TECHNISCHE MECHANIK 4(1983)Heft1 Manuskripteingilng: 11. 6 ...

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TECHNISCHE MECHANIK 4(1983)Heft1. Manuskripteingilng: 11. 6. 1932. Parameterresonanzen beim durchströmten geraden Rohr. O. Becker l . Einleitung.
TECHNISCHE MECHANIK 4(1983)Heft1 Manuskripteingang:ll.6.1982

Parameterresonanzen beim durchströmten geraden Rohr O. Becker

l. Einleitung

einfache Parameterresonanzen erhalten. Aus einem System Hillscher Dgln. und seiner charakteristischen Ex-

ponenten bzw. Multiplikatoren werden in [22], [24}, Bei einer genaueren Modellierung der Eigenschaften von Rohrleitungen ist auch der Einflufi des im Rohr strömen-

[27l einfache Parameter‘resonanzen und Kombinationsresonanzen bestimmt. Beide Resonanzarten ergeben sich

den Mediums zu erfassen, da er zu qualitativen Verände-

in [12] bzw. [25] bis [27] für kleine Pulsationen nach der

rungen im dynamischen Verhalten führen kann. Seit Beginn der fünfziger Jahre ist das durchströmte Rohr daher Gegenstand theoretischer und experimenteller Untersu. chungen. Über Modelle, Lösungsverfahren und Ergeb

gebnisse wird in [23] berichtet.

nisse wird in [I] bis [4] berichtet. in der Mehrzahl der Untersuchungen werden Druck uno Strömungsgeschwindigkeit als zeitunabhängig vorausgesetzt und es wird die kritische Geschwindigkeit Vkrit des Mediums bestimmt, bei der das Rohr seine Stabilität ver-

liert. Bei Metallrohren liegt Vkrit jedoch i. a. weit ober halb der auftretenden Nenngeschwindigkeiten (vgl. [27]) und ist daher ohne praktische Bedeutung. Den zeitunabhängigen Anteilen von Druck und Strömungsgeschwindigkeit sind jedoch stets mehr oder weniger ausgeprägte, aus vielfachen Ursachen herrübrende Pulsationen überlagert. Dominiert der Einfluß der periodisch arbeitenden Antriebsaggregate, so können sie nähe

rungsweise als periodische Funktionen der Zeit betrachtet werden und das durchströmte Rohr stellt ein deterministisch parametererregtes System dar. Beim Arbeiten des Rohres in einem der Parameterresonanzbereiche er—

Methode von Hsu bzw. Mettler. Über experimentelle Einerseits erhält man auf Grund des verwendeten Mo— dells oder Lösungsverfahrens nur ein unvollständige: Bild über das Resonanzverhalten des Rohres. Anderesseits sind die numerischen, alle Resonanzarten liefere—

den Verfahren rechenzeitintensiv und Änderungen von Systemgrößen sind nur beschränkt verfolgbar. Diese Frage spielt aber bei der Beurteilung des Resonanzver— haltens und der Vermeidung der Hesonanzbereiche eine wichtige Rolle.

Bei einer Vielzahl praktisch auftretender Fälle ist die Nenngeschwindigkeit klein gegen Vkm, liegt schwache Dämpfung vor und sind die Pulsationen klein gegenüber den konstanten Anteilen. Unter diesen Voraussetzungen werden bei beliebig periodischen Druck- und Geschwinw digkeitspulsationen Näherungsformeln für die Hauptinv stabilitätsbereiche bei einfacher Parameterresonanz und bei Kombinationsresonanz hergeleitet. Die damit erizz-Äs tenen Ergebnisse werden für den Zweistiitzträger und den Kragträger mit denen aus der Literatur verglichen.

geben sich nach einem linearisierten_Modell trotz vor-

handener Dämpfung exponentiell wachsende Lösungen. Nichtlinearitäten des realen Systems werden sie zwar begrenzen, doch wird das Rohr i. a. noch mehr oder weniger heftige Schwingungen ausführen, so daß die Gefahr eines vorzeitigen Versagens vor allem durch Werkstoff-

2.

