Tema 2: Ondas

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Ondas. Electromagnéticas: Vibran las moléculas. Necesitan un medio material ...... Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté. Sears ...
Tema 2: Ondas Fátima Masot Conde Ing. Industrial 2007/08

Tema 2: Ondas Índice: 1. Introducción 2. Movimiento Ondulatorio Simple 3. Ondas Periódicas 4. Ondas en Tres Dimensiones 5. Ondas y Barreras 6. Efecto Doppler

1. Introducción ¿Qué es una onda? “Ola” en el fútbol Ondas de agua

Ejemplos

Pulsación de una cuerda de guitarra Radio, TV (UHF, VHF)

Involucra un oscilatorio

movimiento

Las “moléculas” se mueven hacia arriba y hacia abajo pero NO CRUZAN EL ESTANQUE

1. Introducción

Es una perturbación que viaja No hay transporte de masa, sólo de energía y de momento lineal Vibran las moléculas

Ondas Mecánicas: Necesitan un medio material

1ª Clasificación Ondas Electromagnéticas:

Vibra el campo No necesitan medio

2. Movimiento Ondulatorio Simple ¿Cómo se produce la onda? Por interacción de cada segmento del sistema con los segmentos adyacentes. Ejemplo: Ondas de dominó La 1ª ficha comunica su energía a la 2ª, la 2ª a la 3ª, etc. Es una onda longitudinal: las elementos (moléculas, fichas) vibran paralelamente a la dirección de la onda. Las ondas de sonido, la onda del resorte de la figura también son longitudinales.

Onda longitudinal

2. Movimiento Ondulatorio Simple

Pero la interacción también se puede dar transversalmente

Onda transversal

La partícula oscila perperdicularmente a la dirección de la perturbación -Ola de fútbol

Más ejemplos de o. transversales:

-Olas de agua -Ondas electromagnéticas -Ondas en una cuerda

2. Movimiento Ondulatorio Simple

En general, podemos tener combinaciones de ambas:

Ondas longitudinales y transversales combinadas

2. Movimiento Ondulatorio Simple Con medio: Mecánicas

Por el medio Sin medio: Electromagnéticas (siempre transversales)

Clasificación (sólo para las mecánicas)

Paralela. Ondas longitudinales

Por la dirección (dirección de la oscilación respecto de la dirección de la onda)

Perpendicular. Ondas transversales

Descripción matemática de una onda Supongamos que tenemos una función cualquiera

y = f (x) que ‘viaja’, con velocidad v, a lo largo del eje x. En una visión estática, sólo podemos capturarla en determinados instantes. En un instante t=0, Fig. a Y en un instante cualquiera t , Fig b.

Descripción matemática de una onda

La forma de la función sería la misma en cualquier sistema de referencia O’ que viajara con ella.

y = f(x0 ) Así que sólo tenemos que hacer un cambio de coordenadas:

0

x = x + vt Coordenadas en el sistema de referencia viajero O’ Coordenadas en el sistema de referencia inicial estático O

Descripción matemática de una onda

Y nuestra función viajera queda: Para ondas viajeras a la derecha, x

y = f (x − vt) Observad el signo

O bien: Para ondas viajeras a la izquierda, x

y = f (x + vt) En ambos casos: Puede ser cualquier dirección del espacio, no necesariamente un eje de coordenadas.

f v x

es la función de onda es la velocidad de propagación es la dirección de propagación

Ondas armónicas Onda Onda periódica: periódica: Producida Producida por por una una perturbación periódica. perturbación periódica.

P. ej.: Extremo de una cuerda que se mueve periódicamente función periódica

y = f (x − vt) Si f

seno es una función armónica coseno

Onda armónica

Cada punto del medio oscila con un M.A.S.

La distancia entre dos crestas es λ La onda avanza λ en un período T De modo que su velocidad:

v  = λ / T = λ f

Ondas armónicas. Representación matemática

Si nuestra función armónica es de tipo seno:

y(x, t) = f (x − vt)

‘f 0 ≡ sen v=

Nuestra onda sería:

ω K

K =no de onda

y = A sen(Kx − ωt)

Factor de conversión de long. a rd

Argumento modificado ligeramente, para su expresión en radianes.

