Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio - OCW Usal

F´ısica I. Curso 2010/11 Departamento de F´ısica Aplicada. ETSII de B´ ejar. Universidad de Salamanca Profs. Alejandro Medina Dom´ınguez y Jes´ us Ovejero S´ anchez

Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio Índice 1. Introducci´ on

3

2. Movimiento oscilatorio

3

2.1. Cinemática del movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.2. Dinámica del movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3. Energ´ıa de un oscilador armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.4. Ejemplos de movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.4.1. Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.4.2. Péndulo f´ısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.5. Movimiento armónico amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.6. Oscilaciones forzadas y resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3. Movimiento ondulatorio

14

3.1. Conceptos básicos y tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2. Pulsos unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3. Ondas armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4. Problemas

22

Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio

2


1.

3

Introducci´ on Los principales objetivos de los cap´ıtulos dedicados a la Mecánica Clásica fueron cómo

predecir el movimiento de un cuerpo si se conocen su estado inicial (velocidad y posición) y las fuerzas que act´ uan sobre él. Un caso particular es cuando la fuerza es proporcional al desplazamiento del cuerpo desde su posición de equilibrio. Si dicha fuerza siempre está dirigida hacia la posición de equilibrio se produce un movimiento de ida y vuelta, es decir, un movimiento periódico u oscilatorio. En F´ısica, y en la Naturaleza en general, hay gran variedad de ejemplos de este tipo de movimiento y de ah´ı la importancia de su estudio: los latidos del corazón el movimiento del péndulo de un reloj la vibración de las moléculas de un sólido alrededor de sus posiciones de equilibrio la corriente eléctrica que circula por el filamento de una bombilla las vibraciones de las cuerdas de un viol´ın. El movimiento oscilatorio está intr´ınsecamente relacionado con los fenómenos ondulatorios. Cuando vibra la cuerda de un viol´ın se producen oscilaciones de las moléculas del aire que lo rodea y, por el contacto o interacción entre unas y otras, las oscilaciones se propagan en el espacio en forma de onda. El ejemplo más sencillo de movimiento oscilatorio es el denominado movimiento armónico simple (MAS) que se produce cuando un cuerpo oscila indefinidamente entre dos posiciones espaciales fijas sin perder energ´ıa mecánica. Además de ser el tipo de movimiento oscilatorio más fácil de describir matemáticamente, constituye una buena aproximación a muchas oscilaciones que se encuentran en la Naturaleza.

2.

Movimiento oscilatorio

2.1.

Cinem´ atica del movimiento arm´ onico simple

Se dice que una part´ıcula que se mueve a lo largo del eje x realiza un movimiento arm´ onico simple cuando su desplazamiento respecto a su posición de equilibrio var´ıa con el tiempo de

4


acuerdo con la relación 1 : x(t) = A cos(ωt + δ), donde A, ω y δ son constantes del movimiento 2 . La representación gráfica de x = x(t) tiene esta forma:

x A ωt= π/2

ωt=2 π

ωt= π

ωt=3 π/2

t

T

Conceptos básicos en la descripción de este tipo de movimiento son los siguientes: A: Amplitud −→ máximo desplazamiento de la part´ıcula (negativo o positivo) respecto de su posición de equilibrio. δ: Desfase inicial −→ junto a la amplitud indica cuales son las condiciones iniciales del movimiento. Se determina, como veremos más adelante, a partir de la posición y velocidad iniciales. ωt + δ: Fase. T : Periodo. Es el tiempo que necesita la part´ıcula para realizar un ciclo completo de su movimiento. Es decir, x(t) = x(t + T ). En el tiempo T la fase aumenta 2π. ω(t + T ) + δ = ωt + δ + 2π

−→

ωT = 2π

−→

ω=

2π T

o´ T =

2π . ω

ω: Frecuencia angular (se mide en el S.I. en rad/s). f = 1/T : Frecuencia −→ n´ umero de oscilaciones por unidad de tiempo que realiza la part´ıcula: 2πf = ω. En el S.I. se mide en 1/s o´ herzios (Hz). 1

Conviene recordar que las funciones sen x y cos x son periódicas: sen(x + 2nπ) = sen x; cos(x + 2nπ) = cos x. Por lo que, como veremos m´ as adelante est´ a función para x(t) representa un movimiento periódico en el tiempo. 2 Sabiendo que cos x = sen(x + π/2), se puede definir un MAS alternativamente seg´ un x(t) = A sen(ωt + δ + π/2) ≡ A sen(ωt + δ 0 ).

