Technische Mechanik I - Hochschule Ostwestfalen-Lippe

Baumechanik 1 (Modul 3104) Veranstaltungen WS 2012 / 2013

Vorlesung

Mi. 10:00 – 11:30 Uhr, 3.103 (Casino-Gebäude) Beginn: 26.9.2012

Hörsaalübung

Gruppe Bauingenieure A Di. 11:45 - 13:15 Uhr, R. 1.116 Beginn: 25.9.2012 Gruppe Bauingenieure B Do. 11:45 – 13:15 Uhr, R. 3.107 Beginn: 27.9.2012 Wirtschaftsingenieure Di. 10:00 – 11:30 Uhr, R. 1.017 Beginn: 25.9.2012

Übungsseminar

montags 8:15 – 9:45 Uhr, 3.107

(Tutorium)

Beginn: 1.10.2012

Ansprechpartner

Prof. Dr.-Ing. Andreas Falk

Sprechstunde:

Mo. 12:00 – 14:00, R. 1.110

Tel.:

05231 / 769 815

email:

[email protected]

Internet:

http://www.hs-owl.de/fb3/labore/tm0.html

Baumechanik 1

Blatt

Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk

Literaturangaben [1] Bochmann, F.: Statik im Bauwesen, Bd. 1, Statisch bestimmte Systeme. 21. Auflage 2003, Huss-Medien

XBK 128

[2] Bochmann, F.: Statik im Bauwesen, Bd. 2, Festigkeitslehre. 18. Auflage 2003, Huss-Medien

XBK 128

[3] Brommundt, E.; Sachs, G.: Technische Mechanik, Eine Einführung. 3. Aufl. 1998, Springer Verlag

WCA 138

[4] Bruns, O.T.; Lehmann, Th.: Elemente der Mechanik

-

Bd. 1 Einführung, Statik. 1. Aufl. 1993, Vieweg Bd. 2 Elastostatik. 1. Aufl. 1999, Vieweg

-

Bd. 3 Kinetik. 1. Aufl. 1994, Vieweg

-

[5] Bruns, O.T.: Aufgabensammlung Technische Mechanik

-

Bd. 1 Statik, 1. Aufl. 2000, Vieweg Bd. 2 Festigkeitslehre, 1. Aufl. 2000, Vieweg

-

Bd. 3 Kinetik, 1. Aufl. 1999, Vieweg

-

[6] Dallmann, R.: Baustatik 1- Berechnung statisch bestimmter Tragwerke. 1. Auflage, 2006, Hanser Fachbuchverlag

XBK 266

[7] Dankert, H.; Dankert, J.: Technische Mechanik, WCA 149 computerunterstützt, Statik, Festigkeitslehre, Kinematik / Kinetik, 4. Auflage, 2006, Teubner [8] Gross, D.; Hauger, W.; Schröder, J., Wall, W.A.: Technische Mechanik, Bd. 1, Statik. 9. Aufl. 2006, Springer Verlag

WCA 132

[9] Gross, D.; Schnell, W. ; Ehlers, W.; Wriggers, P.: Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik, Bd. 2 Elastostatik, Hydrostatik; 5. Aufl. 1998, Springer Verlag

WCA 132

[10] Gross, D.; Schnell, W. ; Ehlers, W.; Wriggers, P.: Formeln und WCA 132 Aufgaben zur Technischen Mechanik, Bd. 3 Kinetik, Hydrodynamik. 5. Aufl. 1999, Springer Verlag [11] Gross, D.; Hauger, W.; Schnell, W. ;Wriggers, P.: Technische Mechanik, Bd. 4, Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden. 3. Aufl. 1999, Springer Verlag

WCA 132

[12] Hauger, W. ; Schnell, W.; Gross, D. : Technische Mechanik, Bd. 3 Kinetik. 6. Aufl. 1999, Springer Verlag

WCA 132

[13] Krings, W.; Wanner, A.: Kleine Baustatik – Grundlagen der Statik und Berechnung von Bauteilen. 14. Auflage 2009. Teubner Verlag

XBK 103

[14] Lohmeyer, G.C.O. : Baustatik 1, Grundlagen. 10. Aufl. 2008, Teubner Verlag

XBK 110

[15] Lohmeyer, G.C.O., Baar, S. : Baustatik 2, Bemessung und Festigkeitslehre. 11. Aufl. 2009, Teubner Verlag

XBK 110

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Baumechanik_1_2012.doc

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Baumechanik 1

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[16] Mayr, M.: Technische Mechanik - Statik, Kinematik, Kinetik, Schwingungen, Festigkeitslehre; 2. Aufl. 1999, Hanser Elektronik [17] Mayr, M.: Mechanik Training - Übungsbeispiele und Prüfungsaufgaben; 2. Aufl. 2000, Hanser Elektronik

WCA 153 -

[18] Meskouris, K.; Hake, E.: Statik der Stabtragwerke - Einführung in die Tragwerkslehre; 1. Auflage 1999, Springer-Verlag.

XBK 204

[19] Müller, K.; Ferber, E.: Technische Mechanik für Ingenieure. 2.Auflage 2004, Hanser-Verlag.

WCA 293

[20] Romberg, O. ; Hinrichs, N.: Keine Panik vor Mechanik. Taschenbuch. 2. Aufl. 2000, Vieweg

WCA 162

[21] Schatz, D.: Klausurtraining Statik, 2. Aufl. 2003, Teubner Verlag

XBK 208

[22] Schnell, W.; Gross, D.; Hauger, W.: Formeln und Aufgaben zur WCA 132 Technischen Mechanik, Bd. 1, Statik; 5. Aufl. 1998, Springer Verlag [23] Schnell, W.; Gross, D.; Hauger, W.: Technische Mechanik, Bd. 2 WCA 132 Elastostatik. 6. Aufl. 1998, Springer Verlag [24] Wetzell, O.W.: Technische Mechanik für Bauingenieure, Bd. 1, Statisch bestimmte Stabtragwerke. 2. Aufl. 2004, Teubner Verlag

WCI 121

[25] Wriggers, P. et al.: Technische Mechanik kompakt. 1. Auflage 2005, Teubner Verlag.

WCA 292

Internet-Hinweise Literatur

www.hs-owl.de/skim; www.amazon.de

Bauwerke

www.structurae.de, www.brueckenweb.de

Hochschulen www.hs-owl.de/fb3,

www.ibnm.uni-hannover.de

www.ki-smile.de (Fachhochschule Potsdam)

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Inhalt 1

2

3

EINFÜHRUNG

10

1.1 Einteilung der Mechanik

10

1.2 Historischer Überblick

11

1.3 Begriffe

17

1.4 Griechisches Alphabet

18

EINWIRKUNGEN UND KRAFTBEGRIFF

19

2.1 Allgemeines

19

2.2 Physikalische Größen, Einheiten

20

2.3 Masse und Gewichtskraft 2.3.1 Masse 2.3.2 Gravitation ist die Ursache der Gewichtskraft 2.3.3 Berechnung der Gewichtskraft über die Wichte 2.3.4 Flächenkräfte p 2.3.5 Linienkräfte (Streckenlasten) q 2.3.6 Einzelkräfte F 2.3.7 Weitere Einteilungsmöglichkeiten für Kräfte 2.3.8 Bestimmungsgrößen einer Kraft

20 20 21 22 23 25 26 27 27

2.4 Kleine Übungsaufgaben 2.4.1 Massenermittlungen 2.4.2 Masse – Gewichtskraft 2.4.3 Kleines Tragwerk - Wartehäuschen

28 28 28 29

2.5 Axiome der Statik und Schnittprinzip

30

ZENTRALE KRAFTSYSTEME IN DER EBENE

33

3.1 Allgemeines

33

3.2 Kräfteaddition (Reduktion) 3.2.1 Grafische Methode 3.2.2 Analytische Methode 3.2.3 Trigonometrische Formeln

34 34 35 37

3.3 Bedingungen für das Gleichgewicht 3.3.1 Grafische Methode 3.3.2 Analytische Methode 3.3.3 Beispiel zur Reduktion und zum Gleichgewicht (Öse) 3.3.4 Beispiel 2

38 38 38 39 40

3.4 Kräftezerlegung in 2 Richtungen 3.4.1 Grafische Methode 3.4.2 Analytische Methode 3.4.3 Beispiel 1 zur Kräftezerlegung 3.4.4 Beispiel 2 zur Kräftezerlegung

41 41 42 44 44

3.5 Zusammenfassung

45

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4

5

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ALLGEMEINE KRAFTSYSTEME IN DER EBENE

46

4.1 Allgemeines

46

4.2 Moment und Kräftepaar 4.2.1 Allgemeines, Definitionen 4.2.2 Komponentendarstellung des Momentes 4.2.3 Verschiebung einer Kraft parallel zur Wirkungslinie

47 47 48 50

4.3 Beispiele zu nicht-zentralen Kraftsystemen 4.3.1 Bsp. 1 zum nicht-zentralen Kraftsystem 4.3.2 Bsp. 2 zum nicht-zentralen Kraftsystem 4.3.3 Beispiel 3 zum nicht-zentralen Kraftsystem 4.3.4 Beispiel 4 zum nicht-zentralen Kräftesystem

51 51 52 53 54

4.4 Zusammenfassung

56

LAGERREAKTIONEN EBENER STABTRAGWERKE

57

5.1 Allgemeines 5.1.1 Mögliche Tragwerksarten 5.1.2 Tragwerksarten ebener Stabwerke 5.1.3 Räumliches Koordinatensystem, Freiheitsgrade

57 57 58 59

5.2 Lagerarten und Gelenke für ebene Stabtragwerke 5.2.1 Lager- und Gelenkarten bei ebenen Stabtragwerken 5.2.2 Ausführung von Lagern und Anschlüssen

61 62 63

5.3 Beispiele für Auflagerkraftberechnung 5.3.1 Beispiel 1 5.3.2 Beispiel 2 5.3.3 Beispiel 3 5.3.4 Beispiel 4 5.3.5 Beispiel 5 5.3.6 Beispiel 6

64 64 64 65 65 66 66

FACHWERKE

67

6.1 Allgemeines

67

6.2 Bezeichnungen, Fachwerkarten

68

6.3 Abzählkriterium für ebene Fachwerke

69

6.4 Berechnung der Stabkräfte 6.4.1 Knotenpunktverfahren 6.4.2 Identifizierung von Nullstäben 6.4.3 Ritterschnittverfahren

70 70 71 72

6.5 Beispiele 6.5.1 Fachwerkbeispiel 1 6.5.2 Fachwerkbeispiel 2 6.5.3 Fachwerkbeispiel 3 (Klausuraufgabe) 6.5.4 Fachwerkbeispiel 4

73 73 74 75 76

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7

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SCHNITTGRÖßENERMITTLUNG BEI EBENEN STABWERKEN

77

7.1 Definition von Schnittgrößen, Schnittufern

77

7.2 Mögliche Schnittgrößen (innere Kräfte) an ebenen Balkentragwerken

78

7.3 Resultierende von Streckenlasten

79

7.4 Statische Bestimmtheit 7.4.1 Abzählkriterium für ebene Balken und Rahmen 7.4.2 Zur Bestimmung der Anzahl der Zwischenbindungen z 7.4.3 Der Ausnahmefall der Statik 7.4.4 Beispiele zum Abzählkriterium

79 79 80 80 81

7.5 Schnittgrößenermittlung durch Gleichgewichtsbedingungen 7.5.1 Beispiel 1 7.5.2 Beispiel 2 7.5.3 Beispiel 3 7.5.4 Beispiel 4 7.5.5 Beispiel 5 7.5.6 Beispiel 6 7.5.7 Ermittlung maximaler Momente mithilfe der Anfangsschnittgrößen 7.5.8 Beispiel 7 7.5.9 Beispiel 8: Gelenkträger

82 82 83 84 84 85 87 88 89 91

7.6 Zusammenhang zwischen äußeren Lasten und Schnittgrößen

92

7.7 Analytische Ermittlung von Schnittgrößen mithilfe der Differenzialbeziehungen 7.7.1 Beispiel 1 7.7.2 Beispiel 2 7.7.3 Klausuraufgabe 7.7.4 Weiteres Beispiel

96 96 97 98 100

7.8 Schnittkraftlinien am Kragarm

102

7.9 Schnittgrößenermittlung mit Stabwerksprogrammen 7.9.1 Allgemeines 7.9.2 Fachwerk mit STAB2D 7.9.3 Balkentragwerk mit Stabwerkprogramm STAB2D 7.9.4 Verbreitete Stabwerksprogramme (Auswahl)

103 103 104 104 105

BERECHNUNG VON FLÄCHENWERTEN

106

8.1 Allgemeines

106

8.2 Flächenschwerpunkt 8.2.1 Einführendes Beispiel 8.2.2 Definitionen zum Schwerpunkt 8.2.3 Erläuterungen zum statischen Moment / Schwerpunktsberechnung 8.2.4 Beispiel: Schwerpunktermittlung für ein Dreieck

107 107 108 109 109

8.3 Formeln für Schwerpunktkoordinaten

110

8.4 Beispiele zur Schwerpunktermittlung 8.4.1 Mustertabelle zur Bestimmung des Schwerpunktes einer zusammengesetzten Fläche 8.4.2 Beispiel 1 8.4.3 Beispiel 2 8.4.4 Beispiel 3 8.4.5 Beispiel 4 8.4.6 Beispiel 5

111 111 111 112 112 113 114

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Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk 8.4.7

Beispiel 6

114

8.5 Genormte Walzprofile 8.5.1 Bezeichnungen 8.5.2 Tabellen mit Querschnittswerten

115 115 116

8.6 Berechnung von Flächenträgheitsmomenten (FTM) 8.6.1 Definition 8.6.2 Auswertung für einen Rechteckquerschnitt 8.6.3 Flächenträgheitsmomente für einfache Querschnitte 8.6.4 Kleine Übungen 8.6.5 Gegenüberstellung Flächenmoment 1. Grades – Flächenmoment 2. Grades 8.6.6 Flächenträgheitsmomente bzgl. parallel verschobener Schwerpunktachsen 8.6.7 Beispiel 1: Doppel-T-Querschnitt 8.6.8 Beispiel 2: Zusammengesetzter Querschnitt 8.6.9 Beispiel 3: Klausuraufgabe