Ondas armónicas. Representación matemática

Doble periodicidad, espacio-temporal:

Ondas armónicas. Representación matemática

Periodo espacial La onda armónica es periódica en el espacio (fijado t, se repite en el espacio) Si λ es el periodo espacial ([m])

y(x + λ) = A sen (K(x + λ) + δ(t)) = = A sen (Kx + δ(t)) = y(x) Esta igualdad se cumple si Kλ = 2π

K=

2π λ

K =no de onda ([rad/m])

Ondas armónicas. Representación matemática

Periodo temporal La onda armónica es periódica en el tiempo (fijado x, se repite en el tiempo) Si T es el periodo temporal ([s])

y(t + T ) = A sen (ω(t + T ) + δ(x)) = = A sen(ω t + δ ( x)) = y (t ) Esta igualdad se cumple si ωT = 2π

T =

2π ω

ω =frecuencia angular ([rad/s])

Diferencia entre la velocidad de una partícula y la velocidad de la onda Para Para una una onda onda armónica armónica en en una una cuerda cuerda La velocidad transversal de la partícula es: ∂ ∂y = [A sen(Kx − ωt)] = −ωA cos(Kx − ωt) vy = ∂t ∂t En la dirección y Y su valor máximo:

vy,m a x = ωA

Velocidad máxima de la partícula (módulo)

Mientras que la velocidad de la onda (velocidad de fase): 2π/T λ ω = = = λf v= K 2π/λ T

En la dirección x

Diferencia entre la velocidad de una partícula y la velocidad de la onda

Ecuación de onda

Todas las ondas verifican la ecuación de onda:

1 ∂ 2y ∂ 2y = 2 2 2 ∂x v ∂t Si y(x, t) cumple la ecuaci´on de onda, entonces y(x, t) es una onda.

Ecuación de onda

y(x, t) = f (x ± vt)

Por ejemplo:

ψ

Derivadas Espaciales

∂y ∂f ∂ψ ∂f = = ∂x ∂ψ ∂x ∂ψ 2

∂ y ∂ = ∂x2 ∂x

Derivadas Temporales



∂f ∂x



∂ = ∂ψ



∂f ∂ψ



∂f ∂ψ ∂f ∂y = = ±v ∂t ∂ψ ∂t ∂ψ ∂ ∂ 2y = ∂t2 ∂t



∂f ∂t



∂ = ∂ψ



∂f ±v ∂ψ



∂ψ =1 ∂x ∂ψ = ±v ∂t

∂ψ ∂ 2f = ∂x ∂ψ 2

±v

∂ 2y 1 ∂ 2y = 2 2 ∂x2 v ∂t

2 ∂ψ 2∂ f =v ∂t ∂ψ 2

Ecuación de onda

f es una función cualquiera Si fuera armónica:

y(x, t) = A sen(Kx ± ωt + δ) Derivadas temporales

vy =

∂y = ±ωA cos(Kx ± ωt + δ) ∂t

Derivadas espaciales

∂y = KA cos(Kx ± ωt + δ) ∂x

∂ 2y ∂ 2y ay= 2 = −ω 2A sen(Kx ± ωt + δ) = −K 2A sen(Kx ± ωt + δ) 2 ∂t ∂x

Ecuación de onda

1 ∂ 2y 1 ∂ 2y = 2 2 2 2 K ∂x ω ∂t

0 0

y representa una funci´on cualquiera f , siempre que tenga una dependencia del espacio y del tiempo x ± vt, i.e. y = f (x ± vt)

1 ∂ 2y ∂ 2y = 2 2 ∂x2 v ∂t Esta Esta dirección dirección no no tiene tiene por qué ser el eje por qué ser el eje x, x, puede ser cualquier puede ser cualquier dirección dirección del del espacio. espacio.