Mathematisches Modell

2.1. Bewegung des Mediums

ermüdung besteht. Da Parameterresonanzen bereits bei

kleinen Nenngeschwindigkeiten des Mediums möglich sind, ist ihrer Bestimmung und Vermeidung erhöhte Aufmerksamkeit zu widmen. In [5] bis [8] werden nur Druckpulsationen, in [9] bis

[15] nur Geschwindigkeitspulsationen, in [16] bis [27} gekoppelte Druck- und Geschwindigkeitspulsationen zugrundegelegt. Das Rohr wird u. a. als gelenkig-gelenkig, eingespannt-gelenkig, eingespannt-eingespannt oder eingespannt-frei, in [14], [16], [21], [22], [24] als teilweise elastisch gelagert betrachtet; in [15} wird der Durchlaufträger, in [6] das unendlich lange Rohr untersucht.

terschiede in den Modellen bestehen ferner hinsichtlich der berücksichtigten Vorbelastung und Dämpfung.

Die Bewegung des inkompressiblen, reibungsfreien Mediums wird durch ein eindimensionales Strömungsmodel" beschrieben. Der Vektor der Relativgeschwindigkeit ist stets tangential zur verformten Rohrachse gerichtet und die Rückwirkung der Rohrbewegung wird vernachlässigt. Die Bewegungs- bzw. Kontinuitätsgleichung lautet damit öp + __

8V + V _ 8V __

öz ”(in

8V _

: 0

öz)



' ‚ 1x

: ()_

in

U

Bei z = L strömt das Medium in ein Reservoir, in dem ein

i. a. zeitabhängiger Druck herrscht. Als Lösung von (3} folgt

V(t) = V0 +„V1 qm),

Durch Zurückführung des Problems auf eine Mathieu-

sche Dgl.

bis [8], [10], [11], [13]) bzw. durch An—

setzen der Lösungen auf den Grenzflächen als periodische Funktionen ([9}, [12}, [l4] bis [22]) werden nur 16

d¢(t_) MM): Po + “Pi ‘1’(t)+ HPF V1 (Ir 2) j}:



mit den konstanten Größen V0, V1, po, p1 und den beliebigen Funktionen (I), ‘1’. Es ist pF die Dichte des Mediums und u eine reelle Zahl, welche die Größenordnung der Pulsationen in Bezug auf die konstanten Anteile

Neben bereits erklärter Größen bedeuten: EI ~ Biegesteifigkeit, AF — lichter Rohrquerschnitt, [IR bzw. up — Masse pro Längeneinheit des Rohres bzw. Mediums, B —

kennzeichnet. Im weiteren sind und ‘I’ periodisch mit

Bettungskonstante, L — Rohrlänge, kE bzw. k — Koeffizient der Werkstoff- bzw. äußeren Dämpfung, w — Biege-

der Periode T = 21r/Q, der Pulsationskreisfrequenz Q

auslenkung der Rohrachse, z — Ortskoordinate, t — Zeit.

In [5] bis [27] werden nurSpezialfälle von (2) bis (4) und den konvergenten Fourierreihen

Wt) = 22° [vscos(snt)+assin(snt)1‚ s=1

(3)

betrachtet; [21], [22], [24] ist bezüglich (5) allgemeiner. Inkorrekte Gleichgewichtsbetrachtungen führen bei [9], [12], [l4], [15], [18], [20] zu einem fehlerhaften Zusatzterm Tzus; er wurde in (4) mit aufgenommen, um seine Auswirkungen zu verfolgen:

‘I’(t) 2 D20 lwscos(sflt)+$ssin(sflt)]. s=1

J0 Nach (2) sind mit p1 i 0, V1 = O reine Druckpulsationen

T

=

(6)

gemäß [5] bis [8] möglich; reine Geschwindigkeitspulsationen entsprechend bis [15l würden V1 i 0 und p1 = V1 = 0 erfordern und sind daher nicht möglich. In

[16] bis [27] wird der Fall V1 # O, p1 = O zugrundegelegt, während der Fall V1 4: 0, p1 1F O noch nicht betrachtet wurde.