118 118 118 119 120 122 123 123 124 125

8.7 Transformation der FTM / Hauptträgheitsachsen 8.7.1 Deviationsmoment (Zentrifugalmoment) 8.7.2 Drehung des Koordinatensystems 8.7.3 Hauptachsen 8.7.4 Beispiel L-Profil 8.7.5 Beispiele für unsymmetrische Profile in der Praxis 8.7.6 Transformation bei dünnwandigen Querschnittsteilen 8.7.7 Beispiel: Zusammengesetzter dünnwandiger Querschnitt 8.7.8 Beispiel: Einfachsymmetrischer dünnwandiger Querschnitt

126 126 126 127 128 129 130 132 133

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Abbildungsverzeichnis Bild 1-1: Übersicht zur Mechanik Bild 1-2: Idealisierung im Bauingenieurwesen (Modellbildung) Bild 2-1: Einwirkungen und Widerstand Bild 2-2: Beispiele für Flächenlasten Bild 2-3: Winddruck und Wasserdruck Bild 2-4: Zusammenfassung von Flächenlasten zu Streckenlasten Bild 2-5: Einzelkräfte Bild 2-6: Vektorielle Addition von Kräften in der Ebene Bild 3-1: Zentrales Kraftsystem in der Ebene Bild 3-2: Zusammenfassung: Zentrale Kraftsysteme in der Ebene Bild 4-1: Nicht-zentrales Kraftsystem Bild 4-2: Außermittig belasteter Querschnitt Bild 5-1: Tragwerksarten Bild 5-2: Statische Systeme bei ebenen Stabtragwerken Bild 5-3: Koordinatenrichtungen und Rechte-Hand-Regel Bild 5-4: Drehrichtungen zu den Koordinatenachsen und Rechte-Hand-Regel Bild 5-5: Koordinatensystem und Freiheitsgrade Bild 5-6: Lagerarten und Gelenke Bild 5-7: Lager- und Gelenksymbole Bild 5-8: Ausbildung von Lagern und Anschlüssen Bild 6-1: Ideales Fachwerk Bild 6-2: Bezeichnungen beim Fachwerk Bild 6-3: Einteilung der Fachwerke nach Trägerform Bild 6-4: Einteilung nach Art der Ausfachung Bild 6-5: Weitere Fachwerkarten Bild 6-6: Knotenpunktverfahren Bild 7-1: Definition von Schnittufern und Schnittgrößen Bild 7-2: Zustandslinien Bild 7-3: Zur Bestimmung von Resultierenden bei Streckenlasten Bild 7-4: Gelenksituationen / Anzahl der Unbekannten Bild 7-5: Ausnahmefall der Statik Bild 7-6: Beispiele zum Abzählkriterium Bild 7-7: Schnittkraftverläufe und Formeln für Schnittgrößen am Kragarm Bild 8-1: Zur Herleitung der Formel zur Ermittlung von Flächenschwerpunkten Bild 8-2: Genormte Walzträger Bild 8-3: Bezeichnungen und Abkürzungen der Querschnittswerte Bild 8-4: Querschnittswerte U-Profil

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10 17 19 23 24 25 26 32 33 45 46 50 57 58 59 60 60 61 62 63 67 68 68 69 69 70 77 78 79 80 80 81 102 107 115 115 117

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Tabellenverzeichnis Tabelle 1-1: Griechisches Alphabet .......................................................................... 18 Tabelle 2-1: Physikalische Basisgrößen in der Statik ............................................... 20 Tabelle 2-2: Abgeleitete Größen (Auswahl) .............................................................. 20 Tabelle 2-3: Umrechnung Masse – Gewichtskraft .................................................... 21 Tabelle 2-4: Rohdichten und Wichten wichtiger Stoffe ............................................. 22 Tabelle 3-1: Werte der trigonometrischen Funktionen für ausgewählte Winkel ........ 37 Tabelle 7-1: Grafische Zusammenfassung: Eigenschaften von Schnittkraftverläufen .......................................................................................................................... 93 Tabelle 7-2: Typische Schnittgrößenverläufe beim Balken auf zwei Stützen............ 94 Tabelle 7-3: Zusammenhang zwischen q(x), V(x) und M(x) ..................................... 95 Tabelle 8-1: Querschnittswerte für übliche Doppel-T-Träger .................................. 116 Tabelle 8-2: Querschnittswerte für ausgewählte U-Profile ...................................... 117 Tabelle 8-3: Eigen-Flächenträgheitsmomente für übliche Querschnitte ................. 119

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1

Einführung

1.1

Einteilung der Mechanik



Die Mechanik ist das älteste Teilgebiet der Physik



Lehre von den Bewegungen materieller Körper (Kinematik)



Lehre von den Kräften, die Bewegungen verursachen (Dynamik)



Technische Mechanik oder Baumechanik sind die anwendungsorientierten Darstellungen der Mechanik

Aerodynamik

Hydromechanik Mechanik fester Körper

  

starre Körper elastische Körper plastische Körper

Kinematik

Dynamik

Bewegungslehre

Lehre v. d. Kräften

kinesis = Bewegung

dynamis = Kraft

geometrische Darstellung der Bewegungsabläufe Länge , Zeit

Kinetik

Statik

Gleichgewicht bewegter Körper

Gleichgewicht ruhender Kräfte

Zusammenhang Kraft - Bewegung

status = das Stehen

Kraft, Länge, Zeit

Statik (1. Semester) Elastostatik (2. Sem.) Hydrostatik (2. Sem.) Kraft, Länge

Bild 1-1: Übersicht zur Mechanik

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1.2 Historischer Überblick Altertum 287 – 212 v.Chr.

Archimedes Griechischer Mathematiker in Syrakus und Alexandrien 

Kreis- und Kugelberechnung



Hebelgesetz: Kraft * Kraftarm = Last * Lastarm



spezifisches Gewicht, Körper unter Auftrieb

Renaissance 1452 – 1519

Leonardo da Vinci Bildhauer, Maler, Baumeister, Mathematiker in Florenz, Mailand, Frankreich 

1548 – 1620

Betrachtungen zum Gleichgewicht

Simon Stevin Generalquartiermeister der holländischen Armee

1564 – 1643



Gleichgewicht auf schiefer Ebene



Kräfteparallelogramm

Galileo Galilei, Professor an den Universitäten Pisa, Padua Discorsi e dimonstrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze

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

Gesetze des freien Falles und der Wurfbewegung



Pendelschwingung



Prinzip der virtuellen Arbeit



Trägheitsaxiom, Kraft, Moment



Frage nach der Biegefestigkeit von Balken



Optik, Fernrohr



Astronomie


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1596 – 1650

René Descartes Französischer Mathematiker und Philosoph Cogito ergo sum

1629 – 1695



Analytische Geometrie



Kartesisches KOS



Arbeit = Kraft * Weg

Christiaan Huygens Holländischer Physiker und Mathematiker

1635 – 1703



Elastischer Stoß



Schwingungsmittelpunkt des elastischen Pendels



astronomische Entdeckungen

Robert Hooke Physiker, Ingenieur, Professor in London 

Hooke´sches Gesetz Ut tensio sic vis – Wie die Dehnung so die Kraft

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12

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Aufklärung 1642 – 1727

Isaac Newton Physiker, Mathematiker, Professor in Cambridge Philosophiae naturalis principia mathematica Präsident der Royal Society in London, Begründer der klassischen Physik

1646 – 1716



Ausbau der Differenzial- und Integralrechnung



Gravitationsgesetz



Bewegungsgesetze



Axiome der Mechanik

Gottfried Wilhelm Leibniz, Philosoph, Mathematiker, Physiker, Jurist

1654 -1722



Lösung einer Vielzahl von Ingenieurproblemen



Infinitesimalrechnung



Konstruktion von Rechenmaschinen

Pierre Varignon 

1654 – 1705

1667 - 1748

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Seileckverfahren

Jakob Bernoulli 

Unendlich kleine Größen



Schwingungen



Balkenstatik / Ebenbleiben der Querschnitte



Balkentheorem



Kettenlinie

Johann Bernoulli 

Prinzip der virtuellen Verschiebungen



Strömungsmechanik


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1707 - 1783

Leonard Euler Mathematiker, Physiker, Petersburger und Berliner Akademie der Wissenschaften

1736 - 1813



Mathematik



Hydromechanik



Biegelinie (1744)



Schnittprinzip



Stabilitätsprobleme (1759)

Joseph Louis Lagrange Mathematiker, Professor in Turin und Paris, Akademie der Wissenschaften in Berlin

1736 - 1806



Hauptprinzipe der Mechanik



Prinzip der virtuellen Verrückungen



Variationsrechnung

Charles Augustin de Coulomb Französischer Ingenieur und Physiker

1781 - 1840



Elektrizitätslehre



Reibung, Kraftumwandlung



Lösung der Balkenbiegung



Schubprobleme



Grundlagen zur Erddruckberechnung

Simeon Denis Poisson Physiker und Mathematiker, Professor an der Faculté des sciences in Paris

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

Theoretische Physik



Potentialtheorie



Elastizitätstheorie, Akustik, Wärmeleitung



Wahrscheinlichkeitsrechnung



Zusammenhang zwischen Längs- und Querverformung


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Neuzeit 1785 - 1836

Louis Marie Henri Navier Ingenieur und Professor, Polytechnische Hochschule Paris

1789 – 1857

1797 – 1886



Spannungsverteilung beim Balken



Torsion beim Balken



Knickprobleme



Platten- und Membrantheorie



Begründer der wissenschaftlichen Elastizitätslehre

Augustin Louis Baron Cauchy 

Gleichgewicht am Element, Spannungen



Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen

Adhemar Jan Claude de Saint-Venant Physiker in Paris

1799 – 1864

1821 - 1881

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

Arbeiten zur Theorie der Balkenbiegung, Torsion, Stabschwingungen



Verteilung der Elastizität um einen Punkt



Spannungsbestimmungen an teilweise plastischen Körpern



Torsion von Stäben

Benoit Paul Emile Clapeyron 

Dreimomentensatz



Kraftgrößenverfahren

Karl Culmann 

graphische Statik



Biegemomente im Balken mit Seilpolygon


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1824 – 1887

Gustav Robert Kirchhoff Physiker, Professor in Breslau, Heidelberg, Berlin

1826- 1908



Elektrizitätslehre



Thermodynamik



Stabschwingungen



Plattentheorie

Georg Dietrich August Ritter Professor an der Polytechnischen Schule Aachen

1830- 1903

1835 – 1918



graphische Statik



Stabkraftermittlung bei Fachwerken

Antonio Luigi Gaudenzio Giuseppe Cremona 

graphische Statik



Stabkraftermittlung bei Fachwerken (Cremonaplan)

Christian Otto Mohr Bauingenieur, Professor an der Techn. Hochschule Dresden

1847- 1884



Festigkeitslehre



Mohrscher Spannungskreis

Alberto Castigliano 

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Energiebetrachtungen zur Berechnung von Schnittkräften und Verformungen


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Baumechanik 1

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1.3 Begriffe Die Mechanik  basiert auf Axiomen und Idealisierungen  und bedient sich der Mathematik Axiome Axiome sind Grundaussagen, die nicht beweisbar sind, jedoch durch Beobachtungen bestätigt werden und plausibel erscheinen.

Reale Struktur (Bauwerk)

Mechanisches Modell Idealisierungen (z.B. starrer Körper, Punktlasten)

Mathematisches Modell

Analytische Lösung

Numerische Lösung

Algebraische Gleichungen

Algebraische Gleichungssysteme

 Differenzialgleichungen  Handrechenverfahren der Baustatik

 Variationsrechnung  Finite-Element-Methode

Bild 1-2: Idealisierung im Bauingenieurwesen (Modellbildung)

Die Mechanik ist das Paradies der mathematischen Wissenschaften, weil man mit ihr zur schönsten Frucht des mathematischen Wissens gelangt. Leonardo da Vinci, 1488 -1523

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1.4 Griechisches Alphabet Tabelle 1-1: Griechisches Alphabet (entnommen aus http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Griechisches_alphabet.png

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2

Einwirkungen und Kraftbegriff

2.1

Allgemeines

Einwirkungen (external impacts) E

Widerstand (resistance) R

Bild 2-1: Einwirkungen und Widerstand 04.09.2012


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2.2 Physikalische Größen, Einheiten Tabelle 2-1: Physikalische Basisgrößen in der Statik Basisgröße

Abkürzung

Einheit

Länge



[] = 1 m

Zeit

t

[t] = 1 s

Masse

m

[m]= 1 kg

Tabelle 2-2: Abgeleitete Größen (Auswahl) Basisgröße

Dimension

Einheit

Kraft

dim F = dim (m   / t2)

[F] =

Moment

dim M = dim (   F)

[M] =

Spannung

dim  = dim ( F / 2)

[] =

= 1 Pa

[] =

= 1 MPa

Rohdichte Wichte

2.3

Masse und Gewichtskraft

2.3.1 Masse Die Masse m eines Körpers wird mit dem Volumen und der Rohdichte ermittelt:

m   V Die Rohdichte wird in

kg m3

angegeben, z. B.