5


δ=0 x(t)

t

-A

v(t) t -ωA

a(t) t -ω 2A

La velocidad y la aceleración de una part´ıcula que realiza un MAS se obtienen sin más que derivar su posición en función del tiempo:

dx = −ωA sen(ωt + δ) dt dv a(t) = = −ω 2 A cos(ωt + δ) = −ω 2 x(t). dt v(t) =

(1) (2)

v(t) y a(t) son también funciones oscilantes y tienen la misma frecuencia que x(t), pero diferente amplitud y desfase:   x −→ xmax = A Amplitudes : v −→ vmax = ωA   a −→ amax = ω 2 A ( x − v −→ π/2 Desfases : x − a −→ π

6


La amplitud, A, y el desfase, δ, del movimiento se obtienen a partir de las condiciones iniciales del siguiente modo: x(t) = A cos(ωt + δ)

−→

v(t) = −Aω sen(ωt + δ)

x(t = 0) ≡ x0 = A cos δ

−→

v(t = 0) ≡ v0 = −Aω sen δ.

Dividiendo ambas ecuaciones: v0 = −ω tan δ x0

−→

Por otra parte:

v0 tan δ = − ωx0 x  0 A − v0 Aω

=⇒

v0 δ = arctan − ωx0

.

(3)

1/2 v02 2 A = x0 + 2 . ω

(4)

= cos δ = sen δ

Elevando al cuadrado y sumando: v02 x20 + =1 A2 A2 ω 2

−→

2

A =

x20

v2 + 02 ω

=⇒

Para concluir este apartado resumiremos las propiedades más importantes de la cinemática del MAS: 1. x(t), v(t) y a(t) son funciones oscilantes (senoidales) pero de diferentes amplitudes y desfasadas entre s´ı. 2. La aceleración es proporcional al desplazamiento, pero en sentido opuesto. 3. La frecuencia y el periodo del movimiento son independientes de la amplitud.

2.2.

Din´ amica del movimiento arm´ onico simple

Ahora que ya sabemos cómo describir el movimiento armónico simple, investigaremos sus posibles causas, es decir, las fuerzas que lo provocan. El sistema f´ısico más sencillo que da lugar a un movimiento de este tipo es un muelle que horizontalmente sujeta una masa (y se desprecian los rozamientos). Cuando la masa se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio el muelle ejerce una fuerza sobre ella proporcional a la elongación pero con signo opuesto a ella y que viene dada por la ley de Hooke, f = −kx,


7

donde k es una constante que depende de las caracter´ısticas del muelle. Despejando la aceleración (f = ma): k x. m Luego al igual que en el MAS, la aceleración es proporcional en módulo al desplazamiento y a=−

de sentido opuesto. Comprobemos que, efectivamente, la masa realiza un MAS estudiando la ecuación de movimiento,

d2 x k = − x. 2 dt m Es fácil comprobar que la solución de esta ecuación puede escribirse: 1/2 k x(t) = A cos(ωt + δ) donde ω= . m En efecto:

 dx     dt

= −Aω sen(ωt + δ)

 2    d x = −Aω 2 cos(ωt + δ) dt2 k k −Aω 2 cos(ωt + δ) = − A cos(ωt + δ) =⇒ debe ser ω 2 = . m m Con esto podemos concluir que siempre que sobre una part´ıcula act´ ue una fuerza proporcional a su desplazamiento y en sentido opuesto a éste, realiza un MAS. El periodo y la frecuencia del desplazamiento son:    T   f

m 1/2 2π = 2π ω k 1/2 1 1 k = = T 2π m =

T y f sólo dependen de la masa y de la construcción del resorte. La frecuencia es mayor para un resorte duro y al contrario.

