Teori Himpunan

Teori Himpunan “Learning is not child's play, we cannot learn without pain.” -‐Aristotle

Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan Agi Putra Kharisma, ST., MT.

1

Kilas Balik Negasi (1) Semua mobil di kota Malang memiliki plat nomor N. NEGASINYA:

Ada mobil di bukan kota Malang memiliki plat nomor bukan N. Ada mobil di kota Malang memiliki plat nomor bukan N.

✓

~(∀x ∈ C, P(x)) ≡ ∃x ∈ C dimana ~P(x) Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan Agi Putra Kharisma, ST., MT.

2

Kilas Balik Negasi (2) Wati adalah anggota kelas C. negasinya:

Wati bukan anggota kelas C. ~ (x ∈ C) ≡ x ∉ C


3

Teori himpunan •  Elemen dan himpunan sebenarnya Edak memiliki definisi khusus •  “Imajinasikan, misalkan M adalah koleksi yang berisi sekumpulan objek tertentu yang saling terpisah, maka objek -‐ objek tersebut adalah elemen M.” – Georg Cantor (pencetus teori himpunan) •  Hint: Himpunan adalah sekumpulan elemen unik, terpisah, dan tanpa urutan tertentu. Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan Agi Putra Kharisma, ST., MT.

4

Notasi ∅ = {} adalah himpunan kosong ∅ ≠ {∅} himpunan kosong berbeda dengan himpunan yang berisi himpunan kosong x ∈ D arEnya “x adalah elemen himpunan D” x ∉ D arEnya “x bukan elemen himpunan D” Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan Agi Putra Kharisma, ST., MT.

5

Notasi C ⊆ D arEnya “C adalah himpunan bagian (subset) dari D”, syaratnya: ∀x ((x ∈ C) → (x ∈ D))


6

Notasi C = D arEnya “himpunan C sama dengan himpunan D”, syaratnya: C ⊆ D ∧ D ⊆ C ∀x (((x ∈ C) → (x ∈ D)) ∧ ((x ∈ D) → (x ∈ C))) Ingat… p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ∀x ((x ∈ C) ↔ (x ∈ D)) Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan Agi Putra Kharisma, ST., MT.

7

Notasi C ⊂ D arEnya “C adalah tepat himpunan bagian (proper subset) dari D”, syaratnya: (C ⊆ D) ∧ (C ≠ D) ∀x ((x ∈ C) → (x ∈ D)) ∧ ~∀x ((x ∈ C) ↔ (x ∈ D)) ∀x ((x ∈ C) → (x ∈ D)) ∧ ∃x ((x ∈ D) ∧ (x ∉ C)) Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan Agi Putra Kharisma, ST., MT.

8

Notasi A // B arEnya himpunan A dan himpunan B Edak memiliki elemen yang sama (atau dengan kata lain A dan B saling lepas), syaratnya: ∀x((x ∈ A) → (x ∉ B)) ∀x((x ∈ B) → (x ∉ A)) A ∩ B = ∅ Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan Agi Putra Kharisma, ST., MT.

9

LaEhan ∅ ⊆ {1,2,3} ? ∅ ∈ {1,2,3} ? ∅ ⊆ {∅,1,2,3} ? ∅ ∈ {∅,1,2,3} ?

x ∈ {x} ? {x} ∈ {x} ? {x} ∈ {x, {x}} ? {x} ⊆ {x, {x}} ? {x} ⊂ {x, {x}} ? {x} ⊂ {x}


10

Cara Pendefinisian Himpunan Enumerasi/Eksplisit Contoh: {“CS”,”IS”,”CE”}

Implisit

Contoh: {1,2,3,4,…}

Simbol baku

Contoh: Z = himpunan bilangan bulat

Contoh diagram Venn U

A

3

Notasi pembentuk himpunan Contoh: D = {x | x ∈ Z, 0 < x < 10}

Diagram Venn

2

1


11

Kardinalitas Jika himpunan S memiliki elemen berhingga, maka kardinalitas himpunan S dinyatakan dengan |S| Contoh: S = {1,2,3,4}, maka |S| = 4 S = {x | x ∈ Z, 0 < x < 10}, maka |S| = 9 S = {9,9,9,9,9,9,9,9,9,9}, maka |S| = 1 S= {}, maka |S| = 0 S= {{},{{}},{{{}}}}, maka |S| = 3 Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan Agi Putra Kharisma, ST., MT.

12

Himpunan Kuasa Himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A. Notasi: P(A) atau 2A A = {1}, maka P(A) = {∅,{1}} A = {1,2}, maka P(A) = {∅,{1},{2},{1,2}} A = {∅,{∅}}, maka P(A) = {∅,{∅},{{∅}},{∅,{∅}}} Jika |A| berhingga, maka |P(A)| = 2|A| Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan Agi Putra Kharisma, ST., MT.