Velocidad de las ondas Propiedad Propiedad general general de de las las ondas: ondas: Su Su velocidad velocidad depende depende de de las las propiedades propiedades del del medio, medio, no no de de la la velocidad velocidad de de la la fuente fuente (emisor) (emisor) La velocidad del sonido, por ejemplo, procedente de la sirena de una ambulancia, depende de las propiedades del aire, no de la velocidad de la ambulancia.

En En general: general:

v=

                   Fuerza de restitución que devuelve el sistema al equilibrio Inercia que resiste el retorno al equilibrio                                                                      

Velocidad de la onda en una cuerda

En En una una cuerda: cuerda:

acción, propiedad elástica tensión de la cuerda

v=  

F

μ

masa lineal de la cuerda reacción o inercia, propiedad inercial

Velocidad de la onda en una cuerda

Componentes horizontales: F1x = F1 cos θ1 = F2 x = F2 cos θ 2 = FT Componentes verticales: F1 y = F1 sin θ1 = FT tgθ1 F2 y = F2 sin θ 2 = FT tgθ 2

Newton:

∂2 y F2 y − F1 y = FT (tgθ 2 − tgθ1 ) = ma = μΔx 2 ∂t

Velocidad de la onda en una cuerda

tgθ 2 =

∂y ∂x

tgθ1 = x +Δx

∂y ∂x

x

F2 y − F1 y = FT (tgθ 2 − tgθ1 ) = ma = μΔx

FT lim Δx

∂y ∂x

− x +Δx

Δx

∂y ∂x

x



∂2 y ∂t 2

∂2 y ∂t 2

0

∂2 y μ ∂2 y = ∂x 2 FT ∂t 2

Ecuación de onda, con velocidad v =

FT

μ

Transferencia de energía Calculemos la tasa de transferencia de energía (potencia) para una cuerda vibrante (onda transversal).

F

G dW JJG d s JJG G P= = FT ⋅ = FT ⋅ v dt dt Velocidad de la partícula

La tensión en el estado perturbado (cuando la onda está pasando) tiene dos componentes:

G G v = vy j

JJG G G FT = Fx i + Fy j

Transferencia de energía

La F que aparece en la fórmula de la velocidad es la tensión de la cuerda sin perturbar, estirada. O sea, ‘F’ es en realidad la componente x de FT

F

v=

F

μ

F ≡ Fx

Si la perturbación es pequeña, ambas (FT y F) se pueden considerar idénticas

Fy

P = Fy v y = − FT senθ ⋅ v y = − Componentes y

F senθ ⋅ v y cos θ tan θ

Tensión

Transferencia de energía

= −F

∂y ∂y · = ∂x ∂t

Y para una onda armónica:

vy

tan θ

= −F [KA cos(Kx − ωt)][−Aω cos(Kx − ωt)]

P = μvω 2A2 cos2(Kx − ωt) v=

F

μ

v=

ω K

Potencia Potencia instantánea instantánea transmitida transmitida

Transferencia de energía

Potencia media =

1 T



T

0

P(t ) dt

2

Valor medio cos =1/2

2 2 2 Pav m = P (t) = μvω A cos (Kx − ωt)

Pavm

1 = μvω 2A2 2

Potencia media Pav

Potencia transmitida en una oleada (periodo) Potencia máxima 2

Pmax

(cos =1)

Transferencia de energía

La potencia media transmitida en un ciclo es, pues, la mitad de la potencia máxima:

Transferencia de energía

En un intervalo de tiempo dado, la energía transmitida:

Pm av

∆Em = ∆t

1 ∆Em = μvω2A2∆t 2 en funci´ on de ∆t

∆Em = v=

∆x ∆t

1 2 2 μω A ∆x 2

en funci´on de ∆x

Tanto la Pm como la Em transmitidas son proporcionales al cuadrado de la amplitud de la onda y al cuadrado de la frecuencia

Transferencia de energía

Evolución de una onda en un intervalo de tiempo Δt: Aquí, la onda no ha alcanzado todavía la zona derecha.