für korrekte G1. (4)

für fehlerhafte G1. (4) Den Beziehungen (4), (5) ist mit (2), (6) der Ausdruck 1f

(ß (w”+ KE w") 5w"+ [Kw + w + pw x

+2ßcw'+ pü, zü > rü werden alle HIB durch die elastische Bettung p durch die Eigenlast 7 > 0 (hängendes Rohr) stets zu größeren w-Werten, durch die Eigenlast 7 < 0 (stehendes Rohr) und durch die richtungstreue Druckkraft fR stets zu kleineren w-Werten verschoben. Die Richtung der Verschiebung der HIB infolge der körpertreuen Druckkraft fT, des konstanten Druckanteils no und des konstanten Fliehkraftanteils 0% hängt vom Vorzeichen von rü und damit vom Lagerungsfall ab. Einflufi der Dämpfung Die Formparameter B, E, C, D werden i. a. auch durch

die Dämpfung beeinflußt, wobei nur die konstant Anteile der Elemente in der Hauptdiagonale von{ b» ein-

gehen. Diese setzen sich aus der äußeren Dämpfung u,

der Werkstoffdämpfimg xE wioz und der durch die Coriolisbeschleunigung bedingten Strömungsdämpfung

Bei bekannter oberer Schranke um“ folgen nach Bild 1

20:o ßc uü zusammen. Mit uü > 0 wird letztere bei

die zur Vermeidung von Parameterresonanzen auszu-

a0 > 0 nicht negativ, verschwindet jedoch für alle Lagerungsfiille mit vi(l) = 0. Die Werkstoffdämpfung gewinnt mit wachsender Ordnung der wie stark an Ein-

schließenden Bereiche der Pulsationskreisfrequenz als

fluß; ihre Vernachlässigung führt zwar zu einfacheren

Beziehungen, aber auch zu falschen Schlußfolgerungen über die Gefährlichkeit der den höheren ‚Eigenheimen? zen zugeordneten HIB.

Einflufi der PuLsationsanteile Bei reinen Druckpulsationen ist a1 = O; es wird C = = 0 und B, E unabhängig von a0, ß. Es ist B direkt und umin umgekehrt proportional zur Druckamplitude 1r1 ‘118. Die Resonanzen E1“ existieren stets. Für Lagerungsfälle mit vi (1) = 0 .pder v;'(l) = 0 sind zusätzlich nur die Resonanzen SI‘J möglich. Bei gekoppelten Geschwindigkeits- und Druckpulsationen ist HI = 0. Jetzt haben a0 und ßp, BC, ßf Einfluß auf

alle Formparameter. Es wäre bei reinen GeschwindigBild 1 Auszuschließende w-Bereiche

keitspulsationen ßp = 0, bei Vernachlässigung der Corio-

l9

lisbeschleunigung fie = O, bei fehlerhafter Bewegungsgleichung Bf 4: 0. Nach (2), (6) muß jedoch ßp=ßc=ß und ßf = 0 verwendet werden; andernfalls ergeben sich

Aussagen über den Einfluß der einzelnen Systemgrößen sind ebenfalls unter o. g. Bedingungen zu sehen. Bei der Auswertung von (28), (29) können sich Schwell-

fehlerhafte Aussagen über Öffnungsbreiten‚ Schwellwerte und die Existenz von Kombinationsresonanzen. Die Breite der HIB ist direkt und umin umgekehrt pro-

werte ergeben, die der Bedingung u < 1 nicht genügen. Solche HIB h'eten erst für entsprechend große u-Werte auf; sie sind durch (22) bis (32) nicht mehr beschreibbar,

portional zur _Geschwindigkeitsamplitude a1 (PS. Die haben jedoch für schwache

Parametererregung keine

Resonanzen E1“ existieren stets; über das Auftreten

der Resonanzen 51'] und D1“ sind nur für den konkreten Lagerungsfall Aussagen möglich.

praktische Bedeutung. Letzteres trifft bereits für HIB zu, bei denen 11min > umax wird. Vergleichsrechnungen ohne Verwendung von (21) nach