2.3.

Energ´ıa de un oscilador arm´ onico simple

En temas anteriores ya estudiamos que un sistema masa-resorte es conservativo y que su energ´ıa potencial viene dada por: 1 U (x) = kx2 . 2 La energ´ıa total del sistema será: 1 1 E = Ec + U = mv 2 + kx2 . 2 2

8


Por el principio de conservación de la energ´ıa, E debe ser una constante del movimiento (si despreciamos las fuerzas de tipo no conservativo), por lo que para calcularla podemos elegir el punto más cómodo. Elijamos, por ejemplo, el punto donde la elongación es máxima y la velocidad nula, es decir, en los extremos de la trayectoria: x = A cos(ωt + δ)

−→

v = −Aω sen(ωt + δ)

x=A

−→

v = 0.

E=cte. U(t) Ec (t)

t

En ese punto: 1 E = kA2 . 2 Esta es la energ´ıa de un MAS. Como vemos sólo depende de la amplitud del movimiento y de la constante del muelle. Como la energ´ıa mecánica es constante es instructivo representar cómo se compensan Ec y U en un diagrama de energ´ıas frente al tiempo (en la figura se ha elegido δ = 0). 1 1 U = kx2 = kA2 cos2 (ωt + δ) 2 2 1 1 Ec = mω 2 A2 sen2 (ωt + δ) = kA2 sen2 (ωt + δ). 2 2 La energ´ıa cinética también se puede expresar en términos de la posición: 1 1 Ec = E − kx2 = k(A2 − x2 ), 2 2 que es la ecuación de una parábola invertida y centrada en x = 0. 1/2 1 2 1 k 2 2 2 2 Ec = mv = k(A − x ) −→ v= (A − x ) . 2 2 m De esta ecuación se deduce inmediatamente que la velocidad es máxima en x = 0 y que se anula en los puntos de máxima elongación: x = ±A.

9


E Ec (x)

U(x)

x

-A

2.4. 2.4.1.

A

Ejemplos de movimiento arm´ onico simple P´ endulo simple

El péndulo simple consta de una masa puntual, m, suspendida de un hilo de longitud, `, inextensible y de masa despreciable frente a m. El otro extremo del hilo se encuentra sujeto a una posición fija. Demostraremos que el péndulo realiza un MAS cuando se desplaza ligeramente de su posición vertical de equilibrio y se deja evolucionar libremente, considerando que no hay rozamientos.

θ l T m s

θ P

La fuerza en la dirección tangente al movimiento viene dada por: ft = −mg sen θ = m

d2 s dt2

−→

d2 s d2 θ = ` = −g sen θ dt2 dt2

10


=⇒

d2 θ g = − sen θ. 2 dt `

Si θ es suficientemente peque˜ no se puede hacer la aproximación, sen θ ' θ. Esto se debe a que haciendo un desarrollo en serie de la función sen x, y cortándolo en el primer término, la diferencia entre x y sen x sólo es de un 1 % cuando θ ∼ 15o . Luego si el péndulo no oscila con demasiada amplitud, su ecuación de movimiento angular es la de un MAS: θ = θmax cos(ωt + δ). La frecuencia del movimiento y el periodo son: ω=

g 1/2 `

;

2π = 2π T = ω

1/2 ` . g

Ambos parámetros sólo dependen de l y g, no de la masa. Entonces todos los péndulos de igual longitud oscilarán del mismo modo. El péndulo simple suele utilizarse en la práctica para gran cantidad de aplicaciones que se podr´ıan dividir en dos bloques: medir tiempos −→ su periodo es constante (salvo rozamientos y variaciones de ` por las condiciones termodinámicas o´ de g por la latitud o altitud) y es fácil visualizar el n´ umero de oscilaciones. medir g −→ las medidas de g con este método son bastante precisas, lo que es importante porque cambios locales de g pueden dar información valiosa sobre la localización de recursos minerales o energéticos. 2.4.2.

