TESIS DOCTORAL

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Departamento de Electrónica

TESIS DOCTORAL Análisis, Síntesis y Construcción de un Controlador Adaptable Genérico con Supervisión Inteligente

presentada por

Marco Antonio Paz Ramos M. en C. en Ingeniería Electrónica por el cenidet

como requisito para la obtención del grado de: Doctor en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis: Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez

Cuernavaca, Morelos, México.

29 de Septiembre del 2006

Índice general Índice de figuras Simbolog´ıa utilizada en el documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equivalencia simbólica por fuentes bibliogr´ aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Siglas utilizadas en el documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Introducci´ on 1.1. El control PID en la industria . . . . 1.2. Control avanzado . . . . . . . . . . . 1.3. Sistemas autosintonizables . . . . . . 1.4. Supervisión . . . . . . . . . . . . . . 1.5. El trabajo de tesis desarrollado . . . 1.5.1. Objetivos . . . . . . . . . . . 1.5.2. Justificaci´ on . . . . . . . . . . 1.5.3. La estructura de la propuesta 1.5.4. Organizaci´ on del documento

v viii xi xii

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1 2 2 3 6 7 7 7 7 9

2. Control Adaptable 2.1. Modelo del proceso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Modelo del proceso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. El regulador autosintonizable (STR) . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Estimaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. M´ınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. M´ınimos cuadrados recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Parámetros con variaci´ on en el tiempo . . . . . . . . . . . 2.4.4. Identificabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5. Excitaci´ on persistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6. Convergencia de la estimaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.7. La deriva paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. La asignación de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Dise˜ no de la asignación de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Controlador autosintonizable por asignación de polos (Wellstead) 2.8. El control de varianza m´ınima generalizado (Clarke) . . . . . . . 2.9. Acerca del controlador predictivo generalizado (Clarke) . . . . .

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11 11 12 12 13 13 14 15 15 16 17 17 18 23 28 31 36

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3. Controlador de varianza m´ınima generalizado con asignaci´ on din´ amica de polos 37 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2. El controlador de varianza m´ınima generalizado con asignación dinámica de polos . . . . . 39 i

3.3. Estabilidad del controlador de varianza m´ınima generalizado con asignación polos (GMVDPAC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. An´ alisis de estabilidad del GMVPAC para sistemas de segundo orden . . . 3.5. Estabilidad del GMVDPAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Asignaci´ on din´ amica de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

din´ amica de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Sistema de soporte al controlador 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Inicializaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Selecci´ on del orden del modelo de estimación . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Inicializaci´ on de parámetros iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Asignaci´ on de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Selecci´ on del periodo de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5. Factor de olvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6. Matriz de covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.7. Detecci´ on del retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.8. Excitaci´ on de procesos inestables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Control de respaldo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Criterio de paro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Comportamiento del proceso evolutivo ante diferentes niveles de mutación 4.4. Supervisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Estabilidad en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Identificabilidad del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3. Error de seguimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4. Respuesta de sistema ante cambios de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.5. Simulaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Resultados y Aplicaciones 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Implementaci´ on y evaluaci´ on general . . . . . . . . . . 5.2.1. Implementación del GMVDPAC . . . . . . . . 5.3. Manejo del retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Ejemplo numérico de implementación del GMVDPAC 5.5. Evaluación general del desempe˜ no . . . . . . . . . . . 5.5.1. El lote de plantas . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2. Criterios de evaluaci´ on . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3. Evaluaci´ on del desempe˜ no por proceso . . . . . 5.5.4. Resultados generales . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Control de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Control de posici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Control de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Plataforma de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Interfaz de usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11. Pruebas con el sistema integrado . . . . . . . . . . . .

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44 44 49 52

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55 55 56 57 65 65 67 67 67 67 68 68 70 72 73 73 75 76 76 76

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81 81 81 81 86 87 92 92 93 94 98 104 106 107 110 111 112

6. Conclusiones 121 6.1. Contribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.2. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 ii

I

ANEXO A

Referencias Bibliogr´ aficas

127 145

iii

iv

Índice de figuras 1-1. Estructura jerárquica del sistema desarrollado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Diagrama a bloques de un regulador autosintonizable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama a bloques de un controladore por ubicación de polos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta al escalón del sistema en lazo abierto y del sistema en lazo cerrado deseado . . . . . . Sistema Controlado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuestas en lazo cerrado del sistema controlado, para diferentes constantes de tiempo deseadas. Diferentes se˜ nales de control u para diferentes constantes de tiempo deseadas. . . . . . . . . . . . a) Máxima se˜ nal de control contra constante de tiempo deseada, b) Esfuerzo de control contra constante de tiempo deseada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-8. Control por asignación de polos para 2.59. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-9. Esquema adaptable para el STPAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-10. Diagrama de realimentación conceptual del GMVC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-11. Diagrama a bloques del GMVC implementado como una estructura adaptable. . . . . . . . . . . 2-12. Control GMVC para el proceso 2.98. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 20 22 23 25 25

3-1. 3-2. 3-3. 3-4. 3-5.

GMVPAC modificado para enfrentar incertidumbres paramétricas. . . . . . . . . . . . . . . . . Control GMVDPAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S´ıntesis del GMVDPAC a partir del STPAC y GMVC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comparaci´ on del sistema en lazo abierto y la respuesta deseada demarcada por la ecuación 3.6. . . a) Seguimiento de la referencia del sistema cuando es controlado con un GMVDPAC, b) Se˜ nal de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-6. a) Evolución de los parámetros de estimación en función del tiempo, b) Desempeño de la traza de la matriz de covarianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-7. Diagrama a bloques conceptual del GMVPAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-8. Zona de estabilidad definida en función del polinomio costo P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-9. Circuito RLC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-10. Zona de estabilidad para el ejemplo 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-11. a) Seguimiento a la referencia b) Señal de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-12. GMVPAC ante el cambio de resistencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-13. Estabilidad del GMVDPAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-14. Control GMVDPAC ante el cambio de resistencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-15. Control GMVPAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-16. Control GMVDPAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 40 40 42

4-1. Bosquejo del algoritmo de inicialización. . . . . . . . . . . 4-2. Sistema excitado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-3. a) Comportamiento de la estimación primer orden b) Traza minante de la inversa de la matriz de covarianza . . . . . .

55 59

2-1. 2-2. 2-3. 2-4. 2-5. 2-6. 2-7.

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26 28 29 33 34 35

42 43 44 45 47 47 48 49 51 52 53 53

de la matriz de covarianza c) Deter-

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59 v

4-4. Figura 4.4: LGR del modelo estimado de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-5. a) Comportamiento de la estimación segundo orden b) Traza de la matriz de covarianza c) Determinante de la inversa de la matriz de covarianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-6. LGR del modelo estimado de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-7. a) Comportamiento de la estimación tercer orden b) Traza de la matriz de covarianza c) Determinante de la inversa de la matriz de covarianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-8. LGR del modelo estimado de tercer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-9. LGR del modelo de estimación de tercer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-10. Múltiplo valor porcentual en el actuador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-11. Señal de control saturada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-12. Obtención del retardo del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-13. Representación genética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-14. Estructura del PID Genético Directo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-15. L´ımites de saturación del actuador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-16. a) Seguimiento de la referencia del sistema cuando es controlado con el PID genético directo b) Funci´ on de aptitud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-17. Relación tiempo de ejecución del algoritmo versus número de generaciones. . . . . . . . . . . . . 4-18. Relación IAE promedio obtenida versus número de generaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-19. Comportamiento del IAE promedio (10 muestras), para diferentes porcentajes de mutación. . . . 4-20. a) Comportamiento de los polos en lazo cerrado con respecto al tiempo, la dirección de las flechas muestran la dirección de la migración de los polos en función del tiempo, b) proyecci´ on ε., Las X representan la ubicación de polos definida por T, c) Asignaci´ on de los polos con respecto al tiempo, los trapezoides representan la proyecci´ on ε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-21. Comportamiento del sistema cuando los parámetros iniciales del control adaptable son proporcionados por el procedimiento de inicializaci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-22. Comportamiento de los polos en lazo cerrado cuando los parámetros iniciales del control adaptable son proporcionados por el procedimiento de inicialización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-23. Arranque del sistema bajo el control de respaldo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-24. Falla provocada al definir los polos de T fuera del c´ırculo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-25. Falla Comportamiento del control adaptable en el tiempo cuando los polos de T se trasladan fuera del c´ırculo unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4-26. Conmutación al modo respaldo por la falla provocada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama esquemático del sistema intercambiador de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama a bloques del control para el intercambiador de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . Perturbacion en la transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Control PID del intercambiador de calor a) Seguimiento a la referencia y=T0 en grados centigrados, b) Se˜ nal de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-5. Control GMVDPAC del intercambiador de calor a) Seguimiento a la referencia, b) Señal de control 5-6. Estimación del proceso de intercambio de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-7. Comportamiento del IAE promedio en función de α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-8. Comportamiento del IAC promedio en función de α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-9. Comportamiento del ITAE promedio en función de α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-10. Gráfica de pastel que representa el porcentaje en que cada controlador obtuvo el mejor resultado a lo largo de las pruebas para seguimiento a la referencia (medido con IAE) . . . . . . . . . . . . 5-11. Gráfica de pastel que representa el porcentaje total de ocaciones en que un controlador dado realiza el menor esfuerzo de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-12. Gráfica de pastel que representa en que porcentaje cada controlador obtuvo el mejor resultado a lo largo de las pruebas de cambio de carga (medido con ITAE) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5-1. 5-2. 5-3. 5-4.

