans ([3]) que si X est une semimartingale d’Itˆo continue, de seconde caract´eristique c et si f une fonc0 tion continue `a croissance polynomiale, V n (f, X)t converge en probabilit´e, localement uniform´ement en temps, vers Z t 0 V (f, X)t := ρcs (f ) ds, 0
o` u pour x > 0, ρx est la loi normale centr´ee de variance x, et ρx (f ) est l’int´egrale de f √ par rapport `a ρx . Ils ´etablissent un th´eor`eme central limite sous la condition que ct soit une semimartingale d’Itˆo. Sous de bonnes conditions sur f , on a : Z tp ´ 1 ³ 0n 0 √ ρcs (f 2 ) − ρcs (f )2 dW s V (f, X)t − V (f, X)t → ∆n 0 stablement en loi, o` u W est un mouvement brownien d´efinit sur un espace auxiliaire. Dans [8], Jacod g´en´eralise ces r´esultats au cas ou X est discontinu, il ´etudie ´egalement les processus V n (f, X). Il montre sous de bonnes conditions sur f au voisinage de l’origine la convergence de V n (f, X) en probabilit´e pour la topologie de Skorokhod vers le processus P eor`eme central limite correspondant. On peut citer ´egalement s≤t f (∆X), ainsi que le th´ Mancini [16] et Woerner [20] pour d’autres r´esultats de mˆeme nature. Ce sujet ressemble aux m´ethodes num´eriques de r´esolutions des ´equations diff´erentielles stochastiques comme le sch´ema d’Euler. D’ailleurs les limites obtenues dans les T.C.L. ont fait leur premi`ere apparition dans ([12]) pour pr´ecis´ement l’´etude des sch´emas d’Euler. Dans cette th`ese, nous ´etudions une nouvelle g´en´eralisation des processus V n (f, X), V (f, X) mais aussi de la bi-variation. Plus pr´ecis´ement, on remplace la fonction f sur R par une ou des fonctions (r´eelles) f ou g sur l’ensemble Ω × R+ × R. En d’autres termes, 0n
7
nous ´etudions les processus [t/∆n ] n
V (f, X)t =
X
f (ω, (i − 1)∆n , Xi∆n − X(i−1)∆n )
i=1 [t/∆n ] 0n
V (f, X)t = ∆n
X i=1
[t/∆n ] 0n
V (f, g, X)t = ∆n
X i=1
µ ¶ Xi∆n − X(i−1)∆n √ f ω, (i − 1)∆n , ∆n µ ¶ µ ¶ Xi∆n − X(i−1)∆n X(i+1)∆n − Xi∆n √ √ f ω, (i − 1)∆n , g ω, (i − 1)∆n , . ∆n ∆n
Les motivations sont les suivantes : d’une part, dans l’´etude des sch´emas d’Euler ou de sch´emas plus sophistiqu´es des fonctionnelles de la forme pr´ec´edente interviennent naturellement. D’autre part, et c’est la motivation principale, les fonctions de contraste (par exemple la log-vraisemblance) utilis´ees en statistique des processus conduisent aussi `a des fonctionnelles de ce type. Pour donner un exemple simple, consid´erons la solution de l’E.D.S. suivante : √ dXt = θ σ(X)s dWt o` u W est un processus de Wiener et σ est une fonction suffisamment r´eguli`ere. Ce processus est observ´e aux temps i∆n , et on veut estimer le param`etre inconnu θ > 0. Les fonctions de contraste utilis´ees habituellement sont de la forme [t/∆n ]
X
θ θ θ g(θ0 , σ(X(i−1)∆ ), Xi∆ − X(i−1)∆ )) n n n
i=1
pour une fonction ad´equate g sur R+ × R × R et X θ est le processus observ´e pour la ”vraie” valeur θ : voir par exemple ([13]) pour plus de d´etails. On voit ainsi la n´ecessit´e de consid´erer des fonctionnelles du type V n (f, X) ou V 0n (f, X) avec une fonction f d´ependant de ω et de t, et en particulier d’obtenir des TCL pour d´eduire le comportement asymptotique des estimateurs. Les r´esultats obtenus dans cette th`ese g´en´eralisent une partie de ceux de ([3]) et ([8]). Ils g´en´eralisent ´egalement certains des r´esultats obtenus par Becker dans sa th`ese ([4]). Consid´erons (Ω, F, (Ft )t≥0 , P) un espace de probabilit´e munie d’une filtration et l’ese des trajectoires continues de [0, 1] dans R, Fe sa tribu canonique et Q e a la mesure pace Ω de probabilit´e sous laquelle le processus canonique est un brownien de variance a2 . Soit X soit un processus de diffusion de coefficient de diffusion a et e → R. F : Ω × R+ × Ω e d´efinit sur une tr´es bonne extension de (Ω, F, (Ft )t≥0 , P). Soit BX une mesure martingale sur Ω On pose alors, ¾ Rt e as (Fs ) ds A(F, X) = 0 Q , V (F, X) = F ? BX . 8
o` u F ? BX est l’int´egrale de f par rapport `a BX et qui v´erifie Z t ¡ ¢ e as F 2 (s, .) − Q e as (F (s, .))2 ds. hF ? BX it = Q 0
Si f : Ω × R+ × R → R et ∆ni X = Xi∆n − X(i−1)∆n , Becker montre que [t/∆n ]
∆n
X i=1
∆n X f ((i − 1)∆n , √i ) ∆n
converge en probabilit´e pour la topologie de Skorokhod vers A(f, X) et si h une fonction de troncation, le processus [t/∆n ]
X
[t/∆n ]
f ((i −
1)∆n , ∆ni X)
−
i=1
X
£ ¤ E h (f ((i − 1)∆n , ∆ni X)) |F(i−1)∆n
i=1
converge stablement en loi vers V (f, X). Ces limites sont celles qu’on aura au chapitre 4. Si maintenant X est une semimartingale sans partie martingale continue de mesure de saut µ compens´ee par la mesure ν et si h0 (x) = x − h(x), il montre la convergence en probabilit´e pour la topologie de Skorokhod du processus : [t/∆n ] n
U (f, X)t =
X
[t/∆n ]
f ((i −
1)∆n , ∆ni X)
−
i=1
X
£ ¤ E h (f ((i − 1)∆n , ∆ni X)) |F(i−1)∆n
i=1
vers le processus U (f, X) = h(f (.)) ? (µ − ν) + h0 (f (.)) ? µ. Enfin si X est une semimartingale d’Itˆo, alors U n (f, X) converge stablement en loi vers U (f, X) + f ? BX c o` u f est telle que : ∀ ω, ∀ (t, y) ∈ R+ × R,
p 1 lim √ f (ω, t ∆n y) = f (ω, t, y). n→∞ ∆n
Nous verrons que ce r´esultat a des similarit´es avec les r´esultats de la section 3.1.2 du chapitre 3. Les m´ethodes de Becker reposent sur la convergence des caract´eristiques alors que les nˆotres sont davantages une adaptation des m´ethodes utilis´ees dans [3] et [8]. Ce travail est organis´e comme suit : dans le chapitre 2, nous faisons quelques rappels sur les semimartingales, et ce chapitre peut ˆetre omis par un lecteur familier avec les notations usuelles du sujet. Dans le chapitre 3 on ´etudie les processus V n (f, X). Les 0 processus V n (f, X) font l’objet du chapitre 4, et enfin le chapitre 5 est consacr´e aux 0 bi-variations V n (f, g, X). 9
Chapitre 2
Rappels sur les semimartingales Dans ce chapitre, nous rappelons la structure des sauts d’une semimartingale discontinue, avant de faire une courte introduction `a la topologie de Skorokhod. On commence par faire quelques rappels sur les processus stochastiques, dans ces rappels nous nous limitons aux ´el´ements n´ecessaires `a la construction de l’int´egrale stochastique par rapport `a une mesure al´eatoire, cette derni`ere fera l’objet du deuxi`eme paragraphe, alors que dans le troisi`eme paragraphe, on donnera la d´ecomposition d’une semimartingale discontinue. Le quatri`eme paragraphe est consacr´e `a la topologie de Skorokhod et sur la convergence des processus. Nous ne donnerons pas les preuves des r´esultats de ce chapitre ; celles-ci peuvent ˆetre trouv´ees dans [10].
2.1
Quelques rappels sur les processus stochastiques
On consid`ere une base stochastique (Ω, F, (Ft )t≥0 , P) (ce qui signifie un espace probabilis´e muni d’une filtration croissante et continue `a droite). On d´esigne par : 1. O la tribu optionnelle sur Ω×R+ qui est la tribu engendr´ee par les processus adapt´es, continus `a droite, 2. P la tribu pr´evisible qui est la tribu engendr´ee par les processus adapt´es continus `a gauche . Dans la d´efinition suivante, on introduit la proc´edure de localisation. D´ efinition 2.1.1 Soit C une classe de processus. On dira qu’un processus Y appartient ` a la classe localis´ee C loc s’il existe une suite (Tn ) de temps d’arrˆets qui croissent vers l’infini, telle que pour tout n, le processus Z Tn d´efini par ZtTn = ZTn ∧t appartient ` a C. Notons qu’on a toujours C ⊂ C loc . Passons aux rappels sur les martingales. D´ efinition 2.1.2 Soit M et N deux martingales locales. On dira que M et N sont orthogonales, si le processus produit M N est lui mˆeme une martingale locale. 10
On dira qu’une martingale locale est purement discontinue, si elle est orthogonale ` a toute martingale locale continue nulle en 0. Th´ eor` eme 2.1.3 Soit M une martingale locale, il existe une martingale locale continue M c et une martingale locale purement discontinue M d avec M0c = M0d = 0 telles que Mt = M0 + Mtc + Mtd . Cette d´ecomposition est unique ` a l’indistinguabilit´e pr`es. Passons `a pr´esent aux temps pr´evisibles et aux projections pr´evisibles. D´ efinition 2.1.4 Un temps pr´evisible est une application T : Ω → R telle que l’ensemble E := {(ω, t), 0 ≤ t < T (ω)} soit P-mesurable. Un temps pr´evisible est donc un temps d’arrˆet. Th´ eor` eme 2.1.5 Soit X un processus ` a valeurs dans R ∪ {−∞, +∞}, qui est F ⊗ R+ mesurable. Il existe alors un processus pr´evisible ` a valeurs dans R∪{+∞} appel´e projection pr´evisible de X et not´e X p qui v´erifie : XTp = E(XT |FT − ) sur {T < ∞} pour tout temps pr´evisible T et qui est unique (` a ´evanescence pr`es). La projection pr´evisible d’un processus X mesurable est d’habitude d´efinie quand X est born´e ou positif, la d´efinition donn´ee ici tir´ee du th´eor`eme 2.28 de [10] est une extension de la d´efinition classique. Il est ´evident que si X est pr´evisible et X > −∞ alors X p = X. Dans la suite, on dira qu’un processus est c`adl` ag s’il est continu `a droite et admet des limites `a gauche, on dira qu’il est c`ag s’il est continu `a gauche et l`ad s’il admet des limites `a droite. D´ efinition 2.1.6 On notera : + A : l’ensemble des processus A, r´eels, adapt´es, c` adl` ag, tels que A0 = 0, pour tout ω l’applicaton s → As (ω) est croissante et tels que E(A∞ ) < ∞. H2 : l’ensemble des martingales M , telles que sups∈R+ E(Ms2 ) < ∞. A tout processus c`adl`ag X, on associe son processus des sauts, not´e (∆Xt ), qui est d´efini de la fa¸con suivante ∆Xt := Xt − Xt− . On rappelle que deux processus X et Y sont indistinguables si P{∀t, Xt = Yt } = 1. Proposition 2.1.7 Si M et N sont deux martingales locales purement discontinues nulles en 0 telles que ∆Ms = ∆Ns pour tout s, alors M et N sont indistinguables. On note : H2 l’ensemble des martingales telles que supt∈R+ E(Xt2 ) < ∞. Rappelons 2 est la classe localis´ ee. que Hloc 11
2 , Th´ eor` eme 2.1.8 Pour chaque paire (M, N ) de martingales locales appartenant ` a Hloc on associe un processus pr´evisible hM, N i qui est c` adl` ag, nul en 0 et ` a variation localement born´ee tel que M N − hM, N i est une martingale locale.
De plus, le processus hM, M i est croissant. Si M est une martingale, on sait que le processus (∆M ) est optionnel. R´eciproquement, si on a un processus optionnel H, le th´eor`eme suivant donne les conditions sous lesquelles il existe une martingale M telle que ∆M = H (cf. th´eor`eme 4.56 (c), page 56 de [10]). Th´ eor` eme 2.1.9 Soit H un processus optionnel tel que H0 = 0. Il existe une martingale locale M telle que ∆M et H soient indistinguables si et seulement si H p = 0 et P 2 [ s≤. (Hs ) ]1/2 appartient ` a A+ . loc Soit X est une semimartingale, on peut l’´ecrire sous la forme Xt = X0 + Mt + At ,
(2.1.1)
o` u A est un processus c`adl`ag adapt´e et `a variation localement born´e et M une martingale locale nulle en 0. D’apr`es le th´eor`eme 2.1.3, M se d´ecompose en une partie martingale locale continue et une partie martingale locale purement discontinue : M = M c + M d . On dit alors que M c est la partie martingale continue de X et on note : X c , elle ne d´epend pas (`a indistinguabilit´e pr`es) de la d´ecomposition (2.1.1). D´ efinition 2.1.10 Etant donn´ees deux semimartingales X et Y , on appelle co-variation (quadratique) de X et Y le processus Z t Z t [X, Y ]t = Xt Yt − X0 Y0 − Xs− dYs − Ys− dXs . 0
0
Rappelons le th´eor`eme 2.1.3, si X est une semimartingale, on note par X c sa partie martingale continue. On a le th´eor`eme suivant : Th´ eor` eme 2.1.11 Si X et Y deux semimartingales, on a X [X, Y ]t = hX c , Y c it + ∆Xs ∆Ys . s≤t
On termine cette partie avec la d´efinition suivante. D ∈ Ω × R+ est mince, s’il existe une D´ efinition 2.1.12 Nous dirons qu’un ensemble S suite de temps d’arrˆet (Tn ) tel que D = n {(ω, t)/ Tn (ω) = t}. On peut choisir la suite (Tn ) de sorte que {(ω, t)/ Tn (ω) = Tm (ω) = t} = ∅ si n 6= m, il suffit de prendre pour nouvelle suite de temps d’arrˆet la suite de temps d’arrˆet ( Tn (ω) si ω ∈ ∩0≤m≤n−1 {Tm 6= Tn } Tn0 := ∞ sinon On dit dans ce dernier cas que la suite de temps d’arrˆet (Tn ) ´epuise l’ensemble D
12
2.2 2.2.1
Mesures al´ eatoires et int´ egrale stochastique par rapport ` a une mesure al´ eatoire Mesures al´ eatoires
D´ efinition 2.2.1 On appelle mesure al´eatoire sur R+ × Rd une famille de mesures positives µ = (µ(ω; dt × dx) : ω ∈ Ω) sur (R+ × E, R+ ⊗ Rd ) v´erifiant µ(ω; {0} × Rd ) = 0 pour tout ω. Dans la suite, une fonction f, Ω × R+ × Rd → R sera dite optionnelle (resp. pr´evisible) si elle est O ⊗ Rd (resp. P ⊗ Rd ) -mesurable. Soit f : Ω × R+ × Rd → R, une application optionnelle ; on d´efinit le processus int´egral de f par rapport µ par R R [0,t]×Rd f (ω, s, x) µ(ω, ds, dx) si [0,t]×Rd |f (ω, s, x)|µ(ω, ds, dx) < ∞, f ? µt (ω) = +∞ sinon. D´ efinition 2.2.2 a. Une mesure al´eatoire µ est dite optionnelle (resp. pr´evisible) si le processus f ? µ est optionnel (resp. pr´evisible) pour toute fonction optionnelle (resp. pr´evisible) f . b. Une mesure al´eatoire est dite P ⊗ Rd -σ-finie s’il existe une suite An d’´el´ements de P ⊗Rd qui croissent vers Ω×R+ ×Rd et telle que pour tout n, E{(1An ?µ)∞ } < ∞. Dans le th´eor`eme suivant, nous allons d´efinir la mesure compensatrice d’une mesure al´eatoire µ : Th´ eor` eme 2.2.3 Etant donn´e une mesure al´eatoire µ, optionnelle et P ⊗ Rd -σ-finie, il existe une autre mesure al´eatoire ν appel´ee mesure compensatrice de µ, unique aux ensembles P -n´egligeables pr`es, pr´evisible et telle que, pour toute fonction positive f de Ω × R+ × Rd dans R+ , mesurable par rapport ` a P ⊗ Rd , on a E(f ? µ∞ ) = E(f ? ν∞ ) ν est clairement P ⊗ Rd -σ-finie. On va maintenant parler d’une classe importante de mesures al´eatoires : les mesures al´eatoires `a valeurs enti`eres. a valeurs enti`eres si elle v´erifie D´ efinition 2.2.4 On dira qu’une mesure al´eatoire µ est ` les propri´et´es suivantes : a. µ est optionnelle et P ⊗ Rd -σ-finie. b. µ(ω; {t} × Rd ) ≤ 1 pour tout ω. c. Quel que soit A dans R+ ⊗ Rd , µ(., A) prend ses valeurs dans N. La proposition suivante permet d’´ecrire une mesure al´eatoire sous la forme d’une somme de mesures de Dirac. 13
Proposition 2.2.5 Une mesure al´eatoire P ⊗ Rd − σ-finie µ est ` a valeurs enti`eres, si et seulement si elle s’´ecrit X µ(ω; dt, dx) = 1D (ω, s)ε(s,βs (ω)) (dt, dx), (2.2.2) s≥0
o` u β est un processus optionnel et D un ensemble mince. Soit (Tn ), une suite de temps d’arrˆet qui ´epuise l’ensemble mince D et soit f : Ω × R+ × Rd → R une fonction F × R+ × Rd -mesurable telle que l’int´egrale de f par rapport `a µ soit finie. D’apr`es (2.2.2), on a : X X f ? µt = f (s, βs )1D (s) = f (Tn , βTn ) 1{Tn ≤t} . (2.2.3) 0 0, P (dS (X n , X) > ε) converge vers 0 quand n → ∞. c. la suite X n converge en loi vers X au sens de Skorokhod si pour toute fonction f sur D(Rm ) continue et born´ee , on a Z Z n f (α) µX (dα) −→ f (α) µX (dα) D(Rm )
D(Rm )
quand n tend vers l’infini. La convergence p.s. au sens de Skorokhod implique la convergence en probabilit´e et la convergence en probabilit´e au sens de Skorokhod implique la convergence en loi au sens de Skorokhod. On va maintenant voir quelques autres modes de convergence pour les processus dont nous ferons usage dans la suite de cette th`ese. Soit (Ω, F, P) un espace probabilis´e, A une sous-tribu de F et Xn une suite de variables `a valeur dans un espace polonais (E, E). D´ efinition 2.5.6 On dit que la suite (Xn ) converge A-stablement en loi ( ou tout simplement stablement en loi si A = F) s’il existe une mesure de probabilit´e µ sur (Ω×A, F ⊗A) telle que pour toute variable al´eatoire Y born´ee, A-mesurable et pour toute fonction f d´efinie sur E, continue et born´ee, on a Z n E{Y f (Z )} −→ Y (ω)f (x)µ(dω, dx) (n´ecessairement µ(dω, E) = P(dω)). Ω×E
Si une suite de processus X n converge en probabilit´e au sens de Skorokhod vers X alors elle converge stablement en loi vers X. Si (X n ) converge stablement en loi vers le processus (X) alors elle converge en loi au sens de Skorokhod vers la mˆeme limite . Soit (X n ) et X des processus `a valeurs dans Rm . D´ efinition 2.5.7 On dira que X n converge u.c.p. (localement uniform´ ement en temps et ª © en probabilit´e) vers X si pour tout ε > 0, t ≥ 0, la quantit´e P sups≤t kXsn − Xs k > ε tend vers 0 quand n tend vers l’infini. 20
Si la suite de processus (X n ) converge u.c.p. vers le processus X alors elle converge en probabilit´e vers X au sens de Skorokhod. Si X est continue, la convergence u.c.p. est ´equivalent `a la convergence en probabilit´e pour la topologie de Skorokhod.