P´ endulo f´ısico

Cualquier sólido r´ıgido colgado de alg´ un punto que no sea su centro de masas oscilará cuando se desplace de su posición de equilibrio. Este dispositivo recibe el nombre de péndulo f´ısico o compuesto. El momento del peso respecto al eje de giro será τ = mgh sen φ y la segunda ley de Newton para la rotación se expresará, τ = Iα = I

d2 φ dt2 .

El momento ejercido por la gravedad tiende a disminuir el ángulo φ por lo que: −mgh sen φ = I

d2 φ dt2

−→

d2 φ mgh =− sen φ. 2 dt I

11


Para un péndulo simple, I = ml2 y h = l, con lo que se recuperan las ecuaciones del apartado anterior. Cuando los desplazamientos angulares son peque˜ nos sen φ ' φ y d2 φ mgh φ = −ω 2 φ = − 2 dt I

donde ω =

mgh I

1/2

y

T = 2π

I mgh

1/2 .

Este dispositivo puede utilizarse para determinar momentos de inercia de sólidos r´ıgidos. eje de giro

z

h

m, I

φ h sen φ

c.m.

P

2.5.

Movimiento arm´ onico amortiguado

Los movimientos oscilatorios que hemos considerado hasta ahora se refieren a sistemas ideales, es decir, oscilan indefinidamente bajo la acción de una fuerza lineal opuesta al desplazamiento. Sin embargo, en los sistemas reales siempre están presentes fuerzas disipativas que hacen que la energ´ıa mecánica se vaya perdiendo progresivamente. En este caso se dice que el movimiento armónico está amortiguado. Un tipo habitual de fuerzas de fricción son las proporcionales a la velocidad fr = −bv. La ecuación de movimiento de un sistema sometido a una fuerza lineal y otra de rozamiento ser´ıa: d2 x m 2 = −kx − bv. dt Un ejemplo f´ısico de esta situación ser´ıa un muelle sumergido en un fluido. Resolviendo la ecuación diferencial anterior se puede obtener que su solución es de la forma, b

x(t) = Ae− 2m t cos(ωt + δ),

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donde la frecuencia viene dada por: "

k ω= − m

b 2m

2 #1/2 .

Evidentemente en el l´ımite b = 0 se recupera la solución de un MAS. Exceptuando la exponencial que aparece en la amplitud, el movimiento que resulta es de tipo oscilatorio con una frecuencia menor que si no hubiese rozamiento. Pero, además, el factor exponencial hace que la amplitud del movimiento decrezca de forma progresiva. Si el amortiguamiento es peque˜ no la ecuación anterior da como solución una función de la siguiente forma:

x A

Ae -(b/2m) t x(t) t

Se dice que el movimiento es subamortiguado. Matemáticamente se produce cuando (b/2m)2 < k/m. Cuando el amortiguamiento es muy grande [(b/2m)2 > k/m], ni siquiera se producen oscilaciones. Se habla entonces de movimiento sobreamortiguado y la solución matemática es: b

x(t) = e− 2m t Aeωt + Be−ωt

x

sobreamortiguado crítico

t

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Existe además el caso especial en que (b/2m)2 = k/m. En esta situación, además de no haber oscilaciones la ca´ıda de la amplitud es más rápida que en el caso sobreamortiguado. Se dice que el amortiguamiento es cr´ıtico. Matemáticamente la solución es de la forma: r k −ωt x(t) = e (A + Bt) con ω= . m

2.6.