Wasser   Beton 

 Stahl  04.09.2012


20

Baumechanik 1

Blatt


2.3.2 Gravitation ist die Ursache der Gewichtskraft

Kraft = Masse * Beschleunigung Gewichtskraft auf der Erde = Masse * Erdbeschleunigung

G  m g 1 N  1 kg  1

Erdbeschleunigung

g  9,81

m s2

m m  10 s2 s2

Tabelle 2-3: Umrechnung Masse – Gewichtskraft Masse

Umrechnung ,

G  m g

1 Kg

G  1 kg  10

m s2

Gewichtskraft

10 Kg 100 kg (Maurer) 1000 kg Auto 2500 kg Merke: Ein gut ernährter Maurer erzeugt die Gewichtskraft von 1 kN Umrechnung N=



1 kN =

1000 N 

1

1 MN = 1000000 N  04.09.2012


21

Baumechanik 1

Blatt


2.3.3 Berechnung der Gewichtskraft über die Wichte Die Wichte, auch spezifisches Gewicht genannt, gibt die volumenbezogene Gewichtskraft an. Durch Multiplikation der Rohdichte  (Masse/Volumen) mit der Erdbeschleunigung g erhält man die spezifische Gewichtskraft, die Wichte .

  g

     g  1 kg3 1 m2 m

s

1

N m3

 Wasser  Wasser  g 

 Stahl  Tabelle 2-4: Rohdichten und Wichten wichtiger Stoffe Material

 kg  3  m 

Rohdichte , 

 kN  3  m 

Wichte , 

Pulverschnee Pappschnee Nadelholz Wasser Putz Stahlbeton Glas Aluminium Stahl

04.09.2012


22

Baumechanik 1

Blatt


2.3.4 Flächenkräfte p Das Eigengewicht von Decken, Windlasten oder Schneelasten werden als Flächenlasten in kN/m2 angegeben. Es kann mit Hilfe der Dicke berechnet werden:

p   t; Mit

 p  1 kN3  1m  1 kN2 m

m

: Wichte t : Dicke des Bauteils oder der Schicht

Beispiel: 16 cm dicke Stahlbetondecke

p   t 

t = 16 cm

Beispiel: 40 cm Pappschnee

p   t 

t = 40 cm

Bild 2-2: Beispiele für Flächenlasten 04.09.2012


23

Baumechanik 1

Blatt


Weitere Beispiele Winddruck

Wasserdruck auf eine Staumauer

Bild 2-3: Winddruck und Wasserdruck 04.09.2012


24

Baumechanik 1

Blatt


2.3.5 Linienkräfte (Streckenlasten) q Belastungen auf einzelne Träger

q 

q  p  e;

Idealisierung. Zusammenfassung von Flächenkräften bezogen auf eine Achse. 

Last auf einen Träger (z.B. Dachsparren, Pfette)

e e

Holzbalken e

q (kN/m) q

x z  Bild 2-4: Zusammenfassung von Flächenlasten zu Streckenlasten Eigengewicht von Trägern als Streckenlast

qEG  g    A ;

q 

Beispiel:

04.09.2012


25

Baumechanik 1

Blatt


2.3.6 Einzelkräfte F

G    V ; G  F  p  A; F   Q  q  l ; Q 

Idealisierung. Zusammenfassung von Volumen-und Flächenkräften bezogen auf einen Punkt. Z.B: Klaviere, Herforder-Pils-Fässer, Maurer, Professoren

Statisches Modell

Achslasten / Radlasten

Statisches Modell

Bild 2-5: Einzelkräfte 04.09.2012


26

Baumechanik 1

Blatt


2.3.7 Weitere Einteilungsmöglichkeiten für Kräfte Eingeprägte Kräfte – Reaktionskräfte

Fernkräfte – Nahkräfte

Äußere Kräfte – Innere Kräfte

2.3.8 Bestimmungsgrößen einer Kraft Eine Kraft ist bestimmt durch 

B.......



R . . . . . . . (Wirkungslinie)



E........

Die Kraft ist eine vektorielle Größe und wird komponentenweise berechnet. 04.09.2012


27

Baumechanik 1

Blatt


2.4

Kleine Übungsaufgaben

2.4.1 Massenermittlungen

m   V Welche Masse hat a) ein Kantholz 6 cm / 20 cm der Länge 7 m? (  =

kg/m3 )

b) ein Stahlträger HEA 200 (A = 5380 mm2) der Länge 4 m? (  =

kg/m3 )

c) eine Betonrohr di = 800 mm / da = 900 mm der Länge 2 m? (  = (=

kg/m3 )

e) die Getreidefüllung eines Silos d = 4 m, h = 8 m? (  =

kg/m3 )

d) eine Betondecke d = 18 cm, ℓ = 6 m , b = 4 m?

kg/m3 )

2.4.2 Masse – Gewichtskraft

G  m g

;

G   V

a) Welche Gewichtskraft erzeugt ein Kantholz 8 cm / 16 cm der Länge 1 m? Wie groß ist die Masse des Kantholzes? b) Welche Gewichtskraft erzeugt ein Stahlträger HEA 100 (A = 21,2 cm2) der Länge 1 m? Wie groß ist die Masse des Stahlträgers? c) Die Achslast eines Schwerlastfahrzeuges beträgt 240 kN. Pro Rad entspricht diese Last einer Masse von ……. kg. Die Aufstandsfläche eines Reifens wird mit 40 cm * 40 cm angegeben. Wie groß ist die Spannung (Kraft pro Fläche) unter einem Reifen in ?

04.09.2012


28

Baumechanik 1

Blatt


2.4.3 Kleines Tragwerk - Wartehäuschen 4,40 m 20 cm m

20 cm m  2 Lagen Bitumendichtungsbahn, 0,06 kN/m2 je Lage  OSB – Platte, d = 3cm, =10 kN/m3  4 IPE 120, g=0,104 kN/m

4,00 m

Stahlbeton-Seitenwände und -fundamente

3,0 m

60 cm m 60 cm m e = 65 cm m 2,0 m

Gesucht sind Masse und Gewichtskraft    

der Dachhaut, der Stahlträger, der Stahlbetonwände, der Stahlbetonfundamente,

Weiterhin sind zu ermitteln  Flächenlast der Dachhaut,  Streckenlast der Dachhaut bezogen o auf einen Innenträger o auf einen Randträger

 Belastung der Wand oben als o Einzellasten (von 2 Außen- und 2 Innenträgern) o Streckenlast

 Belastung des Bodens als o Streckenlast o Flächenlast in kN/m2, MN/m2, kN/cm2 04.09.2012


29

Baumechanik 1

Blatt


2.5 Axiome der Statik und Schnittprinzip Das Gleichgewichtsaxiom (Lex prima, Newton, 1642-1727) Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe (oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung), wenn er nicht durch Kräfte dazu gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern. oder anders ausgedrückt: Wirken auf einen Körper zwei gleich große, entgegengesetzt wirkende Kräfte, und wirken diese auf der selben Wirkungslinie, so befindet sich dieser Körper im Gleichgewicht. Die Resultierende aller Kräfte ist Null.

F2

F1

Das dynamische Grundgesetz (Lex secunda, Newton, 1642-1727) Die zeitliche Änderung der Bewegungsgröße mv ist proportional zur einwirkenden Kraft F.

F

F  m

d (mv ) dt dv  ma dt

Kraft = Masse  Beschleunigung

04.09.2012


30

Baumechanik 1

Blatt


Das Wechselwirkungsgesetz (Lex tertia, Newton, 1642-1727) actio = reactio, Reaktionsprinzip Zu jeder Kraft existiert eine gleich große, entgegen gesetzt gerichtete Gegenkraft. Beide Kräfte liegen auf einer Wirkungslinie. Beispiele 

Gravitation



Rasenmäher

Kraft auf Handgelenk / Arm

Kraft auf Rasenmäher

Das Verschiebungsaxiom (Varignon, 1654-1722) (Axiom von der Linienflüchtigkeit der Kräfte) Die Wirkung einer Kraft auf einen Körper bleibt unverändert, wenn sie entlang der Wirkungslinie verschoben wird.

=

04.09.2012


31

Baumechanik 1

Blatt


Das Axiom vom Kräfteparallelogramm (Stevin, 1548 - 1620) Die Resultierende R zweier Kräfte F1 und F2 ergibt sich als Diagonale in dem von F1 und F2 aufgespannten Parallelogramm (grafische Vektoraddition). Die Wirkung zweier an einem Punkt einwirkenden Kräfte F1 und F2 ist äquivalent zur Wirkung der Resultierenden R.

F2

R

R F2

F1

F1

Bild 2-6: Vektorielle Addition von Kräften in der Ebene In der Regel genügt es, das Kräftedreieck zu zeichnen.

Das Schnittprinzip (Euler, 1707 - 1783) Zur Erfassung aller Kräfte an einem Körper ist ein gedankliches Freischneiden aller Bindungen des Körpers erforderlich. An beiden Schnittufern werden unter Beachtung des Wechselwirkungsgesetzes die Schnittkräfte eingetragen. Beispiel: Balkentragwerk (Brücke)

04.09.2012


32

Baumechanik 1

Blatt


3

Zentrale Kraftsysteme in der Ebene

3.1

Allgemeines

Kennzeichen von zentralen Kraftsystemen in der Ebene: 

Die Wirkungslinien aller Kräfte Fi schneiden sich in einem Punkt P.



Alle Kräfte liegen in einer Ebene.

F3

F2 P F1

Bild 3-1: Zentrales Kraftsystem in der Ebene 3 Grundaufgaben 

Reduktion (Kräfteaddition) aller (i.d.R. äußeren) Kräfte Fi (i=1 … n) zu einer Resultierenden R



Bedingungen für das Gleichgewicht (Berücksichtigung aller Kräfte – innere und äußere Kräfte),aufstellen (dann muss gelten: R = 0)



Zerlegung einer Kraft in 2 oder mehr Richtungen

04.09.2012


33

Baumechanik 1

Blatt


3.2

Kräfteaddition (Reduktion)

3.2.1 Grafische Methode Vorgehen Lageplan Längenmaßstab:

= 1m

F2 = 40 KN F3 = 20 KN F1 = 10 KN



Längenmaßstab für Lageplan festlegen



Kräfte und deren Richtungen in den Lageplan eintragen



Kräftemaßstab für Kräfteplan festlegen



Richtungen für 2 Kräfte aus Lageplan in den Kräfteplan übertragen



Kräfteparallelogramm für



Kräfteparallelogramm für    R1, 2  F3  R zeichnen



Resultierende R einzeichnen, Länge messen



Richtung der Resultierenden R aus dem Kräfteplan in den Lageplan übertragen

   F1  F2  R1,2 zeichnen

Kräfteplan Kräftemaßstab:

04.09.2012

= 10 KN


34

Baumechanik 1

Blatt


alternativ: Kräftepolygon

F1 = 10 KN

F2 = 40 KN Vorgehen  Richtung der Kräfte aus dem Lageplan in den Kräfteplan übertragen  Vektorpfeile aneinander reihen (Reihenfolge beliebig)  Resultierende messen und Richtung in den Lageplan übertragen

Kräftepolygon liefert 

Länge und Richtung der Resultierenden

gemessen: R  62 KN

F3 = 20 KN

Lageplan liefert 

Lage der Resultierenden

y

3.2.2 Analytische Methode

F F  cos ;  sin  F F F  F  cos  ; F  F  sin  x

y

y

x

=

 F cos

=

 F sin 

n

R  F x

ix

i 1

n

n

R  F y

iy

i 1

i 1

i

i

n

i 1

i

R  R  R ; tan   2

2

x

y

x

i

R

R R

y

x

04.09.2012


35

Baumechanik 1

Blatt


Zur Ermittlung des Winkels mit Hilfe der Funktion arc tan

y

Fall 1: R im 1. Quadranten ….. ≤  ≤ ……. Ry 0;

R

Rx 0

~  arctan(

Ry

R )  arctan( ) R y

x

x

....  ~  .....

Rx y Fall 2: R im 2. Quadranten …… ≤  ≤ ……. Ry 0;

R

Rx 0

~  arctan(

Ry


x

x

....  ~  .....

Rx y Fall 3: R im 3. Quadranten ….. ≤  ≤ ……. Ry 0;

Rx 0

~  arctan( Rx


x

x

....  ~  .....

Ry R

y Fall 4: R im 4. Quadranten ….. ≤  ≤ ……. Ry 0;

Rx

Rx 0

R ~ x   arctan( )  arctan( ) R ....  ~  ..... y

x

R

04.09.2012

Ry


36

Baumechanik 1

Blatt


3.2.3 Trigonometrische Formeln ;

;

;

Tabelle 3-1: Werte der trigonometrischen Funktionen für ausgewählte Winkel 0°

30°

45°

60°

90°

0 sin

0

0,5

1

cos

1

tan

0

1



cot



1

0

0,5

0

Weitere mathematische Beziehungen

04.09.2012


37

Baumechanik 1

Blatt


3.3 Bedingungen für das Gleichgewicht n

R  F x

i 1

ix

=

i 1

n

R  F y

i 1

iy

 F cos n

i

 F sin 

i

=0

n

=

i 1

i

i

=0

R0 Das Krafteck muss sich im einheitlichen Drehsinn schließen.

3.3.1 Grafische Methode Geg.: F1= 30 kN, F2 = 40 kN, f1, f2

 Krafteck mit allen gegebenen Kräften zeichnen  Krafteck im einheitlichen Drehsinn schließen

Ges.: F3 für Gleichgewicht

F2 F1

3.3.2 Analytische Methode

04.09.2012


38

Baumechanik 1

Blatt


3.3.3 Beispiel zur Reduktion und zum Gleichgewicht (Öse) Geg.: F1 = 2 kN; F2 = 3 kN; F3 = 4 kN; E

 = 45°;  = 60°

F1

Gesucht:  F2



F3

a) Betrag und Richtung der Resultierenden R1,2,3 b) Betrag und Richtung der Gegenkraft E, die das Gleichgewicht gewährleistet GRAFISCH und ANALYTISCH

04.09.2012


39

Baumechanik 1

Blatt


G = 300 kN

3.3.4 Beispiel 2

F2 = 80 kN 30°

Geg.: F1, F2 , G gem. Skizze Gesucht: a) Betrag und Richtung der Resultierenden R1,2,3

F1 = 120 kN

b) Betrag und Richtung der Gegenkraft E, die das Gleichgewicht gewährleistet

3:1 4:1

c) Stabkräfte S1 und S2 d) Welcher Pfahl trägt auf Druck, welcher auf Zug? GRAFISCH und ANALYTISCH

04.09.2012


40

Baumechanik 1

Blatt


3.4 Kräftezerlegung in 2 Richtungen 3.4.1 Grafische Methode geg. : F = 3 kN, f1, f2 gem. Lageplan ges.: F1, F2 Lageplan

f2

Kräfteplan

f1 F

Vorgehen 

Gegebene Kraft im Kräfteplan zeichnen



Richtungslinie f1 vom Lageplan in den Kräfteplan übertragen und mit dem Anfangspunkt der gegebenen Kraft zum Schnitt bringen.