21
Chapitre 3
Convergence de fonctionnelles de semimartingales non normalis´ ees Etant donn´ees une semimartingale X r´eelle, une suite (∆n ) tendant vers 0 quand n tend vers l’infini et une fonction f de Ω × R+ × R dans R, le but de ce chapitre est d’abord d’´etudier la convergence de la somme : [t/∆n ]
X
¡ ¢ f ω, (i − 1)∆n , Xi∆n (ω) − X(i−1)∆n (ω)
i=1
et ensuite, quand c’est possible, d’´etablir un th´eor`eme central limite associ´e.
3.1 3.1.1
Loi des grands nombres Pr´ eliminaires
Soit (Ω, F, (Ft )t≥0 , P), une base stochastique sur laquelle on a une semimartingale r´eelle X. On suppose que X a pour caract´eristiques (B(h), C, ν) (o` u h est une fonction de troncation) et pour mesure des sauts µ. Dans toute la suite, f d´esignera une application de Ω × R+ × R dans R. Commen¸cons par une hypoth`ese sur f . Soit A une partie de R. On note fA la restriction `a Ω × R × A de f . Hypoth` ese (K[A]) : l’application fA (ω, t, x) est continue en x et admet des limites `a gauche en t not´ees fA (ω, t−, x). De plus, si xn → x dans A et tn → t, tn < t, alors fA (ω, tn , xn ) → f (ω, t−, x). 2 D´ efinition 3.1.1 On dira que f est localement ´equicontinue sur A (localement en temps), si pour tout (ω, T, x0 ) ∈ Ω × R+ × A , la famille de fonctions (x → fA (ω, s, x))s∈[0,T ] est ´equicontinue en x0 . 22
Remarque 3.1.2 Si f est localement ´equicontinue en A (au sens de la d´efinition pr´ec´edente) et si l’application s → fA (ω, s, x) admet des limites ` a gauche, alors f v´erifie (K[A]). Quelques notations 1. On notera par I l’ensemble des r´eels r ≥ 0 tels que Z Z (|x|r ∧ 1) ? ν(ds, dx) < ∞ [0,t]×R
presque sˆ urement et pour tout t. Notons que I contient toujours 2 et, est toujours un intervalle de la forme ]α, ∞[ ou [α, ∞[ pour α ∈ [0, 2] et α est appel´e indice de Blumenthal-Getoor de X. 2. Si 1 ∈ I et si h est une fonction de troncation alors h ? ν est bien d´efinie et est `a valeurs finies, de mˆeme que h ? µ, de plus (2.3.7) devient : X Xt = X0 + Xtc + B t + ∆Xs , (3.1.1) s≤t
o` u B t = Bt − h ? νt ,
B est dans ce cas le ”v´eritable” drift.
3. On note ∆ni X := Xi∆n − X(i−1)∆n . Proposition 3.1.3 Soit X une semimartingale ayant pour mesure de sauts µ. On d´esigne par ν, la mesure compensatrice de µ. Si f est F ⊗ R+ ⊗ R-mesurable et s’il existe ε > 0, Γ un processus localement born´e et r un r´eel appartenant ` a I tels que : |f (s, x)| ≤ Γs |x|r si |x| ≤ ε. Alors le processus X f ? µt = f (s, ∆Xs ) s≤t
est presque sˆ urement ` a valeurs finies. Preuve On a : X
|f (s, ∆Xs )| =
s≤t
X
|f (s, ∆Xs )|1{|∆Xs |≤ε} +
s≤t
X
|f (s, ∆Xs )|1{|∆X|>ε} .
s≤t
Pour tout ω, il existe un nombre fini de sauts entre [0, t] qui sont plus grands que ε, donc X |f (s, ∆Xs )|1{|∆Xs |>ε} < ∞. s≤t
Il nous reste `a montrer que X
|f (s, ∆Xs )|1{|∆Xs |≤ε} < ∞.
s≤t
23
Or
X
|f (s, ∆Xs )|1{|∆Xs |≤ε} ≤ Γ?t
s≤t
o` u
Γ?t
X
|∆X|r 1{|∆Xs |≤ε}
s≤t
= sup{|Γs |, s ≤ t}. Il suffit donc de montrer que X |∆X|r 1{|∆Xs |≤ε} < ∞. s≤t
¡ ¢ Comme r ∈ I alors |x|¡r 1{|x|≤ε} ? ¢νt est un processus croissant, c`adl` ag et `a sauts born´es par ε, il suit alors que |x|r 1{|x|≤ε} ? νt appartient `a Aloc (voir le chapitre 2 pour Aloc ). Il existe une suite (Tp ) de temps d’arrˆet not´ee (Tp ) qui croissent vers l’infini et tels que pour tout p, ©¡ ¢ ª ©¡ ¢ ª E |x|r 1{|x|≤ε0 } ? µt∧Tp = E |x|r 1{|x|≤ε0 } ? νt∧Tp < ∞ P d’o` u s≤ t∧Tp |∆Xs |r 1{|∆Xs |≤1} < ∞ presque sˆ urement pour tout p. En faisant tendre p vers l’infini, on en d´eduit le r´esultat.
3.1.2
R´ esultats
Le premier th´eor`eme peut ˆetre vu comme une g´en´eralisation de certains r´esultats dˆ us a` L´epingle (voir [14]). Th´ eor` eme 3.1.4 Soit X une semimartingale de caract´eristiques (B, C, ν) et f une application optionnelle telle que f (ω, s, 0) ≡ 0. On suppose que f v´erifie (K[R]) et qu’il existe un voisinage V0 de 0 tel que l’application x → f (ω, s, x) soit C 2 sur V0 . On suppose ´egalement que ∂2f • ∂f erifient (K[V0 ]). ∂x et ∂x2 v´ • Il existe un processus localement born´e Γ tel que |
∂f (s, 0)| + ∂x
sup {x∈V0 }
|
∂2f (s, x)| ≤ Γs ∂x2
Alors quand n → ∞, la somme [t/∆n ]
X
f ((i − 1)∆n , ∆ni X)
i=1
converge en probabilit´e pour la topologie de Skorokhod vers le processus Z t Z Z t ∂f 1 t ∂2f ∂f D(f )1t := (s−, 0) dBs + (s−, 0) dC + (s−, 0) dXsc + s 2 ∂x 2 ∂x ∂x 0 0 0 µ ¶ · ¸ X ∂f ∂f (s−, 0)h(x) ? (µ − ν)t + f (s−, ∆Xs ) − h(∆Xs ) (s−, 0) . ∂x ∂x 0 0, x1 et x2 ∈ V0 on ait ∂f ∂f (ω, s, x1 ) − (ω, s, x2 )| ≤ Γs |x1 − x2 |p−1 . ∂x ∂x Alors quand n → ∞, la somme |
[t/∆n ]
X
f ((i − 1)∆n , ∆ni X)
i=1
converge en probabilit´e pour la topologie de Skorokhod vers le processus D1 (f ) pr´ec´edent qui s’´ecrit ici µ ¶ ¸ Z t X · ∂f ∂f ∂f D1 (f )t = (s−, 0) dBs + (s−, 0)h(x) ?(µ−ν)t + f (s−, ∆Xs ) − h(∆Xs ) (s−, 0) . ∂x ∂x 0 ∂x 0 0, on a ( ) lim lim sup P sup |W3n (ε)| > η
ε→0
n
= 0.
t≤T
De fa¸con similaire, on montre que pour tout η, T > 0, on a ( ) lim lim sup P sup |W4n (ε)| > η
ε→0
n
= 0.
t≤T
Venons-en `a l’expression W5n (ε). On d´emontre que pour tout z1 , z2 appartenant `a un compact fix´e de Rd et pour tout x, y appartenant `a R, on a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯gε (z1 , y + x) − gε (z1 , y) − x ∂gε (z1 , y) − gε (z2 , x)¯ ¯ ¯ ∂x d X |z1j − z2j | + |y| ≤ Kαε x2 j=1
o` u αε est une suite qui tend vers 0 avec ε. Il suit alors que Z [t/∆n ]∆n Z d X K n i |Ys− |W5n (ε)t | ≤ √ αε | + |Ysn | + |Zφj n (s) − Zs− | δ(s, x)2 µ(ds, dx) ∆n 0 R j=1 On a donc E{|W5n (ε)|}
½Z t Z
0
≤ K tαε E
0
¾ δ(s, x) F (dx)ds , 2
R
cette derni`ere quantit´e converge vers 0 quand ε tend vers 0. On a donc : pour tout η, T > 0, on a ( ) lim lim sup P sup |W5n (ε)| > η
ε→0
n
= 0.
t≤T
Et d’apr`es tout ce qui pr´ec`ede, ( lim lim sup P
ε→0
n
)
sup |F2n (g, ε)| t≤T 47
> η
= 0.
Nous allons maintenant nous tourner vers le processus F1n (f, ε) d´efini dans 3.4.33. D´esignons par S1 , · · · , Sn , · · · les temps de saut successifs de N = 1{γ(x)>ε} ? µ et posons X X(ε)t = Xt − ∆XSp . p:Sp ≤t
Pour n assez grand, on a ¡ ¢ ¢¤ 1 X £ 0¡ F1n (g, ε) = √ gε Zφn (Sp ) , ∆ni X(ε) + ∆XSp − gε0 ZSp − , ∆XSp ∆ p: Sp ≤t d ³ ´ 0 X ¡ n n¢ ∂gε ¡ ¯ n ¯ n ¢ ∆ni X(ε) . Z¯p , Y¯p + Zp , Yp Zφj n (Sp ) − ZSj p − ∂x ∂z j =
1 √ ∆n
X
∂gε0
p: Sp ≤t
j=1
o` u Z¯pn est entre Zφn (Sp ) et ZSp − et Y¯pn entre ∆ni X(ε) + ∆XSp et ∆XSp . De fa¸con similaire aux lemmes 3.4.5 et 3.4.6, on montre que • µ · ¶¸ ³ ´ 1 j j √ Xφn (Sp )+∆n − Xφn (Sp ) − ∆XSp ; Zφn (Sp ) − ZSp − , 1≤j≤d ∆n p≥1 converge stablement en loi vers le processus ! à m X p 0 d+1,k 0 j,k 0 d+1,k √ √ 0 σ Vk,p σSp − Vk,p 1 − κp + σSp − Vk,p κp ; − κp Sp k=1
.
1≤j≤d p≥1
• ensuite F1n (g, ε) converge stablement en loi vers le processus m ·³ X X p ¢ 0 0 d+1,k √ ´ ∂gε0 ¡ 0 σSd+1,k V 1 − κ + σ V κp ZSp − , ∆XSp p k,p k,p Sp − p ∂x p: Sp ≤t k=1
−
√ κp Vk,p
d X j=1
0 ∂gε0 σSj,k (ZSp − , ∆XSp ) . p− ∂z j
gε0 (z, x)
Vu que = 0 si |x| ≤ 2ε, le processus pr´ec´edent est ´egal en loi conditionnelle par rapport `a F au processus m ·³ X X p ¢ 0 0 d+1,k √ ´ ∂gε0 ¡ 0 F (ε)t := σTd+1,k 1 − κ + σ κ Z , ∆X V V p p T − T k,p p p k,p Tp − p ∂x p: Tp ≤t k=1
−
√ κp Vk,p
d X j=1
0 ∂gε0 (ZTp − , ∆XTp ) . σTj,k p− ∂z j
Rappelons que Ft :=
X
m ·³ X
0
0 σTd+1,k Vk,p p
p
0
1 − κp + σTd+1,k Vk,p p−
p: Tp ≤t k=1
48
¢ √ ´ ∂g ¡ κp ZTp − , ∆XTp ∂x
−
√ κp Vk,p
d X
0
σTj,k p−
j=1
∂g (ZTp − , ∆XTp ) . ∂z j
On a : Ft − F (ε)t :=
X
m ·³ X p ¢ 0 d+1,k 0 √ ´ ∂gε ¡ 0 σTd+1,k V 1 − κ + σ V κp ZTp − , ∆XTp p k,p k,p Tp − p ∂x
p: Tp ≤t k=1
−
√ κp Vk,p
d X
0 j,k
σTp −
j=1
∂gε (ZTp − , ∆XTp ) . ∂z j
Comme dans la deuxi`eme ´etape de la preuve du th´eor`eme 3.2.1, on montre en utilisant cette fois-ci le lemme 3.3.6 que Ft − F (ε)t −→u.c.p. 0, quand ε → 0. A ce stade, le th´eor`eme 3.3.4 est prouv´e sous l’hypoth`ese (LN1 ). On finit la preuve du th´eor`eme 3.3.4 comme on l’a fait pour la preuve du th´eor`eme 3.2.1 par une proc´edure de ”d´elocalisation”.
3.5
G´ en´ eralisation aux subdivisions non r´ eguli` eres
Dans les r´esultats de la section 3.1, on a consid´er´e pour chaque n fix´e la subdivision {0, ∆n , 2∆n , · · · , i∆n , · · ·}. En prenant une suite de subdivisions quelconques de R+ , non al´eatoires : {0 = tn0 < · · · < tni < tni+1 < · · ·} dont le pas tend vers 0 quand n tend vers l’infini, on aimerait savoir si les r´esultats obtenus jusqu’a pr´esent restent valables. En d’autres termes pour une fonction f : Ω × R+ × R → R, on va ´etudier la convergence des sommes : ´ X ³ f tni−1 , Xtni − Xtni−1 i:tn i ≤t
quand n tend vers l’infini. On ´etudiera d’abord le cas o` u X a des sauts avant de passer au cas continu. Nous rappelons que l’on a pas ´etudier ce dernier cas dans le cadre des subdivisions r´eguli`eres.
3.5.1
Le cas d’une semimartingale discontinue
Hypoth` eses et Notations Hypoth` ese (P) La suite de subdivisions (πn ) de R+ qui s’´ecrit πn := {0 = tn0 , tn1 , · · · , tnk , · · ·} n o` u 0 = t0 < tn1 < · · · < tnk−1 < tnk < · · · et supi∈N |tni+1 − tni | tend vers 0 quand n tend vers l’infini. 2 Soit (πn ) une suite de subdivisions v´erifiant (P). Pour tout t ∈ R+ , on d´efinit t(π n ) = sup{tni ∈ π n , tni ≤ t}. 49
(3.5.1)
Dans toute la suite de cette section, f d´esigne une fonction de Ω × R+ × R dans R, X est une semimartingale r´eelle de caracteristiques (B, C, ν) et (π n ) est une suite de subdivisions de R+ v´erifiant l’hypoth`ese (P ). Lois des grands nombres Th´ eor` eme 3.5.1 Soit f une fonction de Ω × R+ × R dans R, optionnelle et soit X une semimartingale. On suppose v´erifi´ee l’une des conditions suivantes : Cas 1. la fonction f et la semimartingale X v´erifient les hypoth`eses du th´eor`eme 3.1.4. On rappelle dans ce cas que Z t Z t Z ∂f 1 t ∂2f ∂f 1 D (f )t := (s−, 0) dBs + (s−, 0) dCs + (s−, 0) dXsc + 2 2 0 ∂x 0 ∂x 0 ∂x µ ¶ ¸ X · ∂f ∂f (s−, 0)h(x) ? (µ − ν)t + f (s−, ∆Xs ) − h(∆Xs ) (s−, 0) . ∂x ∂x 0 ε
1{|β n |>A} + 1½¯¯ ∆ni X i
.
(4.4.4)
Comme q > p, il existe deux fonctions B → LB et B → HB , avec HB → 0 quand B → +∞ et telles que |f (ω, s, x)| ≤ HB |x|q + LB . Il suit d’apr`es (4.4.4) que !
à |ζin |
≤ Gt (ε, A) + K(1+LB ) 1{|βin |>A} +
1½¯¯ ∆Xin n ¯¯ ¾ ¯ ¯√ ¯ ∆n −βi ¯>ε
¯ n ¯q ¶ µ ¯ ∆i X ¯ n q n + K |βi | + ¯¯ √ − βi ¯¯ HB . ∆n
Posons KB = K(1 + LB ) et soit U une variable normale N (0, 1). Sous (LH2 ) on a clairement ¯q ½¯ n ¾ ¯ ∆i X ¯ n E ¯¯ √ − βi ¯¯ + |βin |q ≤ K, ∀ q ∈ [0, 2]. ∆n 64
Il suit que : [t/∆n ]
∆n
X
E {|ζin |} ≤ tE{Gt (ε, A)} +
i=1
K(B)t + KtHB A [t/∆n ]
−2
+ K(B) ε
∆n
X i=1
¾ ½ ∆ni X n 2 − βi | . E 1 ∧ |√ ∆n
(4.4.5)
Notons que d’apr`es le lemme 4-1 de [8] [t/∆n ] −2
KB ε
∆n
X i=1
(
¯ n ¯2 ) ¯ ∆i X ¯ n E 1 ∧ ¯¯ √ − βi ¯¯ −→ 0 ∆n
quand n → ∞.
Ensuite, revenant `a l’in´egalit´e (4.4.5), on fait tendre successivement n → ∞, ε → 0, A → ∞ et B → ∞. 2 Preuve du th´ eor` eme Posons [t/∆n ]
Utn := ∆n
X i=1
f
µ ¶ Z t ∆n X (i − 1)∆n , √i − ρσs− (f (s−, .)) ds. ∆n 0
On a alors : [t/∆n ] ·
Utn
= ∆n
X i=1
¶ ¸ µ ∆ni X n − f ((i − 1)∆n , βi ) + f (i − 1)∆n , √ ∆n
[t/∆n ]
+ ∆n
X £
(4.4.6)
© ª¤ f ((i − 1)∆n , βin ) − E f ((i − 1)∆n , βin ) |F(i−1)∆n
i=1
(4.4.7) [t/∆n ]
+∆n
X
© ª E f ((i − 1)∆n , βin ) |F(i−1)∆n −
i=1
Z 0
t
ρσs− (f (s−, )) ds. (4.4.8)
Le processus dans (4.4.7) est une martingale par rapport `a la filtration (F[t/∆n ]∆n )t≥0 dont le crochet v´erifie : ∆2n
[t/∆n ] h
X
© ª ¡ © ª¢2 i E f 2 ((i − 1)∆n , βin ) |F(i−1)∆n − E f ((i − 1)∆n , βin ) |F(i−1)∆n
i=1
≤ Kt∆n → 0 65
quand n → ∞ On en d´eduit par l’in´egalit´e de Doob que (4.4.7) converge u.c.p. vers 0. Le processus dans (4.4.6) converge u.c.p. vers 0 grˆace au Lemme 4.4.2 et le processus (4.4.8) converge vers 0 grˆace au Lemme 4.4.1. A ce stade, le th´eor`eme 4.1.2 est d´emontr´e sous l’hypoth`ese (LH2 ). On passe au cas g´en´eral par une m´ethode de ”d´elocalisation” (voir la fin de la preuve du th´eor`eme (3.2.1)).
4.4.2
Preuve des th´ eor` emes centraux limites
Pr´ eliminaires Rappelons l’hypoth`ese (LH2 ) introduite dans la preuve du th´eor`eme 4.1.2. On va de mˆeme renforcer l’ hypoth`ese (M1 ). Hypoth` ese (LM1 ) On a (M1 ) et de plus ³ ´ R e x)2 F (dx) et σ • les processus bs , σs , bes , R supu≤s 1 ∧ δ(u, es sont uniform´ement born´es, • les fonctions γk = γ ne d´ependent pas de k. La fonction γ est born´ee et v´erifie Z sup |δ(ω, s, x)| ≤ γ(x) et γ(x) F (dx) < ∞. s∈R+ , ω∈Ω
2
R
Sous l’hypoth`ese (LM1 ), le processus X s’´ecrit sous la forme : Z t Z t Z Z t 00 Xt = X0 + bs ds + σs− dWs + δ(s−, x) µ(ds, dx), o` u b00t = bt −
0
R
R h(δ(t−, x)) F (dx),
0
(4.4.9)
0
R
rappelons que h0 (x) = h(x) − x.
Le processus σ s’´ecrit quant `a lui sous la forme : Z t Z t Z t Z tZ 0 e e σt = σ0 + bs ds + σ es dWs + vs− dVs + δ(s−, x) ? (µ − ν)(ds, dx) (4.4.10) 0
0
³ ´ e o` u eb0s = ebs + R h0 δ(s−, x) F (dx).