Oscilaciones forzadas y resonancias

Es posible compensar la perdida de energ´ıa de un oscilador amortiguado aplicando una fuerza externa. Esto es, por ejemplo, lo que hace un ni˜ no en un columpio para mantenerse en movimiento. Realiza impulsos sincronizados de cierto modo para que se compensen las fricciones. Otro ejemplo es que para mantener oscilando un muelle vertical se puede ejercer una fuerza oscilatoria sobre su soporte para mantener el movimiento. En el caso más com´ un las fuerzas aplicadas son periódicas, por ejemplo de la forma, f = f0 cos ω0 t. La ecuación de movimiento ahora será: m

d2 x dx = f0 cos ω0 t − b − kx. 2 dt dt

La solución de esta ecuación consta de dos partes, la solución transitoria y la solución estacionaria. La transitoria es análoga a la de un oscilador amortiguado, con constantes que dependen de las condiciones iniciales. Quiere esto decir que desde que se comienza a aplicar la fuerza externa hasta que desaparece el amortiguamiento y la amplitud se mantiene constante pasa un cierto tiempo. Cuando el movimiento se ha estabilizado la solución de la ecuación es estacionaria, ya no depende de las condiciones iniciales y se puede escribir as´ı, x(t) = A cos(ω0 t − δ), donde ω = (k/m)1/2 , ω0 es la frecuencia de la fuerza impulsora y:  f0   A =  1/2   [m2 (ω02 − ω 2 )2 + b2 ω 2 ]     tan δ

=

bω − ω2)

m(ω02

Ahora la amplitud depende de dos frecuencias. Si consideramos que la del oscilador, ω es fija y variamos la externa, se obtiene una figura as´ı para la amplitud A:

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A

A máx =f0 /bω 0

ω = ω0

ω0

El drástico incremento de la amplitud que se produce cuando ω = ω0 se denomina resonancia. F´ısicamente, la resonancia se produce cuando la fuerza aplicada y la velocidad del oscilador están en fase. Entonces como P = f~.~v , la potencia transferida es máxima. Ejemplos de situaciones con resonancia son los siguientes: Cuando nos balanceamos en un columpio buscamos la frecuencia natural del sistema para repetir los impulsos con esa frecuencia. Cuando un pelotón de soldados marcha por un puente ha de tener cuidado de que la frecuencia del paso no sea la de resonancia del puente. Un vaso se puede romper si se emite cerca de él un sonido de frecuencia parecida a su frecuencia de resonancia. Un puente se puede derribar si el viento le proporciona una frecuencia de vibración similar a la de su resonancia. Sintonizar un aparato de radio o TV no es más que buscar la frecuencia con que emite la fuente para que coincida en resonancia con la del circuito eléctrico del receptor.

3.

Movimiento ondulatorio

3.1.

Conceptos b´ asicos y tipos de ondas

El movimiento ondulatorio puede considerarse como un transporte de energ´ıa y cantidad de movimiento de una región a otra del espacio sin que tenga lugar ning´ un transporte neto de


15

materia. En cuanto al tipo de medio material en que se pueden propagar, podemos dividir las ondas en dos grandes grupos: } Ondas mecánicas: En este caso las ondas se originan mediante una perturbación en el espacio que se propaga a través de un medio material debido a sus propiedades elásticas. Ejemplos de este tipo de ondas son las ondas sonoras (vibraciones de las moléculas de aire que se transmiten de unas a otras), ondas en la superficie de un estanque, ondas en una cuerda, ondas s´ısmicas, etc. } Ondas electromagnéticas: Estas ondas no necesitan de ning´ un medio material para propagarse. Pueden hacerlo en el vac´ıo. La energ´ıa y el momento son transportados por campos eléctricos y magnéticos que se propagan conjuntamente en el espacio. Ejemplos de estas ondas son las ondas luminosas, las ondas de radio o televisión, las ondas de telefon´ıa móvil, los rayos X, etc. Las ondas que se propagan en el espacio se denominan ondas viajeras. Sin embargo, hay otro tipo de ondas (que estudiaremos más adelante con detalle) que se denominan estacionarias y que están confinadas en una determinada región del espacio. Por ejemplo, al pulsar la cuerda de una guitarra se produce una onda, pero limitada a la región entre los extremos de la cuerda. Para una onda estacionaria, la energ´ıa que lleva asociada permanece acotada en una cierta región del espacio. Cuando una onda se propaga a través de un medio, las part´ıculas de éste no acompa˜ nan su movimiento de avance, sino que oscilan alrededor de posiciones fijas. Al considerar el movimiento de una onda hemos de distinguir dos aspectos: el movimiento de la onda a través del medio el movimiento oscilatorio de las propias part´ıculas del medio.

