Teori himpunan

Teori himpunan Teori Himpunan adalah teori mengenai kumpulan objek-objek abstrak. Teori himpunan biasanya dipelajari sebagai salah satu bentuk: • •

Teori himpunan naif, dan Teori himpunan aksiomatik, yang mendasarkan teori himpunan pada istilah-istilah dan relasi yang tak terdefinisikan, serta aksioma-aksioma yang nantinya akan membangun keseluruhan teori himpunan

Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangannya yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf besar / KAPITAL seperti A, B, C dsb. Sedangkan untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a, b, c, dsb. Ada 4 cara untuk menyatakan suatu himpunan 1.Enumerasi: dengan mendaftarkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan didalam sepasang tanda kurung kurawal, dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh : A = {a, i, u, e, o}

2. Simbol baku: dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh: P Z R C

adalah adalah adalah adalah

himpunan himpunan himpunan himpunan

bilangan bilangan bilangan bilangan

bulat positif bulat riil komplek

3.Notasi pembentuk himpunan: dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggota. Contoh : A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat}

4.Diagram Venn: menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta (U) yg digambarkan dng segi empat.

Hubungan Antar Himpunan 1. Himpunan bagian notasi : ⊂ atau ⊃ Himpunan A adalah himupnan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A adalah anggota B. Ditulis : A ⊂ Bf atau B ⊃ A contoh: A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d} maka A ⊂ B ; A ⊂ C ; B ⊂ C ketentuan : ● ● ● ●

himpunan himpunan himpunan himpunan

kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang ( φ ⊂ A )himpunan A adalah himpunan bagian dari A sendiri ( Α ⊂ A)jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya bagian dari A adalah HB = 2n

HB = 2n contoh: jika A = {a,b,c} maka himpunan bagian dari A adalah : {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan φ seluruhnya ada 2³ = 8 POWER SET 2s himpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari S contoh: S = {a,b,c} 2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, φ }

2.Himpunan sama ttttttttttt notasi : = Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B, dan setiap elemen B adalah elemen A. Ditulis A = B contoh: K = {x | x²-3x+2=0} L = {2,1} maka K = L

3.Himpunan lepas tttttttttt notasi : // Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B. Ditulis A // B contoh: A = {a,b,c} B = {k,l,m} Maka A // B

Operasi Pada Himpunan Gabungan (union) notasi : ∪

Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang menjadi anggota A atau menjadi anggota B. A È B = { x | x Î A atau x Î B } contoh: A = {1,2,3} B = {0,2,4} Maka A È B = {0,1,2,3,4} Irisan (intersection) notasi : ∩ Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. A Ç B = { x | x Î A dan x Î B } contoh: A={1,2,3,4} B={3,4,5} maka A Ç B = {3,4} Selisih notasi : − Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota A yang bukan anggota B. A - B = { x | x Î A dan x Ï B } contoh: A = {1,2,3,4,5} B = {2,4,6,7,10} Maka A - B = {1,3,5}

Komplemen notasi: A', Ac, A Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan S yang bukan anggota A. A' = { x | x Î S dan x Ï A } contoh: S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,2,3,4,5} Maka A' = {6,7,8,9,10}

Sifat-Sifat Himpunan 1. Komutatif

A∩B=B∩A A∪B=B∪A

2. Asosiatif

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

3. Distributif

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

4. De Morgan

_ (A ∪ B)= A ∩ B (A ∩ B)= A ∪ B

Jika n menyatakan banyaknya anggota himpunan, maka berlaku hubungan : 2 HIMPUNAN n(s) = n (A ∪ B) + n (A ∪ B) di mana n (A ∪ B) = n (A) + n (B) - n (A ∩ B)

3 HIMPUNAN n(S) = n (A ∪ B ∪ C) + (A ∪ B ∪ C) di mana n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) - n (A ∩ C) - n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)

Skema Bilangan Himpunan bilangan asli Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif. N = {1,2,3,4,5,6,......} 1.Himpunan bilangan prima Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1. P = {2,3,5,7,11,13,....} 2.Himpunan bilangan cacah Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol. C = {0,1,2,3,4,5,6,....} 3.Himpunan bilangan bulat Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif. B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 4.Himpunan bilangan rasional Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai: p/q dimana p,q ∈ bulat dan q

≠ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain 5.Himpunan bilangan irasional Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang. contoh: log 2, e, √7 6.Himpunan bilangan riil Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional. contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3

7.Himpunan bilangan imajiner Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1 contoh: i, 4i, 5i 8.Himpunan bilangan kompleks Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b ∈ R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner. contoh: 2-3i, 8+2