vi

60 61 61 62 62 63 66 66 67 68 69 69 70 71 72 73

74 77 77 78 78 79 79 87 88 89 90 91 92 96 97 97 98 99 99

5-13. Gráfica de pastel que representa en que porcentaje cada controlador obtuvo el mejor resultado a lo largo de las pruebas para seguimiento a la referencia (medido con IAE) cuando la varianza de la perturbaci´ on fue la máxima probada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5-14. Gráfica de pastel que representa en que porcentaje cada controlador obtuvo el mejor resultado a lo largo de las pruebas de esfuerzo de control (medido con IAC) cuando la varianza de la perturbaci´ on fue la máxima probada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5-15. Gráfica de pastel que representa en que porcentaje cada controlador obtuvo el mejor resultado a lo largo de las pruebas de cambio de carga (medido con ITAE) cuando la varianza de la perturbación fue la máxima probada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5-16. Puntaje acumulado para seguimiento a la referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5-17. Puntaje acumulado para el esfuerzo de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5-18. Puntaje acumulado para el cambio de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5-19. Control de velocidad usando el GMVDPAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5-20. Comportamiento de la estimación, a) Parámetros de la estimación, b) Función de salida generalizada. 105 5-21. Motor de CD Buehler con reducción de velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5-22. Control de posición de una banda transportadora usando GMVDPAC (seguimiento). . . . . . . . 106 5-23. Control de posición de una banda transportadora usando GMVDPAC (regulación). . . . . . . . . 107 5-24. Comportamiento de la estimación, a) Parámetros de estimación, b) Traza de la matriz de covarianza. 107 5-25. Controlador de temperatura Honeywell DC1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5-26. Figura 5.26. Proceso de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5-27. Control del DC1020 a) Regulación, b) Señal de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5-28. Control GMVDPAC, (a) Regulación, (b) Señal de Control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5-29. Figura 5.29. Plataforma de aplicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5-30. Interfaz grafica del controlador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5-31. Excitación del sistema durante la inicialización, a) Respuesta del proceso, b) Señal de excitación. . 112 5-32. Estimación recursiva para el modelo interno de primer orden, a) Comportamiento de los parámetros de estimación, b) Traza de la matriz de covarianza Px , c) Determinante de la inversa de la matriz de covarianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5-33. Estimación recursiva para el modelo interno de segundo orden, a) Comportamiento de los parámetros de estimación, b) Traza de la matriz de covarianza Px , c) Determinante de la inversa de la matriz de covarianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5-34. Estimación recursiva para el modelo interno de tercer orden, a) Comportamiento de los parámetros de estimación, b) Traza de la matriz de covarianza Px , c) Determinante de la inversa de la matriz de covarianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5-35. Comportamiento del controlador GMVDPAC, a) Seguimiento a la referencia, b) Señal de control. 117 5-36. Estimación recursiva durante el control adaptable, a) Parámetros de estimación, b) Traza de la matriz de covarianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5-37. Control GMVDPAC aplicando al control de posición de una banda transportadora prototipo durante cambios de carga, a) Seguimiento a la referencia, b) Se˜ nal de control. . . . . . . . . . . . . 118 5-38. Estimación recursiva durante el control adaptable cuando existen cambios de carga, a) Parámetros de estimación, b) Traza de la matriz de covarianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5-39. Simulación del controlador PID para el individuo más apto, a) Seguimiento a la referencia, b)Proceso evolutivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5-40. Control PID genético directo aplicado al control de posición de una banda transportadora prototipo, a) Seguimiento a la referencia, b) Se˜ nal de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5-41. Conmutación entre controladores GMVDPAC y PID genético directo en el segundo 100, Seguimiento a la referencia, b) Se˜ nal de Control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

vii

Simbolog´ıa utilizada en el documento y Salida del proceso u Entrada del proceso r Referencia del sistema e Perturbación del sistema A Polinomio denominador de la función de transferencia del proceso B Polinomio numerador de la función de transferencia del polinomio n

Orden del polinomio A

m

Orden del polinomio B

α Polinomio de ubicación de polos asociado al polinomio A β Polinomio de ubicación de polos asociado al polinomio B G(s) Función de transferencia del proceso en s G(z) Función de transferencia del proceso en z θ Parámetros del modelo del proceso ϕ Vector de regresi´ on Φ Matriz de regresores E r Vector residuo ε Residuo de la estimación P x Matriz de covarianza K Ganancia del estimador λ Factor de olvido exponencial E Matriz de Sylvester D Vector de asignación de polos M Vector soluci´ on de la asignación de polos K 0 Ganancia de seguimiento para asignación de polos M p Sobreimpulso m´ aximo t s Tiempo de establecimiento ξ Coeficiente de amortiguamiento ω n Frecuencia natural no amortiguada h Periodo de muestreo viii

τ Constante de tiempo τ d Constante de tiempo deseada en lazo cerrado K D Ganancia para constante de tiempo deseada E f Esfuerzo de control ξ d Coeficiente de amortiguamiento deseado en lazo cerrado ω nd Frecuencia natural no amortiguada deseada en lazo cerrado M pd Sobreimpulso deseado en lazo cerrado t sd Tiempo de establecimiento deseado en lazo cerrado K 1 Ganancia para el sobreimpulso deseado en lazo cerrado K 2 Ganancia para el tiempo de establecimiento deseado en lazo cerrado H Polinomio de control asociado a u E Polinomio de control asociado a r G Polinomio de control asociado a y C Polinomio de la perturbaci´ on k Retardo en instantes de tiempo T Polinomio de asignaci´ on de polos X Polinomio conocido con inversa estable φ Funci´ on de salida generalizada o pseudo salida P Polinomio costo asociado a la salida del sistema Q Polinomio costo asociado a la entrada del sistema R Polinomio costo asociado a la referencia del sistema E x Esperanza matem´ atica J Función costo asociada a φ ∂ Frontera de estabilidad K x Ganancia de lazo abierto del proceso ∆RLS Diferencia entre la posición de polo y cero redundante durante la estimación RLS εac Sumatoria del residuo absoluto K cov Ganancia inicial para inicializar Px w Ventana de par´ ametros de estimaci´ on W n Variaci´ on de la salida del proceso con entrada cero ix

Kp Ganancia proporcional del PID ISA T i Tiempo integral del PID ISA T d Tiempo derivativo del PID ISA f.a. Función de aptitud

x

Equivalencia simb´ olica por fuentes bibliogr´ aficas Variables utilizadas Polinomio de orden n asociado a la salida del sistema; a0 = 1 Polinomio de orden m asociado a la entrada del sistema Polinomio de orden n asociado a una secuencia aleatoria no correlacionada; c0 = 1 Entrada al sistema Salida del sistema Referencia del sistema Funci´ on de salida generalizada Polinomio costo para la salida del sistema Polinomio costo para la entrada del sistema Polinomio costo para la referencia del sistema Polinomio general para la salida del sistema Polinomio general para la entrada del sistema Polinomio general para la referencia del sistema Polinomio general de la secuencia aleatoria Polinomio general de la ubicación de polos Secuencia aleatoria no correlacionada de media cero

Allidina [1] A

Clarke [19] A

Wellstead [82] A

˚ Astr¨ om [4] A

Tesis A

B

B

B

B

B

C

C

C

C

C

u y w φ P

u y w φ P

u y r φ P

u y yf P∗

u y r φ P

Q

Q

Q

Q∗

Q

R

R

R

G

G

G

S∗

G

H

H

F

R∗

H

E

E

H

F

F

E

R ∗1

F

T

Ac

T

e

e

e

T ξ

ξ

R

E

˚ Astr¨ om presenta en [4] el control de varianza m´ınima generalizado como una variante del control autosintonizable generalizado directo. En esta fuente no se presenta simbolog´ıa asociada a la referencia, por que sólo se analiza el caso de minimizaci´ on de varianza en la salida.

xi

Siglas utilizadas en el documento PID Proporcional + Integral +Derivativo (control) PAC Controlador de automatización programable1 SCADA Control supervisorio con adquisición de datos1 HMI Interfaz hombre m´ aquina1 STR Regulador autosintonizable1 STPAC Controlador autosintonizable por asignación de polos1 GMVC Controlador de varianza m´ınima generalizado1 GMVPAC Controlador de varianza m´ınima generalizado con asignación de polos1 GMVDPAC Controlador de varianza m´ınima generalizado con asignación dinámica de polos1 LTI Lineal e invariante en el tiempo1 SISO Una entrada una salida1 (proceso) ZOH Retenedor de orden cero1 RLS M´ınimos cuadrados recursivos1 PE Excitado persistentemente1 MVC Controlador de varianza m´ınima1 LGR Lugar geométrico de las ra´ıces IAE Integral del error absoluto1 ITAE Integral del error absoluto por el tiempo1 IAC Integral del error absoluto de la se˜ nal de control

1

xii

por sus siglas en inglés

Cap´ıtulo 1

Introducci´ on El v´ınculo entre el control de procesos y el desarrollo de la tecnolog´ıa ha sido tan estrecho, que ha trascendido incluso el papel de mera herramienta tecnol´ ogica [14]. Algunos ejemplos del profundo impacto del control de procesos en la historia reciente, pueden encontrarse en el transcurrir de la Segunda Guerra Mundial: en 1940 las refiner´ıas en Estados Unidos produc´ıan tan sólo 30 000 barriles diarios, mientras que al finalizar la guerra, la producción hab´ıa aumentado hasta alcanzar los 580 000 barriles [83]; la demanda de combustible para los aviones militares forzó a la industria de la refinaci´ on a incorporar avances del control de procesos, como es el costo de los primeros controladores PID neum´ aticos [11], que en ese momento histórico no gozaban de una buena aceptación en la industria [12]. Por su parte, la s´ıntesis del uranio 235 en el proyecto Manhattan hubiera sido imposible sin el control de flujo desarrollado por Taylor, para el altamente explosivo hexafluorido de uranio [83]; incluso el desarrollo del radar, considerado como pieza clave en la victoria de los aliados, recibi´ o un gran impulso de los estudios precursores sobre el control en tiempo discreto [40]. En la actualidad el control de procesos representa una industria multimillonaria, tan sólo en el 2003 se vendieron 9200 mdd en sistemas de control distribuido alrededor del mundo, y se estima que esta cifra ascienda a los 10 300 mdd para el 2007 [70]. Hoy en d´ıa existen factores comunes que determinan la adopci´ on por parte de la industria de nuevas tecnolog´ıas de control, entre las que pueden enumerarse: La reducci´ on de costos, La b´ usqueda de la eficiencia en la producci´ on, La mejora permanente en la calidad del producto. La calidad del producto guarda una estrecha relación con el control de procesos, por lo que mejorar el desempe˜ no de este u ´ltimo, debe ser una tarea prioritaria. La mejora del desempe˜ no del control puede lograrse a través de una cuidadosa inversión en infraestructura [25], lo cual es poco viable en muchos casos [48]; alternativamente la incorporaci´ on de estrategias de control que se adapten adecuadamente al proceso puede significar una mejora a las condiciones de operaci´ on vigentes; por ejemplo, la apreciaci´ on de la divisa japonesa ante el d´ olar en la década de 1990, obligó a la industria japonesa a una reducción drástica de costos, para mantener as´ı su competitividad. Entre las estrategias implantadas exitosamente para hacer frente a ésta problem´ atica, estuvieron la evaluaci´ on y la adopci´ on de tecnolog´ıas innovadoras en el control de procesos, en sustituci´ on del control convencional instalado. Consecuentemente, hoy en d´ıa la industria japonesa cuenta con la mayor relaci´ on de control no convencional instalado en el mundo [77]. 1

1. Introducci´ on

1.1.