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propagación y

x oscilación y

x

y

x

Una forma de clasificar ondas alude precisamente a la relación entre la dirección de propagación y la dirección en que vibran las part´ıculas del medio. • Ondas transversales son aquellas en que las part´ıculas oscilan perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. Reproducen el esquema de la figura adjunta. Ejemplos de este tipo de ondas son las que se generan en una cuerda cuando se mueve arriba y abajo uno de sus extremos.3 • Ondas longitudinales son aquellas en que las part´ıculas oscilan en la misma dirección en que se propaga la onda. 3

Las ondas electromagnéticas también son ondas transversales, aunque en ese caso no tiene lugar ninguna vibraci´ on de las part´ıculas del medio, sino que son los propios campos eléctrico y magnético los que vibran perpendicularmente entre s´ı y a la direcci´ on de propagación.

17


propagación

oscilación

Estas ondas se producen, por ejemplo, cuando se pinza uno de los extremos de un muelle situado horizontalmente. La compresión entre las espiras del muelle, se transmite a través de él debido a sus propiedades elásticas y pinzamiento y dirección de propagación coinciden. Las ondas sonoras también son ondas longitudinales. Se pueden entender como perturbaciones de la posición de las part´ıculas del medio (aire) que se propagan por las interacciones entre unas y otras. En este tema nos ocuparemos u ńicamente de ondas mecánicas. Estas ondas requieren tres elementos básicos: a) Alguna fuente que produzca la perturbación. b) Un medio que se pueda perturbar. c) Un mecanismo f´ısico por el cual puntos adyacentes del medio interaccionen para propagar la perturbación. Conceptos básicos en cualquier tipo de ondas: ∗ Longitud de onda: distancia entre dos puntos que en el mismo instante están a la misma distancia de su posición de equilibrio (dicho de otro modo, distancia entre dos puntos que vibran del mismo modo). ∗ Frecuencia: n´ umero de vibraciones por unidad de tiempo de la perturbación. ∗ Velocidad de propagación: velocidad con que se transmite la perturbación. ∗ Amplitud: máxima separación de un punto respecto a su posición de equilibrio.

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3.2.

Pulsos unidimensionales

Un pulso es una onda de extensión relativamente corta, interesante desde el punto de vista teórico porque permite visualizar el comportamiento genérico de cualquier onda. Matemáticamente, un pulso se puede representar como una cierta función, y = f (x), que se mueve con una cierta velocidad. Por ejemplo, un pulso es el resultado de mover el extremo de una cuerda horizontal (estando el otro extremo sujeto a un punto fijo) con fuerza arriba o abajo durante un breve intervalo de tiempo.

propagación

Si la forma de un pulso no cambia con el tiempo, respecto a un sistema de referencia inercial, la curva f (x) se moverá con la velocidad de propagación del pulso, v. Es decir, matemáticamente un pulso que se desplaza hacia la derecha será una función: y = f (x − vt), y si se mueve hacia la izquierda: y = f (x + vt). La forma funcional f (x ± vt) se denomina función de ondas. De otro modo: y = y(x, t) = f (x ± vt). La velocidad con que se propaga la onda no debe confundirse con la velocidad con que vibran las part´ıculas del medio. En concreto, la velocidad del pulso se suele denominar velocidad de fase y se obtiene como: v=

dx . dt

19


t=0

t

y

y

y'

vt

y=f(x)

y=f(x')=f(x-vt)

O O

3.3.