Richtungslinie f2 vom Lageplan in den Kräfteplan übertragen und mit dem Endpunkt der gegebenen Kraft zum Schnitt bringen.



Das Krafteck zeichnen. Längen und Winkel messen. Bitte Aufgabenstellung beachten: ÄQUIVALENZ oder GLEICHGEWICHT  Auswirkung auf die Pfeilspitzen

Eine Kraftzerlegung in 2 Richtungen ist eindeutig möglich; bei 3 Richtungen gibt es unendlich viele Lösungen.

f3 f2

f1

F

04.09.2012


41

Baumechanik 1

Blatt


3.4.2 Analytische Methode Methode 1: Halbgrafisch mit Sinussatz geg.: F, F = 30°, 1 = 60°, 2 = 45° ges.: F1, F2

Methode 2: Gleichungssystem unter Verwendung von Additionstheoremen lösen Äquivalenzbeziehung (kein Gleichgewicht):

F1  cos 1 + F2  cos 2 = F  cos F F1  sin 1 + F2  sin 2 = F  sin F

Mit dem Additionstheorem (s. Blatt 2.5)

sin (-) = sin   cos  - cos   sin  folgt

F2  sin (1 - 2) = F sin (1 - F)

Für reine Zerlegung einer Kraft in 2 vorgegebene Richtungen: (Äquivalenz, kein Gleichgewicht):

F1  F 

04.09.2012

sin( 2   F ) ; sin( 2  1 )


F2  F 

sin(1   F ) sin(1   2 )

42

Baumechanik 1

Blatt


Zerlegung und Gleichgewicht analytisch:

S1  cos 1 + S2  cos 2 + F  cos F = 0 S1  sin 1 + S2  sin 2 + F  sin F = 0 S1  cos 1 + S2  cos 2 = - F  cos F S1  sin 1 + S2  sin 2 = - F  sin F

Mit dem Additionstheorem

sin (-) = sin   cos  - cos   sin  folgt

S2  sin (1 - 2) = F sin (F - 1) Für Zerlegung einer Kraft in 2 vorgegebene Richtungen unter Beachtung des Gleichgewichts:

S F 1

sin(   ) ; sin(   ) F

2

2

1

S F 2

sin(   ) sin(   ) F

1

1

2

S2

S1

04.09.2012

F


43

Baumechanik 1

Blatt


3.4.3 Beispiel 1 zur Kräftezerlegung Sonderfall: rechtwinklige Zerlegung Gegeben sind F und .

F

F

Gesucht sind die Komponenten der Kraft F FII



senkrecht zum Stab (F)



und parallel zum Stab( FII )



3.4.4 Beispiel 2 zur Kräftezerlegung Geg.: G1 = 1 kN;  = 30°;  = 45° Gesucht: Stabkräfte S1; S2 (für Gleichgewicht !) a) grafisch b) halbgrafisch

S2

c) analytisch



S1 

04.09.2012

G = 1 KN


44

Baumechanik 1

Blatt


3.5

Zusammenfassung

Zentrale Kraftsysteme in der Ebene Die Wirkungslinien aller Kräfte schneiden sich in einem Punkt

Drei Grundaufgaben

Grafische Lösung

Analytische Lösung n

Reduktion

Rx 

Ry 

n

 F =  F cos ; R  ix

i 1

i 1

n

n



Fiy =

i 1

Kräftezerlegung

i



i

R x2  R y2

Fi sin i ; tan  R 

i 1

Ry Rx



zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten



Sinussatz



Sonderfall: rechtwinkliges Dreieck F = F cos , F = F sin 

Gleichgewicht

Das Krafteck ist geschlossen

n

F  0  H  0 i 1

ix

n

 F  0  V  0 i 1

iy

Bild 3-2: Zusammenfassung: Zentrale Kraftsysteme in der Ebene

04.09.2012


45

Baumechanik 1

Blatt


4

Allgemeine Kraftsysteme in der Ebene

4.1

Allgemeines

Kennzeichen von allgemeinen (nicht-zentralen) Kraftsystemen in der Ebene: 

Die Wirkungslinien aller Kräfte schneiden sich nicht in einem Punkt. o Die Wirkungslinien von gleichgerichteten Kräften können parallel verlaufen. o Die Wirkungslinien von entgegengesetzt gerichteten Kräften können parallel verlaufen. Hierfür ist die Definition des Kräftepaares und des Momentes eines Kräftepaars erforderlich.



Alle Kräfte liegen in einer Ebene.

Bild 4-1: Nicht-zentrales Kraftsystem

3 Grundaufgaben 

Reduktion (Kräfteaddition) aller Kräfte Fi (i=1 … n) zu einer Resultierenden R und Ermittlung der Lage von R Ggfs. Ermittlung des resultierenden Momentes MR bzgl. eines Punktes Mehrere Fälle sind möglich: a) R  0; MR  0 b) R = 0; MR  0 c) R  0; MR = 0



Bedingungen für das Gleichgewicht aufstellen Es muss gelten: Rges = 0, Mges = 0



04.09.2012

Zerlegung einer Kraft in 2 oder mehr Richtungen


46

Baumechanik 1

Blatt


4.2

Moment und Kräftepaar

4.2.1 Allgemeines, Definitionen Das Moment einer Kraft F bezüglich eines Punktes A ist das Produkt von Kraft mal Hebelarm. Der Hebelarm a ist die kürzeste Verbindung von der Wirkungslinie der Kraft zum Bezugspunkt A. Anders ausgedrückt: Fälle das Lot von Bezugspunkt zur Wirkungslinie; das Maß vom Bezugspunkt zum Schnittpunkt des Lots mit der Wirkungslinie ist der Hebelarm a. Moment = Kraft  Hebelarm MA = a  F, [M] = 1 N m F

a

y

A

F

Bestimmungsgrößen eines Momentes 

Größe der Kraft F



Abstand a



Drehsinn

r

x

A

Das Moment eines Kräftepaares 2 gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kräfte mit parallelen Wirkungslinien nennt man Kräftepaar. Ein Kräftepaar kann nicht weiter reduziert werden.

F a



F Kräftepaar

Moment

Das Moment eines Kräftepaares wird definiert als Produkt der Kraft mit dem Abstand der beiden Wirkungslinien. M = a  F, [M] = 1 N m Ein Kräftepaar wird üblicherweise durch sein Moment dargestellt.

04.09.2012


47

Baumechanik 1

Blatt


4.2.2 Komponentendarstellung des Momentes Geg.: F, F, A, xP, yP Ges.: MA

y Fy

F

P Fx

A

x



Der Koordinatenursprung wird in den gewählten Bezugspunkt A gelegt



P wird beliebig auf der Wirkungslinie von F festgelegt



x,y wird dann abgelesen

MA =

Fy 

x–

Fx

y

MA = F  sin   x – F  cos   y Bei mehreren Kräften: MA =  MAi =  Fyi xi – Fxi  yi Gleichung der Geraden (Lage von F)

y

Fy Fx

04.09.2012

x

MA Fx


48

Baumechanik 1

Blatt


Beispiel mit Zahlen Geg: F, F, xP, yP Ges: MA

y F = 14,14 kN

3 P

x

A

5

04.09.2012


49

Baumechanik 1

Blatt


Weitere Eigenschaften von Momenten 

Das Moment eines Kräftepaares ist unabhängig vom Bezugspunkt.

A

F

 a

F 

Das Moment ist ein freier Vektor. Die Wirkung von M auf einen Körper ist unabhängig vom Bezugspunkt. Momente werden algebraisch addiert (Drehsinn beachten !).



Momente befinden sich im Gleichgewicht, wenn gilt  Mi = 0.

4.2.3 Verschiebung einer Kraft parallel zur Wirkungslinie

=

+

Bild 4-2: Außermittig belasteter Querschnitt

04.09.2012


50

Baumechanik 1

Blatt


4.3

Beispiele zu nicht-zentralen Kraftsystemen

4.3.1 Bsp. 1 zum nicht-zentralen Kraftsystem Geg.: F1, F2, F3, f1, f2, f3 gem. Lageplan Ges.: Reduktion des Kräftesystems Lageplan

F3 = 5,66 kN 2m

2m

F1 = 4 kN

F2 = 4 kN

Kräfteplan

04.09.2012


51

Baumechanik 1

Blatt


4.3.2 Bsp. 2 zum nicht-zentralen Kraftsystem Geg.: F1, F2, F3, F4 , F5, f1, f2, f3 , f4, f5 gem. Lageplan Ges.: Reduktion des Kräftesystems Lageplan

F4 = 90 kN 3,0

1,11

2,89

F5 = 20 kN

F1 = 28,3 kN

F2 = 30 kN

F3 = 56,6 kN

Kräfteplan

04.09.2012


52

Baumechanik 1

Blatt


4.3.3 Beispiel 3 zum nicht-zentralen Kraftsystem Geg.: Belastung und Abmessungen gemäß Skizze Ges.: a) Betrag, Richtung und Lage der Resultierenden der einwirkenden Kräfte G,H,V b) Die Stabkräfte S1 , S2 , S3

1,0 m

0,4 m

G= 0,5 kN H=0,2 kN

V= 1 kN 0,5 m

04.09.2012

0,5 m


53

Baumechanik 1

Blatt


4.3.4 Beispiel 4 zum nicht-zentralen Kräftesystem 10 m 5m 4m Z=50 kN

2m

F=100 kN E=40 kN 0,65 m

1,5 m

20° 1m

0,5 m 0,4m

3:1

4:1

G=200 kN 3

5m

3

1

2

Geg.: System gem. Zeichnung Gesucht: a) Zusammenfassung der äußeren Kräfte zu einer Resultierenden R. b) Angabe der Wirkungslinie für R im Lageplan. c) Pfahlkräfte S1, S2, S3 d) Welcher Pfahl wird durch eine Zugkraft beansprucht ?

04.09.2012


54

Baumechanik 1

Blatt


04.09.2012


55

Baumechanik 1

Blatt


4.4

Zusammenfassung

Allgemeine Kraftsysteme in der Ebene Die Wirkungslinien aller Kräfte schneiden sich nicht in einem Punkt. Neben Kräften wird das Kräftepaar (Moment) eingeführt. Drei Grundaufgaben

Krafteck

Seileck

Reduktion

Krafteck liefert Größe und Richtung von R

Seileck liefert Lage von R

a) Resultierende Kraft

Lage von R

Analytische Lösung n

Rx 

F

ix

i 1 n

Ry 

F

iy

i 1

Seileck nicht geschlossen; erster und letzter Polstrahl verlaufen im Lageplan parallel

MA= Fyi xi –Fxi  yi

Hilfskraft C einführen

Culmannsche Gerade (bei Zerlegung in 3 Kräfte)

Drei Gleichungen mit drei Unbekannten

Das Krafteck ist geschlossen

Das Seileck ist geschlossen



b) R = 0, jedoch: Resultierendes Moment

Kräftezerlegung (in 3 Kräfte)

Gleichgewicht

n

F

=0

 F

=0

H=

ix

i 1 n

V=

iy

i 1

M = 0

04.09.2012


56

Baumechanik 1

Blatt


5

Lagerreaktionen ebener Stabtragwerke

5.1

Allgemeines

5.1.1 Mögliche Tragwerksarten 

Stäbe (Fachwerkstäbe) (nur Zug- oder Druckübertragung) Druck Zug



(Biege-)Balken

Biegemoment

Normalkraft

Querkraft 

Bogen, Rahmen (gekrümmte oder abgewinkelte Balkentragwerke)



Scheiben (Wandscheiben)

L



Platten (Deckenplatten, Plattenbrücken) d

B 

Schalen (Kühltürme, Hypar-Schalen)

Bild 5-1: Tragwerksarten 04.09.2012


57

Baumechanik 1

Blatt


5.1.2 Tragwerksarten ebener Stabwerke Einfeldträger

Kragträger

Gelenkträger

Durchlaufträger (Mehrfeldträger)

Dreigelenkrahmen/ Dreigelenkbogen

Zweigelenkrahmen/ Zweigelenkbogen

Eingespannter Rahmen/ Eingespannter Bogen

Bild 5-2: Statische Systeme bei ebenen Stabtragwerken 04.09.2012


58

Baumechanik 1

Blatt


5.1.3 Räumliches Koordinatensystem, Freiheitsgrade Die Rechte-Hand-Regeln

Daumen der rechten Hand

= X-Achse

Zeigefinger der rechten Hand = Y- Achse Mittelfinger der rechten Hand = Z-Achse

Bild 5-3: Koordinatenrichtungen und Rechte-Hand-Regel Translationsfreiheitsgrad in x-Richtung: u Translationsfreiheitsgrad in y-Richtung: v Translationsfreiheitsgrad in z-Richtung: w Drehfreiheitsgrad um die x-Achse: x

oder x

Drehfreiheitsgrad um die y-Achse: y oder  y Drehfreiheitsgrad um die z-Achse: z

04.09.2012

oder z


59

Baumechanik 1

Blatt


Positive Drehrichtungen zu den positiven Koordinatenachsen Darstellung der positiven Drehgröße