0
0
R
R
On suppose de plus que le processus Γ qui intervient dans la d´efinition 4.1.1 est uniform´ement born´e. Rappelons la variable βin d´efinie dans (4.4.1). Toutes les constantes seront appel´ees K. Lemme 4.4.3 Supposons (LH2 ) v´erifi´ee et soit f : Ω × R+ × R → R, une application ` a croissance p−polynomiale et localement ´equicontinue sur R ( au sens de la d´efinition 3.1.1). On suppose de plus que l’une des conditions suivantes est r´ealis´ee : • p ∈ [0, 1[, • X continu. Alors, (¯ µ ¯2 ) ¶ [t/∆n ] nX X ¯ ¯ ∆ → 0 ∆n E ¯¯f (i − 1)∆n , √i − f ((i − 1)∆n , βin )¯¯ ∆ i=1
n
quand n → ∞. 66
La preuve du lemme 4.4.3 est identique `a la preuve du lemme 4.4.2, la restrictionn¯p < 1 ¯est o ¯ ∆n X ¯q due au fait que si X est une semimartingale discontinue comme c’est le cas ici, E ¯ √i∆ ¯ n explose si q > 2. Nous allons `a pr´esent ´etudier les conditions de convergence vers 0 des sommes [t/∆n ]
X
p
∆n
i=1
½µ µ ¶ ¶ ¾ ∆ni X n E f (i − 1)∆n , √ − f ((i − 1)∆n , βi ) | F(i−1)∆n . (4.4.11) ∆n
Nous ´etudierons s´epar´ement le cas continu et le cas discontinu. On trouve des versions de ce lemme dans le cas d’une fonction f deterministe dans la section 8 de [3] si X est continu et dans le lemme 5.5 de [8] si X est discontinu, les d´emonstrations propos´ees ici sont largement inspir´ees de celles qui existent dans ces deux articles et l’´etape 1 de la d´emonstration du lemme 4.4.5 est une reprise de ce qui a ´et´e fait dans [8]. Lemme 4.4.4 Supposons (LM1 ) v´erifi´ee et que X soit continu et soit f : Ω × R+ × R → R une application optionnelle. On suppose que la fonction x → f (ω, s, x) est paire et d´erivable. On suppose de plus que ∂f equicontinue sur R et qu’elle est ` a ∂x est localement ´ croissance au plus p-polynomiale. Alors [t/∆n ]
p
X
∆n
i=1
½µ µ ¶ ¶ ¾ ∆ni X n E f (i − 1)∆n , √ − f ((i − 1)∆n , βi ) | F(i−1)∆n ∆n
converge u.c.p. vers 0 quand n → ∞. Preuve Posons Lni
¶ µ ∆ni X − f ((i − 1)∆n , βin ) . := f (i − 1)∆n , √ ∆n
On a pour une certaine variable al´eatoire γ¯in entre µ Lni o` u
µ 0n
Li =
0n
= Li
+
∆ni X √ − βin ∆n
¶
∆n X √i ∆n
(4.4.12)
et βin :
∂f ((i − 1)∆n , βin ) , ∂x
(4.4.13)
¶ ¶µ n ∂f ∂f ∆i X n n n √ − βi . ((i − 1)∆n , γ¯i ) − ((i − 1)∆n , βi ) ∂x ∂x ∆n
(4.4.14)
Soit ε, A > 0, et GA t
(ω, ε) =
sup {s≤t; |y|≤ε; |x|≤A}
¯ ¯ ∂f ¯ (ω, s, x + y) − ∂f (ω, s, x) ¯ ∂x ∂x
On a :
¯ ¯ ¯. ¯
(4.4.15)
¯ n ¯ ¯∆ X ¯ n ¯p ¶ ¯ n ¯ µ n¯ √i − β n ¯ ¯ ¯ ¯ ∆i X ¯ i ¯ ∆i X |βi | ∆n 0n A n p n¯ n¯ ¯ ¯ √ |Li | ≤ K Gt (ε) + 1 + |βi | + ¯ √ − βi ¯ + − β i ¯ ∆ ¯. A ε ∆n n
67
Il n’est pas difficile de voir sous nos hypoth`eses sur X que ¯q ¾ ½¯ n ¯ ∆i X ¯ n q n¯ ¯ E(|βi | ) ≤ Kq , E ¯ √ − βi ¯ ≤ Kq ∆n , ∆n
∀ q ≥ 2,
(4.4.16)
on peut ´egalement retrouver ce r´esultat dans (7.37) de [3]. Il en suit par une utilisation r´ep´et´ee de l’in´egalit´e de H¨older que : " # [t/∆n ] 1/4 ³ n¡ o´1/2 X p ¢ ∆ 1 2 n ∆n E{|L0n E GA + + . (4.4.17) i |} ≤ Kt t (ε) ε A i=1
Faisant tendre successivement n vers l’infini, ε vers 0 et A vers l’infini, on voit que [t/∆n ]
p
∆n
X
u.c.p E{|L0n 0 i |} −→
quand n → ∞.
(4.4.18)
i=1
Vu (4.4.14) et (4.4.13), il nous reste `a ´evaluer la quantit´e µ n ¶ ∆i X ∂f n √ ((i − 1)∆n , βin ) . − βi ∂x ∆n Rappelons que sous (LM1 ), σ s’´ecrit comme dans (4.4.10). On a ∆ni X √ − βin = ξein + ξbin , ∆n o` u ξbin
=
1 √ ∆n Z
"Z
(i−1)∆n
(bs − b(i−1)∆n ) ds + Z
s
+ (i−1)∆n
ξein =
Z
i∆n
(vu − v(i−1)∆n ) dVu +
ÃZ
i∆n
(i−1)∆n
(i−1)∆n s
(i−1)∆n
s
(4.4.19)
Z be0 u du +
s
(i−1)∆n
(e σu − σ e(i−1)∆n ) dWu !
Z R
e e − 1)∆n , x)) (µ − ν)(du, dx) (δ(u−, x) − δ((i
Z i∆n p £ 1 σ e(i−1)∆n (Ws − W(i−1)∆n ) + v(i−1)∆n (Vs − V(i−1)∆n ) ∆n b(i−1)∆n + √ ∆n (i−1)∆n Z
s
+ (i−1)∆n
#
Z R
e − 1)∆n , x)(µ − ν)(du, dx) dWs . δ((i
Dans ce qui suit, on va montrer que ½ ¾ ∂f E ξein ((i − 1)∆n , βin ) |F(i−1)∆n = 0. ∂x Comme l’application x → ∂f ∂x (ω, s, x) est impaire, on a clairement que ¾ ½ ∂f ((i − 1)∆n , βin ) |F(i−1)∆n = 0. E b(i−1)∆n ∂x 68
(4.4.20)
# dWs ,
Toujours `a cause de l’imparit´e de ∂f ∂x , on a : ! ( ÃZ ) i∆n ∂f (Ws − W(i−1)∆n ) dWs E σ e(i−1)∆n ((i − 1)∆n , βin ) |F(i−1)∆n = 0. ∂x (i−1)∆n Consid´erons la tribu © ª 0 Fi∆ = σ F(i−1)∆n ; (Ws − W(i−1)∆n )(i−1)∆n ≤s≤i∆n . n Vu que W est ind´ependant de V et de µ, on a : (ÃZ
Ã
i∆n
E (i−1)∆n
Z
v(i−1)∆n (Vs − V(i−1)∆n ) +
×
s
(i−1)∆n
!
Z R
e − 1)∆n , x)(µ − ν)(du, dx) δ((i
∂f ((i − 1)∆n , βin ) |F(i−1)∆n ∂x
! ds
¾ = 0,
d’o` u (4.4.20). D’apr`es ce qui pr´ec`ede, pour finir la preuve du lemme, il nous reste `a montrer que [t/∆n ]
p
∆n
X i=1
¯ ½¯ ¾ ¯ ¯ n ∂f n ((i − 1)∆n , βi )¯¯ |F(i−1)∆n −→u.c.p. 0, E ¯¯ξbi ∂x
(4.4.21)
Par les in´egalit´es de H¨older et de Burkholder-Davis-Gundy, on voit que " Z i∆n ¡ n 2 3 b E{( ξi ) } ≤ K ∆n + |bs − b(i−1)∆n |2 + |e σs − σ e(i−1)∆n |2 + |vs − v(i−1)∆n |2 (i−1)∆n
¶ ¸ Z ¯ ¯2 ¯e ¯ e + ¯δ(s−, x) − δ((i − 1)∆n , x)¯ F (dx) ds . R
½¯ ¯2 ¾ ¯ ∂f ¯ n Vu que E ¯ ∂x ((i − 1)∆n , βi )¯ ≤ K, et par un usage r´ep´et´e de l’in´egalit´e de H¨older, on a ¯ ¾ [t/∆n ] ½¯ X p ¯ n ∂f ¯ n ¯ b ¯ ∆n E ¯ξi ((i − 1)∆n , βi )¯ |F(i−1)∆n ≤ Kt∆n ∂x i=1 " (Z [t/∆n ]∆n ¡ 1/2 + Kt E |bs − b[s/∆n ]∆n |2 + |e σs − σ e[s/∆n ]∆n |2 + |vs − v[s/∆n ]∆n |2 0
¶ ¾¸1/2 Z ¯ ¯2 ¯e ¯ e + ¯δ(s−, x) − δ([s/∆n ]∆n , x)¯ F (dx) ds , R
Par le th´eor`eme de Lebesgue et les propri´et´es de continuit´e de b, σ e, v et de δe en s, cette derni`ere quantit´e tend vers 0 quand n → ∞, d’o` u (4.4.21). 2
69
Lemme 4.4.5 Supposons (LM1 ) v´erifi´ee. Soit f , une fonction de Ω × R+ × R dans R, optionnelle et telle que l’application x → f (ω, s, x) soit paire et d´erivable. On suppose que f et ∂f ees et que ∂f equicontinue en x. Alors ∂x sont born´ ∂x est ´ ¶ ¶ ¾ [t/∆n ] ½µ µ X p ∆ni X n ∆n E f (i − 1)∆n , √ − f ((i − 1)∆n , βi ) |F(i−1)∆n −→u.c.p. 0 ∆n i=1 quand n → ∞. Preuve : Rappelons (4.4.9) et posons Z Yt := Y0 +
t
0
Z b00s ds
+ 0
t
σs dWs .
Soit maintenant (εn ) une suite qu’on choisira dans la suite et qui v´erifie : ∀ n, εn ∈ ]0, 1],
et εn → 0 quand n → ∞.
On pose En = {x ∈ R, γ(x) > εn }. Il suit que ∆ni X √ − βin = ∆n
Z
∆n Y 1 √i − βin + √ ∆n ∆n 1 +√ ∆n
Z
i∆n
i∆n
Z δ(s−, x) µ(ds, dx).
(i−1)∆n
c En
Z δ(s−, x) µ(ds, dx).
(i−1)∆n
En
On notera pour la suite : ζin (1) ζin (2)
= =
1 √ ∆n 1 √ ∆n
Z
Z
i∆n
δ(s−, x) µ(ds, dx). (i−1)∆n
Z
En
Z
i∆n
δ(s−, x) µ(ds, dx). (i−1)∆n
c En
Il suit (en utilisant (4.4.12)) que Lni :=
3 X
Lni (j)
j=1
o` u
¶ µ ¶ µ ∆ni X ∆ni X n − f (i − 1)∆n , √ − ζi (1) , = f (i − 1)∆n , √ ∆n ∆n µ ¶ µ ¶ ∆ni X ∆ni Y n n Li (2) = f (i − 1)∆n , √ − ζi (1) − f (i − 1)∆n , √ , ∆n ∆n µ ¶ ∆n Y Lni (3) = f (i − 1)∆n , √i − f ((i − 1)∆n , βin ) . ∆n Lni (1)
70
(4.4.22)
Etape 1 : Dans cette ´etape nous voulons estimer [t/∆n ] X © p ª ∆n E Lni (1) |F(i−1)∆n . i=1
Vu que f est C 1 en x et que f et
∂f ∂x
sont born´ees, on a
|f (ω, s, x) − f (ω, s, x + y)| ≤ K(1 ∧ |y|). Il suit que [t/∆n ]
p
∆n
X
©
E
|Lni (1)|
|F(i−1)∆n
[t/∆n ] X © p ª ≤ K ∆n E (1 ∧ |ζin (1)|) |F(i−1)∆n
ª
i=1
i=1
Posons
1 n ζ 0 i (1) = √ ∆n
Z
Z
i∆n
γ(x) µ(ds, dx). (i−1)∆n
En
PN Pour chaque n fix´e, ζ 0 ni (1) est une variable al´eatoire qui s’´ecrit : ζ 0 ni (1) = u j=1 Zj o` les Zj sont des variables ind´ependantes et identiquement distribu´ees et v´erifient E{Z1 } = R γ(x) 1 √ u N est une variable de Poisson de param`etre ∆n F (En ). Il suit F (En ) En ∆n F (dx) et o` que E{(1 ∧ |ζin |)} ≤ P {N ≥ 1} = 1 − e∆n F (En ) ≤ ∆n F (En ) ≤ K∆n ε−1 n . On en d´eduit que [t/∆n ] X p −1 ∆n E {|Lni (1)|} ≤ Kt∆1/2 n εn .
(4.4.23)
i=1
Etape 2 : Dans cette ´etape, nous estimons [t/∆n ] X © p ª ∆n E Lni (2)|F(i−1)∆n . i=1
Posons :
Z θ(y) =
|γ(x)| F (dx), il suit que θ(y) → 0 quand y → 0, {|γ(x)|≤y}
et
[t/∆n ] [t/∆n ] X X p p n E {|Li (2)|} ≤ K ∆n E {|ζin (2)|} ≤ Ktθ(εn ). ∆n i=1
(4.4.24)
i=1
Etape 3 : D’apr`es (4.4.22) ainsi que les deux ´etapes pr´ec´edentes, en particulier (4.4.23) et (4.4.24), on a [t/∆n ]
p
∆n
[t/∆n ] h i p X ¯ © X ¯ © ª¯ ª¯ −1 ¯E Lni |F(i−1)∆ ¯ ≤ Kt ∆1/2 ¯E Lni (3) |F(i−1)∆ ¯ . ∆ ε + θ(ε ) + n n n n n n i=1
i=1
71
D’apr`es le lemme 4.4.4, on a [t/∆n ] X ¯ © p ª¯ ¯E Lni (3) |F(i−1)∆ ¯ −→u.c.p. 0, ∆n n
quand n → ∞.
i=1 1/4
Ensuite on choisit εn = (1 ∧ ∆n ) et on voit que [t/∆n ] X ¯ © p ª¯ ¯E Lni |F(i−1)∆ ¯ −→u.c.p. 0, ∆n n
quand n → ∞,
i=1
ce qui termine la preuve.
2
Rappelons le mouvement brownien auxiliaire W introduit dans la sous-section 4.2.1. Lemme 4.4.6 Supposons (LM1 ) v´erif´ee et soit f : Ω × R+ × R → R, une fonction optionnelle, v´erifiant l’hypoth`ese (K(R)) et telle que x → f (ω, s, x) soit paire. Alors [t/∆n ] X £ p © ª¤ f ((i − 1)∆n , βin ) − E (f ((i − 1)∆n , βin )) |F(i−1)∆n ∆n i=1
converge stablement en loi vers le processus ¾ Z t ½q ¡ ¢2 2 ρσs− (f (s−, .)) − ρσs− (f (s−, .)) dW s . 0
Preuve Posons p ª¤ £ © . ξin = ∆n f ((i − 1)∆n , βin ) − E (f ((i − 1)∆n , βin )) |F(i−1)∆n On a clairement E{ξin |F(i−1)∆n } = 0.
(4.4.25)
Ensuite, n o ³ ´ ¡ ¢ E (ξin )2 |F(i−1)∆n = ∆n ρσ(i−1)∆n f ((i − 1)∆n , .)2 − ρσ(i−1)∆n (f ((i − 1)∆n , .))2 . Il suit comme pour le lemme 4.4.1 que [t/∆n ]
X
Z t³ n o ´ ¡ ¢ n 2 u.c.p. E (ξi ) |F(i−1)∆n → ρσs− f (s−, .)2 − ρσs− (f (s−, .))2 ds.
(4.4.26)
0
i=1
Vu que f est `a croissance au plus polynomiale, on a, pour tout ε > 0 : [t/∆n ]
X
E{(ξin )2 1{|ξin |>ε} |F(i−1)∆n } ≤ Ktε−1/2 ∆1/4 n .
i=1
72
(4.4.27)
Remarquons que, comme f est paire en x, on a : © ª E ξin ∆ni W |F(i−1)∆n = 0.
(4.4.28)
Soit N une martingale orthogonale `a W . On veut montrer que E{ξin ∆ni N |F(i−1)∆n } = 0 et pour cela on s’inspire de ce qui a ´et´e fait dans la preuve de la proposition 4.1 de [3]. Soit Mt := E{ξin |Ft } d´efinie pour t ≥ (i − 1)∆n . M est une martingale par rapport `a la filtration engendr´ee par F(i−1)∆n et par le processus (Wt − W(i−1)∆n )t≥(i−1)∆n . Par le th´eor`eme de repr´esentation des martingales, il existe un processus pr´evisible (η n ) telle que Z t Mt = M(i−1)∆n + ηsn dWs . (i−1)∆n
On a alors que (Mt − M(i−1)∆n )(Nt − N(i−1)∆n ) est une martingale ( car W et N sont orthogonales ), donc E{ξin ∆ni N |F(i−1)∆n } = E{Mi∆n ∆ni N |F(i−1)∆n } = E{∆ni M ∆ni N |F(i−1)∆n } = 0. (4.4.29) Grˆace `a (4.4.25), (4.4.26), (4.4.28), (4.4.27) et (4.4.29) les hypoth`eses du th´eor`eme IX-7-28 de [8] sont v´erifi´ees d’o` u le lemme 4.4.6. Enon¸cons un dernier lemme pour terminer cette partie. Lemme 4.4.7 Supposons (LM1 ) v´erifi´ee et soit f une fonction de Ω × R+ × R dans R, optionnelle et telle que : • la fonction x → f (ω, s, x) est d´erivable, • ∂f equicontinue sur R (au sens de la d´efinition (3.1.1)) et est ` a ∂x est localement ´ croissance p-polynomiale • On suppose ´egalement que pour tout T > 0, il existe une constante K, des r´eels α > 12 et p ≥ 0 tels que : |f (ω, s, x) − f (ω, t, x) | ≤ K|t − s|α [ 1 + |x|p ]. Alors
1 √ ∆n ∆n
[t/∆n ]
X
© ª E (f ((i − 1)∆n , βin )) |F(i−1)∆n −
i=1
Z 0
t
ρσs− (f (s−, .)) ds →u.c.p. 0 (4.4.30)
quand n → ∞. Preuve Le cˆot´e gauche de (4.4.30) vaut Z t [t/∆n ] Z i∆n h i X 1 1 √ ρσ (f (s−, .)) ds. ρσ(i−1)∆n (f ((i − 1)∆n , .)) − ρσs− (f (s−, .)) ds + √ ∆n i=1 (i−1)∆n ∆n [t/∆n ]∆n s− 73
Vu que f est `a croissance au plus polynomiale et que σ est born´e, il est ´evident que Z t p 1 √ |ρσs− (f (s−, .))| ds ≤ K ∆n . ∆n [t/∆n ]∆n Par ailleurs, [t/∆n ] Z i∆n h i X 1 √ ρσ(i−1)∆n (f ((i − 1)∆n , .)) − ρσs− (f (s−, .)) ds = ∆n i=1 (i−1)∆n [t/∆n ] Z i∆n i h X 1 √ ρσ(i−1)∆n (f ((i − 1)∆n , .)) − ρσs− (f ((i − 1)∆n , .)) ds + ∆n i=1 (i−1)∆n [t/∆n ] Z i∆n X £ ¤ 1 √ ρσs− (f ((i − 1)∆n , .)) − ρσs− (f (s−, .)) ds. ∆n i=1 (i−1)∆n
D’apr`es nos hypoth`eses sur f , on a clairement que : [t/∆n ] Z i∆n X 1 √ |ρσ (f ((i − 1)∆n , .)) − ρσs− (f (s−, .))| ds ≤ Kt∆α−1/2 . n ∆n i=1 (i−1)∆n s−
Il reste donc `a montrer que Utn
[t/∆n ] Z i∆n h i X 1 := √ ρσ(i−1)∆n (f ((i − 1)∆n , .)) − ρσs− (f ((i − 1)∆n , .)) ds →u.c.p. 0. ∆n i=1 (i−1)∆n
Comme f est C 1 , il en est de mˆeme de l’application y → ρy (f (s, .)). En posant Fn,i (ω, y) := ρy (f (ω, (i − 1)∆n , .)) on a Utn = −
P3
Utn (1)
n j=1 Ut (j),
=
Utn (2) =
∂ρy (f (ω, (i − 1)∆n , .)) , ∂y
o` u
" ÃZ ! # [t/∆n ] Z i∆n s X 1 0 0 e √ bu du ds Fn,i (σ(i−1)∆n ), ∆n i=1 (i−1)∆n (i−1)∆n " ÃZ Z s− [t/∆n ] Z i∆n s X 1 √ σ eu− dWu + vu− dVu ∆n i=1 (i−1)∆n (i−1)∆n (i−1)∆n ! # Z s− Z 0 e (σ(i−1)∆n ), + δ(u−, x) (µ − ν)(du, dx) ds Fn,i (i−1)∆n
Utn (3) =
0 et Fn,i (y) =
1 √ ∆n
R
" [t/∆n ] Z X i=1
i∆n
(i−1)∆n
¡ Fn,i (σs− ) − Fn,i (σ(i−1)∆n )
¢ ¤ 0 −(σ(i−1)∆n − σs− )Fn,i (σ(i−1)∆n ) ds . 74
1/2 0 (σ ) sont born´ Vu que ebs et Fn,i es, il n’est pas difficile de voir que |Utn (1)| ≤ Kt∆n d’o` u s n u.c.p Ut (1) → 0.