O'

x

x

x'

x'

Ondas arm´ onicas

Si el extremo de una cuerda se desplaza arriba y abajo siguiendo un MAS, se produce un tren de ondas sinusoidal que se propaga por la cuerda. La forma de la cuerda en cualquier instante de tiempo es una función senoidal y además se propaga con una cierta velocidad. Este tipo de onda, que tiene como origen una perturbación de tipo armónico simple, se denomina onda armónica. En t = 0 la forma de la onda siempre se puede representar como: 2π y = A sen x . λ ~ Amplitud: Máximo desplazamiento respecto a la posición de equilibrio ~ Longitud de onda: Distancia entre dos crestas o valles consecutivos o entre dos puntos adyacentes con la misma fase. y(x) = y(x + nλ),

n = 1, 2, 3, . . .

porque:

2π 2πx y(x + nλ) = A sen (x + nλ) = A sen + 2nπ = y(x). λ λ Si la onda se desplaza hacia la derecha con velocidad v, en un tiempo t, posterior, la función de onda será:

2π y(x, t) = A sen (x − vt) . λ Si la onda viaja hacia la izquierda, ser´ıa: 2π y(x, t) = A sen (x + vt) . λ

20


~ Periodo: El tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a λ se denomina periodo: v=

λ . T t=0

λ y A x

t t=0 y

t

x vt

Luego una manera alternativa de expresar la función de ondas es: x t y(x, t) = A sen 2π − λ T Esta función muestra el carácter periódico de la onda: y tiene el mismo valor en las posiciones x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ . . . . Y para cualquier posición dada, x, y toma el mismo valor en los instantes: t, t + 2T , t + 3T , . . . Es decir, la periodicidad espacial la determina λ y la temporal T . Matemáticamente: y(x, t) = y(x + nλ, t)

−→

λ periodicidad espacial

y(x, t) = y(x, t + nT )

−→

T

periodicidad temporal


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Otras definiciones usuales son las siguientes: 2π λ 2π ω≡ T 1 f≡ T k≡

−→

n´ umero de onda (1/m)

−→

frecuencia angular (rad/s)

−→

frecuencia (1/s=Hz) (herzio)

En términos de algunos de estos parámetros: y(x, t) = A sen(kx − ωt), y la velocidad se puede expresar: ω k v = λf.

v=

Las funciones de onda expuestas hasta ahora presuponen que en el instante inicial, t = 0, x = 0 y el desplazamiento desde el equilibrio es nulo, y = 0. En general, esto no tiene porqué suceder. Para ello matemáticamente se puede introducir un desfase inicial, δ, de manera que la forma más general de la función de ondas es: y(x, t) = A sen(kx − ωt − δ). El desfase inicial se determina a partir de las condiciones iniciales. La velocidad con la que vibra un punto cualquiera del medio material en que se transmite la onda y su aceleración, se determinan derivando y(x, t) respecto al tiempo: ∂y vy = = ωA cos(kx − ωt) ∂t x=cte ∂ 2y = −ω 2 A sen(kx − ωt). ay = 2 ∂t x=cte Los valores máximos son: vy,max = ωA ay,max = ω 2 A.

22


4.

Problemas

1. Un coche de 1200 kg se construye a partir de un chasis unido por cuatro amortiguadores a las ruedas. Si cada amortiguador tiene una constante de fuerza de 20000 N/m, encuéntrese el periodo y la frecuencia de vibración cuando el automóvil pasa por un bache llevando en su interior dos personas con una masa conjunta de 160 kg. (Respuestas: T = 0,85 s;

f = 1,18 Hz )

2. Una part´ıcula de 10 g describe un M.A.S. en el eje x. La amplitud es 5 cm y cada segundo efect´ ua media vibración. Calc´ ulense: a) La ecuación que rige el movimiento. b) La fuerza que lo produce. c) Los valores de la elongación para los que será máxima la velocidad. d) Los valores de la elongación para los que será nula la aceleración. (Respuestas: a) x(t) = 5 cos πt;

b) f = −mπ 2 x;

c) x(vmax ) = 0; d) x(a = 0) = 0)