Beim allgemeinen Fall der Pulsationen gemäß (2), (3) ist in den Beziehungen (31), (32) ßPZßc Zß und ßf = O zu setzen. Die Formparameter hängen außer vom Lagerungsfall und von a0, ß, K, KE nun von beiden Pulsa-

der für beliebiges u einsetzbaren Multiplikatorenmethode ergaben bis [.1 N 0,5 gute und für u N 0,5 . . . 1 noch brauchbare Übereinstimmung mit den Ergebnissen der Nähemngsrechnung; vergl. auch Bilder 4- und 8.

tionsamplituden a1 (PS, 111 ‘I/s und vom relativen Phasenwinkel qs — ’rs ab. Man kann zeigen, daß die Resonanzen E1“ stets existieren; über das Auftreten der

Resonanzen SI“ und D l] sind nur für den konkreten Fall der Lagerung und der Pulsationen Aussagen mög—

3.3. Lagerung als Zweistützträger

Für das System nach Bild 3 wird

lieh.

vj (x) = sinÄJ-x mit Umkehr der Strömungsrichtung

=j1r.

(35)

Die Strömungsdämpfung verschwindet; es wird C = D = 0 und

Diese Frage tritt z. B. bei der Entleerung von Kavemen mittels Rohrtour auf und wurde in [30] für V = oonst.

Ki: ’(fR+fT+"o+ao2)+7/2+p/(n2 i2)!

untersucht. Bei unveränderten Systemgrößen ist V durch — V zu ersetzen, so daß die abgeleiteten Beziehungen mit

a°->—ao und a1 ->—a1

(36) Di = K + KE 174

.

bleiben. Es werden .QO

und A nicht beeinflußt. Mit uii 2 0 wirkt die „Strömungsdämpfung” nun anfachend. Es geht Aij in —-Aiüber, während Fij nur flit a1 i 0 und 7r1 t 0 verändert

!.

p(o,t)

wird. Gegenüber dem ursprünglichen System wirkt eine

pa,” ‚(Im

Strömungsumkehr i. a. stabilitätsmindernd (z. B. infolge

T1 Wt),

kleinerer Schwellwerte); eine Veränderung im Auftreten der Kombinationsresonanzen ist zu erwarten; genauere Aussagen sind nur im konkreten Fall möglich.

‘—R1

/

/

W l

L

Gültigkeitsbereich der Ergebnisse Bild 3

Die Gln. (22) bis (34) gelten nur für HIB unter Einhaltung der Bedingungen u < 1, Vo < Vkrit und K, KE < 1.

Das Rohr als Zweistützträger

Ein HIB wird für festes ij, s in erster Näherung nur durch

Bei reinen Druckpulsationen existieren keine Kombina-

die in Bild 2 markierten Elemente von{ bij} und{ cij}

tionsresonanzen; für die Resonanzen E1ll wird

beeinflußt; die s-te Harmonische der Pulsationen kann unabhängig von allen anderen betrachtet werden Die

no : 2172i? B

I

,

(37).

flmin:Di/B.

Unter Beachtung der Voraussetzungen in 3.1. lassen sieh

I

die Ergebnisse nach [6] in (36), (37) für ICE = 7 = 0 über-

—————

führen.

. Bei gdroppelten Geschwindigkeits- und Druckpulsatio-

i

neu. treten mit ß

I

——————

= ßc = ß, ßfn= 0 keine Resonanzen

D11J auf. Für die esonanzen E1u wird | | I I I

Bild 2 Einfluß der Matrixelemente auf die Resonanzbereiche für festes ij, s

20

:17]

A = Ki,

no=2ir2i2

A:K.

2 B = a1 ss-x/ a0 +ß21r4i4/4



"

(38)

, [Lmin=Di/B.

Für die Resonanzen Slij gilt mit i > und i — j ungerade:

%=fl@w%

‚A=mwgy2

.

B =4ß

'2'2



J ——' J

VDiDj

(12-j2)2

0‘1 q’s a “min = (Di +Dj)/(2 B)

(39

>i

//

Der Einfluß der Systemgrößen ist aus (36), (38), (39) ablesbar. Die Bilder 4 bis 6 zeigen typische Verläufe für B, 51min und die Grenzkurven. Für i> l (mit = i—l bei SI”) wird B "i2, sowie umin “i2 bei KE * O bzw.