13

n-‐tuples berurutan Karena himpunan Edak merepresentasikan suatu urutan, maka kita membutuhkan sesuatu yang merepresentasikan koleksi berurutan. Notasi n-‐tuples berurutan menggunakan tanda kurung, sedangkan notasi himpunan menggunakan tanda kurung kurawal. (1,2) berbeda dengan (2,1) (a,b) berbeda dengan (b,a) kecuali a = b. (a,b,c) berbeda dengan (c,b,a) kecuali a = b = c. (a,b) sama dengan (c,d) jika a = c dan b = d. Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan Agi Putra Kharisma, ST., MT.

14

Perkalian Kartesian Perkalian Kartesian antara dua himpunan A dan B adalah : A x B = { (a,b) | a ∈ A ∧ b ∈ B } Contoh: A = {a, b} B = {1,2,3} A x B = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)} B x A = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan Agi Putra Kharisma, ST., MT.

15

Operasi Himpunan Gabungan (union): A ∪ B A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B}

Irisan (intersecEon): A ∩ B A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∈ B}


16

Operasi Himpunan Selisih (difference): B – A B − A = { x ∈ U | x ∈ B ∧ x ∉ A }

Komplemen: Ac Ac = { x ∈ U | x ∉ A }


17

Operasi Himpunan Beda setangkup (symmetric difference): A ⊕ B A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)


18

Hukum komuta(f: A∪B = B∪A A ∩ B = B ∩ A

Hukum idempotent: A∪A = A A ∩ A = A

Hukum asosia(f: (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Hukum dominasi: A ∪ U =U A ∩ ∅ = ∅

Hukum distribu(f: A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C) A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)

Hukum DeMorgan: (A∪B)c = Ac ∩ Bc (A∩B)c = Ac ∪Bc

Hukum iden(tas: A∪∅ = A A ∩ U = A

Hukum penyerapan: A∪(A∩B) = A A∩(A∪B) = A

Hukum komplemen: A∪Ac = U A∩Ac = ∅

Komplemen U dan ∅: Uc = ∅ ∅c = U

Hukum dobel komplemen: (Ac)c = A

Hukum selisih himpunan: A − B = A ∩ Bc Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan Agi Putra Kharisma, ST., MT.

19

PembukEan Proposisi Himpunan •  •  •  • 

PembukEan dengan diagram Venn PembukEan dengan tabel keanggotaan PembukEan dengan aljabar himpunan PembukEan dengan definisi


20

PembukEan dengan diagram Venn Tunjukkan A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∩ (B ∪ C) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan Agi Putra Kharisma, ST., MT.

21

PembukEan dengan tabel keanggotaan Tunjukkan bahwa A ∩ (B∪C) = (A ∩ B)∪(A ∩ C)


22

PembukEan dengan aljabar himpunan Tunjukkan bahwa: (A ∪ (B ∩ C))c = (Cc ∪ Bc) ∩ Ac Jawab: (A∪(B ∩ C))c = Ac ∩ (B ∩ C)c hukum De Morgan = Ac ∩ (Bc ∪ Cc) hukum De Morgan = (Bc ∪ Cc) ∩ Ac hukum komutaEf = (Cc ∪ Bc) ∩ Ac hukum komutaEf Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan Agi Putra Kharisma, ST., MT.

23

PembukEan dengan definisi Diketahui A dan B adalah himpunan. Jika A ∩ B = ∅ dan A ⊆ (B ∪ C) maka A ⊆ C. BukEkan. Jawab: i.  Karena A ⊆ (B ∪ C), maka jika x ∈ A, maka x ∈ (B ∪ C). Jika x ∈ (B ∪ C), maka x ∈ B atau x ∈ C. ii.  Jika x ∈ A dan A ∩ B = ∅, maka x ∉ B. Dari (i) dan (ii), x ∈ C harus benar (karena x ∉ B). Karena ∀x ∈ A juga berlaku x ∈ C, maka disimpulkan A ⊆ C. Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan Agi Putra Kharisma, ST., MT.

24

Referensi Cinda Heeren. CS 173: Discrete MathemaFcs Structure. Kenneth H. Rosen. Discrete MathemaFcs and Its ApplicaFons 7th Ed. Rinaldi Munir. MatemaFka Diskrit edisi keFga. Susanna S .Epp. Discrete MathemaFcs with ApplicaFons 4th Ed. EmoEcons by Kaskus (hjp://kaskus.co.id) Matema(ka Komputasi -‐ Teori Himpunan Agi Putra Kharisma, ST., MT.

25