3. Un resorte espiral tiene una longitud de 15 cm. Cuando de él se cuelga una masa de 50 g queda en reposo con una longitud de 17 cm. Calcula: a) La constante de recuperación del resorte. b) La frecuencia de las oscilaciones verticales que se producen cuando se cuelga una masa de 90 g. c) El trabajo realizado por el resorte para elevar la masa de 90 g entre los extremos de la trayectoria, si la distancia entre ellos es de 6 cm. (Respuestas: a) k = 24,5 N/m;

b) f = 2,63 Hz;

c) W = 0,053 J)

4. El péndulo de un reloj de pared está constituido por una varilla homogénea de 1 m de longitud y masa m1 en cuyo extremo se encuentra un peque˜ no cilindro macizo y homogéneo de masa tres veces mayor que la varilla. Calc´ ulese el radio que debe tener este cilindro para que el reloj funcione con un periodo de 2 s. (Respuestas: r = 5,11 cm)

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5. Un anillo de 10 cm de radio está suspendido de una varilla de modo que puede oscilar libremente. Determina su periodo de oscilación. (Respuestas: T = 0,90 s) 6. Desde una altura de 2 m se deja caer un cuerpo de 10 kg de masa sobre un plato de una báscula de masa 10 kg . El muelle de la báscula tiene una constante elástica de 8 kg/cm. Suponiendo que después del choque el plato y el cuerpo permanecen unidos, calc´ ulense: a) el desplazamiento máximo del plato de la báscula y b) la ecuación del movimiento del conjunto cuerpo-plato. (Respuestas: y2 = 0, 171 m; x = 0, 16 cos(19, 8t) (S.I.)) 7. Por la garganta de una polea, cuya masa M puede considerarse concentrada en su periferia, pasa un hilo inextensible y sin masa. De uno de los extremos del hilo cuelga una masa m y el otro extremo del hilo está atado a un resorte vertical cuyo extremo está fijo en el suelo. Calcula el periodo para peque˜ nas oscilaciones de m. Datos: M = 900 g; m = 150 g ; k = 1600 N/m. (Respuestas: T = 0,16 s) 8. La función de ondas de una onda armónica que se propaga a través de una cuerda es, y(x, t) = 0,03 sen(2,2x − 3,5t) en el S.I.. Determina su amplitud, longitud de onda, frecuencia angular, frecuencia, periodo, n´ umero de ondas y velocidad de propagación. (Respuestas: A = 0,03 m; λ = 2,9 m; ω = 3,5 rad/s; f = 0,55 Hz; T = 1,8 s; k = 2,2 m−1 ; v = 1,6 m/s) 9. Determina la ecuación de una onda armónica que se propaga en el sentido negativo del eje x con una velocidad de 900 m/s, siendo su frecuencia 400 Hz y 0,02 m su amplitud. Se sabe además que en t = 0, el punto x = 0 se encuentra a 0,02 m de su posición de equilibrio. (Respuestas: y(x, t) = 0,02 cos(2,8 x + 2,5 × 103 t) (S.I.)) 10. A tiempo t = 0, la forma de un pulso generado sobre una cuerda viene dada por: y(x) =

a , b + x2


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donde a = 0,12 m3 y b = 4,0 m2 . a) Representa gráficamente el pulso en ese instante. b) ¿Cuál es su función de ondas, y(x, t), si se desplaza en el sentido positivo del eje x con velocidad de 10 m/s? c) ¿Y si el pulso se mueve con la misma velocidad, pero en el sentido negativo del eje x? 0,12 0,12 (Respuestas: b) y(x, t) = (S.I.); c) y(x, t) = (S.I.)) 4 + (x − 10 t)2 4 + (x + 10 t)2