Le processus Utn (2) est une martingale par rapport `a la filtration (F[t/∆n ]∆n ) dont l’esp´erance du crochet en t est plus petit que Kt∆n pour une certaine constante K. On en d´eduit par l’in´egalit´e de Doob que Utn (2) →u.c.p 0. Par ailleurs, par la formule de Taylor,on a Utn (3)
[t/∆n ] Z i∆n X 1 =√ ζin (s) ds, ∆n i=1 (i−1)∆n
o` u 0 0 ζin (s) := (σs− − σ(i−1)∆n )(Fn,i (σin (s)) − Fn,i (σ(i−1)∆n ))
(4.4.31)
et o` u σin (s) est entre σ(i−1)∆n et σs− . Soit U une variable gaussienne standard. On note par K une borne sup´erieure pour |σ| et par K 0 une constante assez grande. Soit A et ε, deux r´eels positifs et arbitraires. On a d’apr`es (4.4.31), # "µ ½ ¾¶1/2 |σ − σ | AG (Aε, KA) A s− (i−1)∆ t n + |σs− − σ(i−1)∆n |. |ζin (s)| ≤ K 0 P U> + K ε K o` u on a pos´e, ½ Gt (ε, A) = sup
|
∂f ∂f (ω, s, x) − (ω, s, y)|, ∂x ∂x
¾ s ≤ t; |x|, |y| ≤ A; |x − y| ≤ ε
.
Sous nos hypoth`eses sur f , on a que Gt (ε, A) → 0 quand ε → 0 alors que sous (LM1 ) on montre que : E{|σt − σs |2 } ≤ K 0 |t − s|. On en d´eduit que "µ ½ # ¾¶1/2 √ [t/∆n ] Z i∆n X 1 ∆ AG (Aε, KA) A n t √ + , E{|ζin (s)|} ds ≤ K 0 t P U > + K ε K ∆n i=1 (i−1)∆n Faisant tendre n vers l’infini, ε vers 0 et A vers l’infini, on a Utn (3) −→u.c.p. 0 quand n → ∞.
75
Preuve des Th´ eor` emes 4.2.1 et 4.2.2 Nous prouverons simultan´ement les deux th´eor`emes. ´ © ªi √ P[t/∆ ] h ³ ∆n X ∆n i=1 n f (i − 1)∆n , √i∆ − E f ((i − 1)∆n , βin )|F(i−1)∆n = n ³ ³ ´ √ P[t/∆ ] ∆n X ∆n i=1 n f (i − 1)∆n , √i∆ − f ((i − 1)∆n , βin ) n³ ³ ´ n ´ o ´ ∆n X − E f (i − 1)∆n , √i∆ − f ((i − 1)∆n , βin ) |F(i−1)∆n n ¢ª ¡ √ P[t/∆n ] © f ((i − 1)∆n , βin ) − E f ((i − 1)∆n , βin ) |F(i−1)∆n + ∆n i=1 ´ ´ o √ P[t/∆ ] n ³ ³ ∆n X + ∆n i=1 n E f (i − 1)∆n , √i∆ − f ((i − 1)∆n , βin ) |F(i−1)∆n .
n
(4.4.32) Notons en premier lieu que [t/∆n ] µ
µ ¶ ∆ni X ∆n f (i − 1)∆n , √ − f ((i − 1)∆n , βin ) − ∆ n i=1 ½µ µ ¶ ¶ ¾¶ n ∆i X n E f (i − 1)∆n , √ − f ((i − 1)∆n , βi ) |F(i−1)∆n ∆n est une martingale par rapport `a la filtration (F[t/∆n ]∆n )t≥0 dont le crochet pr´evisible est inf´erieure `a (· µ ) ¶ ¸2 [t/∆n ] X ∆ni X n − f ((i − 1)∆n , βi ) |F(i−1)∆n ∆n E f (i − 1)∆n , √ ∆n i=1 X
p
et cette derni`ere quantit´e converge u.c.p. vers 0 par le Lemme 4.4.3. D’apr`es le lemme 4.4.6, la suite de processus [t/∆n ] X © p ¡ ¢ª f ((i − 1)∆n , βin ) − E f ((i − 1)∆n , βin ) |F(i−1)∆n ∆n i=1
converge stablement en loi vers le processus ) Z t (r ³ ´ ¡ ¢2 2 ρσs− f (s−, .) − ρσs− (f (s−, .)) dW s . 0
D’apr`es les lemmes 4.4.4 et 4.4.5 quand X est continue, respectivement discontinue (et sous les hypoth`eses du th´eor`eme 4.2.1, resp. 4.2.2), on a ¶ ¶ ¾ ½µ µ [t/∆n ] X p ∆ni X n − f ((i − 1)∆n , βi ) |F(i−1)∆n →u.c.p. 0. ∆n E f (i − 1)∆n , √ ∆ n i=1 Ce qui montre la partie A des deux th´eor`emes. La partie B en d´ecoule en appliquant le lemme 4.4.7. On a ainsi d´emontr´e les th´eor`emes sous les hypoth`eses renforc´ees. Le passage au cas g´en´eral se fait par une ”d´elocalisation”, comme on l’a fait `a la fin de la preuve du th´eor`eme 3.2.1. 76
4.4.3
Preuve des Th´ eor` emes 4.3.3 et 4.3.4
Pr´ eliminaires Comme on l’a fait avec les hypoth`eses (H2 ) ou (LM1 ) au d´ebut de la section 4.4.2, on renforce l’hypoth`ese (N2 ) de la fa¸con suivante Hypoth` ese (LN2 ) : On suppose (N2 ) v´erifi´ee. De plus, les processus b0 , σ 0 , bb, σ b, vb, Z, sont uniform´ement born´es de mˆeme que les processus ¶ Z µ 1+d Z ³ ´ X 0 2 b 1 ∧ |δ j (ω, t, x)|2 F (dx). (ω, t) → sup (1 ∧ ||δ(ω, s, x)|| ) F (dx) et (ω, t) → R
s≤t
j=2
R
Les fonctions (γk ) ne d´ependent pas de k : γk = γ et v´erifient Z |γ(x)| ≤ K, et γ(x) F (dx) < ∞. R
2 0
Rappelons que σ 1 est le premier vecteur ligne du processus σ 0 . Commen¸cons par un premier lemme qui nous permettra d’estimer la quantit´e Z t [t/∆n ] X © ¡ ¢ ª 1 √ ∆n E f Z(i−1)∆n , βin |F(i−1)∆n − ρσ0 1 (g (Zs , .)) ds , s− ∆n 0 i=1 o` u βin =
m X
0 1,j ∆ni W j √ σ(i−1)∆ . n ∆n j=1
Lemme 4.4.8 Supposons (LN2 ) v´erifi´ee et soit g : Rd+1 → R, C 1 et telle que pour tout compact K de Rd , il existe une constante K = K(K) et un r´eel positif p v´erifiant ¯ ¯ d ¯ ¯¯ ∂g X ¯ ¯ ∂g ¯ p ¯ ¯ sup ¯¯ (z, x)¯¯ + ¯ ∂z j (z, x)¯ ≤ K [1 + |x| ] ∂x z∈K j=1
alors Z t [t/∆n ] X © ¡ ¢ ª 1 √ E g Z(i−1)∆n , βin |F(i−1)∆n − ∆n ρσ0 1 (g (Zs , .)) ds −→u.c.p. 0. s− ∆n 0 i=1 Preuve : On a Z t [t/∆n ] X © ¡ ¢ ª 1 √ ∆n E g Z(i−1)∆n , βin |F(i−1)∆n − ρσ0 1 (g (Zs , .)) ds = s− ∆n 0 i=1 77
· ¸ [t/∆n ] Z i∆n X 1 √ ρ 01 (g(Z(i−1)∆n , .)) − ρσ0 1 (g(Z(i−1)∆n , .)) ds + s ∆n i=1 (i−1)∆n σ(i−1)∆n [t/∆n ] Z i∆n i h X 1 √ ρσ0 1 (g(Z(i−1)∆n , .)) − ρσ0 1 (g(Zs , .)) ds. s s ∆n i=1 (i−1)∆n
Dans la preuve du lemme 4.4.7, nous avons montr´e que · ¸ [t/∆n ] Z i∆n X 1 √ ρσ0 1 (g(Z(i−1)∆n , .)) − ρσ0 1 (g(Z(i−1)∆n , .)) ds →u.c.p. 0 s (i−1)∆ ∆n i=1 (i−1)∆n n quand n → ∞. Il suffit donc de prouver que ici que [t/∆n ] Z i∆n h i X 1 √ ρσ0 1 (g(Z(i−1)∆n , .)) − ρσ0 1 (g(Zs , .)) ds −→u.c.p. 0 s s ∆n i=1 (i−1)∆n
et cela se fait comme on l’a fait pour le terme [t/∆n ] Z i∆n h i X 1 √ ρσ0 1 (g(Z(i−1)∆n , .)) − ρσ0 1 (g(Zs , .)) ds s s ∆n i=1 (i−1)∆n
dans la preuve du lemme 4.4.7 avec Z jouant le rˆole de σ.
2
Preuve des th´ eor` emes 4.3.3 et 4.3.4 La preuve de ces th´eor`emes est juste une cons´equence de la partie A des th´eor`emes 4.2.1 et 4.2.2 et du Lemme 4.4.8, etd’une proc´edure de ”d´elocalisation”.
4.5
G´ en´ eralisation aux subdivisions non r´ eguli` eres
Comme on l’a fait pour la section 3.5 du chapitre 3, dans cette section, on va ´etendre les r´esultats obtenus aux subdivisions non r´eguli`eres. Les notations et hypoth`eses concernant les subdivisions sont les mˆemes que celles utilis´ ¡ ¢ ees dans la section 3.2. On rappelle `a ce propos que π n = {0 = tn0 , tn1 , · · · , tni−1 , tni , · · ·} est une suite de subdivisions fix´ee de R+ dont le pas tend vers 0. Dans toute la section, f d´esigne une fonction de Ω × R+ × R dans R, X une semimartingale r´eelle, Z un processus d-dimensionnel enfin g d´esigne une fonction de Rd+1 dans R. Th´ eor` eme 4.5.1 alors on a X {i: i≥1;
tn i ≤t}
A. Supposons que f et X v´erifient les hypoth`eses du th´eor`eme 4.1.2 Ã (tni
−
tni−1 )f
tni−1 ,
Xtni − Xtni−1 pn ti − tni−1 78
!
Z u.c.p
→
0
t
ρσs (f (s−, .)) ds. (4.5.1)
B. Si f, X et Z v´erifient les hypoth`eses du th´eor`eme 4.3.1, alors, Ã ! Z t n − Xtn X X t i i−1 n n u.c.p n ρσs (g(Zs− , .)) ds. (4.5.2) (ti − ti−1 )g Zti−1 , p n → ti − tni−1 0 n {i: i≥1; ti ≤t}
On peut `a pr´esent passer aux th´eor`emes centraux limites. On rappelle que W est un mouvement brownien d´efini sur une extension de l’espace de d´epart (voir le d´ebut de la section 4.2). Th´ eor` eme 4.5.2 Si f et X v´erifient les hypoth`eses de la partie A du th´eor`eme 4.2.1 ou si f et X v´erifient les hypoth`eses de la partie A du th´eor`eme 4.2.2, alors, on a : " Ã )# ! ( Ã !¯ ¯ q n − Xt n X n − Wtn X W t t ¯ i−1 i tni − tni−1 f tni−1 , pi n − E f tni−1 , σtni−1 p in ¯ Ftni−1 n n ¯ t − t t − t n i i−1 i i−1 {i: i≥1; ti ≤t}
converge stablement en loi vers le processus Z t q Lt = ρσs− (f 2 (s−, .)) − [ρσs− (f (s−, .))]2 dW s . 0
Si de plus, il existe un processus Γ localement born´e, des r´eels α > pour tout T > 0 on ait : |f (ω, s, x) − f (ω, t, x) | ≤ ΓT |t − s|α [ 1 + |x|p ], alors : X {i: i≥1; tn i ≤t}
n (ti
−
tni−1 )f
1 2
et p ≥ 0 tels que
∀ s, t ≤ T,
¶ µ Xtn −Xtn R tni i i−1 n √ − tn ρσs− (f (s−, .)) ds ti−1 , tn −tn i−1 i i−1 pn n ti−1 − ti
converge stablement en loi vers L. Th´ eor` eme 4.5.3 Supposons que f, X et Z v´erifient les hypoth`eses du th´eor`eme 4.3.3 ou les hypoth`eses du th´eor`eme 4.3.4, alors, la suite de processus µ ¶ Xtn −Xtn R tni i i−1 n n √ n 0 1 (g(Zs− , .)) ds X (ti − ti−1 )g Zti−1 , tni −tni−1 − tni−1 ρσs− p n n ti−1 − ti n {i: i≥1; ti ≤t}
converge stablement en loi vers le processus Z t q 0 Lt := ρσ0 1 (g(Zs , .)2 ) − ρσ0 1 (g(Zs , .))2 dW s . 0
s−
s−
Les th´eor`emes ´enonc´es dans cette section se prouvent de fa¸con la mˆeme mani`ere que les th´eor`emes des sections pr´ec´edentes. 79
Chapitre 5
Etude de la convergence du produit de deux fonctionnelles de semimartingales Dans ce chapitre, nous ´etudions la convergence des processus [t/∆n ]
Utn = ∆n
X i=1
f
µ ¶ µ ¶ ∆n Y ∆n X (i − 1)∆n , √i g i∆n , √i+1 ∆n ∆n
(5.0.1)
o` u X et Y sont des semimartingales, f et g des fonctions de Ω × R+ × R dans R, et (∆n ) est une suite qui tend vers 0 quand n → ∞.
5.1 5.1.1
Loi des grands nombres Hypoth` eses et Notations
On consid`ere une base stochastique (Ω, F, Ft , P). Soit X et Y deux semimartingales r´eelles et h, une fonction de troncation sur R. On pose h0 (x) = x − h(x). Rappelons les notations utilis´ees dans (4.3.1) : pour tout entier m ≥ 1, on note h(m) 0 et h (m) les fonctions d´efinies sur Rm par 0 h h h0 h . . 0 (m) (m) . = h = , h . . . . h0 h On fixe d´esormais h et sauf mention contraire, on notera ainsi les fonctions de troncation sur Rm dans tout le chapitre. 80
Notre premi`ere hypoth`ese n’est rien d’autre qu’une version 2-dimensionnelle de l’hypoth`ese (H2 ) introduite `a la section 4.1 du chapitre 4. Pour ˆetre plus pr´ecis, on a : Hypoth` ese (H4 ) Le couple (X, Y ) peut s’´ecrire sous la forme : µ ¶ µ ¶ Rt Rt RtR Xt X0 = + 0 bs ds + 0 σs− dWs + 0 R2 h(2) (δ(s, x)) (µ − ν)(ds, dx) Yt Y0 R t R 0 (2) + 0 R h (δ(s, x))µ(ds, dx) o` u • b est un processus `a valeurs dans R2 , pr´evisible, localement born´e. σ est un processus c`adl`ag, adapt´e, prenant ses valeurs dans l’espace des matrices de dimension 2 × m. • W est un mouvement brownien de dimension m. µ est une mesure al´eatoire de Poisson sur R+ × R. • ν est la mesure compensatrice µ, elle s’´ecrit : ν(ds, dx) = F (dx)ds o` u F est une mesure σ-finie sur R. 2 • δR : ¡Ω × R+ × R → ¢ R est une application pr´evisible telle que le processus 2 F (dx) soit localement born´e. R 1 ∧ ||δ(s, x)|| 2 Si (H4 ) est v´erifi´e, on d´esigne par σ i , i = 1, 2 la i i`eme ligne de la matrice σ. D´ efinition 5.1.1 Soit m un entier non nul. Soit m vecteur al´eatoire V de dimension m, suivant la loi normale N (0, Id(m)) o` u Id(m) est la matrice identit´e d’ordre m, on notera ρ sa distribution sur Rm . Pour tout vecteur ligne y de dimension m et toute application bor´elienne φ : R → R, on notera : Z ρ(φ(y.)) := E(φ(yV )) = φ(yx) ρ(dx), (5.1.1) Rm
o` u yx est le produit de la matrice y avec la matrice x. Notons que ρ d´epend de m. Soit g une fonction de Ω × R+ × R dans R, pour A , t ≥ 0 et ε > 0, on d´efinit : Ggt (ε, A) = sup { |g(s, x + y) − g(s, x)|, |x| ≤ A; |y| ≤ ε; s ≤ t }
(5.1.2)
et Kth (ε, A) = sup { |g(s + ε, x) − g(s, x)|, |x| ≤ A; 0 ≤ s < t }.
