En la siguiente tabla se ha representado el resultado de la integral: ∫ L ... En el
caso de trapecios se puede trabajar descomponiéndolos en suma de triángulos
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Teoría de Estructuras
J. J. Granados
TABLA DE INTEGRALES COMUNES EN EL PTV En la siguiente tabla se ha representado el resultado de la integral: L
Z
f (x)g(x)dx 0
en las formas sencillas en que suele aparecer en la aplicación del principio de los trabajos virtuales.
Notas: En el caso de trapecios se puede trabajar descomponiéndolos en suma de triángulos más rectángulos. Las funciones curvas son parábolas con los vértices en los puntos marcados. El área de la primera parábola (con vértice en el centro) es 2M L/3 y la de la segunda (con vértice en la derecha) es M L/3. Si g(x) = M ∗ = cte. es claro que:
RL 0
f (x)g(x)dx = M ∗
RL 0
f (x)dx = M ∗ A
Teoría de Estructuras
J. J. Granados
MÉTODO DE MULTIPLICACIÓN DE GRÁFICOS En el caso de tener una función cualquiera f (x), no tiene que ser continua, y una función lineal g(x) = a + bx, según se indica en la gura, la integral se puede transformar, quedando: Z
L
Z
L
Z 0
0
0
L
f (x)xdx =
f (x)dx + b
f (x)g(x)dx = a
= aA + bAxcf = A(a + bxcf ) = Agcf
En el segundo miembro de la primera igualdad, la primera integral es el área A marcada bajo la curva f (x) y la segunda es el momento estático de A respecto al origen de x (supuesto en el extremo de la izquierda). El signi cado de gcf = g(xcf ) es el valor de g en el punto donde está situado el centro de gravedad del área A. Si la función f (x) tuviese una parte en la que fuese negativa y otra en la que fuese positiva, existen dos posibilidades: 1. Separar la integral entre la zona positiva y la zona negativa, aplicando el método descrito a cada una de las zonas. 2. Podemos de nir una función auxiliar h(x) que no cambie de signo, para ello bastará sumar a f (x) una constante. Supongamos que debido a la geometría del problema nos interesa que h(x) ≥ 0. En tal caso si el mínimo de f (x) fuese −d (con d > 0), la función h(x)sería: h(x) = f (x) + d, por lo que f (x) = h(x) − d, y utilizando dicha expresión en la integral, queda: Z
L
Z
0
L
Z (h(x) − d)g(x)dx =
f (x)g(x)dx = 0
L
Z h(x)g(x)dx − d
0
L
g(x)dx 0
Pudiéndose resolver ambas integrales por el método de multiplicación de grá cos.