Positive Koordinatenrichtung

Bild 5-4: Drehrichtungen zu den Koordinatenachsen und Rechte-Hand-Regel

Zusammenfassende Darstellung

3 Translationen: u,v,w 3 Rotationen: x,

y, z

x x

y v

y

z

z

u

w

Bild 5-5: Koordinatensystem und Freiheitsgrade

04.09.2012


60

Baumechanik 1

Blatt


5.2

Lagerarten und Gelenke für ebene Stabtragwerke

Tragwerke sind durch Auflager mit ihrer Umgebung verbunden. (z.B. Mauerwerk, Brückenlager)

Auflagerreaktionen sind die vom Auflager auf das Bauteil ausgeübten Auflagerkräfte und Auflagermomente Auflagerreaktionen erhält man mit dem Schnittprinzip:

Einwertige Lager: nur eine Kraftgröße kann übertragen werden Meistens: Vertikalkraft 

Rollenlager



Gleitlager



Pendelstütze

Zweiwertige Lager: zwei Kraftgrößen können übertragen werden z.B: Vertikal- und Horizontalkräfte 

Gelenklager



Doppelstütze

Dreiwertige Lager: drei Kraftgrößen können übertragen werden 

Betonplatte



Einspannung

Bild 5-6: Lagerarten und Gelenke 04.09.2012


61

Baumechanik 1

Blatt


5.2.1 Lager- und Gelenkarten bei ebenen Stabtragwerken

Symbol

Bezeichnung

Wertigkeit

Auflagerkräfte

Freiheitsgrade

Bindungen

y

Bewegliches Lager

A

1

w=0

u y

Festes Lager

u=0 w=0

AH

2

A My

Starre Einspannung

u=0 w=0 y = 0

AH

3

A My Bewegliche Einspannung

w

2

u=0 y = 0

AH My

Bewegliche Einspannung

u

w=0 y = 0

2 A Momentengelenk

2

2

2

y

GV

u=0 w=0

GH

My

Querkraftgelenk

w GH u

Normalkraftgelenk

GV

u=0 y = 0 w=0 y = 0

My

Bild 5-7: Lager- und Gelenksymbole

04.09.2012


62

Baumechanik 1

Blatt


5.2.2 Ausführung von Lagern und Anschlüssen Bewegliches Lager Rollenlager

Festes Lager

Linienkipplager

Starre Einspannung

Momentengelenk

Querkraftgelenk

Normalkraftgelenk

Bild 5-8: Ausbildung von Lagern und Anschlüssen 04.09.2012


63

Baumechanik 1

Blatt


5.3

Beispiele für Auflagerkraftberechnung

5.3.1 Beispiel 1

F2

MLast

Gegeben: F1 = F2 = 10 kN

F1

MLast = 20 kNm Gesucht: Stabkräfte S1, S3, S3

2m

1

2

3 45°

2m

2m

5.3.2 Beispiel 2 F1 = 4 

F2 = 2 kN

2 kN

45°

1

ML = 4 kNm

1

1

Gesucht: Auflagerreaktionen

04.09.2012


64

Baumechanik 1

Blatt


5.3.3 Beispiel 3 F2 = 20 kN

60° F1 = 2 kN 2m

2m

4m

5.3.4 Beispiel 4

F1 = 10 kN

2 F2 = 3 kN 1

30°

3

04.09.2012

3


65

Baumechanik 1

Blatt


5.3.5 Beispiel 5

F2 = 2 kN F1 = 3 kN

F3 = 1 kN 60°

1m

1m

1m

5.3.6 Beispiel 6 F2 = ?

F1 = 5 kN ML = 3 kNm Z = 2 kN

1m

1m

3m

Gesucht: a) Auflagerreaktionen infolge F1 , Z und ML b) Wie groß muss F2 mindestens sein, damit am linken Auflager keine vertikale Zugkraft verankert werden muss ?

04.09.2012


66

Baumechanik 1

Blatt


6

Fachwerke

6.1

Allgemeines

Ein ideales Fachwerk besteht aus geraden Stäben, die an ihren Enden, d.h. in den Fachwerkknoten, durch reibungsfreie Gelenke miteinander verbunden sind.

An jedem Knoten  H = 0;  V = 0 Zugstab

Druckstab Bild 6-1: Ideales Fachwerk 

Die Stabachsen schneiden sich knotenweise in einem Punkt.



Die Belastung wird ausschließlich an den Knoten eingeleitet (Knotenlasten = Einzelkräfte).



Das Fachwerk trägt nur durch Normalkräfte in den Stäben (Zug oder Druck). Es treten keine Querkräfte und Biegemomente auf.



Bei der zeichnerischen Darstellung wird auf die Gelenkdarstellung verzichtet.

Diese Idealisierungen stellen eine sinnvolle Näherung für eine überschaubare Fachwerkberechnung und –bemessung dar. Die in der Realität verteilten Lasten (insbesondere Verkehrslasten) werden für die Berechnung als Teilresultierende in den Knoten zusammengefasst. Das einfachste Fachwerk ist ein Stabdreieck. Einfache ebene Fachwerke bestehen aus Stabdreiecken.

04.09.2012


67

Baumechanik 1

Blatt


6.2

Bezeichnungen, Fachwerkarten Obergurt

Vertikalstab = Pfosten

Diagonalstab

Untergurt

Bild 6-2: Bezeichnungen beim Fachwerk

Trapezträger

Parallelgurtträger

Dreieckträger Fischbauchträger

Linsenträger

Bild 6-3: Einteilung der Fachwerke nach Trägerform

04.09.2012


68

Baumechanik 1

Blatt


K-Fachwerk

Strebenfachwerk

Rautenfachwerk

Strebenfachwerk (ohne Pfosten)

Bild 6-4: Einteilung nach Art der Ausfachung

Gelenk-Fachwerkträger

Dreigelenk-Fachwerkrahmen

Bild 6-5: Weitere Fachwerkarten

6.3

Abzählkriterium für ebene Fachwerke

Für jeden Knoten k stehen 2 Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung. Unbekannte sind: s Stabkräfte und a Auflagerreaktionen Die Berechnung von Fachwerken ist einfach lösbar, wenn gilt: 2k = a + s

 0 : statisch...unbestimmt  n = ( a + s ) - 2k =  0 : statisch...bestimmt  0 : verschieblich  04.09.2012


69

Baumechanik 1

Blatt


6.4

Berechnung der Stabkräfte



Knotenpunktverfahren



Ritterschnitt



Cremonaplan (grafisches Verfahren)

6.4.1 Knotenpunktverfahren

An jedem Knoten  H = 0;  V = 0

Bild 6-6: Knotenpunktverfahren Vorgehen 

Nullstäbe bestimmen



Knoten nummerieren, Stäbe bezeichnen



Auflagerkräfte am Gesamtsystem bestimmen



Knoten herausschneiden o man beginnt mit einem Knoten, an dem max. 2 Stabkräfte unbek. sind



Knotenkräfte als Zugkräfte einzeichnen



Gleichgewichtsbedingungen ( H = 0,  V = 0) für jeden Knoten aufschreiben o Positiv berechnete Kräfte sind Zugkräfte o Negativ berechnete Kräfte sind Druckkräfte

04.09.2012


70

Baumechanik 1

Blatt


6.4.2 Identifizierung von Nullstäben Nullstäbe sind normalkraftfrei und dienen zur Versteifung der Konstruktion. Es gibt drei charakteristische Fälle: S1 = 0

Fall 1: Unbelasteter Knoten

Wenn an einem unbelasteten Knoten lediglich zwei nicht in einer Richtung verlaufende Stäbe zusammentreffen, so sind diese beiden Stäbe Nullstäbe.

Fall 2: Belasteter Knoten (nur eine Last)

S1 = F

Wenn an einem belasteten Knoten lediglich zwei nicht in einer Richtung verlaufende Stäbe zusammentreffen, und die eine äußere Last in Richtung des einen Stabes einwirkt, so ist der andere Stab ein Nullstab.

Fall 3: Unbelasteter Knoten

S1 = S 2

Wenn an einem unbelasteten Knoten drei Stäbe angeschlossen sind, von denen zwei in einer Richtung verlaufen, so ist der dritte Stab ein Nullstab.

04.09.2012


S2 = 0

F

S2 = 0

S1 = S 2

S3 = 0

71

Baumechanik 1

Blatt


6.4.3 Ritterschnittverfahren Vorgehen 

Nullstäbe bestimmen



Auflagerkräfte am Gesamtsystem bestimmen.



Einen Schnitt durch das Fachwerk führen, bei dem höchstens drei Stabkräfte unbekannt sind.



Stabkräfte als Zugkräfte einzeichnen.



Gleichgewichtsbedingungen ( M= 0,  H = 0,  V = 0) am Teilsystem aufschreiben. B

A

C

AH

A

B A

B

C

Mögliche Schnittführungen Schnitt A-A: Schnitt durch 2 Stäbe (wie Knotenpunktverfahren)

Schnitt B-B: Schnitt durch max. 3 Stäbe, die sich nicht in einem Punkt schneiden (3 Gleichgew.-Bed.)

Schnitt C-C: Schnitt durch einen Stab und einen Knoten  MG= 0  U

G

U 04.09.2012


72

Baumechanik 1

Blatt


6.5

Beispiele

6.5.1 Fachwerkbeispiel 1 F1 = 10 kN F2 = 10 kN 6m

F2 = 50 kN 12 m

04.09.2012


12 m

73

Baumechanik 1

Blatt


6.5.2 Fachwerkbeispiel 2 F1 = 4 kN

F3 = 3 kN F2 = 2 kN

A B

C

AH

2m A

B A 2m

04.09.2012

B 2m

C 2m


2m

74

Baumechanik 1

Blatt


6.5.3 Fachwerkbeispiel 3 (Klausuraufgabe)

F3 = 6 kN

F1 = 12 kN

3m

F2 = 18 kN 4m

04.09.2012

4m


4m

75

Baumechanik 1

Blatt


6.5.4 Fachwerkbeispiel 4

60°

60°

F1 = 20 kN 2m

04.09.2012

F2 = 10 kN

2m


76

Baumechanik 1

Blatt


7

Schnittgrößenermittlung bei ebenen Stabwerken

7.1

Definition von Schnittgrößen, Schnittufern

Schnitt

Stabachse

Positives Schnittufer Normalkraft

N

x Biegemoment

M

Querkraft

z

V

Negatives Schnittufer

Lokales KOS N

M

V Gestrichelte Faser

Bild 7-1: Definition von Schnittufern und Schnittgrößen Lokales Koordinatensystem :

x in Richtung der Stabachse z senkrecht zur Stabachse

Gestrichelte Faser:

parallel zur x-Achse an der Unterseite des Trägers

Bei ebenen Balkentragwerken werden die Schnittgrößen Normalkraft N, Querkraft V und Biegemoment M ermittelt. Positive Schnittgrößen weisen am positiven Schnittufer

am negativen Schnittufer

in positive Koordinatenrichtungen

04.09.2012

in negative Koordinatenrichtungen.


77

Baumechanik 1

Blatt


7.2

Mögliche Schnittgrößen (innere Kräfte) an ebenen Balkentragwerken

Die Normalkraft wirkt normal zur Querschnittsfläche als Druck oder Zug. Die Normalkraft dehnt oder staucht einen Stab und erzeugt Normalspannungen. N

N

N

Zug  Dehnung

V V

N Druck  Stauchung

Die Querkraft wirkt senkrecht zur Stabachse und erzeugt Schubverzerrungen sowie Schubspannungen.

Ein positives Biegemoment erzeugt an der Unterseite des Stabes Zug (gestrichelte Faser) und führt zu einer Krümmung des Stabes. Biegemomente erzeugen Krümmungen und Normalspannungen. M

M

Eine Grundaufgabe des Tragwerksplaners besteht darin, an jeder Stelle x des Tragwerks die inneren Schnittgrößen Normalkraft, Querkraft und das Biegemoment zu ermitteln. Gesucht sind also die Verläufe N(x), V(x) und M(x). Diese Verlaufsfunktionen nennt man Zustandslinien. Zustandslinien = Verlauf der Schnittgrößen entlang der Stabachse.

M(x)

V(x) Bild 7-2: Zustandslinien

04.09.2012


78

Baumechanik 1

Blatt


7.3

Resultierende von Streckenlasten

R2 (kN)

R1 (kN) qA (kN/m)

q (kN/m) /3

 /2 

 1 R2 (kN) = 2  qA (kN/m)   (m)

R1 (kN) = q (kN/m)   (m)

Bild 7-3: Zur Bestimmung von Resultierenden bei Streckenlasten Der Betrag der Resultierenden entspricht dem Flächeninhalt des Lastbildes. Die Resultierende greift im Schwerpunkt der Belastungsfläche an. Bei Trapezlasten: Zerlegen in Rechteck und Dreieck

qE

qA qE

=

??

7.4

qA – qE

+  /2

/3

Statische Bestimmtheit

7.4.1 Abzählkriterium für ebene Balken und Rahmen

 0 : statisch ...unbestimmt  n = a + z – 3 p =  0 : statisch ...bestimmt  0 : verschiebl ich  a: Anzahl Auflagerkräfte z: Anzahl Gelenkkräfte (Zwischenbindungen) p: Anzahl von Systemteilen (Scheiben) Systemteile sind durch Gelenke miteinander verbunden. 04.09.2012


79

Baumechanik 1

Blatt


7.4.2 Zur Bestimmung der Anzahl der Zwischenbindungen z Mögliche Gelenke siehe Blatt 4.5

Treffen mehrere Stäbe s an einem Gelenk zusammen, so gilt: z = 2 (s-1) Bild 7-4: Gelenksituationen / Anzahl der Unbekannten

7.4.3 Der Ausnahmefall der Statik Das Abzählkriterium liefert bei allen nachfolgend dargestellten Systemen n = 0. Jedoch sind alle Systeme verschieblich (Ausnahmefall der Statik).

n = 3 – 3 = 0, bzw. n = 6 + 6 – 3  4 = 0;

n = 3 – 3 = 0;

es können jedoch keine Horizontalkräfte aufgenommen werden !

es können jedoch können keine Momente aufgenommen werden !