(5.1.3)
Sous (H4 ), on pose : βin
:=
m X
∆ni W j 1,j √ , σ(i−1)∆ n ∆n j=1
et
81
n β0i
:=
m X
∆ni+1 W j 2,j √ σ(i−1)∆ . n ∆n j=1
(5.1.4)
5.1.2
R´ esultats
On rappelle l’hypoth`ese (K(R)) introduit `a la section (3.1) du chapitre 3. Th´ eor` eme 5.1.2 Supposons (H4 ) v´erifi´ee et soit f et g deux fonctions optionnelles et ` a croissance respectivement p et p0 polynomiale. On suppose que l’une des conditions suivantes est satisfaite • p, p0 ∈ [0, 2[, • X continu et p0 ∈ [0, 2[, • Y continu et p ∈ [0, 2[, • X et Y sont continues. On suppose de plus que f et g v´erifient K(R) et que n o f g E Gt (ε, A)} + Gt (ε, A) −→ 0 quand ε → 0, ∀ A, t ≥ 0. Alors, la suite de processus 0n
Ut
µ ¶ µ ¶ ∆ni+1 Y ∆ni X f (i − 1)∆n , √ g i∆n , √ ∆n ∆n
[t/∆n ] h
= ∆n
X i=1
i ¡ ¡ ¡ n¢ n ¢¢ −f ((i − 1)∆n , βin ) g (i − 1)∆n , β 0 i − g i∆n , β 0 i . converge u.c.p. vers le processus Z t 1 2 Ut := ρ(f (s−, σs− .))ρ(g(s−, σs− .)) ds
(5.1.5)
0
quand n → ∞. Si de plus, E {K g (∆n , A)t } −→ 0 quand n → ∞, alors les processus
Un
∀ A, t ≥ 0,
(5.1.6)
d´efinies dans (5.0.1) v´erifient
U n −→u.c.p. U. Dans le corollaire suivant, on donne une autre version du th´eor`eme pr´ec´edent avec des hypoth`eses certes plus fortes mais qui ont l’avantage de simplifier l’´enonc´e. Corollaire 5.1.3 On suppose que H4 est v´erifi´ee et que f et g sont optionnelles et ` a croissance respectivement p et p0 polynomiale. On suppose ´egalement que l’une des hypoth`eses suivantes soit r´ealis´ee : • p, p0 ∈ [0, 2[, • X continu et p0 ∈ [0, 2[, • Y continu et p ∈ [0, 2[, • X et Y sont continus. On suppose de plus que f est localement ´equicontinue sur R ( au sens de la d´efinition 3.1.1) et qu’elle admet des limites ` a gauche en s et que l’application (s, x) → g(ω, s, x) est continue sur R+ × R. Alors, U n −→u.c.p. U 82
5.1.3
Etude de la Convergence avec une fonction auxiliaire
L’hypoth`ese (5.1.6) du th´eor`eme (5.1.2) ´etant tr´es restrictive du point de vue pratique, on se propose comme on l’a d´ej`a fait dans les chapitres ant´erieurs d’´etudier le cas particulier o` u la fonction g s’´ecrit sous la forme : g(ω, s, x) = g 0 (Z(ω), x), o` u g 0 est une fonction d´efinie sur Rd+1 pour d ∈ N et o` u Z et un processus d-dimensionnel. Le premier r´esultat (du type loi des grands nombres) n’est rien d’autre qu’une application du th´eor`eme 5.1.2. Pour l’´enoncer nous avons besoin de supposer que Z comme X et Y soit une semimartingale d’Itˆo ; pour ˆetre plus pr´ecis, on suppose : Hypoth` ese (N3 ) : Le triplet (X, Y, Z) s’´ecrit : Z t Z t Z tZ Xt Z0 0 0 Yt = X0 + bs ds + σs− dWs + h(d+2) (δ 0 (s, x)) (µ − ν)(ds, dx) d+2 0 0 0 R Y0 Zt Z tZ 0 + h (d+2) (δ 0 (s, x)) µ(ds, dx), 0
Rd+2
o` u • b0 est un processus `a valeurs dans Rd+2 , pr´evisible, localement born´e . • W est un mouvement brownien m-dimensionnel. • σ 0 est un processus c`adl`ag, adapt´e, prenant ces valeurs dans l’espace des matrices de dimensions (d + 2) × m d+2 • Rδ 0 ¡: Ω × R+ × R ¢ → R , est une application pr´evisible telle que le processus 2 F (dx) soit localement born´e. R 1 ∧ ||δ(s, x)|| 2 0
Sous (N3 ), on notera par σ i la i`eme ligne de la matrice σ 0 . Th´ eor` eme 5.1.4 Supposons que le triplet (X, Y, Z) v´erifie (N3 ) et soit f : Ω×R+ ×R → R une application optionnelle et localement ´equicontinue ( au sens de la d´efinition 3.1.1). Soit g : Rd+1 → R une fonction continue. On suppose que f est ` a croissance p polynomiale et que pour tout pour tout compact K de Rd , il existe une constante CK , un r´eel positif p0 tels que 0 sup |g(z, x)| ≤ CK [1 + |x|p ]. z∈K
On suppose de plus que l’une des conditions suivantes est satisfaite : • p, p0 ∈ [0, 2[, • X continu et p0 ∈ [0, 2[, • Y continu et p ∈ [0, 2[, • X et Y sont continues,
83
Alors [t/∆n ]
X
∆n
f
i=1
µ ¶ µ ¶ Z t ³ ´ ∆n Y ∆n X 01 0 (i − 1)∆n , √i g Zi∆n , √i+1 −→u.c.p. ρ(f (s−, σs− .))ρ g(Zs , σs2 .) ds, ∆n ∆n 0
quand n → ∞.
5.2
Th´ eor` emes centraux limite
Dans cette partie, on cherche un th´eor`eme central limite associ´e au th´eor`eme 5.1.2. Pour ˆetre plus pr´ecis, on ´etudie les conditions sous lesquelles la suite de processus : ¶ µ ¶ Z t [t/∆n ] µ X ∆ni+1 Y ∆ni X 1 1 2 √ ∆n f (i − 1)∆n , √ g i∆n , √ − ρ(f (s−, σs− .))ρ(g(s−, σs− .))ds ∆n ∆ ∆ n n 0 i=1 converge.
5.2.1
Hypoth` eses et Notations
Commen¸cons par les hypoth`eses sur notre couple de semimartingales (X, Y ). L’hypoth`ese suivante n’est rien d’autre qu’une version 2-dimensionnelle de l’hypoth`ese (H3 ) introduite `a la section 4.2 du chapitre 4. Hypoth` ese (H5 ) Le couple (X, Y ) peut s’´ecrire sous la forme : µ ¶ µ ¶ Rt Rt RtR Xt X0 = + 0 bs ds + 0 σs− dWs + 0 R2 h(2) (δ(s−, x)) (µ − ν)(ds, dx)+ Yt Y0 R t R 0 (2) (δ(s−, x))µ(ds, dx), 0 Rh o` u • b est un processus `a valeurs dans R2 , c`adl` ag adapt´e, ag adapt´e et `a valeur dans l’espace des • σ est un processus localement born´e c`adl` matrices de dimension 2 × m. • δ : Ω × R+ × R → R2 est l`ag en s, Fs ⊗ R-mesurable (en (ω, x)) pour tout s fix´e, de plus il existe une suite de temps d’arrˆets (Tk ) croissant vers l’infini et une suite de fonctions (γk ) d´efinies sur R, bor´eliennes telles que pour tout k, on ait Z sup ||δ(ω, s, x)|| ≤ γk (x), et (γk (x) ∧ 1) F (dx) < ∞. (5.2.1) R
s≤Tk (ω), ω∈Ω
2 L’hypoth`ese qui va suivre est du mˆeme type que l’hypoth`ese (M1 ) de la section 4.2 du chapitre 4. Elle porte sur le processus σ.
84
Hypoth` ese (M3 ) On a (H5 ) et de plus, le processus σ peut s’´ecrire sous la forme σt = σ0 + + o` u
2
Rt
e
0 bs ds
R Rt R 0
+
Rt 0
σ es− dWs +
Rt 0
vs− dVs +
R Rt R 0
e x))(µ − ν)(ds, dx) h(2m) (δ(s,
0 e h (2m) (δ(s−, x))µ(ds, dx),
• eb est un processus pr´evisible, de dimension R2×m • σ e un processus c`adl`ag, adapt´e, prenant ces valeurs dans l’espace des tableaux de dimensions 2 × m × m, • V est un mouvement brownien l-dimensionnel ind´ependant de W , • v est un processus c`adl`ag, adapt´e prenant ses valeurs dans l’espace des tableaux de dimensions 2 × m × l, • δe est une fonction de Ω × R+ × R dans R2×m telle que pour s, l’application (ω, x) → e s, x) soit Fs ⊗ R-mesurable. On suppose de plus que δe est c`adl` δ(ω, ag en s et le ´i ³ R h 2 e processus R sups≤t 1 ∧ ||δ(s, x)|| F (dx) est localement born´e. Passons `a pr´esent aux hypoth`eses sur les fonctions. Consid´erons θ : Ω × R+ × R → R.
Hypoth` ese F (q) : On dira que θ v´erifie (F (q)), s’il existe un processus localement born´e Γ et un r´eel α > 12 tels que |θ(ω, s, x) − θ(ω, t, x)| ≤ ΓT [1 + |x|q ] |t − s|α ,
∀ T > 0, s, t ∈ [0, T ], ∀ x ∈ R. (5.2.2)
2 Hypoth` ese (Dif ) On dira que θ v´erifie (Dif), si : • θ(ω, s, 0) est un processus localement born´e, • l’application x → θ(ω, s, x) est C 1 , ∂θ • ∂x est `a croissance au plus polynomiale et est localement ´equicontinue sur R.
2
Hypoth` ese (Dif ’) On dira que θ v´erifie (Dif’) si elle v´erifie (Dif) et s’il existe un processus γ localement born´e tel que ¯ ¾ ¯ ½ ¯ ∂θ ¯ ¯ sup |θ(ω, s, x)| + ¯ (ω, s, x)¯¯ . ≤ γs (ω), ∂x x∈R o` u
∂0θ ∂x0
= θ.
2
Soit (Ω0 , F 0 , P0 ) un espace auxiliaire muni d’un mouvement brownien W . On pose e = P ⊗ P0 e = Ω × Ω0 , Fe = F ⊗ F 0 , P Ω e On d´efinit Les processus d´efinis sur Ω o` u Ω0 peuvent ˆetre consid´er´es comme d´efinis sur Ω. e e sur F la filtration (Ft ) qui est la plus petite filtration continue `a droite, contenant Ft et telle que W soit adapt´e.
85
Posons : Vtn
V 0 nt
´ ³ ´ √ P[t/∆ ] h ³ ∆n Y ∆n X ∆n i=1 n f (i − 1)∆n , √i∆ g (i − 1)∆n , √i+1 ∆n n © ª¤ n −E f ((i − 1)∆n , βin )g((i − 1)∆n , β 0 i ) |F(i−1)∆n , h ³ ´ ³ ´ ∆n Y ∆n X 1 P[t/∆n ] ∆n f (i − 1)∆n , √i∆ g i∆n , √i+1 = √∆ i=1 ∆n n n i Rt 1 .))ρ(g(s−, σ 2 .)) ds , − 0 ρ(f (s−, σs− s− =
(5.2.3)
Rappelons les notations (5.1.1). Pour tout j ∈ {1, · · · , m}, On d´efinit la projection Pj par Pj (y) = y j ,
∀ y ∈ Rm .
(5.2.4)
On d´efinit le processus A(1) unidimensionnel et le processus A(2) qui est un vecteur ligne de dimension m de la fa¸con suivante ¡ ¢ ¡ ¢ 1 .)2 ρ g(s−, σ 2 .)2 A(1)s = ρ f (s−, σs− s− ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ 2 1 1 2 + 2ρ g(s−, σs− .) ρ f (s−, σs− .) ρ f (s−, σs− .)g(s−, σs− .) ¡ ¡ ¢¢ ¡ ¡ ¢¢ 1 .) 2 ρ g(s−, σ 2 .) 2 , − 3 ρ f (s−, σs− s− ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ j 1 2 2 1 A(2)s = ρ f (s−, σs− .) ρ g(s−, σs− .)Pj (.) + ρ g(s−, σs− .) ρ f (s−, σs− .)Pj (.) . (5.2.5) 0 On d´efinit `a pr´esent les processus M et M de la fa¸con suivante : Rtp ) Mt = 0 A(1)s dW s (5.2.6) Rtp Pm R t j j 2 dW . M0 t = A(2) dW + A(1) − ||A(2) || s s s s s j=1 0 0 Remarque 5.2.1 Remarquons que si les applications x → f (s, x) et x → g(s, x) sont paires, on a A(2)js = 0, d’o` u M = M0 . Sous l’hypoth`ese (H5 ), on pose : Z bb1 = b1 − s et
h(δ 1 (s−, x)) F (dx), R
Z bb2 = b2 − s
Notons que si X est continue
bb1
=
h(δ 2 (s−, x)) F (dx). R
b1 .
On rappelle le processus σ e introduit dans l’hypoth`ese (M3 ). Th´ eor` eme 5.2.2 A. Supposons que l’hypoth`ese (M3 ) soit v´erifi´ee. Soit f et g, deux fonctions de Ω × R+ × R dans R, optionnelles, v´erifiant (K(R)). On suppose que l’une des conditions suivantes est r´ealis´ee : 86
• X et Y sont continus, f et g v´erifient l’hypoth`ese (Dif ). • X continu, f v´erifie (Dif ) et g v´erifie (Dif ’). • Y continu, f v´erifie (Dif ’) et g v´erifie (Dif ). • f et g v´erifient (Dif ’). Alors, quand n tend vers l’infini, la suite de processus Vtn converge stablement en loi vers le processus Mt dans les cas suivants : A.1. Les applications x → f (ω, s, x) et x → g(ω, s, x) sont paires, A.2. l’application x → f (ω, s, x) est paire et bb2 = σ e2,j,k ≡ 0 pour j, k ∈ {1, · · · , m} 1 1,j,k 2,j,k b A.3. b = σ e = σ e ≡ 0, l’application x → g(ω, s, x) est paire pour j, k ∈ {1, · · · , m}. A.4. On a bb1 = bb2 = σ e1,j,k = σ e2,j,k ≡ 0 pour j, k ∈ {1, · · · , m}. 2 2,j,k b e ≡ 0 pour j, k ∈ {1, · · · , m}. A.5. g impaire et b = σ B. Suppososons de plus que f et g v´erifient respectivement (F (q)) et (F (q 0 )) o` u q (resp. q 0 ) est un r´eel positif quelconque si X (resp. Y est continue) et q (resp. q 0 ) appartient ` a [0, 2] sinon. Alors, la suite de processus V 0 nt converge stablement en loi vers le processus M0 t . Remarque 5.2.3 Dans les parties A.1, A.2 et A.3 du th´eor`eme pr´ec`edent on a g´en´eralis´e les r´esultats de la partie A.1 et les r´esultats du th´eor`eme 4.2.1 aux cas des fonctions non paires. Cette g´en´eralisation ne s’est pas faite sans restriction sur les processus. Prenons l’exemple o` u g ≡ 1 les hypoth`eses du th´eor`eme sont v´erifi´ees dans le cas o` u la fonction f 1 1,k,j b n’est pas paire ce qui impose le fait que b = σ e ≡ 0. Dans ce cas, le processus X s’´ecrit Xt = X0 +
m Z X j=1
0
t
σs1,j dWsj +
X
∆Xs .
0≤s≤t
On a dans ce cas · µ ¶ ¸ Z t ¡ ¢ 1 ∆ni X 1 √ f (i − 1)∆n , √ − ρ f (s−, σs− .) ds −→ M00 ∆n ∆n 0 stablement en loi, avec M00 t =
m Z X j=1
0
t
¡ ¢ 1 ρ f (s−, σs− .)Pj (.) dWsj +
v Z tu m X ¢ ¡ ¡ ¢¢ ¡ ¡ ¢¢ u ¡ 2 .)2 − ρ f (s−, σ 1 .) 2 − 1 .)P (.) 2 dW s, tρ f (s−, σs− + ρ f (s−, σs− j s− 0
j=1
voir (5.2.4) pour P .
5.2.2
Convergence pour le produit de deux fonctions auxiliaires
Dans cette partie, on ´etudie le cas particulier des fonctions qui s’´ecrivent sous la forme u Z et Z 0 sont des semimartingales f (ω, s, x) = f 0 (Zs (ω), x) et g(ω, s, x) = g 0 (Zs0 (ω), x) o` 87
0
respectivement d et d0 -dimensionnelle et o` u f 0 et g 0 sont d´efinies sur Rd+1 et Rd +1 . Nous commen¸cons par faire quelques hypoth`eses et notations. quadruplet (X, Y, Z, Z 0 ) admet une ´ecriture sous la forme : Z t Z t Z tZ 0 0 0 + bs ds + σs dWs + h(2+d+d ) (δ 0 (s−, x)) (µ − ν)(ds, dx)
Hypoth` ese (N4 ) Le Xt X0 Yt Y0 Zt = Z0 Zt0 Z00
0
Z tZ + 0
0
0
0
Rd+2
0
h (2+d+d ) (δ 0 (s−, x)) µ(ds, dx),
(5.2.7)
Rd+2
o` u σ est un processus progressivement mesurable, localement born´e, `a valeur dans l’espace des matrices de dimension (2 + d + d0 ) × m et tel que 0 0 0 0 Z t Z t Z t σ01,1 , · · · , σ01,m σt1,1 , · · · , σt1,m ebs ds + + = σ e dW + vs− dVs s− s 0 0 0 0 0 0 0 σt2,1 , · · · , σt2,m σ02,1 , · · · , σ02,m Z Z +
t
Z Z (2m)
h R
e x)) (µ − ν)(ds, dx) + (δ(s,
0
R
t
0 e x))µ(ds, dx), h (2m) (δ(s,
0
(5.2.8) o` u
• b0 et eb sont des processus pr´evisibles, localement born´es, `a valeurs respectivement 0 0 0 dans R2+d+d et R2×m , de plus les processus b 1 et b 2 sont c`agl` ad. • W et V sont des mouvement browniens ind´ependants, de dimension respectivement m et l. • σ e et v sont des processus c`adl` ag, adapt´es, prenant leurs valeurs respectivement dans l’espace des tableaux de dimensions 2 × m × m et 2 × m × l. 0 • δ 0 : Ω×R+ ×R → R2+d+d et δe : Ω×R+ ×R → R2×m , sont pr´evisibles, les processus Z ³ Z · ´ ³ ´¸ 0j 2 k1 ,k2 2 e 1 ∧ ||δ (s, x)|| F (dx), et sup 1 ∧ ||δ (s, x)|| F (dx) R
R
u≤s
sont localement born´es, o` u j ∈ {3, · · · , d + 2} et o` u k1 ∈ {1, 2} et k2 ∈ {1, · · · , m}. 0 0 On suppose de plus que δe est c`adl` ag en s alors que δ 1 et δ 2 admettent des limites `a gauche en s. Enfin, on suppose l’existence d’une suite de temps d’arrˆet (Tk ) qui croissent vers l’infini et une suite de fonctions bor´eliennes (γk ) et (φk ) telle que pour tout k, on ait ¯ ¯ ¯o n¯ 0 ¯ ¯ ¯ 0 ¯ sups≤Tk (ω) ¯δ 1 (ω, s, x)¯ + ¯δ 2 (ω, s, x)¯ ≤ γk (x), o nP 0 j 2+d+d 0 (5.2.9) ≤ φk (x) sups≤Tk (ω) j=3+d |δ (ω, s, x)| ¢¤ ¡ R £ 2 F (dx) < ∞. R (1 ∧ γk (x)) + 1 ∧ φk (x) 88
Sous (N4 ), on d´esignera par σ j , la j i`eme ligne de la matrice σ. On va introduire les versions actuelles des hypoth`eses (Dif) et (Dif’) de la section 5.2. Soit ψ, une fonction de Rq+1 → R, o` u q ∈ N? . Hypoth` ese (Diff-q) : On dira que ψ v´erifie (Diff-q), si ψ est C 1 sur Rq+1 et si pour tout compact K ∈ Rq , il existe une constante CK et un r´eel p positif p = p(K) tels que supz∈K {|ψ(z, x)|} ≤ CK , ¯ P ¯ ¯o n¯ (5.2.10) ¯ ∂ψ ¯ ∂ψ ¯ ¯ q supz∈K ≤ CK [1 + |x|p ]. ¯ ∂x (z, x)¯ + j=1 ¯ ∂z j (z, x)¯ 2 Hypoth` ese (Diff ’-q) : On dira que ψ v´erifie (Diff’-q), si ψ v´erifie (Diff-q) et si le r´eel p qui intervient dans (5.2.10) est nul. 2 Pour toute la suite de ce paragraphe, on utilisera des fonctions 0
f : Rd+1 → R et g : Rd +1 → R. Si elles sont suffisamment r´eguli`eres, on posera h ´ ³ ´ P[t/∆ ] ³ ∆n Y ∆n X 0 √i+1 Utn = ∆1n ∆n i=1 n f Z(i−1)∆n , √i∆ g Zi∆ , n ∆n n i Rt 0 0 − 0 ρ(f (Zs , σs1 .))ρ(g(Zs0 , σs2 .)) ds .
(5.2.11)
Rappelons : • le mouvement brownien W d´efinit sur un espace auxiliaire et introduit au d´ebut du paragraphe 5.2.1, • la projection d´efinie dans (5.2.4). On rappelle ´egalement les processus A(1), A(2), M et M0 d´efinis en (5.2.5) et (5.2.6). On donne ici leurs versions actuelles : ³ ´ ³ ´ 0 0 Π(1)s = ρ f (Zs , σs1 .)2 ρ g(Zs0 , σs2 .)2 ³ ´ 0 0 0 0 + 2ρ(f (Zs , σs1 .))ρ(g(Zs0 , σs2 .))ρ f (Zs , σ 1 .)g(Zs0 , σs2 .) ³ ´2 ³ ´2 0 0 − 3 ρ(f (Zs , σs1 .)) ρ(g(Zs0 , σs2 .)) , ³ ´ ³ ´ 0 0 0 0 Π(2)js = ρ(f (Zs , σs1 .))ρ g(Zs0 , σs2 .)Pj (.) + ρ f (Zs , σs1 .)Pj (.) ρ(g(Zs0 σs2 .)). en posant Π(2) le vecteur ligne (Π(2)1 , · · · , Π(2)m ), Rt p Tt = 0 Π(1)s dW s , Rt p Pm0 R t j 0j T 0t = Π(1)s − ||Π(2)s ||2 dW s . j=1 0 Π(2)s dW s + 0
(5.2.12)
Rappelons enfin les processus σ e et a qui interviennent dans l’hypoth`ese (N4 ) et posons pour r, r0 ≤ 1 : Z 1 0 0 bb0 = b 1 − h(δ 1 (s−, x)) F (dx). R
89
et
2 bb0 = a2 −
Z 0
h(δ 2 (s−, x)) F (dx). R
Th´ eor` eme 5.2.4 Supposons l’hypoth`ese (N4 ) v´erifi´ee et que pour tout compact K de Rd , il existe une constante CK telle que : sup {|f (z, x)|} ≤ CK .