El control PID en la industria

Seg´ un una encuesta de opinión realizada entre académicos e industriales [71], el controlador PID es la segunda tecnolog´ıa de mayor influencia en el control de procesos durante el siglo XX. Algunos aspectos que mantienen al control PID como l´ıder en aplicaciones en la industria son: Econom´ıa. Actualmente se puede conseguir un controlador PID digital de campo con autosintonizaci´ on por menos de 100 dólares, Confiabilidad. El desempe˜ no del control PID ha estado a prueba por décadas, con resultados favorables en un amplio espectro de aplicaciones, Simplicidad. A pesar de que la sintonizaci´ on del control PID puede ser llevada a cabo anal´ıticamente, es su car´ acter intuitivo [90] el que le ha ganado la mayor parte de sus adeptos en la industria; s´ olo la l´ ogica difusa en tiempos recientes [18] ha logrado competir con el control PID en este rubro. Se estima que aproximadamente el 95 % de los lazos de control en el mundo usan controladores PID [4]; aunque, también se estima que más del 30 % de dichos lazos opera en modo manual, mientras que otro porcentaje similar opera con las ganancias por defecto configura el fabricante del controlador [24]. Las principales causas de dicha situación se enumeran a continuación: Mala sintonizaci´ on del controlador, Capacitación inadecuada o deficiente del operario, Selecci´ on incorrecta de componentes, Envejecimiento del proceso, Cambios ambientales dr´ asticos, Desempe˜ no poco satisfactorio de los actuadores, Transmisores mal calibrados, Dise˜ no deficiente del lazo de control, Anexión de infraestructura no contemplada en el dise˜ no original, No linealidades del proceso, Cambios en las estrategias de producción, Modificaciones de las propiedades de la materia prima, Cambios en los ciclos de mantenimiento.

1.2.

Control avanzado

Ante condiciones demandantes como las antes descritas, el control PID puede tener un desempe˜ no insatisfactorio. En muchos casos, una acertada sintonización puede eliminar parte de los problemas; sin embargo en algunas ocasiones, para lograr la sintonización se requiere un conocimiento profundo del proceso, por lo que la sintonizaci´ on heur´ıstica deja de ser una ventaja. Algunas estrategias de control avanzado han hallado un nicho precisamente donde el desempe˜ no es cr´ıtico y los costos de la infraestructura de control pueden amortizarse con las mejoras en la producción 2

1.3 Sistemas autosintonizables consecuentes. El nivel de adopci´ on del control avanzado ha dependido del tipo de industria y del lugar donde ésta se encuentre. En Jap´ on por ejemplo, el control inteligente ha ganado un espacio importante [77], mientras que en Estados Unidos la adopción de estas mismas tecnolog´ıas ha sido moderada [18], [10]. En Japón, técnicas como el control LQG, filtros de Kalman, H infinito y primordialmente el control inteligente representan cerca del 10 % del control en la industria, lo cual significa un máximo hist´ orico; ya que, a principios de la década de los noventa, la participación de estas estrategias en Jap´ on era prácticamente nula. Por su parte en Europa, particularmente en Gran Breta˜ na y Suecia, el control adaptable ha tenido una participaci´ on discreta en el mercado, pero constante por m´ as de dos décadas [69]. Los niveles de desempe˜ no de estos controladores han ganado espacios donde los estándares de producci´ on son muy altos; espacios que se han ido ampliando debido a la naturaleza cada vez m´ as competitiva del mercado europeo.

1.3.

Sistemas autosintonizables

El control adaptable es particularmente u ´til, cuando por diversas causas el proceso está sujeto a cambios en las condiciones de operación y se requiere mantener una homogeneidad en el desempe˜ no del lazo. En particular, el control autosintonizable, es la estrategia de control adaptable que mayor penetraci´ on ha tenido en el control de procesos industriales. Los sistemas autosintonizables hallaron inspiración en los desarrollos que Kalman realiz´ o para el control computarizado de procesos, mientras trabajaba para DuPont [3]. Narendra en [54] define control autosintonizable como: “Dada una planta que es conocida imprecisamente, el problema del control adaptable puede ser definido cualitativamente como el de dise˜ nar un controlador, el cual, resulte en un desempe˜ no satisfactorio. Si la planta es invariante en el tiempo, nosotros podemos hablar acerca del problema de autosintonizaci´ on, cuando el problema es uno de regulaci´ on o seguimiento. Estrictamente hablando, nosotros podemos llamar al problema en el cual las caracter´ısticas de la planta var´ıan lentamente con el tiempo y el controlador trata de alcanzar un desempe˜ no satisfactorio, como el problema de adaptaci´ on. En la mayor´ıa de la literatura publicada, es el problema de sintonización el que se discute, y el problema de adaptaci´ on es tratado como uno de control robusto en presencia de perturbaciones paramétricas”. Wellstead por su parte menciona en [82]: “...Espec´ıficamente la idea de un ajuste autosintonizable fue concebida originalmente, como un medio de manejar la sintonizaci´ on inicial de un controlador o filtro para sistemas y fuentes de se˜ nal, los cuales son invariantes en el tiempo pero desconocidos”. El primer sistema de control autosintonizable que vio la luz en 1973, fue propuesto por K. J. ˚ Aström y B. Wittenmark [6], pero no fue sino hasta la década de 1980, cuando varios controladores autosintonizables salieron al mercado, aunque debido a la capacidad de c´ omputo disponible en aquel momento, la adaptaci´ on no pod´ıa ser una tarea permanente del controlador. Durante los u ´ltimos 20 a˜ nos, la capacidad de c´ omputo ha mejorado en proporciones geométricas, lo cual ha permitido una significativa reducción de costos. Hoy en d´ıa, existen plataformas tecnol´ ogicas sobre las cuales puede implementarse casi cualquier estrategia de control con relativa flexibilidad y econom´ıa, como es el caso de los sistemas embebidos de propósito general, con plataformas de programaci´ on flexibles o bien de los controladores de automatizaci´ on programables (PAC) [79]. Ya que en la actualidad se puede pasar por alto la limitación computacional, la disyuntiva de realizar la optimizaci´ on de parámetros en un sistema autosintonizable de forma permanente o no, prácticamente ha desaparecido. Una forma ilustrativa de reconocer el estado de la pr´ actica del control autosintonizable, es mediante la revisión de las patentes relacionadas (U.S. patents). En la Tabla 1.1 se presentan algunas patentes de controladores autosintonizables presentadas expresamente por fabricantes de controladores [87], es importante mencionar que varias de estas propuestas utilizan como estructura de control central un PID. 3

1. Introducci´ on

A˜ no

Tabla 1.1. Algunas patentes de controladores autosintonizables propuestas por fabricantes de controladores Patente No. Asignaci´ on T´ıtulo

1983

4,368,510

Leeds & Northrup Company

1986

4,602,326

The Foxboro Company

1987 1988

4,669,040 4,758,943

Eurotherm Corporation Hightech Network AB

1989 1989 1989 1990

4,814,968 4,881,160 4,882,526 RE33267

Fischer & Porter Company Yokogawa Electric Corporation Kabushiki Kaisha Toshiba The Foxboro Company

1992

5,153,807

Hitachi Ltd.

1992

5,170,341

Honeywell Inc,

1994

5,335,164

Universal Dynamics Limited

1994

5,355,305

Johnson Service Company

1995

5,394,322

The Foxboro Company

1995 1996 1997

5406474 5587896 5,687,077

The Foxboro Company The Foxboro Company Universal Dynamics Limited

2004

6,760,716

Fisher-Rosemount Systems, Inc.

2006

7,024,253

Honeywell Inc.

Automatic identification system for self tuning process controller Pattern-recognizing self-tuning controller Self-tuning controller Method and an apparatus for automatically tuning a process regulator Self-tuning process controller Self-tuning controller Adaptive process control system Pattern-recognizing self-tuning controller Self-tuning controller apparatus and process control system Adaptive controller in a process control system and a method therefor Method and apparatus for adaptive control Pattern recognition adaptive controller Self-tuning controller that extracts process Self-tuning controller Self-tuning controller Method and apparatus for adaptive control Adaptive predictive model in a process control system Auto-tuning controller using loopshaping

Las patentes presentadas en la Tabla 1.1, est´ an relacionadas con productos de control destinados al “propósito general”, ya sea como controladores de campo o software asociado. Es importante mencionar que el hecho de que las patentes se concedieran, no implica necesariamente que la compa˜ n´ıa involucrada las explote comercialmente. En la Tabla 1.2 se presentan diferentes aplicaciones particulares del control autosintonizable, y como puede apreciarse, sobresale el uso de este tipo de controladores en la industria automotriz. En relación a la estructura de control abordada en la tesis (y sobre la cual se propone una modificaci´ on), se enumeran patentes vinculadas al control de varianza m´ınima generalizado (GMVC) en la Tabla 1.3.

4

1.3 Sistemas autosintonizables

A˜ no

Tabla 1.2. Algunas patentes relacionadas con el uso de controladores autosintonizables para uso en aplicaciones particulares Patente No Asignaci´ on T´ıtulo

1986

4,585,985

General Electric Company

1987

4,677,542

Deere & Company

1987

4,698,745

Kabushiki Kaisha Toshiba

1990

4,930,517

Massachusetts Institute of Technology

1992

5,135,186

Teijin Seiki Co., Ltd.

1994 1997

5,347,446 5,692,485

Kabushiki Kaisha Toshiba Honda Motor Co.

2000

6,076,951

National University of Singapore

2000 2001

6,125,831 6,229,898

Honda Motor Co. Sikorsky Aircraft Corporation

2003

6,564,110

Sumitomo Heavy Industries, Ltd.

2002 2004 2004

6,404,581 6,745,087 6,773,374

Voyan Technology Tokyo Electron Limited Honda Motor Co.

2004 2006

6,784,632 7,024,302

Kabushiki Kaisha Yaskawa Denki Honda Motor Co.

2006

7,050,864

Honda Motor Co.

Method of real time operating point identification and pole adjustment for an induction motor drive system Self-tuning regulator implement control Process control apparatus for optimal adaptation to a disturbance Method and apparatus for physiologic system identification Flutter control system for aircraft wings Model predictive control apparatus Feedback control system using adaptive control Frequency-domain adaptive controller Control system for plants Active vibration control system using on-line system identification with enhanced noise reduction Position controlling apparatus capable of reducing the effect of disturbance Adaptation to unmeasured variables Method for control of a plant Brake negative pressure control apparatus and method, and engine control unit for internal combustion engine Positioning servo controller Air-fuel ratio control system and method for an internal combustion engine, and engine control unit Control system for a plant using identified model parameters

En el presente trabajo se aborda también la sintonizaci´ on de controladores PID mediante la aplicación de algoritmos genéticos; una patente relacionada al tema es la n´ umero 5,971,579 presentada por Samsung Electronics Co. como “Unit and method for determining gains of a PID controller using genetic algorithm” [87].