Das System ist horizontal verschieblich !

Das System kann sich verdrehen !

Bild 7-5: Ausnahmefall der Statik 04.09.2012


80

Baumechanik 1

Blatt


7.4.4 Beispiele zum Abzählkriterium Gesucht ist der Grad der statischen Bestimmtheit für die folgenden Systeme:

Bild 7-6: Beispiele zum Abzählkriterium

04.09.2012


81

Baumechanik 1

Blatt


7.5

Schnittgrößenermittlung durch Gleichgewichtsbedingungen

Zur Ermittlung der Schnittgrößenverläufe als Funktion der Stabkoordinate x ( Zustandslinien M(x), V(x), N(x) ) werden die Balkensysteme an beliebigen Stellen x durch Anwendung des Schnittprinzips gedanklich geschnitten. An der Schnittstelle sind die unbekannten Schnittgrößen anzutragen. Unter Berücksichtigung der äußeren Lasten, der Lagerreaktionen und der gesuchten Schnittgrößen im Schnitt x muss sich jedes Systemteil im Gleichgewicht befinden.

7.5.1 Beispiel 1 F

x z

a

b 

Wichtige Merkregeln Für die Querkraftlinie: 

In lastfreien Bereichen ist die Querkraft konstant, d.h. der Wert der Querkraft ändert sich nicht.



An der Stelle, wo eine äußere Einzellast einwirkt, hat die Querkraftlinie einen Sprung in der Größe der einwirkenden vertikalen Lastkomponente.

Für die Momentenlinie: 

In lastfreien Bereichen verläuft die Momentenlinie linear veränderlich. Sie ist also eine Gerade. In Sonderfällen ist die Momentenlinie dort Null.



An der Stelle, wo eine äußere Einzellast einwirkt, hat die Momentenlinie einen Knick.



Für mittige Einzellast ist max M 

04.09.2012

F  4


82

Baumechanik 1

Blatt


7.5.2 Beispiel 2

F2 = 280 kN F1 = 160 kN

x

z

2,60

3,40

2,0

8,00

04.09.2012


83

Baumechanik 1

Blatt


7.5.3 Beispiel 3 F = 10 kN

60°

x z

4

2

7.5.4 Beispiel 4

F3 = 13 kN

F2 = 3 kN F1 = 2 kN

2

04.09.2012

2

2

2


84

Baumechanik 1

Blatt


7.5.5 Beispiel 5

q

x z 

Weitere Merkregeln bei Gleichstreckenlasten Für die Querkraftlinie: 

In Bereichen mit konstanter Streckenlast verläuft die Querkraftlinie linear.



Die Summe der auf die Länge verteilten Veränderung der Querkraft entspricht der Bereichsresultierenden.

Für die Momentenlinie: 

In Bereichen mit konstanter Streckenlast verläuft die Momentenlinie quadratisch.



Die Momentenlinie hat einen Extremwert an der Stelle, wo die Querkraftlinie einen Nulldurchgang hat.



Beim Balken auf zwei Stützen unter Gleichstreckenlast ist der Extremwert der

q  2 Momentenlinie 8

04.09.2012


85

Baumechanik 1

Blatt


Zusammenfassung Belastung q

geg : q( x)  q  const. x z 

Querkraftverlauf +

-

V ( x)  q  x  q 

l 2

Geradengleichung (y=mx + b)

V ( x)  q Die (negative) Steigung der Querkraftlinie V(x) ist in der Belastungsfunktion q(x) gegeben.

Momentenverlauf

x

2

+

x l M ( x)  q   q   x 2 2 Quadratische Parabel

l M ( x)  q  x  q   V ( x) 2 Die Steigung der Momentenlinie M(x) ist in der Querkraftlinie V(x) gegeben.

04.09.2012


86

Baumechanik 1

Blatt


7.5.6 Beispiel 6 q

x z 4,80

04.09.2012

2,40


87

Baumechanik 1

Blatt


7.5.7 Ermittlung maximaler Momente mithilfe der Anfangsschnittgrößen (gilt nur bei Gleichstreckenlast !) Fall 1: Ein oder zweiwertiges Endauflager

R(xmax)

q

MAnf=0

max M

MAnf A

VAnf=A xmax

VAnf

Fall 2: Einspannung

V(xmax)=0

MAnf=MA

V  0  V Anf  q  xmax  V ( xmax )  0  xmax 

A VAnf=A Fall 3: Mittelauflager

MAnf= MB

M

Anf

0 x max  V ( x max )  x max  0 2 V Anf x  max ; x max  2 q

max M  M Anf  R( x max )  max M  M Anf  q  x max max M  M Anf

B

VAnf=VB,re

xmax 

Al lg emein :

q  V Anf    2  q

VAnf q

2

2 V Anf    M Anf  2q 

; max M  M Anf 

2 VAnf

2q

 xmax

A  ; q

A2 max M  2q

Fall 2 : VAnf  A; M Anf  M A  xmax

A  ; q

A2 max M  M A  2q

Fall 1 : VAnf  A; M Anf  0

Fall 3 : VAnf  VB ,re ; M Anf  M B  xmax

04.09.2012

V Anf

VB ,re VB2,re  ; max M  M B  q 2q


88

q

Baumechanik 1

Blatt


7.5.8 Beispiel 7 q1 = 40 kN/m

F1 = 48 kN 3,0

2,4

F2 = 32 kN

q2 = 60 kN/m

3,2

1,8

1,3

4,0

3,1

Auflagerkräfte

04.09.2012


89

Baumechanik 1

Blatt


Normalkraftverlauf

Querkraftverlauf

Biegemomentenverlauf

04.09.2012


90

Baumechanik 1

Blatt


7.5.9 Beispiel 8: Gelenkträger F2 = 20 kN F1 = 10 kN q = 6 kN/m

4,0

4,0

4,0

3,0

Gesucht: Auflagerkräfte, Gelenkkräfte, Schnittkraftverläufe Besteht ein statisch bestimmtes Tragwerk aus mehreren Tragwerksteilen, die durch Gelenke miteinander verbunden sind, so sind bei der Ermittlung der Auflagerkräfte Teilsysteme direkt neben den Gelenken zu betrachten. Bei Biegemomentengelenken muss am Teilsystem gelten:  MG = 0 Greift im Gelenk eine Kraft an, so hat die Querkraftlinie dort einen Sprung (wie sonst auch). Die Querkräfte links und rechts vom Gelenk sind dann unterschiedlich groß. Wirkt im Gelenk keine Kraft, so haben V und N dort keinen Sprung. Auflagerkräfte

Querkraftlinie

Biegemomente

04.09.2012


91

Baumechanik 1

Blatt


7.6

Zusammenhang zwischen äußeren Lasten und Schnittgrößen q(x)

 H  0 : N  dN  N  n

n(x)

x

 dx  0

dN M+dM dN  n x ( x)  dx;  n x ( x) dx N+dN x

M N

e

V+dV

V

N ( x)  n x ( x)  N ( x)    n  dx  C N xa

dx

V  0 : V  dV  V  q( x)  dx  0 dV  q( x)  dx; xe

dV  q( x) dx

V   q  V   q  dx  CV

dx 2  M  0 : M  dM  M  V  dx  q  2  0 dM dM ( x)  V ( x)  dx;  V ( x) dx xe

M ( x)  V ( x)  M ( x)   V  dx  C M xa

xa

Merkregeln 1. In lastfreien Bereichen sind N und V konstant, während sich M linear verändert, falls V  0 ist. 2. In den Bereichen, in welchen ein konstantes nx oder qz wirkt, ändert sich N bzw. V linear. Einer linearen V-Linie entspricht ein quadratischer Momentenverlauf. 3. Eine linear veränderliche Belastung qz bedingt bei V einen quadratischen, bei M einen kubischen Verlauf. 4. Wo V verschwindet, nimmt M einen Extremwert an. 5. Im Einwirkungspunkt von Einzellasten quer zur Stabachse hat die V-Linie einen Sprung, die M-Linie einen Knick. 6. Im Einwirkungspunkt einer Einzellast in Richtung der Stabachse besitzt die NLinie einen Sprung. 7. Im Einwirkungspunkt von Einzelmomenten hat die M-Linie einen Sprung, die V-Linie bleibt unbeeinflusst, desgleichen die Neigung der M-Linie. 8. In der Symmetrieachse eines Systems ist bei symmetrischer Belastung die Querkraft gleich Null, bei antimetrischer Belastung verschwinden die Normalkraft und das Biegemoment. 9. Ein zwischen zwei Gelenken gelegenes, gerades Stabelement ohne Lasten quer zur Stabachse überträgt nur Längskräfte. 10. Die Normalkraft ist völlig unbeeinflusst von Querkraft und Moment und umgekehrt. 11. In einem Bereich mit positivem nx oder qz nimmt N bzw. V ab. 12. In einem Bereich mit positiver Querkraft V wächst das Biegemoment an.

04.09.2012


92

Baumechanik 1

Blatt


Tabelle 7-1: Grafische Zusammenfassung: Eigenschaften von Schnittkraftverläufen Keine Belastung

Einzellast

Gleichstreckenlast

Dreieckslast

Einzelmoment

Lastbild

konstant quadratisch

Querkraftverlauf konst

Sprung

linear konstant

konst

Sonderfall: V=0

konstant linear linear


linear linear veränderlich

Knick

quadratisch linear

linear

Sprung kubisch

Sonderfall bei V=0: M=konst

04.09.2012


Keine Knicke

93

Baumechanik 1

Blatt


Tabelle 7-2: Typische Schnittgrößenverläufe beim Balken auf zwei Stützen Lastbild

Querkraftverlauf

F


+

-

ℓ/2

+

ℓ/2 F

+

-

b

a F

+

F +

a

+

-

b

a

q

+

-

ℓ q

+

+

-

b

a

+

q + b

a

-

+

-

+

c q

+

ℓ ML

+ +

ℓ

-

+ a 04.09.2012

+

b Baumechanik_1_2012.doc

94

Baumechanik 1

Blatt


Tabelle 7-3: Zusammenhang zwischen q(x), V(x) und M(x)

V ( x)   q x   dx  C

M ( x)   V x   dx  C

lineare Belastung

konstante Belastung

keine Belastung

Bsp.: q(x) = 4x

Bsp.: q(x) = 5 kN/m

Bsp.: q = 0

Bereich x

V

x

A

A

V ( x)    4 x   dx  CV

x

M

x

A

V ( x)    5  dx  CV V ( x)    0  dx  CV  5 x  VA, re

4x2   VAre 2

 VA,re

quadratisch

V = const.

 4x 2  M ( x)      V Are dx  C M  2  3 2x   V A, re  x  M A 3

kubisch

04.09.2012





M ( x)    5 x  V Are dx  C M M ( x)  

5x 2  V A,re  x  M A 2

 V dx  C Are

 V A,re  x  M A

quadratisch


95

M

Baumechanik 1

Blatt


7.7

Analytische Ermittlung von Schnittgrößen mithilfe der Differenzialbeziehungen

7.7.1 Beispiel 1 F = 20 kN qE = 12 kN/m

3,0

4,0

4,0

Gesucht: Auflagerkräfte, Zustandslinien mit Angabe von Ordinaten Auflagerkräfte

Querkraftlinie

Momentenlinie

04.09.2012


96

Baumechanik 1

Blatt


7.7.2 Beispiel 2 q = 4 kN/m

3

4

ML = 6 kNm

2

2

Gesucht: Auflagerkräfte, Zustandslinien mit Angabe von Ordinaten Auflagerkräfte

Querkraftlinie

Biegemomentenlinie

04.09.2012


97

Baumechanik 1

Blatt


7.7.3 Klausuraufgabe 2 *40 kN 45° 4

4 q = 5 kN/m

4

ML = 40 kNm 8

Gesucht: Auflagerkräfte; Zustandslinien N, V, M mit Angabe von Ordinaten Auflagerkräfte

Normalkraftlinie

04.09.2012


98

Baumechanik 1

Blatt


Querkraftlinie

Biegemomentenlinie

04.09.2012


99

Baumechanik 1

Blatt


7.7.4 Weiteres Beispiel F2=10 kN q= 3 kN/m

60°

F1= 2 10 kN 3 45°

2

2

3

3

Gesucht: Auflagerkräfte; Zustandslinien N, V, M mit Angabe von Ordinaten Auflagerkräfte

04.09.2012


100

Baumechanik 1

Blatt


04.09.2012


101

Baumechanik 1

Blatt


7.8

Schnittkraftlinien am Kragarm qE

F

VA,rechts

VA,rechts

N A,rechts

N A,rechts

ℓ

MA

ℓ A

A

q

MA

VA,rechts N A,rechts

ℓ

MA A

Bild 7-7: Schnittkraftverläufe und Formeln für Schnittgrößen am Kragarm

04.09.2012


102

Baumechanik 1

Blatt


7.9

Schnittgrößenermittlung mit Stabwerksprogrammen

7.9.1 Allgemeines 

Die Geometrie eines Stabwerkes ist gekennzeichnet durch Koordinaten von Punkten und Linien von Punkt zu Punkt.



Den geometrischen Bestandteilen des Stabwerkmodelles werden Materialparameter, Querschnittswerte, Belastung und Lagerbedingungen zugeordnet.



Ein Stabwerksprogramm (oder Finite-Element-Programm) unterteilt die vorgegebenen Linien (Stabzüge) in einzelne Stabelemente. Die Enden von Stabelementen werden als Knoten bezeichnet.



In einfachen Fällen sind Linien und Stabelemente gleich.