(5.2.13)
z∈K
On suppose de plus que l’une des hypoth`eses suivantes est v´erifi´ee • X et Y sont continus, f v´erifie (Diff-d) et g v´erifie (Diff-d0 ). • X continu, f v´erifie (Diff-d) et g v´erifie (Diff ’-d0 ). • Y continu, f v´erifie (Diff ’-d) et g v´erifie (Diff-d). • f v´erifie (Diff ’-d) et g v´erifient (Diff ’-d0 ). Alors, U n converge stablement en loi vers le processus T 0 quand n tend vers l’infini dans les cas suivants A.1. Les application x → f (ω, s, x) et x → g(ω, s, x) sont paires. 2 A.2. L’application x → f (ω, s, x) est paire et bb0 = σ e2,j,k ≡ 0, ∀ j, k ∈ {1, · · · , m}. 1
A.3. L’application x → g(ω, s, x) est paire et bb0 = σ e1,j,k = σ e2,j,k = σ j ,k ≡ 0, pour j, k, k 0 ∈ {1, · · · , m} et j 0 ∈ {3 + d, · · · , d + d0 + 2}. 1 2 0 0 A.4. On a bb0 = bb0 = σ e1,j,k = σ e2,j,k = σ j ,k ≡ 0, ∀ j, k, k 0 ∈ {1, · · · , m} et j 0 ∈ {3 + d, · · · , d + d0 + 2} et k 0 ∈ {1, ·, m} 2 e2,j,k ≡ 0 pour j, k ∈ {1, · · · , m}. A.5. g impaire et bb0 = σ 0
0
0
Remarque 5.2.5 La condition σ q,k ≡ 0 pour q ∈ {3 + d, · · · , 2 + d + d0 } et k ∈ {1, · · · , m} veut dire en fait que la semimartingale Z 0 n’a pas de partie martingale continue.
5.3 5.3.1
Preuves Preuve de la loi des grands nombres
Pr´ eliminaires Comme on l’a d´ej`a fait plusieurs fois dans les chapitres pr´ec´edents, on renforce l’hypoth`ese (H4 ) de la fa¸con suivante : R Hypoth` ese LH4 : (H4 ) est v´erifi´ee, de plus les processus bs , σs , R2 (1 ∧ |x|2 ) Fs (dx) et ∆Xs et ∆Ys sont uniform´ement born´es. 2 On supposera ´egalement pour le moment que tout les processus `a croissance polynomiale le sont pour un processus Γ born´e (voir la d´efinition 4.1.1 partie A du chapitre 4 pour Γ). Toutes les contantes seront appel´ees par K. f et g sont des fonctions de Ω × R+ × R dans R, optionnelles. 90
On commencera la preuve par quelques lemmes. Rappelons βin et β 0 ni d´efinies dans (5.1.4). Lemme 5.3.1 Spuposons (LH4 ) v´erifi´ee, que f et g v´erifient (K(R)) et sont ` a croissance polynomiale alors [t/∆n ]
∆n
X
© ¡ ¢ ª E f ((i − 1)∆n , βin ) g (i − 1)∆n , βi0n |F(i−1)∆n
i=1
converge u.c.p. vers le processus Z t ¡ ¢ ¡ ¢ 1 2 ρ f (s−, σs− .) ρ g(s−, σs− .) ds. 0
La preuve de ce lemme est identique `a la preuve du lemme 4.4.1 du chapitre 4. Lemme 5.3.2 Sous (LH4 ), si f et g sont ` a croissance polynomiale alors [t/∆n ]
∆n
X £
© ª¤ n n f ((i − 1)∆n , βin )g((i − 1)∆n , β 0 i ) − E f ((i − 1)∆n , βin )g((i − 1)∆n , β 0 i )|F(i−1)∆n
i=1
converge u.c.p. vers 0. quand n tend vers l’infini. Preuve Posons £ © ª¤ n n ζin = ∆n f ((i − 1)∆n , βin )g((i − 1)∆n , β 0 i ) − E f ((i − 1)∆n , βin )g((i − 1)∆n , β 0 i )|F(i−1)∆n . Remarquons que [t/∆n ]
X
E{ζin 2 |F(i−1)∆n } ≤ Kt∆n .
i=1
La preuve est alors juste une application du lemme 5-1 de [3].
2
Lemme 5.3.3 Supposons que pour tout A, t > 0 positifs, on ait, avec la notation (5.1.2) : E{Gf (ε, A)t } −→ 0,
quand ε → 0.
On suppose ´egalement que f et g sont ` a croissance respectivement p et p0 -polynomiale. On suppose de plus que (LH4 ) est v´erifi´ee et que l’une des conditions suivantes est satisfaite • p ∈ [0, 2[ et p0 ∈ [0, 2], • X continu et p0 ∈ [0, 2], • Y continu et p ∈ [0, 2[, • X et Y continus. Alors quand n tend vers l’infini, [t/∆n ]
∆n
X i=1
¶· µ ¶ ¸ µ ∆ni+1 Y ∆ni X n f (i − 1)∆n , √ − f ((i − 1)∆n , βi ) →u.c.p. 0. g i∆n , √ ∆n ∆n 91
Preuve Posons µ ¶· µ ¶ ¸ ∆ni+1 Y ∆ni X 0n n ζ i = g i∆n , √ f (i − 1)∆n , √ − f ((i − 1)∆n , βi ) . ∆n ∆n Pour tout (ω, s, x) ∈ Ω × R+ × R on a 0
|f (ω, s, x)| ≤ K[1 + |x|p ] et |g(ω, s, x)| ≤ K[1 + |x|p ]. Vu que ( " ) ¯ n ¯p0 # ¾ ½¯ µ n Y ¶¯¯ ¯ ¯ ¯ ∆ X ∆ ¯ |Fi∆n ≤ E K 1 + ¯ √i+1 ¯ |Fi∆n ≤ K E ¯¯g i∆n , √i+1 ¯ ¯ ∆ ¯ ∆ n
n
et que sous (LH4 ), on a E{||(Xt , Yt ) − (Xs , Ys )||2 } ≤ K|t − s|, Il suit s’en suit que n E{|ζ 0 i |}
¯¾ ¶ ½¯ µ ¯ ¯ ∆ni X n ¯ ¯ − f ((i − 1)∆n , βi )¯ . ≤ K E ¯f (i − 1)∆n , √ ∆
(5.3.1)
n
Soit q un r´eel tel que : q > p si X est continu et q = 2 sinon. Pour tout B > 0, on d´efinit : 1 + |x|p HB = K sup et LB = K[1 + B p ]. |x|q {|x|>B} Il s’en suit que : sup{s∈R+ , sup{s∈R+ ,
|x|>B}
|f (ω,s,x)| |x|q
|x|≤B}
|f (ω, s, x)| ≤ K[1 + B p ]
≤ K sup{|x|>B}
1+|x|p |x|q
= HB = LB .
(5.3.2)
Il est clair que |f (ω, s, x)| ≤ LB + HB |x|q
et que
lim HB = 0.
B→0
On en d´eduit que pour tout ε > 0 et A ≥ 0, on a ¯ µ ¯ ¶ nX ¯ ¯ n ¯ i ¯f (i − 1)∆n , ∆ √ − f ((i − 1)∆ , β ) ≤ Gf (ε, A) n i ¯ ¯ ∆n ! à ¯q µ¯ n ¶ ¯ ∆i X ¯ n q n ¯ ¾ ½¯ ¯ ¯ + 1{|βin |>A} + HB ¯ √ + LB 1 ¯ ∆ni X n ¯ − βi ¯ + |βi | ¯ ¯√ ∆n ¯ ∆n −βi ¯>ε Il suit alors d’apr`es (5.3.1) que " n E{|ζ 0 i |}
f
≤ K E{G (ε, A)} + LB
à ε
# ¯ n ¯2 ) ½ n ¾! ¯ ∆i X ¯ |β | n i + E E 1 ∧ ¯¯ √ − βi ¯¯ + HB , A ∆n (
−2
92
d’o` u [t/∆n ]
∆n
X i=1
· ¸ ¾ [t/∆n ] ½ X 1 ∆n X n E{|ζ 0 i |} ≤ Kt E{Gf (ε, A)} + + HB + Kε−2 ∆n E 1 ∧ | √i − βin |2 . A ∆n i=1
En utilisant le lemme 4.1 de [8], on fait tendre successivement n vers l’infini, ε vers 0, A puis B vers l’infini. 2 Lemme 5.3.4 Supposons (LH4 ) v´erifi´ee E {Gg (ε, A)t } −→ 0
quand ε → 0,
∀ A ≥ 0.
On suppose aussi que f est ` a croissance au plus polynomiale, g ` a croissance p-polynomiale et que l’une des deux conditions suivantes soit satisfaite • (LH4 ) v´erifi´ee et p < 2, • (LH4 ) v´erfi´ee et Y continu. Alors, [t/∆n ]
∆n
X i=1
f ((i −
1)∆n , βin )
¶ µ µ ¶ ∆ni+1 Y 0n √ − g(i∆n , β i ) →u.c.p. 0 g i∆n , ∆n
quand n → ∞. La preuve de ce lemme est similaire `a celle du lemme 5.3.3. On va ´enoncer un dernier lemme dont la d´emonstration que nous omettons n’est pas tr´es difficile. Rappelons la notation (5.1.3). Lemme 5.3.5 Supposons (LH4 ) v´erifi´ee. On suppose de plus que f et g sont ` a croissances au plus polynomiales et que E{K g (∆n , A)t } → 0,
quand n → 0,
∀ A ≥ 0.
Alors [t/∆n ]
∆n
X
¡ n n ¢ f ((i − 1)∆n , βin ) g(i∆n , β 0 i ) − g((i − 1)∆n , β 0 i ) →u.c.p. 0,
i=1
quand n → ∞.
93
Preuve du Th´ eor` eme 5.1.2 Il suffit de prouver le th´eor`eme sous les hypoth`eses renforc´ees ´enonc´ees au d´ebut de la section 5.3.1. On pose : P[t/∆ ] U n (1)t = ∆n i=1 n E{f ((i − 1)∆n , βin )g((i − 1)∆n , β 0 ni )|F(i−1)∆n }, P [t/∆n ] n n n 0 U (2)t = ∆n i=1 [f ((i − 1)∆n , βi )g((i − 1)∆n , β i ) © ª¤ n n 0 −E f ((i − 1)∆n , βi )g((i − 1)∆n , β i )|F(i−1)∆n , ³ i ´ h ´ ³ P[t/∆ ] ∆n Y ∆n X f (i − 1)∆n , √i∆ − f ((i − 1)∆n , βin ) , U n (3)t = ∆n i=1 n g i∆n , √i+1 ∆n n ³ ³ ´ ´ n P ∆i+1 Y [t/∆n ] n n n 0 U (4)t = ∆n i=1 f ((i − 1)∆n , βi ) g i∆n , √∆ − g(i∆n , β i ) , n P [t/∆ ] n n n n n 0 0 U (5) = ∆n i=1 f ((i − 1)∆n , βi ) (g(i∆n , β i ) − g((i − 1)∆n , β i )) . (5.3.3) Il est clair que Utn =
5 X
Utn (j).
j=1
On a U n (1) −→u.c.p. U, d’apr`es le lemme 5.3.1. Ensuite, U n (2), U n (3) et U n (4) convergent u.c.p. vers 0 respectivement d’apr`es les lemmes 5.3.2, 5.3.3 et 5.3.4. Ce qui prouve la premi`ere partie du th´eor`eme 5.1.2. Pour la deuxi`eme partie, il suffit de remarquer que d’apr`es le lemme 5.3.5, sous (5.1.6) on a aussi Utn (5) −→u.c.p. 0.
5.3.2
Preuve des T.C.L.
Pr´ eliminaires Dans ce sous-paragraphe, nous renfor¸cons cetaines hypoth`eses avant d’´enoncer une s´erie de lemmes. Hypoth` ese (LM3 ) : On a (M3 ) et de plus, les processus b, eb, σ, σ e, vs sont uniform´ement born´es, de mˆeme que le processus Z µ ³ ´¶ 2 e (ω, t) → sup 1 ∧ ||δ(ω, s, x)|| F (dx). R
s≤t
les fonctions γk = γ ne d´ependent pas de k et v´erifient : Z γ(x) ≤ K et γ(x) F (dx) < ∞. R
94
2 Sous (LM3 ), les processus (X,Y) et σ peuvent s’´ecrire sous la forme µ ¶ µ ¶ Rt 0 Rt RtR Xt X0 = + 0 bs ds + 0 σs− dWs + 0 R2 δ(s, x) µ(ds, dx), Yt Y0 Rt Rt Rt R Rt σt = σ0 + 0 be0 s ds + 0 σ es− dWs + 0 vs− dVs + R 0 δe ? (µ − ν)(ds, dx), (5.3.4) o` u Z Z b0s
= bs −
t
Z Z (2)
h R
(δ(ω, s, x))ν(ds, dx),
0
be0 s = ebs +
R
t
0 e s, x))ν(ds, dx). h (2m) (δ(ω,
0
Fixons f et g deux fonctions de Ω × R+ × R dans R. On supposera que les processus Γ qui interviennent dans la d´efinition 4.1.1 et dans l’hypoth`ese (F1 (p)) et le processus θ qui intervient dans l’hypoth`ese (Dif’) sont uniform´ement born´es. Rappelons les variables βin et β 0 ni d´efinies dans (5.1.4) et l’hypoth`ese (LH4 ) introduite dans la preuve du th´eor`eme 5.1.2. Lemme 5.3.6 Supposons (LH4 ) v´erifi´ee, que f soit ` a croissance p-polynomiale et que g v´erifie (F (p0 )) alors, les processus ¶µ µ ¶ µ ¶¶ [t/∆n ] µ X p ∆ni+1 Y ∆ni+1 Y ∆ni X = ∆n f (i − 1)∆n , √ g i∆n , √ − g (i − 1)∆n , √ ∆n ∆n ∆n i=1 (5.3.5) convergent u.c.p. vers 0 quand n → ∞ dans les cas suivants : – X et Y sont continus, – X continu et p0 ∈ [0, 2], – p ∈ [0, 2], Y continu, – p , p0 ∈ [0, 2]. Vtn (1)
La preuve de ce lemme est ´evidente.
ζin
Posons maintenant · µ ¶ µ ¶ ¸ p ∆ni+1 Y ∆ni X n 0n = ∆n f (i − 1)∆n , √ g (i − 1)∆n , √ − f ((i − 1)∆n , βi )g((i − 1)∆n , β i ) ∆n ∆n
et
[t/∆n ]
Vtn (2)
:=
X £
¤ ζin − E{ ζin | F(i−1)∆n } .
(5.3.6)
i=1
Lemme 5.3.7 Supposons (LH4 ) v´erifi´ee, que f et g soient optionnelles, localement ´equicontinues (au sens de la d´efinition 3.1.1). On suppose de plus que f et g sont ` a croissance respecti0 vement p et p -polynomiale et que l’une des conditions suivantes est satisfaite : 95
– X et Y sont continus, – X continue et p0 ∈ [0, 1[, – p ∈ [0, 1[, Y continu, – p , p0 ∈ [0, 1[. Alors Vtn (2) converge u.c.p. vers 0 quand n → ∞. 00 n
Preuve Remarquons que ζin = ζi0 n + ζi o` u µ ¶µ µ ¶ ¶ p ∆ni+1 Y ∆ni X n 0n ∆n g (i − 1)∆n , √ f (i − 1)∆n , √ − f ((i − 1)∆n , βi ) ζi = ∆n ∆n et 00 n
ζi
=
p
∆n f ((i −
1)∆n , βin )
¶ ¶ µ µ ∆ni+1 Y 0n − g((i − 1)∆n , βi ) . g (i − 1)∆n , √ ∆n
D’apr`es le lemme 5-1 de [3], il nous suffit de montrer que les sommes [t/∆n ]
X
¾ [t/∆n ] ½³ n¡ ¢ o ´ X 00 n 2 0n 2 |F(i−1)∆n et E ζi E ζi |F(i−1)∆n convergent u.c.p. vers 0.
i=1
i=1
Ceci se fait de fa¸con similaire `a ce qu’on a fait dans les preuves des lemmes 5.3.3 et 5.3.4. 2 Lemme 5.3.8 Supposons (LH5 ) v´erifi´ee. Soit φ : Ω × R+ × R → R, une fonction optionnelle, v´erifiant (K(R)), γ un processus localement born´e, l` ag et adapt´e. On a Z
[t/∆n ]
∆n
X
γ(i−1)∆n φ((i − 1)∆n , βin ) −→u.c.p.
i=1
0
t
1 γs− ρ(φ(s−, σs− .)) ds,
quand n → ∞.
Preuve : Il suffit d’appliquer le th´eor`eme 4.1.2 du chapitre 4 `a la fonction f (ω, s, x) = γs (ω)φ(ω, s, x). 2 a croisLemme 5.3.9 On suppose que f et g sont optionnelles, v´erifient (K(R)) et sont ` sance au plus polynomiale. Alors Vtn (3)
[t/∆n ] X £ p n = ∆n f ((i − 1)∆n , βin )g((i − 1)∆n , β 0 i ) i=1
© ª¤ n − E f ((i − 1)∆n , βin )g((i − 1)∆n , β 0 i ) |F(i−1)∆n converge en loi stable vers le processus M0t d´efini dans (5.2.6).
96
(5.3.7)
Preuve Posons h i p 2 n 1 γin := ∆n ρ(g((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ .)) f ((i − 1)∆ , β ) − ρ(f (i − 1)∆ , σ .) n n i (i−1)∆ n n et ζin :=
h ³ ´ n n 2 ∆n f ((i − 2)∆n , βi−1 ) g((i − 2)∆n , β 0 i−1 ) − ρ(g((i − 2)∆n , σ(i−2)∆ .)) n ³ ´i 2 n 1 + ρ(g((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ .)) f ((i − 1)∆ , β ) − ρ(f ((i − 1)∆ , σ .)) . n n i (i−1)∆n n p
Par simple calcul, on montre que [t/∆n ]+1
Vtn (3)
X
=
n ζin + γ1n − γ[t/∆ . n ]+1
i=2
De mˆeme, on montre que sup i≤[t/∆n ]+1
{|γin | + |ζin | } → 0, en probabilit´e quand n → ∞.
Cela veut dire que pour trouver la limite de Vin (3), il suffit de trouver la limite de V 0 n (3)t := P[t/∆n ] n ζi . i=1 On a clairement que E{ζin |F(i−1)∆n } = 0.
(5.3.8)
Ensuite, par un usage r´ep´et´e de l’in´egalit´e de H¨older et pour ε > 0, on a [t/∆n ]
X
[t/∆n ]
E{ζin 2 1{|ζin |>ε} } ≤ ε−1/2
i=1
X ¡ ¢1/2 −1/2 E{(ζin )4 } (E{|ζin |})1/2 ≤ Kt∆1/4 . n ε i=1
Il suit alors que [t/∆n ]
X
E{ζin 2 1{|ζin |>ε} } −→ 0,
quand n → ∞.