‚11min ~i‘“2 bei KE = 0; bei Vernachlässigung der Werkstoffdämpfung wird daher die Gefährlichkeit der den höheren Eigenfrequenzen zugeordneten HIB überschätzt. Die Ergebnisse aus [26], [29] sind Spezialfälle von (38),

(39). Die Aussagen in [l9] über den qualitativen Einfluß

der Systemgrößen bei den Resonanzen. E111 werden durch (36), (38) bestätigt; Resonanzen SI”, D1“ wurden in [19] nicht erhalten. Der Fall 60 = Bf = ß, ßp = O gemäß [12l liefert bei sonst gleichen Aussagen

B = aoa1s

0

0,5

1,0

1,5

sind s

für E1“ ,

2,5

2,0

Q-—.

I

Offnungsbreite des Resomnzbereiches E111 für den Zweistützträger :

ß x/ÜiDj Di+Dj

—__———_

f 5 ii 1 s m 1

a

u

(40) IT

1 ..

l | I‘l'm'n

ll l |

l‘

/1'.'-0,1 V x-0‚3

2,0

7:-0,5

‘ \( “ \

5

1

|

x-o,3

\

x-0.5

1.0-

“ x \

\

\ 0’5

-—-— [s-o,1 —ß'0/'

x-O,1

\

\

\ \\

\\

Q ‘~

\~ \\\ \\‘ \‘~~__

o

05 ,

1,0

1,5

_

2,0

2,5 x__

Bild6 Schwellwert des Resonanzbereiches E111 für den Zweistützträger bei ICE = 0

und unterschätzt damit die Gefährlichkeit aller

ü so-

————— Nähermgslösung - - .. _ exakte Lösung

wie der S " fiir 0,413 i

:20 = A3152, A=(Kiin)/2‚

Näherungslösmg

‚(46) 8

Pij

:

1.1112 (p82{ 4&02 In. 1-” + B2

1) J!

i

'7 2

- [03 :ij) p].i _ 2 A} uji] }/(>\i2 xj2) ,

— — — — exakte Lösung

uij]

(47)

Aij = i 2% 50114 s2 {rij [(Ai2 i Äj2)pji—2 A3 uji]

_ rji [oi2 ix).2 )pij —+2 A]? uijl} mi? sz). Die Formparameter B, E, C, D sind nach (24), (25) und 11min nach (28) zu bestimmen. In (46) bis_(48) gilt das

24— 2,0 4

1,6 —

6

0,25

obere Vorzeichen für die Resonanzen Sl“, das untere

Vorzeichen für die Resonanzen D1”. Eine zahlenmäßige

Bild 8

Darstellung ist für i = 1;2 und = 1 in [25], [27] enthal-

(010 zal =o,2 bzw. 0,5; ß: 0,4; (pl = 1; null sonst)

Hauptinstabilitätsbereiche für den Kragträger bei N = 2

ten. Für Öffnungsbreiten und Schwellwerte ergeben sich 22

LITERATUR

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11min 2,0

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0

t

2

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4

Bild 9 Schwellwerte der Resonanzbereiche für den Kragträger bei N = 2 (ao:a1 =0,5;ß= 0,4; K = 0,2 bzw. 0;(I>1 = 1; null sonst)

nes‘éimaemoj ‘iidkosti. Ras‘éety na procnost’ 14 (1969), S. 332 — 351.

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4. Zusammenfassung und Ausblick

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Den Untersuchungen liegt ein Balkenlnodell für das ge— rade Rohr und ein Fadenmodell für das strömende Medium zugrunde. Bei beliebig periodischen Geschwindigkeits- und Druckpulsationen des Mediums wird die Be-

wegung des Rohres nach entsprechender Diskretisierung durch ein System Hillscher Dgln. beschrieben. Für den praktisch wichtigen Fall kleiner Pulsationen, schwacher

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Dämpfung und kleiner Vorbelastung wurden Näherungs— l

formeln für die Grenzkurven der Hauptinstabilitätsbe-

[15] Singh, K., Mallik, A. K.: Parametric instabilities of a

reiche bei einfacher Parameterresonanz und bei Kombinationsresonanz erhalten. Aus ihnen ist der „Einfluii der Systemgrößen auf Lage und Form dieser Bereiche expli-

periodically supported pipe conveying fluid. Journal of Sound and Vibration 62 (1979) H. 3, S. 379 — 397.