Aquí ha transcurrido un intervalo Δt, y la onda ha llegado hasta aquí, recorriendo un espacio

v Δt

Ondas sonoras armónicas • Las moléculas vibran en torno a sus posiciones de equilibrio en un MAS. • Chocan con las próximas, haciéndolas oscilar

S(x, t) = s0 sen(Kx − ωt) Llamamos ‘S’ a la onda de sonido, a la onda de desplazamiento de las partículas

Es una onda longitudinal

Los Los desplazamientos desplazamientos de de las las partículas partículas (MAS) (MAS) son son paralelos paralelos aa la la dirección dirección de de propagación. propagación.

Ondas sonoras armónicas

• Estos desplazamientos provocan variaciones de densidad y presión (enrarecimientos y compresiones) que también desplazamiento varían sinusoidalmente con la frecuencia, provocando a su vez ondas de presión y densidad. • Como la presión es proporcional a la densidad, p es máxima cuando ρ es máxima, y viceversa. Las ondas de presión y densidad van en fase. • En cambio, están desfasadas o 90 respecto de la onda de desplazamiento S(x,z)

presión

Ondas sonoras armónicas

O sea: S(x, t) = s0 sen(Kx − ωt)

π× p(x, t) = p0 sen Kx − ωt − 2 ≥

cambio de presión respecto del equilibrio

o. desplazamiento o. presión

valor máximo de p

Relación de amplitudes:

p0 = ρωvs0 velocidad de la onda densidad de equilibrio

Velocidad de las ondas sonoras Para ondas sonoras en un fluido (aire, agua...)

v=

s

B ρ

módulo de compresibilidad (adiabático)

∆P B=− ∆V /V

¯ ¯ ¯ ¯

adiab´atico

densidad del medio (volumétrica)

ρ=

∆m ∆V

Y esto se puede expresar…

Velocidad de las ondas

Velocidad del sonido en gases

En función de:

Así:

Coeficiente adiabático

v=

r

Constante gas ideal

γRT M

Temperatura (Kelvin) Masa molecular

Veámoslo:

Velocidad de las ondas

Velocidad del sonido en gases

Módulo de compresibilidad adiabático Ecuación de estado en un proceso adiabático Derivamos:

dP cte(−γ ) = cte(−γ )V −γ −1 = dV V γ +1 Y sustituimos

B=−

ΔP ΔV / V

=− Adiabático

B=P=

ΔP ΔV/V

cte Vγ

Adiabático

(Adiabático) coef. adiabático

Esto es B:

cte(−γ ) cte γ nRT P = = γ = γ V γ +1 / V Vγ V

Velocidad de las ondas

Velocidad del sonido en gases

Dividiendo:

B

ρ

=

γ

nRT RT n º gramos γ γ RT V = V M = n º gramos ρ M V

ρ=

n º gramos V

n=

n º gramos M

Velocidad de las ondas

Obtenemos la velocidad por fin: v=

B

ρ

=

γ RT M

Velocidad del sonido en gases

Por ejemplo: Velocidad del sonido en el aire

A 0o C (273K) r γRT = 331m/s v= M R = 8.314

A 20o C (223K) r γRT v= = 343m/s M

J mol K

Maire = 29 × 10−3

kg mol

γ = 1.4 (diat´omico)

Energía de ondas sonoras

Para ondas de cuerda

∆Em

1 = μω 2A2∆x 2 ∆m = μ∆x

Para ondas de sonido

∆Em =

1 2 2 ρω s0∆V 2

∆m = ρ∆V

Densidad de energía media (Energía p.u.v.)