5

1. Introducci´ on

A˜ no

1.4.

Tabla 1.3. Patentes relacionadas con el GMVC Patente No Asignaci´ on T´ıtulo

1995

5,418,858

Cooper Tire & Rubber Company

1997

5,629,986

Cooper Tire & Rubber Company

2000

6,122,557

Montell North America Inc.

2001

6,263,355

Montell North America Inc

Method and apparatus for intelligent active and semi-active vibration control Method and apparatus for intelligent active and semi-active vibration control Non-linear model predictive control method for controlling a gas-phase reactor including a rapid noise filter and method therefor Non-linear model predictive control method for controlling a gas-phase reactor including a rapid noise filter and method therefor

Supervisi´ on

Los primeros sistemas SCADA (Supervisory Control and Data Acquisition) que incorporaron HMI (Human Machine Interface) salieron al mercado a finales de la década de 1970 como una respuesta a la demanda de supervisión en los procesos [76]. Con el avance tecnol´ ogico, los procesos fueron incrementando también su nivel de complejidad y se hizo necesario el desarrollo de sistemas de vigilancia de menor tama˜ no y con mayor eficiencia que los existentes. Los sistemas SCADA actuales, posibilitan al operario acceder a las variables del proceso casi instant´ aneamente; sin importar, la distancia a la que se encuentren. Un SCADA es una herramienta muy valiosa en el control de procesos, pues permite una panorámica general del proceso, facilitando as´ı, la toma de decisiones. La supervisi´ on es una tarea fundamental para darle certidumbre a la operación del proceso. La supervisión puede ser activa; es decir, que puede llevarse a cabo de forma autónoma al operario; o pasiva, cuando el sistema provee al operario con elementos de juicio para que este u ´ltimo tome las decisiones [53]. Si lo que se desea es alcanzar ciertos niveles de autonom´ıa en el control de procesos, es fundamental que los lazos de control sean confiables y la supervisi´ on de estos lazos en diversos niveles, puede ser una soluci´ on efectiva. En particular, los controladores autosintonizables empleados en la industria han incorporado como elemento necesario un lazo de supervisión en la operaci´ on del sistema. A principios de la década de 1980, se despertó un gran interés en la aplicaci´ on industrial de diversas técnicas de control autosintonizables; sin embargo, surgieron dificultades puesto que a los ojos de personal no especializado en el tema, el comportamiento dinámico de un controlador autosintonizable se apreciaba extra˜ no y en consecuencia pod´ıa considerarse poco digno de confianza. En este clima de incertidumbre inicial algunos trabajos emitieron recomendaciones sobre la implementaci´ on de controladores autosintonizables en la práctica [84]. Una soluci´ on propuesta por Isermann para proveer de confiabilidad a un control autosintonizable, fue la anexión de un lazo de supervisión activo al control [39]. Dicha propuesta basaba su funcionamiento en la detecci´ on de la violaci´ on de precondiciones, las cuales son aquellos requerimientos necesarios para el adecuado funcionamiento del sistema. En [39], la supervisi´ on se realiza en los tres puntos que seg´ un el autor son los m´ as sensibles de un control autosintonizable: desempe˜ no del controlador, calidad de la estimaci´ on y estabilidad del lazo cerrado. Isermann incluy´ o un módulo de arranque para el controlador al cual denominó inicializador. La importancia del inicializador para controladores autosintonizables, se ve remarcada en los trabajos de Lundh-˚ Aström [46], y Hägglund-˚ Aström [31], donde el inicializador es considerado un subsistema del supervisor. En [31] y [46] se hace menci´ on del m´ odulo de supervisi´ on que 6

1.5 El trabajo de tesis desarrollado utiliza la serie ECA de controladores adaptables de campo, los cuales son fabricados por ABB. El supervisor utilizado por la serie ECA, basa su funcionamiento en diversos desarrollos heur´ısticos asociados al análisis de la respuesta a la frecuencia [30]. La se˜ nal de la que se obtiene la informaci´ on en la serie ECA, es la respuesta del proceso cuando se cierra el lazo con un relevador realimentado [32]. La inicializaci´ on basada en el uso del relevador realimentado, encuentra su principal limitaci´ on en procesos donde algunos o todos los polos del sistema se encuentran en el eje imaginario y/o en el semiplano derecho del lugar geométrico de las ra´ıces (LGR), pues en estas circunstancias no es posible garantizar la existencia de un ciclo l´ımite [2], [34].

1.5.

El trabajo de tesis desarrollado

Hallar la soluci´ on de algunas de las dificultades enumeradas en la secci´ on 1.1, en particular aquellas que pueden llegar a ser interpretadas desde la perspectiva del dise˜ no del controlador, como perturbaciones en los par´ ametros del modelo (envejecimiento del proceso, cambios ambientales dr´ asticos ´ o alteración en las propiedades de la materia prima por ejemplo), motiv´ o el trabajo de investigación reportado en este documento. Adem´ as, tomando en cuenta dos de las demandas m´ as significativas que hace la industria al control adaptable: mayor confiabilidad y menor dependencia del dise˜ nador, en el trabajo se incorporan propuestas que dan peso a estas directivas. A continuaci´ on se enumeran los objetivos y justificaci´ on del trabajo desarrollado.

1.5.1.

Objetivos

Dise˜ nar y construir un controlador autosintonizable, capaz de superar satisfactoriamente durante su operaci´ on, perturbaciones en los par´ ametros de la planta. Dise˜ nar y construir un sistema de soporte al controlador autosintonizable, para expandir sus rangos de confiabilidad y autonom´ıa

1.5.2.

Justificaci´ on

Actualmente hay poco control adaptable instalado en la industria, debido principalmente a su complejidad impl´ıcita. El trabajo de tesis presentado, se justifica debido a que es una propuesta para simplificar la operación y facilitar la implementaci´ on pr´ actica de un controlador adaptable subóptimo.

1.5.3.

La estructura de la propuesta de soluci´ on

El control autosintonizable utilizado, es una contribuci´ on del trabajo de tesis, resultado de una reestructuración al algoritmo de control de varianza m´ınima generalizado (GMVC) propuesto por Clarke en [19]. En esta tesis se presentan ambas estructuras con la finalidad de establecer las diferencias y resaltar las cualidades del controlador propuesto, denominado controlador de varianza m´ınima generalizado con asignaci´ on din´ amica de polos (GMVDPAC). El sistema de soporte, consiste de un procedimiento de inicializaci´ on que permite el arranque aut´ onomo del sistema y de un procedimiento de supervisión que monitorea el estado de las variables del proceso cuando se realiza el control, reconfigurando el control adaptable cuando las condiciones son adecuadas para corregir un funcionamiento insatisfactorio o sustituyéndolo por un controlador de respaldo si el control adaptable no pudiera garantizar las condiciones m´ınimas de operaci´ on. Los supervisores de controladores autosintonizables son un tema escaso en la literatura, debido a que éstos, est´ an vinculados en su mayor parte a aplicaciones comerciales; al respecto en [30] se comenta:“Los detalles de las condiciones para adaptaci´ on usadas en los controladores adaptables normalmente no son 7

1. Introducci´ on publicadas, s´ olo los principios generales se dan en publicaciones abiertas”, mientras que en [5] donde se discute el futuro del control PID se menciona: “La mayor´ıa del conocimiento acerca del control PID ha estado disponible por largo tiempo. Desafortunadamente éste está siendo enterrado en la información propietaria de los proveedores”. Esta situaci´ on represent´ o una motivación extra para el desarrollo de una metodolog´ıa abierta para la construcción de controladores autosintonizables supervisados. El desarrollo en general de la tesis puede dividirse en dos partes fundamentales: desarrollo del control autosintonizable y construcci´ on del sistema de soporte para el controlador. En el diagrama a bloques de la Figura 1-1 se ilustra la estructura jerárquica del sistema desarrollado.

Figura 1-1: Estructura jerárquica del sistema desarrollado. La etapa de control, a su vez consta de dos partes: El control adaptable: Es el control principal del sistema y est´ a constituido por un GMVDPAC [59], El control de respaldo: El papel de este controlador es suplir al control adaptable en caso de que éste presente un desempe˜ no poco satisfactorio. Para cumplir con estas funciones de dise˜ no se construyó un PID genético directo [62], [63]. La etapa de inicialización es esencial para el funcionamiento aut´ onomo del sistema, en el trabajo de tesis se desarrolló un procedimiento de inicialización [64], que mediante la interpretaci´ on y manipulaci´ on de ciertas variables medidas ajusta las siguientes condiciones de operaci´ on del sistema: 1. Estructura del modelo de estimaci´ on, 2. Par´ ametros de identificaci´ on iniciales, 3. Matriz de covarianza inicial, 4. Factor de olvido, 5. Detecci´ on y caracterizaci´ on del retardo del sistema, 6. Dise˜ no de asignación de polos, 7. Selecci´ on del periodo de muestreo, 8. Sintonización del control de respaldo. 8

1.5 El trabajo de tesis desarrollado Por otro lado, con el módulo de supervisión se incrementa el nivel de confianza en la operaci´ on del sistema, a través de la evaluaci´ on del desempe˜ no del proceso y la toma de decisiones. Las variables de supervisión contempladas por el sistema desarrollado son: Estabilidad del lazo realimentado, Identificabilidad del lazo retroalimentado, Error de seguimiento a la referencia, Respuesta del sistema ante cambios de carga.

1.5.4.

Organizaci´ on del documento

El presente documento se ha dividido en los siguientes cap´ıtulos: Cap´ıtulo 2: Control Adaptable. En este cap´ıtulo, se revisan los fundamentos de las estructuras de control autosintonizable en las que se basa el algoritmo desarrollado en la tesis, as´ı como la metodolog´ıa de estimaci´ on utilizada. Se establecen también en este cap´ıtulo las bases del dise˜ no por asignaci´ on de polos usando el enfoque polinomial. Cap´ıtulo 3: Control de Varianza M´ınima Generalizado con Asignación Dinámica de Polos. En este cap´ıtulo se presenta el algoritmo de control desarrollado en la tesis. Se presentan las principales diferencias con respecto al algoritmo original y se analizan las mejoras ofrecidas por el GMVDPAC en cuanto a la estabilidad y desempe˜ no del sistema en lazo cerrado. Cap´ıtulo 4: Sistema de soporte al controlador. En este cap´ıtulo, se presentan las estrategias desarrolladas para dar soporte al controlador adaptable: procedimiento de inicialización, procedimiento de supervisi´ on y configuraci´ on del control de respaldo. Cap´ıtulo 5: Resultados y Aplicaciones. En este cap´ıtulo, se re´ unen pruebas realizadas tanto en simulaci´ on como en aplicaciones pr´ acticas del sistema desarrollado. Los resultados se presentan y se analizan detalladamente en esta secci´ on. Cap´ıtulo 6: Conclusiones. En este cap´ıtulo, se exponen y analizan las contribuciones del trabajo de tesis.