(5.3.9)
i=1
Soit N une martingale born´ee et orthogonale `a W . Posons Mtn = E{ζin |Ft } pour t ≥ (i−1)∆n . Conditionnellement `a F(i−1)∆n , ζin d´epend de Wt −W(i−1)∆n pour t ≥ (i−1)∆n . Rt n + 0 ηsn dWs Il suit par le th´eor`eme de representation des martingales que Mtn = M(i−1)∆ n n )(Nt − N(i−1)∆n ) pour un certain processus pr´evisible η n . On a alors que (Mtn − M(i−1)∆ n est une martingale d’o` u: E{ζin ∆ni N |F(i−1)∆n } = E{Mi∆n ∆ni N |F(i−1)∆n } = 0. D’autre part, ∀ j ∈ {1, · · · , m}, on a n E{ζin ∆ni W j |F(i−1)∆n } = ∆n f ((i − 2)∆n , βi−1 )
97
(5.3.10)
´ ³ ´ ³ Pm j j 2,k k k W − W σ W − W k=1 (i−2)∆n i∆n i∆n (i−1)∆n (i−1)∆n √ √ ×E g (i − 2)∆n , |F(i−1)∆n ∆n ∆n 2 + ∆n ρ(g((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ .)) n ´ ³ ³ ´ Pm j j 1,k k k W − W σ W − W i∆n k=1 (i−1)∆n i∆n (i−1)∆n (i−1)∆n √ √ |F(i−1)∆n . ×E f (i − 1)∆n , ∆n ∆n
Rappelons que A(1) et A(2) sont d´efinis en (5.2.5). En utilisant le lemme 5.3.8 et le lemme 4.4.1, on montre que Z
[t/∆n ]
X
E{ζin ∆ni W j |F(i−1)∆n } −→
i=1
0
t
A(2)ju du.
(5.3.11)
Ensuite, on a ³ ´ n 2 2 2 E{ζin 2 |F(i−1)∆n } = ∆n f 2 ((i−2)∆n , βi−1 ) ρ(g 2 ((i − 2)∆n , σ(i−2)∆ .)) − ρ (g((i − 2)∆ , σ .)) n (i−2)∆n n ³ ´ 2 2 1 2 1 + ∆n ρ2 (g((i−1)∆n , σ(i−1)∆ .)) ρ(f ((i − 1)∆ , σ .)) − ρ (f ((i − 1)∆ , σ .)) n (i−1)∆n n (i−1)∆n n 2 n + 2∆n ρ(g((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ .))f ((i − 2)∆n , βi−1 ) n ³ ³ ´ 1 2 × ρ f ((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ .)g((i − 2)∆ , σ .) n (i−2)∆ n n ´ 1 2 − ρ(f ((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ ))ρ(g((i − 2)∆ , σ )) . n (i−2)∆n n
En utilisant une nouvelle fois le lemme 5.3.8 et le fait que f et g v´erifient (K(R)), on montre que Z t [t/∆n ] X n2 A(1)u du. (5.3.12) E{ζi |F(i−1)∆n } −→ 0
i=1
Grˆace aux relations (5.3.8), (5.3.9), (5.3.10), (5.3.11) et (5.3.12), on peut appliquer le th´eor`eme 7.28 de [10] ce qui termine la preuve du lemme. 2
Lemme 5.3.10 On suppose que (LM3 ) est v´erifi´ee, que f et g sont optionnelles, C 1 en x, admettent des limites ` a gauche en s et que les processus f (ω, s, 0) et g(ω, s, 0) sont localement born´es. On suppose aussi que f et g v´erifient respectivement F1 (p) et F1 (p0 ). ∂g Quant aux fonctions ∂f a croissance polynomiale et qu’elles ∂x et ∂x , on suppose qu’elles sont ` sont localement ´equicontinues sur R (au sens de la d´efinition 3.1.1).
98
Alors
V n (4)t =
[t/∆n ] X 1 1 2 √ .)) ∆n ρ(f ((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ .))ρ(g((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ n n ∆n i=1
Z − 0
t
1 2 ρ(f (s−, σs− .))ρ(g(s−, σs− .))
¸ ds −→u.c.p. 0,
quand n → ∞. (5.3.13)
Remarque 5.3.11 • Dans l’´enonc´e du lemme, on aurait pu se contenter de dire que f et g sont optionnelles et v´erifient l’hypoth`ese (Dif ). • si g ≡ 1 on tombe sur le lemme 4.4.7 . Ce lemme peut donc ˆetre vue comme une g´en´eralisation du lemme 4.4.7. Preuve : Exceptionnellement dans cette preuve, x ∈ Rm signifie que x est un vecteur ligne (et pas un vecteur colonnes) de dimension m `a composantes r´eelles. La fonction x → f (ω, s, x) ´etant C 1 et ∂f etant `a croissance polynomiale, il en est de ∂x ´ mˆeme pour l’application y → ρ(f (u, y.)) sur Rm , de plus, on a Z ∂f ∂ρ (f (s, y.)) = z j (s, y t z)ρ(dz) ∀ j ∈ {1, · · · , m}. j ∂y ∂x Rm (rappelons que ρ d´esigne la loi gaussienne standard sur Rm ). Comme f et ∂f a ∂x sont ` m croissance au plus polynomiale, on d´eduit de ce qui pr´ec´ede que pour tout compact K ⊂ R et pour tout y, y 0 ∈ K, u ∈ R+ , on a : ¯ ) Pm ¯¯ ∂ρ ¯ |ρ(f (u, y.))| + j=1 ¯ ∂y j (f (u, y.))¯ ≤ K (5.3.14) |ρ(f (u, y.)) − ρ(f (u, y 0 .))| ≤ K||y − y 0 || Revenons `a (5.3.13), on a V n (4)t =
[t/∆n ] Z i∆n h X 1 1 2 √ ρ(f ((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ .))ρ(g((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ .)) n n ∆n i=1 (i−1)∆n Z t ¤ 1 1 2 1 2 ρ(f (s−, σs− .))ρ(g(s−, σs− .)) ds. − ρ(f (s−, σs− .))ρ(g(s−, σs− .)) ds + √ ∆n [t/∆n ]
Comme f et g sont `a croissace polynomiale, il est ´evident que Z t ¯ ¯ 1 1 2 ¯ρ(f (s−, σs− √ .))ρ(g(s−, σs− .))¯ ds ≤ Kt∆1/2 n . ∆n [t/∆n ]∆n Afin de d´emontrer le lemme, il nous suffit de consacrer notre attention `a la suite de processus : 0n
V (4)t =
[t/∆n ] Z i∆n h X 1 1 2 √ ρ(f ((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ .))ρ(g((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ .)) n n ∆n i=1 (i−1)∆n
¤ 1 2 − ρ(f (s−, σs− .))ρ(g(s−, σs− .)) ds. 99
Ce dernier peut s’´ecrire sous la forme [t/∆n ] Z i∆n X 1 V (4)t = √ ζ n (s) ds, ∆n i=1 (i−1)∆n i 0n
o` u 1 2 2 1 .))ρ(g(s−, σs− .)). ζin := ρ(f ((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ .))ρ(g((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ .)) − ρ(f (s−, σs− n n
Posons n
1 2 1 2 ζ 0 i (s) = ρ(f ((i−1)∆n , σ(i−1)∆ .))ρ(g((i−1)∆n , σ(i−1)∆ .)) − ρ(f ((i−1)∆n , σs− .))ρ(g((i−1)∆n , σs− .)) n n
et n
1 2 2 1 ζ 00 i = ρ(f ((i − 1)∆n , σs− .))ρ(g((i − 1)∆n , σs− .)) − ρ(g(s−, σs− .))ρ(f (s−, σs− .)).
De sorte que
n
n
ζin := ζ 0 i + ζ 00 i . En remarquant que n
ζ 00 i
£ ¤ 1 2 2 = ρ(f ((i − 1)∆n , σs− .)) ρ(g((i − 1)∆n , σs− .)) − ρ(g(s−, σs− .)) £ ¤ 2 1 1 + ρ(g(s−, σs− .)) ρ(f ((i − 1)∆n , σs− .)) − ρ(f (s−, σs− .)) ,
il n’est pas difficile de voir, puisque f et g v´erifient respectivement (F (p)) et (F (p0 )) que [t/∆n ] Z i∆n X 1 n √ |ζ 00 i (s)| ds −→ 0, ∆n i=1 (i−1)∆n
quand n → ∞,
en probabilit´e. D’autre part, n
−ζ 0 i =
2 X
n
ζ 0 i (j)
j=1
o` u h i n 1 2 2 ζ 0 i (1) = ρ(f ((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ .)) ρ(g((i − 1)∆ , σ .)) − ρ(g((i − 1)∆ , σ .)) , n n s− (i−1)∆n n h i n 2 1 1 ζ 0 i (2) = ρ(g((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ .)) ρ(f ((i − 1)∆ , σ .)) − ρ(f ((i − 1)∆ , σ .)) . n n s− (i−1)∆n n Consid´erons l’expression ζ 0 (1). En utilisant (5.3.4),on fait une nouvelle d´ecomposition n
ζ 0 i (1) =
3 X j=1
100
n
ζ 0 i (1, j)s
o` u 1 ζ 0 ni (1, 1)s = ρ(f ((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ .)) n
Pm h ∂ρ j=1
∂y j
Pm h ∂ρ
2 (g((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ .)) n
i e0 2,j du , b (i−1)∆n u
R s−
1 2 .)) j=1 ∂yj (g((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ .)) ζ 0 ni (1, 2)s = ρ(f ((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ n n ³P R s− R m R s− × eu2,j,k dWuk + (i−1)∆n R δe2,j (u, x)(du, dx) + k=1 (i−1)∆n σ ´i Pl R s− 2,j,k k + v dV , u k=1 (i−1)∆n u h 1 2 .)) − ρ(g((i − 1)∆ , σ 2 .)) ζ 0 ni (1, 3)s = ρ(f ((i − 1)∆n , σ(i−1)∆ ρ(g((i − 1)∆n , σs− n (i−1)∆n .)) n i Pm 2,j 2,j ∂ρ 2 − j=1 (σs− − σ(i−1)∆n ) ∂y j (g((i − 1)∆n , σ(i−1)∆n .)) . (5.3.15) Puisque le processus (be0 s ) est born´e, il est ´evident que [t/∆n ] Z i∆n X 1 n √ |ζ 0 (1, 1)s | ds ≤ Kt∆1/2 n . ∆n i=1 (i−1)∆n i
D’autre part,
[t/∆n ] Z i∆n X 1 n √ ζ 0 i (1, 2)s ds ∆n i=1 (i−1)∆n
est une martingale pour la filtration (F[t/∆n ]∆n ) dont le crochet est plus petit que Kt∆n . Par l’in´egalit´e de Doob, on en d´eduit que [t/∆n ] Z i∆n X 1 n √ ζ 0 i (1, 2)s ds −→u.c.p. 0, ∆n i=1 (i−1)∆n
quand n → ∞.
Consid´erons `a pr´esent l’expression [t/∆n ] Z i∆n X 1 n √ ζ 0 i (1, 3)s ds. ∆n i=1 (i−1)∆n
On montre que pour un certain p ≥ 0, on a pour tout ε > 0 et A > 0, # " 2 2 ||σs− − σ(i−1)∆ || ∂g 1 n n |ζ 0 i (1, 3)s | ≤ K + + AG ∂x (εA, KA)t ||σs− − σ(i−1)∆n ||. ε A Il suit alors que # " [t/∆n ] Z i∆n 1/2 ∂g X 1 1 ∆ n 0n 2 √ + AE{Gt∂x (εA, KA) } + , E{|ζ i (1, 3)s |} ds ≤ Kt A ε ∆n i=1 (i−1)∆n faisant tendre successivement n vers l’infini, ε vers 0 et enfin A vers l’infini, on obtient que n
ζ 0 i (1, 3) −→u.c.p. 0, 101
quand n → ∞
et par suite que
n
ζ 0 i (1) −→u.c.p. 0,
quand n → ∞.
Le processus ζ 0 ni (2) se traite pareillement que ζ 0 ni (1). D’apr`es tout ce qui pr´ec`ede, on peut dire que le lemme est d´emontr´e. 2 Dans les deux prochains lemmes, on estime la quantit´e Vtn (5)
¶ µ ¶ [t/∆n ] ½ µ X p ∆ni+1 Y ∆ni X := ∆n E f (i − 1)∆n , √ g (i − 1)∆n , √ ∆n ∆n i=1 ª n − f ((i − 1)∆n , βin )g((i − 1)∆, β 0 i )|F(i−1)∆n ,
(5.3.16)
On ´etudiera de fa¸con s´epar´ee, le cas continu et le cas discontinu. Commen¸cons par le cas continu. Rappelons que les processus b0 et σ e ont ´et´e d´efinis en (5.3.4). Lemme 5.3.12 Supposons (LM3 ) v´erifi´ee et que X et Y soient continus. On suppose que f et g sont optionnelles, ` a croissance au plus polynomiale et C 1 en x. On suppose ∂f ∂x et ∂g a croissance au plus polynomiale et qu’elles sont localement ´equicontinues sur R ∂x sont ` (au sens de la d´efinition 3.1.1). Si 1. 2. 3.
de plus l’une des conditions suivantes est v´erifi´ee : les application x → f (ω, s, x) et x → g(ω, s, x) sont paires. l’application x → f (ω, s, x) est paire et b2s = σ e2,j,k ≡ 0 pour j, k ∈ {1, · · · , m}. 1 1,j,k 2,j,k bs = σ e =σ e ≡ 0 pour j, k ∈ {1, · · · , m} et l’application x → g(ω, s, x) est paire. e1,j,k = σ e2,j,k ≡ 0, pour j, k ∈ {1, · · · , m}. 4. On a b1 = b2 = σ 5. l’application x → g(ω, s, x) est impaire et b2s = σ e2,j,k ≡ 0 pour j, k ∈ {1, · · · , m}. Alors Vtn (5) converge u.c.p. vers 0 quand n → ∞ Preuve On pose ³ ´³ ³ ´ ´ ∆n Y ∆n X 0n) ζin (1) = f (i − 1)∆n , √i∆ g (i − 1)∆n , √i+1 − g((i − 1)∆, β , i ∆n n h ³ ´ i ∆n X ζin (2) = g((i − 1)∆, β 0 ni ) f (i − 1)∆n , √i∆ − f ((i − 1)∆n , βin ) . n
De sorte que
Vtn (5)
√ P[t/∆ ] := ∆n i=1 n E{ζin (1) + ζin (2) |F(i−1)∆n }.
(5.3.17)
Etape 1 : On veut montrer ici que [t/∆n ]
p
∆n
X
© ª E ζin (2) |F(i−1)∆n −→ 0.
(5.3.18)
i=1
Faisons la d´ecomposition ζin (2) =
3 X j=1
102
ζin (2, j)
(5.3.19)
o` u ζin (2, 1) = g((i − 1)∆n , β 0 ni )
h
∂f ∂x ((i
∂f ∂x ((i
− 1)∆n , γ¯in ) −
n b 1,n ζin (2, 2) = g((i − 1)∆n , β 0 ni ) ∂f ∂x ((i − 1)∆n , βi )ξi
ζin (2, 3) = g((i − o` u
γ¯in
βin
est entre
ξbi q,n =
1 √ ∆n
+
et
Z
Z
∆n X √i ∆n
i∆n
(i−1)∆n
m Z X k=1
1)∆n , β 0 ni ) ∂f ∂x ((i
s
(i−1)∆n
−
+ (i−1)∆n
R
=
p
∆n bq(i−1)∆n
+
l X k=1
(5.3.20)
et o` u, comme dans (4.4.19) et pour q = 1, 2, on a m Z X
(bqs − bq(i−1)∆n ) ds +
j=1
q,j,k (e σuq,j,k − σ e(i−1)∆ ) dWuk + n
ÃZ
i∆n
(i−1)∆n l Z X k=1
s
(i−1)∆n
s
(i−1)∆n
q,j be0 u du
q,j,k (vuq,j,k − v(i−1)∆ ) dVuk n
! (δeq,j (u−, x) − δeq,j ((i − 1)∆n , x)) (µ − ν)(du, dx)
et ξei q,n
1)∆n , βin )ξei 1,n .
Z
s
i³ n ´ ∆ X − 1)∆n , βin ) √i∆ − βin n
"
m Z 1 X i∆n +√ ∆n j=1 (i−1)∆n k − V(i−1)∆ )+ n
dWsj
(5.3.21)
q,j,k k σ e(i−1)∆ (Wsk − W(i−1)∆ ) n n
k=1
Z q,j,k v(i−1)∆ (Vsk n
m X
#
s
(i−1)∆n
#
Z R
δeq,j ((i − 1)∆n , x)(µ − ν)(du, dx) dWsj . (5.3.22)
Soit L0 ni le processus d´efinit dans (4.4.14). Comme g est `a croissance au plus polynomiale, on a E{|g((i − 1)∆n , β 0 ni )| |Fi∆n } ≤ K d’o` u, en utilisant (4.4.17) et par suite (4.4.18), on a p p n ∆n E{|ζin (2, 1)|} ≤ ∆n E{|L0 i |} −→u.c.p. 0, (5.3.23) ∂f quand n → ∞. Notons que dans le lemme 4.4.4, on a suppos´e que ½ ∂x est localement ¾ ∂f 2 ∂x ´equicontinue, ce qui est plus fort que notre hypoth`ese actuelle `a savoir : E GT (ε, A) → 0
quand ε → 0. celle-ci, au vu de (4.4.17) est suffisant pour obtenir (5.3.23). De mˆeme, et exactement comme pour (4.4.21), on a p ∆n E{|ζin (2, 2)|} −→u.c.p. 0. (5.3.24) Remarquons que ¾ ½ n ∂f E{ζin (2, 3) |F(i−1)∆n } = E g((i − 1)∆n , β 0 i ) ((i − 1)∆n , βin )ξein |F(i−1)∆n ∂x 103
½ = ρ(g((i −
2 1)∆n , σs− .))
×E
¯ ¾ ¯ ¯ F(i−1)∆ . n ¯
∂f ((i − 1)∆n , βin )ξei1,n ∂x
(5.3.25) Il suit ( comme on l’a un peu fait dans (4.4.21)) que : © ª E ζin (2, 3) |F(i−1)∆n = 0,
(5.3.26)
2 .)) = 0), • si l’application x → g(ω, s, x) est impaire (car dans ce cas, ρ(g((i−1)∆n , σs− • si f est paire car la quantit´e `a droite du produit dans (5.3.25) s’annule. • si b1 = σ e1,j,k = 0, pour j, k ∈ 1, · · · , m car dans ce cas ´egalement (5.3.25) s’annule. D’apr`es (5.3.19), (5.3.23), (5.3.24) et (5.3.26), on a bien (5.3.18).
Etape 2 : Le but de cette ´etape est de montrer que : [t/∆n ]
p
∆n
X
© ª E ζin (1) |F(i−1)∆n −→ 0.
(5.3.27)
i=1 ∆n Y
On commence par faire une d´ecomposition de √i+1 − β 0 ni . Rappelons (5.3.21) et (5.3.22). ∆n On a ∆ni+1 Y n n n 2,n 2,n √ − β 0 i = ξei+1 + ξe0 i + ξbi+1 + ξb0 i , (5.3.28) ∆n o` u ξb0
n i
"Z m m Z i∆n i∆n X X ∆ni+1 W j 2,j 2,j,k √ be0 u du + = (e σu2,j,k − σ e(i−1)∆ ) dWuk n ∆ n (i−1)∆n j=1 k=1 (i−1)∆n +
l Z X k=1
Z
i∆n
(i−1)∆n
2,j,k (vu2,j,k − v(i−1)∆ ) dVuk n
#
Z
i∆n
+ (i−1)∆n
R
(δe2,j (u−, x) − δe2,j ((i − 1)∆n , x)) (µ − ν)(du, dx)
et o` u, n ξe0 i
"
m X ∆ni+1 W j √ = ∆n j=1
Z
i∆n
2,j,k σ e(i−1)∆ ∆ni W k + n
k=1
R
l X
2,j,k v(i−1)∆ ∆ni V k n
k=1
#
Z
+ (i−1)∆n
m X
δe2,j ((i − 1)∆n , x)(µ − ν)(du, dx) .
104
P On d´ecompose alors ζin (1) de la fa¸con suivante : ζin (1) = 4j=1 ζin (1, j) o` u ³ ´ ³ ´ h ∆n Y i ¢ ∂g ∆n X ∂g ¡ i+1 n 0n) 0n √ ζin (1, 1) = f (i − 1)∆n , √i∆ (i − 1)∆ , γ ¯ − ((i − 1)∆ , β − β n i+1 n i i ∂x ∂x ∆n n ´ h i ³ n n ∆ X ∂g 2,n ((i − 1)∆n , β 0 ni ) ξbi+1 + ξb0 i , ζin (1, 2) = f (i − 1)∆n , √i∆ ∂x n ³ ³ ´ ´ h i n ∆n X 2,n ∂g ζin (1, 3) = f (i − 1)∆n , √i∆ − f ((i − 1)∆n , βin ) ∂x ((i − 1)∆n , β 0 ni ) ξei+1 + ξe0 i n i h n 2,n ∂g ((i − 1)∆n , β 0 ni ) ξei+1 ζin (1, 4) = f ((i − 1)∆n , βin ) ∂x + ξe0 i . (5.3.29) Exactement comme dans (5.3.23) et (4.4.18), on montre que p ∆n E{|ζin (1, 1)|} −→u.c.p. 0, quand n → ∞ (5.3.30) et que
p
∆n E{|ζin (1, 3)|} −→u.c.p. 0, quand n → ∞ (5.3.31) ½¯ ¾ ¯ ¯ 2,n e0 n ¯2 (on utilise dans ce dernier cas le fait que E ¯ξei+1 +ξ i¯ ≤ K∆n ). Ensuite, comme dans (4.4.21)et (5.3.24) on montre que : p ∆n E{|ζin (1, 2)|} −→u.c.p. 0, quand n → ∞.