ηm

∆Em 1 = = ρω 2s20 ∆V 2

Por unidad de volumen

Ondas en 3 dimensiones

En un medio isótropo todas las direcciones del espacio son idénticas

La onda que procede de una fuente puntual se propaga con simetría esférica

Ondas en 3 dimensiones

Definición de intensidad:

I=

P A

(Potencia por unidad de área)

[W/m2]

I=

Para las superficies esféricas señaladas:

4π r12 I1 = 4π r2 2 I 2

Como se supone que no hay pérdidas de potencia:

I1 r2 2 = 2 I 2 r1

P 4π r 2

Ley del cuadrado inverso para la intensidad

Intensidad para una onda sonora procedente de una fuente puntual

La energía almacenada en la corteza esférica:

densidad de energía p.u.v. volumen

ΔEm = ηm ΔV = ηm A v Δt Dividiendo por Δt

Potencia transmitida

P=

Velocidad de la onda Área

ΔEm = ηm A v Δt

Dividiendo por el área A Volumen de la corteza esférica:

P 1 1 p0 2 2 2 = ηm v = ρ ω so v  =     I = A 2 2 ρv Intensidad

Efecto Doppler • Se produce cuando receptor y emisor se mueven uno respecto al otro. • Cambio en la frecuencia observada respecto de la emitida. • Ejemplo: Cambio de tono de la sirena cuando se acerca o aleja de nosotros. • Es una combinación de dos efectos:

Nomenclatura f=frecuencia R=receptor v=velocidad F=fuente

fR=frecuencia que recibe el receptor vR=veloc. Receptor v=veloc. del Sonido (veloc. de la onda) fF=frecuencia que emite la fuente vF=velocidad de la fuente

Efecto Doppler 1.

Efecto del movimiento del receptor hacia la onda La velocidad efectiva con la que el sonido llega al receptor aumenta:

Y por tanto, la frecuencia que recibe es mayor

fR =

RaF R

R

F

v  + v  R

v  + v  R v/ f F λ v  + v  R fR = fF v =

Si el receptor en lugar de acercarse, se aleja, hay que cambiar aquí el signo

Efecto Doppler

2.- Efecto del movimiento del emisor La longitud de onda varía según estemos delante o detrás de la fuente: longitud de onda DELANTE

longitud de onda DETRÁS

λ=

v  + v  F fF

λ=

v  ‐ v  F fF

RaF F

F

R

F

F

R

Si el receptor se acerca por delante, hay que utilizar esta λ

Frecuencia que percibe el receptor fR =

v  + v  R

λ

=

v  + v  R v  + v  R = f (v  + v  F) / f F (v  + v  F) F

detrás de la fuente

Efecto Doppler Cuando se acercan:

R

E

frecuencia observada

>

frecuencia emitida

fR > fF Cuando se alejan:

E

R

Si no tienen movimiento relativo:

frecuencia observada

frecuencia

< emitida fR < fF

fR = fF

Ondas de Mach En el efecto Doppler veíamos que para una fuente en movimiento, λ delante de v − vF la fuente era:

λ=

Fuera no hay sonido

fF

Así que, Cuando vF → v ⇒ λ → 0 Si la fuente se mueve aún más rápido que la onda: vF > v se produce una onda de choque o de Mach: El móvil ejerce una gran fuerza para comprimir el aire delante de él y por acción y reacción (Newton), el aire ejerce una gran fuerza igual y opuesta sobre el móvil que se llama “barrera del sonido”

vFt

Cono tridimensional Dentro, un observador escucha la fuente alejándose con efecto Doppler

Ondas de Mach

La superficie tangente a todas las sucesivas ondas es un cono cuyo eje es la recta sobre la que se mueve la fuente, y cuya apertura es:

sen α =

v 1 = o uvfF N de Mach

v fF u N de Mach= v o

El movimiento resultante es una onda cónica que se propaga normalmente a la superficie del cono. Esta onda se llama Onda de Choque o de Mach. •Sonido repentino y violento, estampido.

•Estela de botes

•Aviones supersónicos

•Radiación de Cerenkov

Ondas de Mach

El sonido se produce por el movimiento del avión, no porque éste tenga una fuente sonora, y se mantiene mientras dura el movimiento (no sólo en el momento de atravesar la barrera).