9

1. Introducci´ on

10

Cap´ıtulo 2

Control Adaptable La idea central del control adaptable es modificar la ley de control, en función de posibles cambios asociados al proceso, con el fin de obtener un desempe˜ no homogéneo en presencia de dichos cambios. Las estructuras de control adaptable son diversas [8]. En el presente cap´ıtulo se estudian algunos reguladores autosintonizables (grupo al cual pertenece el controlador propuesto en esta tesis), a través de la revisi´ on de sus etapas esenciales: estimación, dise˜ no del controlador y control.

2.1.

Modelo del proceso continuo

El enfoque de los procesos que se consideran a lo largo del trabajo es lineal, espec´ıficamente se usan los modelos matem´ aticos de una entrada, una salida (SISO, por sus siglas en inglés), del tipo lineal e invariante en el tiempo (LTI, por sus siglas en inglés) de tal forma se describe la ecuaci´ on diferencial de orden n y (n) (t) + a1 y n−1 (t) + ... + an y (t) = b0 u(m) + b1 u(m−1) (t) + bm u (t) ∆

di dti

∆

(2.1)

di dti

donde y(i) (t) = y (t) , y u(i) (t) = u (t) ; u (t) es la variable asociada a la entrada del proceso, mientras y (t) es la variable asociada a la salida del proceso, los coeficientes ai , bj , i=1,2,...,n, j=0,1,...,m, son constantes donde n y m son constantes enteros. Para obtener la función de transferencia del sistema (2.1), se toman las transformadas de Laplace de ambos miembros de la ecuaci´ on (2.1) asumiéndose condiciones iniciales cero, ¢ ¡ ¢ ¡ n s + a0 sn−1 + ... + an Y (s) = b0 sm + b1 sm−1 + ... + bm U (s)

(2.2)

donde s es la variable de Laplace. La función de transferencia de (2.2) es definida entononces como: ∆

G (s) =

b0 sm + b1 sm−1 + ... + bm B (s) = n A (s) s + a1 sn−1 + ... + an

(2.3)

Considerando la ecuaci´ on (2.3) se tienen las siguientes definiciones Definici´ on 2.1 El polinomio caracter´ıstico del sistema es el polinomio A (s) de la ecuaci´ on (2.3). Definici´ on 2.2 El polinomio caracter´ıstico es m´ onico, ya que a0 = 1. Definici´ on 2.3 El polinomio caracter´ıstico es Stodola si todos sus coeficientes son positivos definidos. Definici´ on 2.4 El polinomio caracter´ıstico es Hurwitz si Re[s] < 0. Definici´ on 2.5 La ecuaci´ on 2.3 es propia si n ≥ m; estrictamente propia n > m y bipropia si n = m. 11

2. Control Adaptable Definici´ on 2.6 Se dice que dos polinomios A (s) y B (s) son coprimos si no tienen ra´ıces comunes. Definici´ on 2.7 El orden del proceso es n. El hecho de que A (s) y B (s) sean coprimos, es una caracter´ıstica que cobra importancia desde diversos angulos en éste trabajo, pues por un lado define si hay cancelación entre polos y ceros, lo cual implica ´ repercusiones en cuanto a controlabilidad y/u observabilidad [15], as´ı como el posible impacto en la tarea del modelado [13] y en los procesos de estimación paramétrica [85]. La caracter´ıstica coprima puede establecerse a partir del Lema 2.1. Lema 2.1. (Identidad de Bezout). Dos polinomios A (s) y B (s) son coprimos si y s´ olo si, existen polinomios α (s) y β (s) , tal que:

α (s) A (s) + β (s) B (s) = 1

(2.4)

demostración en [38].

2.2.

Modelo del proceso discreto

En lo sucesivo, los modelos discretos presentados en el documento son el resultado del muestreo de la funci´ on continua (2.3) con la ayuda de un retenedor de orden cero (ZOH, por sus siglas en inglés) de la forma: ½ ¾ ¢ ¡ G (s) −1 Z (2.5) G (z) = 1 − z s donde Z {·} representa la transformada Z de la función y G (z) es la funci´ on de transferencia discreta en z. Se opta por esta forma de discretización puesto que guarda muchos puntos en com´ un con la operación de diversos sistemas de adquisición de datos, por su parte G (z) puede ser definido como: G (z) =

B (z) A (z)

(2.6)

donde A (z) = z n + a1 z n−1 + ... + an−1 z + an

(2.7)

B (z) = b0 z m + b1 z m−1 + ... + bm−1 z + bm Las definiciones 2.1, 2.2, 2.5, 2.6 y 2.7 prevalecen para el caso discreto. .

2.3.

El regulador autosintonizable (STR)

El regulador autosintonizable (STR por sus siglas en inglés) es una estructura de control adaptable de modelo interno, ya sea que dicho modelo represente al proceso o al control de dicho proceso. En la Figura 2-1 se presenta un diagrama a bloques de un STR [8]. 12

2.4 Estimaci´ on

Figura 2-1: Diagrama a bloques de un regulador autosintonizable. El adjetivo de autosintonizable, enfatiza la propiedad que tienen estos controladores para sintonizar autom´ aticamente sus propios par´ ametros, para de ésta manera obtener las propiedades deseadas del sistema en lazo cerrado. En la Figura 2-1 pueden apreciarse claramente las etapas principales en un STR. La configuración de la etapa de estimación determina el tipo de STR del que se hable; un STR expl´ıcito es aquel en el cual se tiene un modelo interno del proceso a controlar y en el cual se estiman a partir de las se˜ nales del proceso, los par´ ametros del modelo. El modelo estimado se emplea para un dise˜ no de control, que como resultado arroja los par´ ametros del controlador, que pueden dependiendo del dise˜ no original, actualizarse con cada muestreo o a partir de eventos definidos por el dise˜ nador. Por su parte un STR impl´ıcito, involucra una etapa de preprocesamiento de las se˜ nales de la planta para estimar directamente los par´ ametros del control, es decir, el proceso de dise˜ no del control subyace impl´ıcito en la etapa de estimaci´ on. En lo referente a la etapa del dise˜ no de control, se define por los requerimientos del sistema. En las siguientes secciones se profundiza en cada etapa del control autosintonizable.

2.4.

Estimaci´ on

Los m´ınimos cuadrados recursivos (RLS) con factor de olvido exponencial [8], fueron utilizados como método de estimación en todas las estructuras de control adaptable a las que se hace referencia en este trabajo.

2.4.1.

M´ınimos cuadrados

Los m´ınimos cuadrados son ampliamente utilizados en diversos problemas. La siguiente ecuación define el modelo matem´ atico del sistema que se desea estimar y (i) = ϕ1 (i) θ01 + ϕ2 (i) θ02 + ... + ϕn (i) θ0n = ϕT (i) θ0

(2.8)

donde y en este caso es la variable observada, θ01 , θ02 , ..., θ 0n , son parámetros del modelo que ha de ser determinado, y ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕn son variables conocidas que pueden depender de otras variables conocidas. Para (2.8) se definen los vectores £ ¤ ϕ1 (i) ϕ2 (i) ... ϕn (i) (2.9) ϕT (i) = £ ¤ T θ0 = θ01 θ02 ... θ0n

donde i puede denotar tiempo de un conjunto discreto.

13

2. Control Adaptable El vector ϕ es usualmente denominado regresor. El problema de los m´ınimos cuadrados es determinar los parámetros que hagan que la salida de (2.8), sea lo m´ as cercana posible a la salida medida del sistema; los parámetros θ deben elegirse para minimizar la funci´ on costo: V (θ, t) =

t ¡ ¢2 1P y (i) − ϕT (i) θ 2 i=1

(2.10)

Debido a que la variable medida y es lineal en los par´ ametros θ y el criterio de los m´ınimos cuadrados es cuadrático, el problema permite una soluci´ on anal´ıtica, teniendo: Y (t) = Er (t) =

£

y (1) y (2) ... y (t)

£

¤T

(2.11)

¤T

ε (1) ε (2) ... ε (t)  ϕT (1) ·  Φ (t) =  : T ϕ (t) µ t ¶−1 £ T ¤−1 P T Φ (t) Φ (t) = ϕ (i) ϕ (i) Px (t) = 

i=1

donde los residuos ε (i) se definen por:

ε (i) = y (i) − yˆ (i) = y (i) − ϕT (i) θ

(2.12)

de lo cual (2.10) puede reescribirse como: V (θ, t) = donde E r puede ser escrito como:

t 1P 1 1 ε2 (i) = ErT Er = kEr k2 2 i=1 2 2

Er = Y − Yˆ = Y − Φθ

(2.13)

(2.14)

La soluci´ on del problema de los m´ınimos cuadrados esta dada por el Teorema 2.1. Teorema 2.1. Estimaci´ on por m´ınimos cuadrados. La funci´ on de la ecuaci´ on (2.10) es m´ınima para los par´ ametros ˆ θ, tal que: θ = ΦT Y ΦT Φˆ

(2.15)

ńico y est´ a dado por: si la matriz ΦT Φ es no singular, el m´ınimo es u

demostración en [8].

2.4.2.

¡ ¢ ˆθ = ΦT Φ −1 ΦT Y

(2.16)

M´ınimos cuadrados recursivos

En los sistemas autosintonizables las observaciones son obtenidas secuencialmente en tiempo real; para calcular la estimación de m´ınimos cuadrados, se pueden utilizar los resultados obtenidos en t − 1 ; para obtener as´ı, un estimado en el tiempo t. Los m´ınimos cuadrados recursivos son sintetizados en el Teorema 2.2.

14

2.4 Estimaci´ on Teorema 2.2. Estimaci´ on por m´ınimos cuadrados recursivos. Asuma que la matriz Φ (t) tiene rango completo, esto es ΦT (t) Φ (t) es no singular para todo t ≥ t0 . Dado ¡ ¢−1 ˆ , el estimado de m´ınimos cuadrados entonces satisface las ecuaciones θ (t0 ) y Px (t0 ) = ΦT (t0 ) Φ (t0 ) ³ ´ ˆθ (t) = ˆ θ (t − 1) + K (t) y (t) − ϕT (t) ˆθ (t − 1) (2.17) ¡ ¢−1 K (t) = Px (t) ϕ (t) = Px (t − 1) ϕ (t) I + ϕT (t) Px (t − 1) ϕ (t) ¡ ¢−1 T Px (t) = Px (t − 1) − Px (t − 1) ϕ (t) I + ϕT (t) Px (t − 1) ϕ (t) ϕ (t) Px (t − 1) ¢ ¡ T = I − K (t) ϕ (t) Px (t − 1)

donde K(t) es la ganancia del estimador y sus componentes son factores de ponderaci´ on, que indican c´ omo la correlaci´ on y el estimado previo pueden ser combinados. Demostraci´ on en [8].