(5.3.32)
Pour terminer l’´etape et par suite la d´emonstration du lemme, il nous reste `a montrer que p ∆n E{ζin (1, 4) |F(i−1)∆n } −→u.c.p. 0, quand n → ∞. On montre que
¯ ¾ ¯ ¯ f ((i − ¯ F(i−1)∆n = 0, (5.3.33) car comme on l’a fait dans (4.4.21), si on applique l’esp´erence condionnelle suivant F(i−1)∆n `a l’expression, h i n ∂g ¡ n¢ 2,n (i − 1)∆n , β 0 i ξei+1 f ((i − 1)∆n , βin ) + ξe0 i , ∂x les termes relatifs aux martingales autres que W s’annulent et pour les termes restant, (comme on l’a fait dans (5.3.26)) on joue sur la parit´e, l’imparit´e des applications x → f (ω, s, x) et x → g(ω, s, x) o` u la nullit´e des coefficients. On a par exemple (5.3.33) si les applications x → f (ω, s, x) et x → g(ω, s, x) sont paires, ou si b2 = σ e2,j,k = 0, pour j, k ∈ {1, · · · , m}. En ´enum´erant ainsi toutes les conditions n´ecessaires pour avoir (5.3.33), et en faisant un ”croisement” de ces conditions avec celles de l’´etape 1 et qui sont n´ecessaires pour avoir (5.3.26), on ach`eve la d´emonstration du lemme. 2 © ª E ζin (1, 4) |F(i−1)∆n = E
½
1)∆n , βin )
h i n ∂g ¡ n¢ 2,n (i − 1)∆n , β 0 i ξei+1 + ξe0 i ∂x
On va maintenant passer au cas discontinu. Rappelons le prosessus σ e, voir (5.3.4) et rappelons Z bb1 = b1 − h(δ 1 (s−, x)) F (dx) R
et
Z bb2 = b2 −
h(δ 2 (s−, x)) F (dx). R
105
Lemme 5.3.13 Supposons (LM3 ) v´erifi´ee, que f et g soient optionnelles, C 1 en x que ∂g ∂g f, ∂f a croissance polynomiale. On suppose que ∂f ∂x , g, ∂x soient ` ∂x et ∂x soient localement ´equicontinues. On suppose de plus que l’une des conditions suivantes soit satisfaite : 1. Les application x → f (ω, s, x) et x → g(ω, s, x) sont paires, 2. l’application x → f (ω, s, x) est paire et bb2 = σ e2,j,k ≡ 0 1 1,j,k 2,j,k 3. bb = σ e =σ e ≡ 0, l’application x → g(ω, s, x) est paire. 1 2 1,j,k b b e =σ e2,j,k ≡ 0. 4. On a b = b = σ 2 2,j,k b 5. g impaire et b = σ e ≡ 0. On suppose ´egalement que l’une des hypoth`eses suivantes soit r´ealis´ee : • X et Y sont continus. • Y continu et f et ∂f ees, ∂x sont born´ ∂g • X continu, g et ∂x sont born´ees, ∂g • f, g, ∂f ees. ∂x , ∂x sont born´ Alors Vtn (5) −→u.c.p. 0, quand n → ∞. Preuve On peut ´ecrire
n
n
V n (5)t = V 0 (5)t + V 00 (5)t o` u n
V 0 t (5) =
(5.3.34)
[t/∆n ] X p ∆n ζin (1) i=1
et n
V 00 t (5) =
[t/∆n ]
p
∆n
X
ζin (2),
i=1
o` u on a utilis´e les notations (5.3.17). Remarquons que, V
00 n t (5)
=
p
[t/∆n ]
∆n
X ¡ n E{g((i − 1)∆, β 0 i )|F(i−1)∆n } i=1
¶ ¾¶ ½ µ ∆ni X n − f ((i − 1)∆n , βi )|F(i−1)∆n , (5.3.35) E f (i − 1)∆n , √ ∆n il suit que ¶ ¾¯ [t/∆n ] ¯ ½ µ X ¯ p ¯ ∆ni X n ¯ − f ((i − 1)∆n , βi )|F(i−1)∆n ¯¯ . V ≤ K ∆n ¯E f (i − 1)∆n , √∆ n i=1 (5.3.36) Dans les preuves des lemmes 5.3.12 et 4.4.5, il est montr´e que ¯ ¾¯ ¶ [t/∆n ] ¯ ½ µ X ¯ p ¯ ¯ ∆ni X n ¯ ¯ −→u.c.p. 0, ¯ √ E f (i − 1)∆ , F ∆n − f ((i − 1)∆ , β ) n n (i−1)∆ i n ¯ ¯ ¯ ∆ n i=1 (5.3.37) 00 n t (5)
106
il suit d’apr`es (5.3.36), sous les hypoth`eses X continu o` u X discontinue et f, que n V 00 t (5) −→u.c.p. 0.
∂f ∂x
born´es, (5.3.38)
Afin de d´emontrer le lemme, il nous faudra donc montrer que n
V 00 t (5) −→u.c.p. 0,
(5.3.39)
dans les cas suivants (le cas o` u X et Y sont continus ´etant d´ej` a vu dans le lemme 5.3.12) : – X continu et Y discontinu, – X discontinu et Y continu – X et Y discotinus. On montre (5.3.39) de fa¸con similaire `a ce qui a ´et´e fait dans les preuves des lemmes 4.4.5 et 5.3.12. Preuve proprement dite du th´ eor` eme Posons
1 Vtn := √ ∆n ∆n
[t/∆n ]
X i=1
¶ µ µ Z t n X¶ n ∆ ∆ X g i∆n , √i+1 − ρ(f (u−, σu− .))ρ(g(u−, σu− .)) ds . f (i − 1)∆n , √i ∆n ∆n 0
Rappelons 5.3.5, 5.3.6, 5.3.7, 5.3.13, 5.3.16. On a Vtn
:=
5 X
Vtn (j).
j=1
D’apr`es le lemme 5.3.9, processus Vtn (1), Vtn (2), 5.3.7, 5.3.10 et 5.2.6.
5.3.3
Vtn (3) Vtn (4)
converge en loi stable vers la limite M0 t alors que Les et Vtn (5) convergent u.c.p. vers 0 d’apr`es les lemmes 5.3.6,
Preuves des th´ eor` emes 5.1.4 et 5.2.2
Preuve du th´ eor` eme 5.1.4 Commen¸cons par le lemme suivant. Lemme 5.3.14 Supposons que Z soit une semimartingale continue (quelconque) o` u que d+1 Z v´erifie (N4 ). Soit f et g deux fonctions de R dans R. On suppose que la fonction g est continue sur Rd+1 et que f et g v´erifient : pour tout compact K ⊂ Rd , il existe une constante CK et un r´eel positif p tels que sup (|f (z, x)| + |g(z, x)|) ≤ CK [1 + |x|p ].
{z∈K}
Alors
[t/∆n ]
∆n
X
£ n n ¤ f (Z(i−1)∆n , βin ) g(Zi∆n , β 0 i ) − g(Z(i−1)∆n , β 0 i )
i=1
converge u.c.p. vers 0 quand n → ∞. 107
Preuve Fixons un compact K assez large de Rd et supposons que Z ∈ K Posons ¡ n n ¢ ζin = ∆n f (Z(i−1)∆n , βin ) g(Z(i−1)∆n , β 0 i ) − g(Zi∆n , β 0 i ) . Pour A, ε > 0, on a |ζin | ≤ ∆n CK [1+|βin |p ] o` u
³
´ n 2CK [1 + |β 0 i |p ]1{|β 0 ni |>A} + 2CK [1 + Ap ]1{||Zi∆n −Z(i−1)∆n ||>ε} + Gg (ε, A) ,
GgK (ε, A) =
|g(z, x) − g(z 0 , x)|.
sup {z, z 0 ∈K, ||z−z 0 ||εn } i R i∆n R 0 2+d+j (s, z) F (dx)ds . − (i−1)∆ δ n {φ(x)>εn } ³ ³ ´ ´ n √ ∆n X Pd0 ∂g 0 n , ∆√i+1 Y δin (2) = ∆n f Z(i−1)∆n , √i∆ Z 0j i j=1 ∆n ∂z n Pm R i∆n 0 2+d+j,k 0 2+d+j,k × k=1 (i−1)∆n (σs − σ(i−1)∆n ) dWsk ³ ³ ´ ¡ ¢´ Pd0 ∂g ³ 0 n ∆ni+1 Y ´ √ ∆n X √ δin (3) = ∆n f Z(i−1)∆n , √i∆ − f Z(i−1)∆n , βin j=1 ∂z 0 j Z i , ∆n n Pm 0 2+d+j,k × k=1 σ(i−1)∆n ∆ni W k ¡ ¢ Pd0 ³ ∂g ³ n ∆ni+1 Y ´ ¢´ √ ∂g ¡ 0n √ δin (4) = ∆n f Z(i−1)∆n , βin − 0 j Z(i−1)∆n , β i j=1 ∂z 0 j Zi , ∆n ∂z Pm0 2+d+j,k n k × k=1 σ(i−1)∆n ∆i W ¡ ¢ Pd0 ∂g ¡ ¢ Pm √ 0n k 0 2+d+j,k n ∆n f Z(i−1)∆n , βin j=1 ∂z 0 j Z(i−1)∆n , β i k=1 σ (i−1)∆n ∆i W . R Posons θ(εn ) = {φ(z)≤εn } φ2 (x)F (dx). Il n’est pas difficile de voir que δin (5) =
[t/∆n ]
X
h i 1/2 −1 1/2 E{|δin (1)|} ≤ Kt ∆1/2 + θ(ε ) + ε ∆ . n n n n
(5.3.44)
i=1 1/4
En remarquant que θ(εn ) → 0 quand ε → 0 et en choisissant εn = ∆n , on d´eduit que : [t/∆n ]
X
δin (1) −→u.c.p. 0,
quand n → ∞.
ÃZ d0 X m X
!1/2 ½¯ ¯ ¾ 0 2+d+j,l ¯2 ¯ 0 2+d+j,l E ¯σs − σ[s/∆n ]∆n ¯ ds .
i=1
Par ailleurs, on a [t/∆n ]
X
E{|δin (2)|} ≤ Kt1/2
i=1
j=1 k=1
[t/∆n ]∆n
0
(5.3.45) Il suit par le th´eor`eme de Lebesgue et la propri´et´e de continuit´e de σ 0 que [t/∆n ]
X
δin (2) −→u.c.p. 0 quand n → ∞.
i=1
Pour tout A et ε strictement positifs, posons n Gf (ε, A) = sup |f (z1 , x + y) − f (z2 , x)|, (z1 , x + y), (z2 , x) ∈ Rd+1 ; ||z1 ||, ||z2 || ≤ K; |x| ≤ A, ||(z1 , x + y) − (z2 , x)|| ≤ ε } . 110
Remarquons alors que : |δin (3)|
" #µ ¯ n ¯p ¶ m X ¯ ∆i+1 Y ∆ni W k 0n¯ 0n p f ¯ ½¯ ¾ √ G (ε, A) + 1{|βin |>A} + 1 ¯ ∆ni X n ¯ 1 + ¯¯ √ − βi ¯¯ + |βi | . ≤ K∆n ¯√ −βi ¯¯>ε ∆ ∆ n n ¯ ∆ n k=1
Il suit alors que [t/∆n ]
X i=1
( ¯2 ) 1/2 ¯ n · ¸ [t/∆n ] X ¯ ¯ 1 ∆ X E{|δin (3)|} ≤ Kt Gf (ε, A) + E 1 ∧ ¯¯ √i − βin ¯¯ , +Kt1/2 ε−1 ∆n A ∆n i=1
en utilisant le lemme 4.1 de [8] et en faisant tendre n → ∞, ε → 0, A → ∞ on a [t/∆n ]
X
δin (3) −→u.c.p. 0,
quand n → ∞.
i=1
De fa¸con similaire, on montre que [t/∆n ]
X
δin (4) −→u.c.p. 0,
quand n → ∞.
i=1
Remarquons `a pr´esent que sous les hypoth`eses du lemme, on a : E{δin (5) |F(i−1)∆n } = 0. il P[t/∆ ] suit que i=1 n δin (5) est une martingale par rapport `a la filtration (F[t/∆n ]∆n ). De plus, il n’est pas difficile de voir que son crochet pr´evisible est plus petit que Kt∆n . On en d´eduit par l’in´egalit´e de Doob que [t/∆n ]
X
δin (5) −→u.c.p. 0,
quand n → ∞.
i=1
D’apr`es tout ce qui pr´ec`ede et d’apr`es (5.3.43), on a bien que Utn −→u.c.p. 0, ce qui finit la preuve.
quand n → ∞,
2
Le prochain lemme est une version du lemme 5.3.10. En d’autres termes, on essaiera d’estimer la quantit´e Utn (2) d´efinie par [t/∆n ] X 1 01 02 n 0 Ut (2) = √ ρ(f (Z(i−1)∆n , σ(i−1)∆ .))ρ(g(Z(i−1)∆ , σ(i−1)∆ .)) ∆n n n n ∆n i=1 Z − 0
t
¸ 0 ρ(f (Zs , σs .))ρ(g(Zs0 , σs2 .)) ds 01
111
.
(5.3.46)
Lemme 5.3.16 On suppose (N4 ) v´erifi´e, que f et g soient C 1 respectivement sur Rd+1 et 0 0 Rd +1 . On suppose que pour tous compacts K ⊂ Rd et K0 ⊂ Rd , il existe des r´eels positifs p(K) et K(K0 ) tels que ¯ ¯´ ³¯ Pd ¯¯ ∂f ¯ ∂f ¯ ¯ supz∈K (z, x) ≤ C ( 1 + |x|p ) ¯ ∂x (z, x)¯ + ¯ ¯ j j=1 ∂z ¯ ¯ ¯ ´ ³¯ Pd ¯ ∂g 0 ¯ ¯ ∂g 0 ¯ ≤ C ( 1 + |y|p ). supz 0 ∈K0 ¯ ∂x (z , y)¯ + j=1 ¯ ∂z 0 j (z , y)¯ Alors Utn (2) −→u.c.p. 0,
quand n → ∞.
Preuve : On a Utn (2)
Z t [t/∆n ] Z i∆n X 1 0 0 n 0n =√ (ηi (s) + η i (s)) ds + ρ(f (Zs , σs1 .))ρ(g(Zs0 , σs2 .)) ds, ∆n i=1 (i−1)∆n [t/∆n ]∆n
o` u 0
0
0
0
1 0 2 1 0 2 ηin (s) := ρ(f (Z(i−1)∆n , σs− .))ρ(g(Z(i−1)∆ , σs− .)) − ρ(f (Zs− , σs− .))ρ(g(Zs− , σs− )). n
et n
η0i
0
0
1 0 2 := ρ(f (Z(i−1)∆n , σ(i−1)∆ .))ρ(g(Z(i−1)∆ , σ(i−1)∆ .)) n n n 0
0
1 2 − ρ(f (Z(i−1)∆n , σs− .))ρ(g(Z(i−1)∆n , σs− .)).
On a vu dans la preuve du lemme 5.3.10 que d’une part Z t ¯ ¯ 01 02 ¯ ¯ 0 ρ(f (Z , σ .))ρ(g(Z , σ .)) ¯ ¯ ds −→ 0, s s s s
quand n → ∞
[t/∆n ]∆n
et que d’autre part, [t/∆n ] Z i∆n X 1 n √ η 0 i (s) ds −→u.c.p. 0, ∆n i=1 (i−1)∆n
quand n → ∞.
Il nous suffira donc ici de prouver que [t/∆n ] Z i∆n X 1 √ η n (s) ds −→u.c.p. 0, ∆n i=1 (i−1)∆n i
quand n → ∞.
(5.3.47)
0
Pour tout quadriplet (x, y, z, z 0 ) ∈ Rm × Rm × Rd × Rd , on d´efinit G(z, z 0 , x, y) = ρ(f (z, x.))ρ(g(z 0 , y.)). 0
(5.3.48)
Comme f et g sont C 1 respectivement sur Rd+1 et Rd +1 , il en est de mˆeme pour G sur 0 0 R2m+d+d . De plus vu nos hypoth`eses sur f et g, pour tout compact K de R2m+d+d , on a : ¯ n ¯ Pd0 ¯¯ ∂G Pd ¯¯ ∂G ¯ 0 0 0 ¯ sup(z,z 0 ,x,y)∈K |G(z, z , x, y)| + j=1 ∂xj (z, z , x, y) + j=1 ¯ ∂yj (z, z , x, y)¯ ¯o ¯ ∂G ¯ Pd0 ¯¯ ∂G P 0 , x, y)¯ 0 , x, y)¯ + (z, z + dj=1 ¯ ∂z (z, z ¯ ≤ K. ¯ j j=1 ∂z 0 j 112
D’apr`es ce qui pr´ec`ede, ³ ´ ³ ´ 01 02 01 02 0 0 ηin (s) = G Z(i−1)∆n , Z(i−1)∆ , σ , σ − G Z , Z , σ , σ . s− s− s− s− s− s− n µ ³ 0 ´t ³ 0 ´t ¶ 0 Vu que σ et σ sont des vecteurs lignes, on devrait noter G Z, Z , σ 1 , σ 2 a la ` ³ ´ 0 0 place de G Z, Z 0 , σ 1 , σ 2 . Cette derni`ere nous permet d’allger la notation. 01
02
On a ηin (s) = − (ηin (1)(s) + ηin (2)(s)) , o` u ³ ´ ³ ´ 01 02 0 , σ01 , σ02 0 ηin (1)(s) = G Zs− , Zs− − G Z(i−1)∆n , Z(i−1)∆ , σ , σ s− s− s− s− n ³ ´ Pd 01 02 j j ∂G 0 − (Z − Z ) Z , Z , σ , σ (i−1)∆n s− j=1 (i−1)∆n (i−1)∆n (i−1)∆n (i−1)∆n ∂z j ´ ³ Pd0 0 02 ∂G 0j − Z 0j 0 1 − (Z ) Z , Z , σ , σ j (i−1)∆ s− j=1 n (i−1)∆n (i−1)∆n (i−1)∆n (i−1)∆n ∂z 0 (5.3.49) et ηin (2)(s) =
³
´
³
´ 01 02 0 Z , Z , σ , σ (i−1)∆n j=1 (i−1)∆n (i−1)∆n (i−1)∆n ³ ´ ´ Pd0 ³ 0 j 0 02 ∂G 0 1 0j Z , Z , σ , σ Z − Z (i−1)∆n s− j=1 (i−1)∆n (i−1)∆n (i−1)∆n . (i−1)∆n ∂z 0 j (5.3.50)
Pd
j j Zs− − Z(i−1)∆ n
∂G ∂z j
Revenons `a la d´emonstration du lemme 5.3.10, comme pour les termes ζ 0 ni (1, 1)(s), ζ 0 ni (1, 2)(s) et ζ 0 ni (1, 3)(s) de (5.3.15)( o` u Z et Z 0 jouent ici tour `a tour le rˆole de σ 2 ), on montre d’une part que [t/∆n ] Z i∆n X 1 √ ηin (1)(s) ds −→u.c.p. 0, quand n → ∞, ∆n i=1 (i−1)∆n d’autre part que [t/∆n ] Z i∆n X 1 √ η n (2)(s) ds −→u.c.p. 0, ∆n i=1 (i−1)∆n i
quand n → ∞,
d’o` u (5.3.47) et la preuve du lemme. Preuve des Th´ eor` emes : Le th´eor`eme 5.2.4 se d´emontre comme le th´eor`eme 5.2.2 sauf que l’on utilise les lemmes 5.3.15 et 5.3.16 `a la place des lemmes 5.3.6 et 5.3.10.
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