Vorgehen 1. Eingabe - System (alle Eingaben einheitengetreu, also z.B. alle Angaben in m und kN) a. Knoten Die Knotenkoordinaten werden im vorher festgelegten globalen Koordinatensystem angegeben. Lagerbindungen werden festgelegt. b. Stäbe Stäbe werden von Knoten zu Knoten angegeben. Damit werden die Richtung der lokalen x-Achse und die Lage der gestrichelten Zone festgelegt. Mit „Zeigen – Grafik“ kann man die Eingabe visuell kontrollieren. c. Querschnittstypen Nicht vergessen! Mindestens eine „1“ bei den vier Materialparametern angeben! d. Gelenke Bei Fachwerken: (s-1) Gelenke am Knoten 2. Eingabe - Belastung a. Knotenlasten b. Streckenlasten c. Einzellasten d. … 3. Berechnen – Th. 1. Ordnung

04.09.2012


103

Baumechanik 1

Blatt


7.9.2 Fachwerk mit STAB2D Globales KOS

X

5

6

F1 = 10 kN Z

4 6m

1

2

F2 = 50 kN

12 m

3

12 m

Koordinaten der Punkte (im globalen Koordinatensystem X-Z) Punkt Nr

X

Z

Punkt Nr

1

4

2

5

3

6

X

Z

7.9.3 Balkentragwerk mit Stabwerkprogramm STAB2D HEB 500

F1 = 10 kN 1

E = 210.000 N/mm2

z X x

= . . . . . . . . . . . . . . . kN/m2

F2 = 5 kN

h = 500 mm = . . . . . m

Globales KOS (fest)

Z

A = 239 cm2 = . . . . . . . . . m2

F3 = 20 kN

 = 107.200 cm4 = . . . . . . . . . m4

q = 10 kN/m

4

3

x 2

Lokales KOS (auf den Stab bezogen)

z

2

4

2

Koordinaten der Punkte (im globalen Koordinatensystem X-Z) Punkt Nr

X

Z

1 2 3

04.09.2012


104

Baumechanik 1

Blatt


7.9.4 Verbreitete Stabwerksprogramme (Auswahl) Stab2d

Gutes und einfaches Stabwerkprogramm zur Ermittlung von Schnittgrößen und Verformungen bei ebenen Stabtragwerken (auf den Rechnern der FH Lippe installiert) Demoversion zum download unter www.isd.uni-hannover.de/software.html

Ruckzuck

Gutes und einfaches Stabwerkprogramm zur Ermittlung von Schnittgrößen und Verformungen bei ebenen Stabtragwerken (Fachwerke, Durchlaufträger, Rahmentragwerke) Demoversion zum download unter http://www.ruckzuck.co.at/Download.aspx

PCAE

4H-NISI von PCAE Gutes Stabwerksprogramm zur statischen Berechnung und Bemessung beliebiger ebener Stabtragwerke aus Stahl, Holz oder Stahlbeton (Lehrversion auf den Rechnern der FH Lippe installiert) Weiter Infos unter http://www.pcae.de

Friedrich & Lochner

Weit verbreitetes Programmsystem mit DLT10 (Durchlaufträger) und ESK (Ebenes Stabwerk) zur statischen Berechnung und Bemessung beliebiger ebener Stabtragwerke aus Stahl, Holz oder Stahlbeton

Weitere Infos unter http://www.frilo.de RSTAB

RSTAB von Dlubal: Gutes Stabwerkprogramm insbesondere für die statische Berechnung und Bemessung von Stahltragwerken. (Lehrversion auf den Rechnern der FH Lippe installiert) http://www.dlubal.de

D.I.E

Gutes Statikprogrammsystem Weitere Infos unter http://www.die.de/

04.09.2012


105

Baumechanik 1

Blatt


8

Berechnung von Flächenwerten

8.1

Allgemeines

Schritte zur Tragwerksplanung / statischen Berechnung 1. Modellbildung z.B. Balkentragwerk als dargestellt als Linie, Bestimmung der Länge 2. Lastzusammenstellung / Maßgebende Laststellungen Ständige Einwirkungen: Eigengewicht, Erddruck Veränderliche Einwirkungen: Verkehrslasten, Wind- und Schneelasten 3. Statische Berechnung Maßgebende (extremale) Schnittgrößen M,N,V 4. Dimensionierung (Bemessung) durch Material- und Querschnittswahl mithilfe des Spannungsnachweises und des Durchbiegungsnachweises Nachweis der Tragfähigkeit Nachweis der Gebrauchstauglichkeit Spannungsermittlung erforderlich z.B. :  = N/ A Hierfür ist die Ermittlung von Flächenwerten erforderlich. 5. Nachweise von Details und Anschlüssen

Mögliche Flächenwerte sind 1. Ordnung: Längen, Breiten, Höhen, Schwerpunkt-Abstand; [] = m 2. Ordnung: Querschnittsfläche;

[A] = cm2 / m2

3. Ordnung: Vol., statisches Moment, Widerstandsmoment: [V]=[S]=[W]=cm3 4. Ordnung: Flächenträgheitsmoment;

[] = cm4 / m4

6. Ordnung: Wölbwiderstand

[] = cm6

04.09.2012


106

Baumechanik 1

Blatt


8.2

Flächenschwerpunkt

8.2.1 Einführendes Beispiel

A2

y2

y ys=? y1 A1 x

ys=?

y y2

y1 x

Bild 8-1: Zur Herleitung der Formel zur Ermittlung von Flächenschwerpunkten

04.09.2012


107

Baumechanik 1

Blatt


8.2.2 Definitionen zum Schwerpunkt Volumenschwerpunkt z S

xS 

 x  dV  dV

zS 

 z  dV  dV

zS

yS 

 y  dV  dV

y xS yS

x

Flächenschwerpunkt Den Flächenschwerpunkt einer beliebiger Fläche wird mit Hilfe des Statischen Moment S der Fläche bestimmt.

y

yS

S

xS x

xS y

A1

yS1 yS yS2 yS3

S2

xS 

A3

xS

xS2 xS1

S x   y  dA

x

Sy A

S3 xS3

S y   x  dA

y

Ist bei zusammengesetzten Flächen der der Schwerpunkt der Teilflächen bekannt, wird der Gesamtschwerpunkt wie folgt berechnet:

S1

A2

yS

x  dA S    ; A dA   y  dA  S ;   dA A

x

yS 



x  A A i

i

i

S x  yi  Ai  A  Ai

Bei zusammengesetzten Flächen ist es oft sinnvoll, mit einer „umfassenden“ Fläche zu rechnen und die Fehlflächen dann abzuziehen. Es gilt das Superpositionsgesetz (Gesetz der Überlagerung). Bei symmetrischen Flächen liegt der Schwerpunkt auf den Symmetrieachsen.

04.09.2012


108

Baumechanik 1

Blatt


8.2.3 Erläuterungen zum statischen Moment / Schwerpunktsberechnung Unregelmäßig berandete Flächen

x   dA   x  dA S

( A)

y

dA

( A)

S y   x  dA ( A)

Die Momentenwirkung der Gesamtfläche bzgl. einer Achse soll gleich der Summe aller Momentenwirkungen der Teilflächen bzgl. dieser Achse sein!

x

S

Die Momentenwirkung von Teilflächen bzgl. einer Achse nennt man „Statisches Moment“. xS = ? x

 xS 

 x  dA ( A)

 dA



Sy A

; S y   x  dA ( A)

( A)

Zusammengesetzte Flächen mit bekannten Einzelflächen

y

xS   Ai   xi  Ai

A1 x1

 xS 

xS = ?

 xi  Ai  S y A  Ai

A2 x2

x

8.2.4 Beispiel: Schwerpunktermittlung für ein Dreieck

04.09.2012


109

Baumechanik 1

Blatt


8.3

Formeln für Schwerpunktkoordinaten

Dreieck

2 xS  a 3 1 yS  h 3

y h

1 A  ah 2

x

a

Halbkreis

xS  0

y

yS 

r

A

4r  0,4244  r 3

1  r2 2

Viertelkreis y

r x

xS 

4r 3

yS 

4r 3

1 A   r2 4

Quadratische Parabel

xS  0

y

3 yS  h 5

h

b

04.09.2012

x


4 A  bh 3

110

Baumechanik 1

Blatt


8.4

Beispiele zur Schwerpunktermittlung

8.4.1 Mustertabelle zur Bestimmung des Schwerpunktes einer zusammengesetzten Fläche Zuerst: Geeigneten Koordinatenursprung wählen! (für das Hilfskoordinatensystem) xi (cm) xi  Ai (cm³) yi (cm) yi  Ai (cm³)

Teilfläche i Ai (cm²) 1

…

…

…

…

…

2

…

…

…

…

…

3

…

…

…

…

…

4

…

…

…

…

…

∑ xi  Ai =…

A = ∑ Ai =…

 xs 

x

i

 Ai

A

yS 

;

y

i

∑ yi  Ai = …

 Ai

A

8.4.2 Beispiel 1 9

6

10

Für die dargestellte Fläche ist die Lage des Schwerpunktes zu ermitteln ! TF Ai

xi

xi  Ai

yi

yi  Ai

1 2 A=

04.09.2012


111

Baumechanik 1

Blatt


8.4.3 Beispiel 2 2

1 TF

Ai

xi

xi  Ai

1 1 1

2 A=

8.4.4 Beispiel 3

U 300

HE 300 B

Für die dargestellte zusammengeschweißte Stütze aus einem HE 300 B und einem U 300 Träger ist der Schwerpunkt zu ermitteln. (Abmessungen aus Schneider oder Wendehorst) TF

Ai

yi

yi  Ai

1 2 A=

04.09.2012


112

Baumechanik 1

Blatt


8.4.5 Beispiel 4 y 8

Maße in cm

2 6

2

4 x

4

Für die dargestellte Fläche ist der Schwerpunkt zu ermitteln. TF

Ai

xi

xi  Ai

yi

yi  Ai

1 2 3 4 A=

04.09.2012


113

Baumechanik 1

Blatt


8.4.6 Beispiel 5 TF Ai

yi  Ai

yi

zi

zi  Ai

1 12 38

2 3

20

A= 10

5

8 60

8.4.7 Beispiel 6 TF

15

Ai

zi

zi  Ai

1 8 2 3 20 A=

5 4 45

04.09.2012


114

Baumechanik 1

Blatt


8.5

Genormte Walzprofile

8.5.1 Bezeichnungen -Träger („Doppel-T-Träger“), U-Stahl

Mittelbreite -Träger IPE

Breite -Träger HEA / HEB / HEM

U-Stahl

Bild 8-2: Genormte Walzträger

-Träger

b tf

tw

h

y r

z

Bezeichnung

Abk.

Einheit

Querschnittshöhe

h

mm

Querschnittsbreite

b

mm

Flanschdicke

t

(thickness of flange)

tf

Stegdicke

s

(thickness of web)

tw

Querschnittsfläche

A

cm

Ausrundungshalbmesser

r

mm

Flächenträgheitsmoment



cm

4

W

cm

3

i

cm

Widerstandmoment Trägheitsradius

mm

mm 2

Bild 8-3: Bezeichnungen und Abkürzungen der Querschnittswerte

04.09.2012


115

Baumechanik 1

Blatt


8.5.2 Tabellen mit Querschnittswerten Tabelle 8-1: Querschnittswerte für übliche Doppel-T-Träger Querschnitt

IPE

HEA

HEB

04.09.2012

h

b

tw (s)

tf (t)

r

A

y

Wy

iy

z

Wz

mm

mm

mm

mm

mm

cm2

cm4

cm3

cm

cm4

cm3

cm

120

120

64

4,4

6,3

7

13,2

318

53,0

4,90

27,7

8,65

1,45

140

140

73

4,7

6,9

7

16,4

541

77,3

5,74

44,9

12,3

1,65

160

160

82

5,0

7,4

9

20,1

869

109

6,58

68,3

16,7

1,84

180

180

91

5,3

8,0

9

23,9

1320

146

7,42

101

22,2

2.05

200

200

100

5,6

8,5

12

28,5

1940

194

8,26

142

28,5

2,24

300

300

150

7,1

10,7

15

53,8

8360

557

12,5

604

80,5

3,35

400

400

180

8,6

13,5

21

84,5

23130

1160

16,5

1320

146

3,95

500

500

200

10,2

16,0

21

116,0

48200

1930

20,4

2140

214

4,31

600

600

220

12,0

19,0

24

156,0

92080

3070

24,3

3390

308

4,66

100

96

100

5,0

8,0

12

21,2

349

72,8

4,06

134

26,8

2,51

120

114

120

5,0

8,0

12

25,3

606

106

4,89

231

38,5

3,02

140

133

140

5,5

8,5

12

31,4

1030

155

5,73

389

55,6

3,52

160

152

160

6,0

9,0

15

38,8

1670

220

6,57

616

76,9

3,98

180

171

180

6,0

9,5

15

45,3

2510

294

7,45

925

103

4,52

200

190

200

6,5

10,0

18

53,8

3690

389

8,28

1340

134

4,98

300

290

300

8,5

14,0

27

112,0

18260

1260

12,7

6310

421

7,49

400

390

300

11,0

19,0

27

159,0

45070

2310

16,8

8560

571

7,34

500

490

300

12,0

23,0

27

198,0

86970

3550

21,0

10370

691

7,24

600

590

300

13,0

25,0

27

226,0

141200

4790

25,0

11270

751

7,05

800

790

300

15,0

28,0

30

286,0

303400

7680

32,6

12640

843

6,65

1000

990

300

16,5

31,0

30

347,0

553800

11190

40,0

1400

934

6,35

100

100

100

6,0

10,0

12

26,0

450

89,9

4,16

167

33,5

2,53

120

120

120

6,5

11,0

12

34,0

864

144

5,04

318

52,9

3,06

140

140

140

7,0

12,0

12

43,0

1510

216

5,93

550

78,5

3,58

160

160

160

8,0

13,0

15

54,3

2490

311

6,78

889

111

4,05

180

180

180

8,5

14,0

15

65,3

3830

426

7,66

1360

151

4,57

200

200

200

9,0

15,0

18

78,1

5700

570

8,54

2000

200

5,07

300

300

300

11,0

19,0

27

149,0

25170

1680

13,0

8560

571

7,58

400

400

300

13,5

24,0

27

198,0

57680

2880

17,1

10820

721

7,40

500

500

300

14,5

28,0

27

239,0

107200

4290

21,2

12620

842

7,27

600

600

300

15,5

30,0

27

270,0

171000

5700

25,2

13530

902

7,08

800

800

300

17,5

33,0

30

334,0

359100

8980

32,8

14900

994

6,68

1000

1000

300

19,0

36,0

30

400,0

644700

12890

40,1

61280

1090

6,38

Bez.