2.4.3.

Par´ ametros con variaci´ on en el tiempo

Los par´ ametros del sistema estimado podr´ıan sufrir variaciones en los par´ ametros, provocando un incremento desmesurado de la covarianza y de la ganancia del estimador. Una manera de evitarlo, es modificar la función costo (2.13) como: t ¡ ¢2 1P λt−i y (i) − ϕT (i) θ (2.18) V (θ, t) = 2 i=1

donde λ es un par´ ametro, tal que 0 < λ ≤ 1. El parámetro λ es llamado factor de olvido. En la ecuaci´ on (2.18) los datos están siendo poderados por un operador. El dato más reciente est´ a siendo ponderado unitariamente, pero el dato que tiene una antig¨ uedad de n unidades de tiempo, está siendo ponderado por on (2.19), obteniéndose λn ; por lo tanto, el método es llamado olvido exponencial y es incluido en la ecuaci´ el resultado [8]. Teorema 2.3. Estimaci´ on con m´ınimos cuadrados con factor de olvido exponencial. ametros θ, los cuales minimizan la Asuma que la matriz Φ (t), tiene rango completo para t > t0 . Los par´ ecuaci´ on (2.18), son dados por: ´ ³ ˆθ (t) = ˆ θ (t − 1) (2.19) θ (t − 1) − K (t) y (t) − ϕT ˆ ¡ ¢−1 K (t) = Px (t) ϕ (t) = Px (t − 1) ϕ (t) λI + ϕT Px (t − 1) ϕ (t) ¡ ¢ Px (t) = I − K (t) ϕT Px (t − 1) /λ

Demostración en [8].

2.4.4.

Identificabilidad

La identificabilidad es una condición esencial, para establecer la confiabilidad en los par´ ametros de estimaci´ on. El problema de la identificabilidad consiste en establecer si un u ńico resultado de la estructura de identificaci´ on concuerda con los valores verdaderos del sistema. La matriz de covarianza guarda una relaci´ on fundamental con esta propiedad, ya que es necesario que on necesaria. En la práctica la no identificabilidad de los par´ ametros del Px sea invertible como condici´ modelo se debe principalmente a la correlación de los elementos en el vector de datos, lo cual resulta en la singularidad de la matriz de covarianza [56]. La identificabilidad para el caso SISO puede plantearse a partir del siguiente Teorema 2.4 [44]. 15

2. Control Adaptable Teorema 2.4. Considerando un modelo estructural dado correspondiente a: A (q) y (t) =

C (q) B (q) u (t) + e (t) F (q) D (q)

(2.20)

con θ definido de (2.8), siendo los coeficientes de los polinomios involucrados. Los grados de los polinomios son na , n b y as´ı sucesivamente. Esta estructura modelo es globalmente identificable en ˆθ, si y s´ olo si las siguientes condiciones prevalecen: ˆ (z) y znc Cˆ (z) , i No hay factores comunes a todo z na Aˆ (z) , znb B ˆ (z) y znf Fˆ (z) , ii No hay factor com´ un de znb B ˆ (z) , iii No hay factor com´ un de z nc Cˆ (z) y z nd D ˆ (z) , un de z nf Fˆ (z) y z nd D iv Si na≥ 1, entonces no debe haber factor com´ ˆ (z) , v Si nd≥ 1, entonces no debe haber factor com´ un de z na Aˆ (z) y z nb B un de z na Aˆ (z) y z nc Cˆ (z) . vi Si nf ≥1 , entonces no debe haber factor com´ Los polinomios testados corresponden a ˆθ, demostración en [44]. Nota: Si puede establecerse la identificabilidad global, en consecuencia se puede establecer la identificabilidad global robusta [45]. ¡ ¢ Para la identificabilidad resulta necesario que el det Px−1 6= 0, [82]. La identificabilidad guarda una estrecha relación a su vez con la excitaci´ on persistente [8], [82].

2.4.5.

Excitaci´ on persistente

La excitaci´ on persistente es un condicionante para alcanzar la identificabilidad. Considerando la matriz 

 cov (0) cov (1) ... cov (n − 1)  cov (1) cov (0) ... cov (n − 2)  1  Covn = l´ım ΦT Φ =  ·   t−→∞ t : cov (n − 1) cov (n − 2) ... cov (0)

(2.21)

donde cov (k) son las covarianzas emp´ıricas de la entrada, esto es cov (k) = l´ım

t P

u (i) u (i − k)

t−→∞i=1

(2.22)

Una se˜ nal u es llamada persistentemente excitada (PE) de orden n, si los l´ımites de (2.22) existen y si la matriz covn dada por (2.21) por definici´ on positiva. Teorema 2.5. Se˜ nales persistentemente excitadoras La se˜ nal u con la propiedad (2.22), es persistentemente excitadora de orden n, si y s´ olo si: t 1 P (A (q) u (K))2 > 0 t−→∞ t K=1

U = l´ım

para todo polinomio diferente de 0 de grado n − 1 o menor. Demostraci´ on en [8]. 16

(2.23)

2.4 Estimaci´ on Del Teorema 2.5 se puede deducir que una delta de Dirac no es una excitación persistente, un escalón es una excitación persistente de orden 1, una se˜ nal senoidal es una se˜ nal de excitación persistente de grado 2, mientras que una se˜ nal peri´ odica con periodo n, es una excitación persistente de grado n [8]. on, debido a su relación con el Teorema 2.5. ΦT Φ, La matriz ΦT Φ es conocida como la matriz de excitaci´ est´ a relacionada con la identificabilidad debido a que para tener al menos una excitaci´ on persistente de grado 1, se requiere que la matriz de excitaci´ on sea linealmente independiente.

2.4.6.

Convergencia de la estimaci´ on

La convergencia en un algoritmo recursivo puede establecerse a partir de las siguientes propiedades [82]: 1. El desempe˜ no del sistema es correcto al menos asintóticamente, 2. Los par´ ametros estimados del modelo convergen, 3. Los estimados convergen a los valores “correctos”. Dichas propiedades de convergencia pueden enumerarse jerárquicamente como sigue: (i) La propiedad 1 corresponde a la identificabilidad del sistema y es esencial para alcanzar los objetivos de control. Es importante notar que la propiedad 1 no implica que la propiedad 2 sea cierta (o viceversa), (ii) La propiedad 3 corresponde a la identificabilidad de parámetros (o consistencia). Note que la propiedad 1 no implica que la propiedad 3 sea cierta, (iii) La propiedad 3 es sólo significativa, si el modelo es estructuralmente consistente con el sistema controlado. Entonces la propiedad 3 implica que las propiedades 1 y 2 son v´ alidas. Puede a˜ nadirse que un algoritmo de identificaci´ on es robustamente convergente si [45]: ° ° °ˆ ° l´ım l´ım °G N − G0 ° = 0 δ−→0N→∞

|v (t)| ≤ δ∀t

(2.24)

(2.25)

ˆ N es el modelo identificado para N datos-puntos, y v (t) es una donde G0 es el sistema “verdadero”, G perturbación acotada.

2.4.7.

La deriva param´ etrica

El problema de la deriva paramétrica fue expuesto por Rohrs et al. en [72] y describe la posibilidad de que una estructura de control adaptable (cualquiera que ésta fuese) pueda volverse inestable ante alguna de las siguientes situaciones: Referencias senoidales a frecuencias espec´ıficas, Perturbarciones en la salida de forma senoidal a cualquier frecuencia. Rohrs et al. mostr´ o en [72], la existencia de dos operadores que son inherentes al mecanismo de adaptaci´ on a casi todas las estructuras de control adaptable. Seg´ un Rohrs estos operadores tienen ganancia infinita, lo cual desemboca en los casos de inestabilidad antes mencionados. La principal implicaci´ on de este problema es que la excitaci´ on persistente no garantiza la estabilidad en el lazo adaptable. Cabe mencionar que el 17

2. Control Adaptable fenómeno de la deriva paramétrica no necesariamente se hace evidente al corto plazo de la ejecuci´ on del control, pues algunos algoritmos no manifiestan una forma “explosiva” de dicho fenómeno [42], esta variante de la deriva par´ ametrica puede ser incluso m´ as riesgosa que la forma “explosiva”, ya que el lazo de control puede fallar en el momento menos esperado. Si bien, no se puede negar que el problema de la deriva par´ ametrica establece fronteras estrictas al uso del control adaptable, también es cierto que existen factores en la pr´ actica que minimizan la posibilidad de que ésta ocurra. En particular, en el control de procesos es prácticamente innecesario el uso de referencias senoidales de alta frecuencia. Con respecto a las perturbaciones senoidales a la salida del proceso, éstas pueden provenir en algunos casos de filtraciones de se˜ nales de sistemas de comunicación inal´ ambricos, o incluso de la l´ınea de alimentaci´ on a la l´ınea de transmisión cuando ésta es anal´ ogica (4-20mA), o bien h´ıbrida (se˜ nales senoidales de alta frecuencia y diferente amplitud son montadas en la se˜ nal analógica para representar la informaci´ on binaria, tal como es el caso del protocolo HART [65]). Sin embargo, en la actualidad los protocolos de comunicaci´ on de mayor uso emplean exclusivamente se˜ nales digitales, lo cual les vuelve inmunes a las perturbaciones; puesto que los paquetes de informaci´ on digital no pueden ser corrompidos [66]. Aunque el uso de protocolos de comunicaci´ on enteramente digitales previene el problema de perturbaciones senoidales; por lo menos en cuanto a la transmisi´ on se refiere, las perturbaciones senoidales también pueden gestarse como din´ amicas aisladas en el actuador. Un problema muy grave en la industria es precisamente la fricci´ on est´ atica en las v´ alvulas, la cual puede llevar a las mismas a alcanzar una oscilaci´ on sostenida [78], y ya que usualmente los procesos est´ an interconectados por lazos cascada, controles de relación o prealimentaciones, las oscilaciones pueden llegar a propagarse a lo largo del proceso de formas muy complejas. Dichas oscilaciones son, sin duda, un peligro para la estabilidad de un control adaptable (y para el desempe˜ no de otras estructuras de control), por lo que si se usa un control adaptable y se detectan oscilaciones en el proceso, lo aconsejable es pasar a otro modo de control que represente un menor riesgo para la operación del sistema. En el caso particular del controlador ECA 600 de ABB cuando éste detecta oscilaciones en el proceso, mientras él ejecuta el modo adaptable, apaga de forma autom´ atica el proceso de adaptaci´ on [29]. Lo m´ as conveniente, en caso de estar en presencia de oscilaciones provenientes de los actuadores, es detectar el origen y actuar en consecuencia, ya que esto puede deteriorar la calidad del producto independientemente de la estructura de control que se use. Si después de detectar la fuente de oscilaci´ on, el problema no puede ser solucionado de origen, el controlador adaptable podr´ıa volver a escena, reforzado por un procedimiento para contrarrestar el problema, por ejemplo, mediante la cancelaci´ on activa del ruido [74].