Ondas de Mach

Superposición de Ondas

Cuando se encuentran dos ondas, el desplazamiento que se produce es la suma de los desplazamientos individuales que produce cada onda por separado. La La onda onda resultante resultante es es la la suma suma algebraica algebraica de de las las ondas ondas individuales. individuales. (Principio (Principio de de superposición) superposición)

Superposición de Ondas

• Caso de pulso iguales: Dos ondas pasan una a través de la otra, sin ser modificadas • La superposición: propiedad característica de las ondas. • La superposición ecuación de la onda.

en Constantes

Matemáticamente:

y3 = C1y1 + C2y2 Ondas componentes

y3 tambi´en es una onda, i.e. si y1 e y2 cumplen la ecuaci´on de onda ⇒ y3 tambi´en. Veámoslo:

la

Superposición de Ondas

Veamos si y3 cumple la ecuación de onda si y1 e y2 la cumplen:

1 ∂ 2y ∂ 2y = 2 2 2 ∂x v ∂t

Ésta es la ecuación de onda

¿La cumple y3? ∂2 ∂ 2y3 ∂ 2y1 ∂ 2y2 = (C1y1 + C2y2) = C1 2 + C2 2 ∂x2 ∂x2 ∂x ∂x

Superposición de Ondas

Entonces: Si y1 e y2 la cumplen: 1 ∂ 2y1 ∂ 2y1 = 2 2 ∂x2 v ∂t 1 ∂ 2y2 ∂ 2y2 = 2 2 ∂x2 v ∂t

1 ∂2y1 1 ∂2y2 ∂2y3 = C1 2 2 + C2 2 2 = v ∂t v ∂t ∂x2 ∝ ∂ 1 ∂ 2y1 ∂ 2y2 = 2 C1 2 + C2 2 = v ∂t ∂t 1 ∂2 = 2 2 (C1y1 + C2y2) v ∂t y3 también.

La La ecuación ecuación de de onda onda es es lineal lineal yy toda toda combinación combinación lineal lineal de de ondas ondas es es también también una una onda. onda.

Interferencia de dos ondas armónicas Queremos sumar dos ondas de la misma amplitud y frecuencia, y distinto desfase.

y1 = A sen(Kx − ωt)

distinto desfase

y2 = A sen(Kx − ωt + δ)

Aquí las tenemos representadas:

Interferencia de dos ondas armónicas

La onda resultante: (Teorema superposición):

y1 + y2 = A sen(Kx − ωt) + A sen(Kx − ωt + δ) Suma de funciones armónicas

Usando las identidades trigonómetricas: 1 1 sen θ1 + sen θ2 = 2 cos (θ1 − θ2) · sen (θ1 + θ2) 2 2

θ1 = Kx − ωt θ2 = Kx − ωt + δ

1 1 (θ1 − θ2) = − δ 2 2 1 1 (θ1 + θ2) = −Kx − ωt + δ 2 2

Interferencia de dos ondas armónicas La onda resultante resulta ser otra onda armónica cuya amplitud depende del desfase.



y1 + y2 = 2A cos



1 1 δ sen(Kx − ωt + δ) 2 2

amplitud

δ=0

Interferencia constructiva

δ=π

Interferencia destructiva

La fase es la mitad de la diferencia de fase entre las dos ondas.

Superposición de ondas de frecuencias ligeramente diferentes

La resultante es una onda cuya frecuencia es aproximadamente la misma que las ondas componentes La amplitud está modulada

Velocidad de la onda



Velocidad de fase

Velocidad de la portadora del "paquete de ondas"



Velocidad de grupo

Ondas electromagnéticas Luz, radio, rayos X, γ, TV. . . • Difieren s´ olo en su longitud de onda y frecuencia. • No requieren medio de propagaci´ on • Viajan a trav´es del vac´ıo. • Velocidad ‘c’' 3 × 108m/s (2.9979 × 108m/s) • Lo que vibra no es materia, sino los campos el´ectrico y magn´etico asociados.

en vacío. (En un medio cualquiera: v=c/n, “n” índice de refracc.)

Bibliografía •Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté (vol. II) •Serway & Jewett, “Física”, Ed. Thomson (vol. II) •Halliday, Resnick & Walter, “Física”, Ed. Addison- Wesley. •Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed. Pearson Education (vol. II)

Fotografías y Figuras, cortesía de Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed. Pearson Education