116

iz

Baumechanik 1

Blatt


U-Profil tf

r1 h

tw

y yM

ez

z b Bild 8-4: Querschnittswerte U-Profil

Tabelle 8-2: Querschnittswerte für ausgewählte U-Profile

Bez

h

b

tw/s

mm

mm

mm

tf(t) r1

A

g

y

Wy

iy

z

Wz

iz

ez

yM

cm2

kN/m

cm4

cm3

cm

cm4

cm3

cm

cm

cm

mm

U

100

100

50

6,0

8,5

13,5

0,106

206

41,2

3,91

29,3

8,49

1,47

1,55

2,93

120

120

55

7,0

9,0

17,0

0,134

364

60,7

4,62

43,2

11,1

1,59

1,60

3,03

140

140

60

7,0

10,0

20,4

0,160

605

86,4

5,45

62,7

14,8

1,75

1,75

3,37

160

160

65

7,5

10,5

24,0

0,188

925

116

6,21

85,3

18,3

1,89

1,84

3,56

180

180

70

8,0

11,0

28,0

0,220

1350

150

6,95

114

22,4

2,02

1,92

3,75

200

200

75

8,5

11,5

32,2

0,253

1910

191

7,70

148

27,0

2,14

2,01

3,94

300

300

100

10,0

16,0

58,8

0,462

8030

535

11,79

495

67,8

2,90

2,70

5,41

400

400

110

14,0

18,0

91,5

0,718

20350

1020

14,90

846

102

3,04

2,65

5,11

04.09.2012


117

Baumechanik 1

Blatt


8.6

Berechnung von Flächenträgheitsmomenten (FTM)

8.6.1 Definition Flächenmomente 2. Grades = Flächenträgheitsmomente

I y   z 2 dA

y dA

dA  b(z)  dz

dz

z

z b(z)

8.6.2 Auswertung für einen Rechteckquerschnitt b(z)

y z dA dz

h

 3 z 2 2 I y   z  dA   z  b( z )  dz  b   3  3 3 3 h  h  b  h Iy  b       3  8 3  8 12   

  h  2 h 2

z

04.09.2012


118

Baumechanik 1

Blatt


8.6.3 Flächenträgheitsmomente für einfache Querschnitte Tabelle 8-3: Eigen-Flächenträgheitsmomente für übliche Querschnitte y

z

yz

P

bh 3 12

hb 3 12

0

bh 2 (h  b2 ) 12

Skizze b S

y

h

z ⅔g-⅓g2

⅔h

y g1

g

gh 3 36

h

S z ⅓h g2

gh 2 ( g  gg 2  g 22 ) 36 gh 2 gh 2 3 (h  g 2  gg 2  g 22 ) (2 g 2  g ) hg 36 72 bzw. bei 48

g S ⅓h

y

h

⅔h

gh 3 36

hg 3 36

d 4

d 4

64

64

g 2h2  72

gh 2 (h  g 2 ) 36

z d S y

d 4

0

32

z D



S

d

y

64

(D4  d 4 )

 64

(D4  d 4 )

0

 32

(D4  d 4 )

z d R

y

S

2d 3

R4 (9 2  64) 72

R 4

0

8

R4 (9 2  32) 36

z b S

y

a

 4

ab 3

 4

ba 3

0

ab 4

(a 2  b 2 )

z 04.09.2012


119

Baumechanik 1

Blatt


8.6.4 Kleine Übungen Querschnitt und KOS

Relation

y

z

12

y

24

z 30

y

4

z 40

z

60

y 10

30

y

z 45

z

15

y

04.09.2012


120

Baumechanik 1

Blatt


Querschnitt und KOS

Relation

y

z

30 20

y

z 40 20

y

z 50

y

20

z R=20

y

z R=50

y

z R=30

z y 04.09.2012


121

Baumechanik 1

Blatt


8.6.5 Gegenüberstellung Flächenmoment 1. Grades – Flächenmoment 2. Grades Flächenmoment 1. Grades = …………………………………….

Flächenmoment 2. Grades = …………………………………….

n

I y   z ( h ) i  Ai   Hebelarmi2 * Flächei 2

n

S y   z( h )i  Ai   Hebelarmi * Flächei

i 1

i 1



S y   z  dA   Hebelarmi * Flächelche ni

i 1 Das Statische Moment für eine Fläche bezogen auf den Schwerpunkt verschwindet.



I y   z  dA   Hebelarmi2 * Flächelche ni 2

i 1 Für zusammengesetzte Flächen gilt:

n

I y , ges   Eigen  FTM   zs2,i  Ai  i 1   Tabellenwerke; Bl .8.

Steiner Anteile

Das FTM ist der geometrische Widerstand eines Querschnitts gegen Biegung.

04.09.2012


122

Baumechanik 1

Blatt


8.6.6 Flächenträgheitsmomente bzgl. parallel verschobener Schwerpunktachsen

I y   z  dA; 2

y

z s  const.

I y   ( z  z s ) 2 dA I y   ( z 2  2 z s z  z s2 )dA

zS

z y

z  z  zs ;

z

z

I y   z 2  dA   2 z s z  dA   z s2  dA I y   z 2  dA  0  zs2  A       Steiner-Anteil Eigen-FTM

z 8.6.7 Beispiel 1: Doppel-T-Querschnitt

Für den dargestellten zusammengesetzten Träger sind folgende Werte gesucht: a) Lage des Schwerpunktes b) y und z

24 6

TF Ai

30

zi

zi  Ai

1

6

2 3 A=

6 18

04.09.2012


123

Baumechanik 1

Blatt


TF y (EigenFTM)

z2i  Ai

Ai

zi

z (EigenFTM)

y2i  Ai

yi

1 2 3 

8.6.8 Beispiel 2: Zusammengesetzter Querschnitt Für den dargestellten zusammengesetzten Träger sind folgende Werte gesucht: a) Lage des Schwerpunktes b) y und z 8

32 8

TF Ai

12

zi

zi  Ai

1 2 3

40 4 10

5 A=

15

30

TF y (EigenFTM)

zi

Ai

z2i  Ai

z (EigenFTM)

yi

y2i  Ai

1 2 3 4 5 

04.09.2012


124

Baumechanik 1

Blatt


8.6.9 Beispiel 3: Klausuraufgabe Für den dargestellten Querschnitt sind y und z gesucht. Querschnittskizze, Bemaßung in cm

zs = 30,75

y

60

z

20 R =20 30

TF y (EigenFTM)

40

zi

Ai

40

z2i  Ai

z (EigenFTM)

30

yi

y2i  Ai

1

2

3

4 

04.09.2012


125

Baumechanik 1

Blatt


8.7

Transformation der FTM / Hauptträgheitsachsen

8.7.1 Deviationsmoment (Zentrifugalmoment) n

I yz  I zy   (   y  z  dA)    ( ys ,i  zs ,i  Ai )   i 1  Eigenanteile ,tabelliert

y z

Steiner Anteile

dA

Ist eine Symmetrieachse vorhanden, ist yz = 0. Wenn yz = 0 ist, dann ist das y-z-KOS ein Hauptachsensystem. y

8.7.2 Drehung des Koordinatensystems

z  sin  y  cos 

y





z

z  cos  y  sin 

=? y

=?  = y  cos  + z  sin 

z



 = - y  sin  + z  cos 

1 1 I   ( I y  I z )   ( I y  I z )  cos(2 )  I yz  sin(2 ) 2 2 1 1 I    ( I y  I z )   ( I y  I z )  cos(2 )  I yz  sin(2 ) 2 2 1 I    ( I y  I z )  sin(2 )  I yz  cos(2 ) 2 04.09.2012


126

Baumechanik 1

Blatt


8.7.3 Hauptachsen Für welchen Winkel * verschwinden das Deviationsmoment  ?

1 I    ( I y  I z )  sin(2 )  I yz  cos(2 )  0 2

Für welchen Winkel werden die Flächenträgheitsmomente extremal ?

dI  d



1  ( I y  I z )  sin(2 )  I yz  cos(2 )  0 2

Ergebnis wie oben:

tan 2 * 

2  I yz Iy  Iz

;

I1, 2 

Iy  Iz 2

I I    y z   I yz2  2  2

Die Flächenträgheitsmomente nehmen Extremwerte für die Hauptachsen an. In diesem Fall verschwinden die Deviationsmomente. Liegt eine Symmetrieachse vor, so ist die Symmetrieachse eine Hauptachse.

Es gilt die Invarianzbedingung:

y + z =  + =1 +2 =p =const. (invariant

= unabhängig vom Koordinatensystem)

p ist das polare Trägheitsmoment.

04.09.2012


127

Baumechanik 1

Blatt


4 8.7.4 Beispiel L-Profil

Maße im cm

0,5

Gesucht sind a) Lage des Schwerpunktes b) y , z , yz;

y

c) * , 1, 2

5,5 TF Ai

yi  Ai

yi

zi

zi  Ai

z

1 2 A=

0,5

I  I y

Eigen y

 z  A 2

i

i

TF y (EigenFTM)

zi

Ai

z2i  Ai

Ai

y2i  Ai

zi

Ai

1 2 

I z   I zEigen   yi2  Ai TF z (EigenFTM)

yi

1 2 

I  I yz

Eigen yz

TF yz (Eigen)

y z A i

i

i

yi

- ( yi  zi  Ai )

1 2 

04.09.2012


128

Baumechanik 1

Blatt


8.7.5 Beispiele für unsymmetrische Profile in der Praxis Einseitiger Plattenbalken

L-Profile

y

y

z

z Brückenquerschnitt

y

z

Widerlagerfundament

y

z

04.09.2012


129

Baumechanik 1

Blatt


8.7.6 Transformation bei dünnwandigen Querschnittsteilen Einen Querschnittsteil nennt man dünnwandig, wenn die Dicke eines Querschnittsteils kleiner ist als 1/5 der Länge, also d < ℓ/5; d < b/5 oder d < h/5. Dann ist das Trägheitsmoment bezogen auf die schwache Achse gegenüber dem Trägheitsmoment bezogen auf die starke Achse vernachlässigbar. Dünnwandige Querschnitte werden bezogen auf die Profilmittellinien vermaßt. Beispiele:

b=100 y

d=6 z

h=100

y

z

d=6 Weitere Beispiele für dünnwandige Querschnitte Stahlträger

Spundwandprofile

B

n o b

y

h e

z H Trapezbleche

04.09.2012


130

Baumechanik 1

Blatt


Transformationsbeziehung für ein schief liegendes, rechteckiges, dünnwandiges Querschnittsteil h 2

b2 b1

y1

h b



h1

h1

y

z z1 Geg. Ges.:

;

I y1

b  h3  ; 12

h2

I z1

h  b3   0; 12

I y 1 z1  0

I y , I z , I yz

1 1 ( I y1  I z1 )  ( I y1  I z1 )  cos 2  I y1z1 sin 2 2 2 1 1 1 I y  I y1  I y1  cos 2  I y1   (1  cos 2 ) 2 2 2 3 2 2 y y1 Iy 

1 1 ( I y1  I z1 )  ( I y1  I z1 )  cos 2  I y1z1 sin 2 2 2 1 1 1 I z  I y1  I y1  cos 2  I y1   (1  cos 2 ) 2 2 2 Iz 

b  h3 bh 2  sin 2  I  I  cos    cos  I z  I y1  sin   12 12

Mit h1  h  cos

b  h3 Iy  1 1  12

04.09.2012

b

und b1  b cos 

cos ergibt sich gleichermaßen:

 h  cos  

3

12



b  h3  cos 2  12


131

Baumechanik 1

Blatt


8.7.7 Beispiel: Zusammengesetzter dünnwandiger Querschnitt Gesucht: a) Lage des Schwerpunktes; b) y , z , yz ; c) * , 1, 2 Maße in cm, t = 0,5 cm = const.

40

Bemaßung wird bei dünnwandigen Profilen auf die Profilmittellinien bezogen

30

y

TF

z

Ai

yi

yi  Ai

zi

zi  Ai

1

60

2 A=

I  I y

TF

Eigen y

 z  A 2

i

i

y (EigenFTM)

zi

Ai

yi

Ai

z2i  Ai

1 2 

I z   I zEigen   yi2  Ai TF

z (EigenFTM)

y2i  Ai

1 2 

04.09.2012


132

Baumechanik 1

Blatt


I  I yz

Eigen yz

y z A

TF yz (EigenFTM)

i

i

i

yi

zi

Ai

- (yi  zi  Ai )

1 *NR 2 

8.7.8 Beispiel: Einfachsymmetrischer dünnwandiger Querschnitt Maße in cm; Bemaßung auf die Profilmittellinien bezogen

15

d=1,0 d=1,2 y

15

d=1,0

z 20

60

60

20

Gesucht: sind die Lage des Schwerpunktes sowie y , z 04.09.2012


133

Baumechanik 1

Blatt


Einfluss auf das Behalten

Erzähle es mir – und ich werde es vergessen

Zeige es mir – und ich werde mich erinnern

Lass es mich tun – und ich werde es behalten Kung Fu Dsi (551 -479 v. Chr) (Konfuzius)

04.09.2012


134