[16} Kondra‘sov, N. S.: Parameuiceskie kolebanija trubopro-

zit entnehmbar. Die Näherungsformeln gestatten bei vor-

vodov na uprugo-dempfirujuscich oporach, vysywaemye

gegebener oberer Schranke für die Pulsationen die Berechnung der zur Vermeidung von Parameterresonanzen

jach uprugich sistem, Kiev 1968, S. 427 — 433.

pul’siruju‘élzim potokom. Rassejanie energii pri kolebani[17]

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Eine Anwendung des Verfahrens auf das gekrümn‘ite [18] \Kataev, V. P.: Dinamiccskaia ustocivost’ truboprovodov

Rohr und auf Rohrleitungen ist möglich, nachdem die geeignet diskretisierten Bewegungsgleichungen in ein schwach gekoppeltes Dgl.-System transformiert wurden.

s pul’sirujuscim potokom zidkosti. Avtoreferat Dissertacii, Novosibirsk 1971.

[19] Ginsberg, J. H.: The dynamic stability of a pipe conveying a pulsatile flow. International Journal of Engineering

Die Annahme periodischer Pulsationen stellt nur eine relativ grobe Näherung für die Bewegung des Mediums im Rohr dar. Aufgde der Vielzahl sich überlagemder, nicht völlig bekannter Einflüsse erscheint die Beschreibung der Pulsationen durch ein stochastisches Modell wirklichkeitsgetreuer. Eine stochastische Betrachtung wird ebenfalls bei Mehrphasenströmungen notwendig werden. Die Erweiterung der Untersuchungen auf die genannten Problemkreise sollte vorgenommen werden, um genauere Aussagen über das dynamische Verhalten durchströmter Rohre zu erhalten.

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Anhang

Eigenwerte und Abkürzungen (15) für den Kragträger bei N = 4

m {8

{w}

[ 0.187510E 01

0.469410E 01

0.785476E 01

0.109955E 02]

= [I 0.200000E Ol ~ 0.858801E 01 0.420888E 00 0.199997E 01 0.700774E—01 0.130292E 01 _ 0.278333E—01 0.258478E 00

0.116462E 02 — 0.106122E 02 0.200000E 01 0.298014E 01

_ 017734012 02'

0.807133E 01 _ 011425412 02 02000001: 014

—0.211895E 02 0.844868E 02 —0.132941E 02 —0.154221E 02 0.189341E 01 -—0.459043E 02 0.232255E 01 0.304106E 01

„ 0.160949E 03' 0.725246E 02 _ 0.116588E 02 ._ 0.989182E 02J

—0.782595E 01 0.149456E 02 — 0.126346E 02 —0.138358E 02 0.194716E 00 —0.289506E 02 0.178572E 01 -—0.298120E 01

— 0.139755E 02' 0.167628E 02 _ 023088312 02 — 0.554587E 02_

— 0.345057E 02 0.966168E 02 0.191230E 02 — 0.535448E 02 — 0.112123E 02 0.313947E 02 0.801608E 01 —0.224~452E 02

_ 018933013 03 0.104926E 03 _ 0.615211E 02 0.439836E 02d

= [— 0.858245E 00 0.103848E 01 0.508372E 00 _ 0.252608E 00

{8 =

1050855313 01 0.654936E 00 0.418441E 00 _ 0.230673E 00

{zij} = r 0.550602E 01 — 030514213 01 0.17B9I3E 01 _— 0.127911E 01

Anschrift des Verfassers: Oswald Becker Ingenieurhochschule Zittau Abteilung Mathematik 8800 Zittau Theodor-Kömer-Allee 16

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