2.5.

La asignaci´ on de polos

El control por asignación de polos es una de las estrategias más usuales en el control de sistemas lineales. Cuando un proceso puede ser modelado representativamente con una estructura lineal, la asignaci´ on de polos puede brindar muchas ventajas, pues es una estrategia maleable, que permite proveer de un conjunto de caracter´ısticas deseadas a un lazo cerrado. De hecho, la operaci´ on de cualquier controlador lineal puede apreciarse como un proceso de asignaci´ on de polos, con ciertas limitaciones estructurales. En particular se habla de dise˜ no de controladores por asignación de polos, cuando expl´ıcitamente se dise˜ na un controlador para lograr que las ra´ıces de un proceso estén en lugares o zonas del lugar geométrico de las ra´ıces al cerrarse el lazo. El dise˜ no de controladores por asignaci´ on de polos, es una herramienta flexible; sin embargo, hay dos puntos que dificultan su implementaci´ on en aplicaciones: se requiere de una adecuada selecci´ on de la estructura del modelo, más una correcta identificaci´ on de parámetros; además, se requiere de cierto conocimiento y experiencia para decidir d´ onde ubicar los polos en funci´ on de un comportamiento dinámico deseado. Lo que puede volver al proceso de ubicar polos en lazo cerrado una tarea demandante, es el proceso de incorporar las consideraciones de dise˜ no el comportamiento de los sensores y actuadores, 18

2.5 La asignaci´ on de polos adem´ as de los propios l´ımites operativos del proceso. A diferencia del control PID, que opera a través de una minimización del error, el dise˜ no por asignación de polos depende de una adecuada “parametrización”; adem´ as, si las condiciones de operación del proceso fueran afectadas por una perturbaci´ on de parámetros, el desempe˜ no del sistema en lazo cerrado podr´ıa verse afectado. Debido a lo anterior la asignaci´ on de polos como estrategia, puede fortalecerse cuando se le utiliza dentro de una estructura control adaptable. En la literatura se exponen varias formas de realizar la asignaci´ on de polos [57]. Considerando el manejo de funciones de transferencia, la ubicación de polos por enfoque polinomial es la alternativa m´ as adecuada. Considerando la ecuaci´ on (2.6) definimos el polinomio de asignaci´ on de polos como: D (z) = d0 z 2n−1 + d1 z 2n−2 + ... + d2n−2 z + d2n−1

(2.26)

Donde D (z) es un polinomio de grado 2n − 1, con todas sus ra´ıces dentro del c´ırculo unitario. La identidad de Bezout, descrita en el Lema 2.1, cuenta con un n´ umero infinito de soluciones [38]. Por otro lado, si en lugar de tener una solución unitaria se opta por una solución de la forma (2.26), se tiene: α (z) A (z) + β (z) B (z) = D (z)

(2.27)

La ecuaci´ on (2.27) es conocida como la ecuación Diofantina donde los polinomios α (z) y β (z) se definen como: α (z) = α0 z n−1 + α1 z n−2 + ... + αn−2 z + αn−1 β (z) = β 0 z

n−1

+ β1z

n−2

(2.28)

+ ... + β n−2 z + β n−1

El n´ umero de soluciones para (2.27) es ahora finito. Una forma sistem´ atica y confiable para hallar la soluci´ on a la ecuaci´ on (2.27), es mediante el planteamiento y soluci´ on de la matriz de Sylvester, la cual tiene una dimensión de 2n x 2n. Sea la matriz de Sylvester E: 

      ∆  E=      

an 0 an−1 an · : an−1 · a1 : 1 a1 0 1 · · : : 0 0 0 0

... ... ... ... ... ... ...

0 bn 0 0 bn−1 bn · 0 : bn−1 · · : b1 : an b0 b1 an−1 0 b0 · · · : : : 0 0 a1 1 0 0

... ... ...

0 0 0 · : bn

... ... bn−1 · : ... b1 ... b0

              

(2.29)

Teorema 2.6. (Teorema de Sylvester): dos polinomios A (z) y B (z) son coprimos, si y s´ olo si su matriz de Sylvester E es no singular, prueba en [38]. Del Teorema 2.6, se puede decir que la matriz de Sylvester tiene una soluci´ on u ńica para un polinomio dado D (z) cuando A (z) y B (z) son coprimos, por lo que se hace hincapié en lo siguiente: Si se desea llevar a cabo una asignación de polos efectiva, se requiere que el modelo identificado esté correctamente dimensionado, Cuando se utiliza la matriz de Sylvester como forma de soluci´ on de (2.27), para realizar un control por asignación de polos, es fundamental para lograr dicha asignación que los polinomios A (z) y B (z) sean coprimos y que adem´ as el polinomio de asignaci´ on de polos tenga un orden máximo de 2n − 1 (ver ecuación (2.25)) y sea lineal e invariante en el tiempo. 19

2. Control Adaptable Precisamente para lograr la soluci´ on de la matriz de Sylvester, se requiere el planteamiento del vector de asignaci´ on D como:   d2n−1  d2n−2    ·  (2.30) D= :    d1  d0

y el vector de solución denominado M como:



      M =     

αn−1 αn−2 · : α0 β n−1 β n−2 · : β0

            

(2.31)

Entonces los coeficientes α0 , α1 , ... αn−1 y β 0 , β 1 , ..., β n−1 se pueden determinar a partir de: M = E −1 D

(2.32)

El control por ubicaci´ on de polos, puede relacionarse con la ecuaci´ on (2.27) a través del diagrama a bloques que se muestra en la Figura 2-2.

Figura 2-2: Diagrama a bloques de un controladore por ubicación de polos. El denominador de la reducción del lazo de realimentación en la Figura 2-2 es equivalente a la ecuaci´ on (2.27), por su parte K0 , es una ganancia prealimentada usada para ajustar la ganancia del sistema en lazo cerrado. K0 se deriva del teorema del valor final en su caso discreto como: ´ ³ l´ım (D (z)) z→1 ´³ ´ (2.33) K0 = ³ l´ım α (z) l´ım B (z) z→1

z→1

El polinomio de asignaci´ on puede descomponerse de diversas formas con diferentes prop´ ositos, como por ejemplo: (2.34) D (z) = DA (z) DB (z)

El desempe˜ no del controlador representado en la Figura 2-2 puede degradarse en la presencia de ceros, sobre todo, si est´ an cerca del origen en el lugar geométrico de las ra´ıces (LGR). La ecuaci´ on (2.34) 20

2.5 La asignaci´ on de polos puede configurarse en algunos casos para lograr la cancelaci´ on de ceros [33], si el dise˜ nador eval´ ua que es conveniente en presencia de perturbaci´ on en los par´ ametros. Este método no se recomienda cuando existen ceros en el origen [17], aunque dada situaci´ on es inusual en procesos industriales.

Ejemplo 2.1. Suponga el proceso representado por la funci´ on de transferencia continua: G1 (s) =

1 s2 + 0.3s + 1

considerando que el sobreimpulso m´ aximo (Mp ) , es descrito por: √ 2 Mp ≈ e−πξ/ 1−ξ , 0 ≤ ξ < 1

(2.35)

(2.36)

donde ξ es el coeficiente de amortiguamiento y el tiempo de establecimiento (ts) es definido en [26] como: ts =

4.6 ξω n

(2.37)

ω n es la frecuencia natural no amortiguada del sistema. De (2.36) y (2.37), se tiene el sobreimpulso máximo M p = 62 %, mientras que el tiempo de establecimiento es ts =30.66. En [26] se recomienda como criterio de selección del periodo de muestreo h, que éste sea al menos 20 veces el ancho de banda del sistema en lazo cerrado, ya que en los sistemas de segundo orden, éste es aproximadamente igual a la frecuencia natural, que para éste caso es de 1 rad/seg o 0.16 Hz, por lo que se opta por muestrear (2.35) a 3.2 Hz, de tal forma al aplicar un ZOH se tiene:

G1 (z) =

0.04696z + 0.04551 z 2 − 1.818z + 0.9105

(2.38)

Para este ejemplo, se desea que al cerrar el lazo el sistema sea 30 % m´ as rápido que en lazo abierto y no supere el 20 % de sobreimpulso, por lo que la asignaci´ on de polos se propone como: D (z) = z 2 − 1.855z + 0.8747

(2.39)

En la Figura 2-3 se presenta un comparativo entre la respuesta al escal´ on del sistema en lazo abierto y el sistema deseado en lazo cerrado. Con (2.38), se procede a formar la matriz de Sylvester 

 0.9105 0 0.0455 0  -1.818 0.9105 0.0469 0.0455   E=  1 -1.818 0 0.0469  0 1 0 0

(2.40)

Nota: En la ecuaci´ on (2.40) se presentan los datos truncados por cuestiones de espacio. 21

2. Control Adaptable

Figura 2-3: Respuesta al escalón del sistema en lazo abierto y del sistema en lazo cerrado deseado

Considerando (2.39) los polinomios α (z) y β (z) están dados por: 

 0.999   0  M =  −0.785  0.003126

(2.41)

De tal forma, el lazo cerrado de realimentaci´ on en la Figura 2-2 está dado por: 0.003126z − 0.785 α (z) = β (z) 0.999

(2.42)

La ecuación (2.42) es una función de transferencia impropia; sin embargo, cuando se obtiene el lazo cerrado:

GLC (z) =

α (z) β (z) α (z) A (z) + β (z) B (z)

(2.43)

(2.43) es propio. Finalmente para lograr el seguimiento a la referencia, la ganancia se obtiene de (2.33) como: K0 = 0.217978 En la Figura 2-4 se presenta la respuesta al escal´ on del proceso (2.38) cuando se aplica el esquema representado en la Figura 2-2, con la referencia unitaria. 22

2.6 Dise˜ no de la asignaci´ on de polos

Figura 2-4: Sistema Controlado. ¤

2.6.

Dise˜ no de la asignaci´ on de polos

Una labor importante es el dise˜ no del polinomio de asignaci´ on de polos. Esta tarea involucra tanto aspectos te´ oricos como consideraciones pr´ acticas. Si se utiliza como método de asignación de polos el enfoque polinomial, aplicando la matriz de Sylvester, de (2.26) se tiene que el orden del polinomio D es nD ≤ 2n − 1, por lo que suponiendo que el proceso en lazo abierto sea de primer, segundo o tercer orden, nD podrá tener como orden m´ aximo primero, tercero y quinto orden respectivamente. Cuando el sistema en lazo abierto es de primer orden y se usa la soluci´ on ńica alternativa posible. De tal forma que D tiene la forma: de matriz de Sylvester, nD = n es la u D (z) = d0 z + d1

(2.44)

Debido a que (2.44) tiene una sola ra´ız, puede suponerse que estará dentro del c´ırculo unitario y que su posici´ on deberá permitir una respuesta dinámica m´ as rápida que en lazo abierto, en la mayor´ıa de las aplicaciones. La decisi´ on de en qué proporción deberá hacerse m´ as rápida la respuesta en lazo cerrado depende de las necesidades de control. Considere la ecuaci´ on caracter´ıstica continua que define al proceso a controlar como: A (s) = τ s + 1

(2.45)

donde τ es la constante de tiempo del sistema, mientras que el polinomio de asignaci´ on de polos continuo se define a su vez como la relaci´ on de (2.46) D (s) = τ d s + 1

(2.46)

donde τ d es la constante de tiempo deseada, y se elige a partir de: τ d = KD τ

(2.47) 23

2. Control Adaptable KD es una ganancia menor a la unidad, utilizada para elegir una constante de tiempo para el sistema en lazo cerrado, usando como referencia la constante de tiempo en lazo abierto. Mientras menor sea la a el esfuerzo de control definido por la integral en el tiempo del cuadrado de ponderación KD , mayor ser´ la entrada de control Z t u2 dt (2.48) Ef = 0

Con el fin de discretizar (2.46) y alcanzar la forma (2.44), se utiliza un mapeo directo de polos de la forma: z = esh

(2.49)

Por su parte el caso discreto (2.48) puede aproximarse como: w X Ef = u2 (t)

(2.50)

t=1

donde w, es el n´ umero de muestreos para una medici´ on dada. El esfuerzo de control guarda una relación directa con las capacidades y el tiempo de vida de los actuadores, por lo que debe ser contemplado durante el dise˜ no de la asignación de polos. Ejemplo 2.2. Suponga que para el proceso, cuyo modelo es la funci´ on de transferencia de primer orden G (s) =

1 s+1

(2.51)

se dise˜ na un control por asignación de polos para lograr diversas constantes de tiempo en lazo cerrado, cuando h=0.05 segundos como se muestra en la Figura 2-5. En la Figura 2-6 se presenta la se˜ nal de control para cada valor diferente τ d . Como se puede observar en la Figura 2-6, a medida que se impone una mayor velocidad de respuesta al desempe˜ no en lazo cerrado, mayor ser´ a la amplitud inicial de la se˜ nal de control.

24


Figura 2-5: Respuestas en lazo cerrado del sistema controlado, para diferentes constantes de tiempo deseadas.

Figura 2-6: Diferentes señales de control u para diferentes constantes de tiempo deseadas. En la Figura 2-7a), se grafica el m´ aximo valor de la se˜ nal de control contra el τ d relacionado, como se puede observar, la relación obedece a un envolvente exponencial. La Figura 2-7a), guarda una relación con el m´ aximo rango de operaci´ on del actuador, mientras que en la Figura 2-7b) se presenta el esfuerzo de control descrito en la ecuación (2.50) para ω =100 muestreos, lo cual guarda relaci´ on con el tiempo de vida del mismo actuador 25


Figura 2-7: a) Máxima señal de control contra constante de tiempo deseada, b) Esfuerzo de control contra constante de tiempo deseada.

De lo expuesto en el Ejemplo 2.2, se observa la necesidad de establecer un v´ınculo entre la elecci´ on de KD y las limitaciones f´ısicas del actuador. ¤ Cuando la asignaci´ on de polos deseada es de segundo orden y se considera la siguiente ecuación caracter´ıstica del proceso en lazo abierto, A (s) = s2 + 2ξω n s + ω 2n

(2.52)

donde ξ es el coeficiente de amortiguamiento y ω n es la frecuencia natural no amortiguada, se propone el polinomio de asignaci´ on deseada de polos como: D (s) = s2 + 2ξ d ω nd s + ω 2nd

(2.53)

en este caso ξ d es el coeficiente de amortiguamiento deseado y ωnd es la frecuencia natural no amortiguada deseada. La forma m´ as conveniente para proponer los coeficientes de la ecuaci´ on (2.53) es en función de una respuesta dinámica deseada. Considerando las ecuaciones (2.36) y (2.37) es importante decir que aunque uno podr´ıa elegir un Mp y un ts para la respuesta en lazo cerrado de forma arbitraria, es más conveniente considerar la respuesta del sistema en lazo abierto (2.52) para el dise˜ no de (2.53), de tal forma: Mpd = K1 Mp y tsd = K2 ts

(2.54)

donde Mpd y tsd son las caracter´ısticas dinámicas de (2.53), mientras K1 y K2 son ganancias que deben elegirse de acuerdo a las capacidades reales del sistema, lo que explica que (2.54) sea funci´ on de la respuesta dinámica del sistema en lazo abierto. En cuanto a la elecci´ on de dichas ganancias hay que agregar, que aunque ser´ıa deseable que el sistema en lazo cerrado fuera muy rápido y tuviera poco sobreimpulso, esto tiene implicaciones en el otro lado de la balanza significando un mayor esfuerzo y mayor sobreimpulso en la se˜ nal de control. Una vez definidos Mpd y tsd los coeficientes de (2.53) se calculan a partir de: 26


ξd =

s

(ln (Mpd ))2 π 2 + (ln (Mpd ))2

(2.55)

y de: ω nd =

4,6 ξ d tsd

(2.56)

Después que (2.53) ha sido definido, se le discretiza por mapeo usando (2.49), o si se tiene completamente definida una función de transferencia deseada, a través del uso de un ZOH. Con lo que se obtiene la asignaci´ on discreta de polos de la forma: D (z) = d0 z 2 + d1 z + d2

(2.57)

Finalmente cuando la asignación deseada de polos es de tercer orden se propone el polinomio: ¡ ¢ D (s) = s2 + 2ξ d ω nd s + ω 2nd (s + pe )

(2.58)

Como puede observarse (2.58) conserva relación con (2.53). Si se desea obtener la m´ınima afectaci´ on din´ amica dispuesta por ξ d y ω nd , pe debe elegirse el semiplano izquierdo, lejano al eje imaginario. La amica deseada y el esfuerzo de control, puesto que a medida elecci´ on de pe es un compromiso entre la din´ que pe se aleja del eje, el esfuerzo de control crece. Ejemplo 2.3. Suponga el sistema de tercer orden que representa el modelo lineal de tres reactores acoplados descrito en [47]: 0.125 (2.59) G (s) = 3 s + 3s2 + 3s + 1 suponga que se desea una respuesta más rápida que en lazo abierto sin superar un sobreimpulso m´ aximo aproximado del 10 %, por lo que se propone: D (s) = s3 + 89.13s2 + 154.9s + 190.9

(2.60)

El polinomio tiene dos polos complejos en -0.8738±1.192i y un polo en -87.38 ubicado 100 veces m´ as lejos del eje imaginario que el componente real de los polos complejos conjugados, con la finalidad de que este polo tenga la menor influencia dinámica posible. Discretizando (2.59) utilizando un ZOH a 20 Hertz se tiene que G (z) =

2.508x10−6 z 2 + 9.665x10−6 z + 2.327x10−6 z 3 − 2.854z 2 + 2.715z − 0.8607

(2.61)

mientras que al aplicar las mismas condiciones de discretizaci´ on a (2.60), se tiene: D (z) = z 3 − 1.924z 2 + 0.9405z − 0.0116

(2.62)

En la Figura 2-8a) se observa que al aplicar el control por la ubicaci´ on de polos, para (2.62) en la respuesta din´ amica, hay un sobreimpulso negativo. Otra propuesta de ubicaci´ on de polos alterna se define como: D (s) = s3 +4.26s2 +6.0492s+2.863288

(2.63)

el cual es cr´ıticamente amortiguado con tres polos en -1.42, lo que permite que la respuesta en lazo cerrado sea 30 % más rápida que en lazo abierto. El equivalente discreto de (2.63) est´ a dado por: D (z) = z 3 -2.794z 2 +2.603z-0.8082

(2.64) 27

2. Control Adaptable como puede observarse en la Figura 2-8b), el lazo cerrado para (2.64) no tiene sobreimpulso negativo.

Figura 2-8: Control por asignación de polos para 2.59. Alternativamente puede realizarse una asignaci´ on de segundo orden con las caracter´ısticas din´ amicas equivalentes, como por ejemplo: (2.65) D (z) = z 2 − 1.9111z − 0.9163 Evitando as´ı, el sobreimpulso negativo al elegir la ubicación de polos de segundo orden descrita por la ecuaci´ on (2.63). De lo observado en el Ejemplo 2.3, hay que recalcar la importancia de la elecci´ on del polinomio D(z) cuando n D = 3. ¤

2.7.

Controlador autosintonizable por asignaci´ on de polos (Wellstead)

El controlador autosintonizable por asignación de polos (STPAC) usa una estrategia de control basada en el dise˜ no por asignación de polos, descrita en la sección 2.5 y 2.6. La estructura de control representada en la Figura 2-2, puede ser la misma para un STPAC, cuando el bloque del dise˜ no del controlador es ocupado por una s´ıntesis de asignación de polos. Existen algunas variaciones de la estructura original del STPAC [7]; en particular, aqu´ı se presenta la propuesta de Wellstead [81]. El STPAC es una estructura estoc´ astica, por lo cual establecemos el sistema descrito por el modelo CARMA (por sus siglas en inglés): Ay (t) = z −k Bu (t) + Ce (t)

(2.66)

donde A, B y C son polinomios en z, A es m´ onico y coprimo en relaci´ on a B, k representa el retardo del sistema en instantes de tiempo, mientras e (t) se asume como una secuencia aleatoria no correlacionada de media 0. Para esta estrategia de control se considera que las ra´ıces de A y B pueden quedar fuera del c´ırculo unitario; es decir, la planta puede ser inestable (ra´ıces de A fuera del c´ırculo) o de fase no m´ınima (ra´ıces de B fuera del c´ırculo). En todos los casos las ra´ıces de C se asumen estrictamente dentro del c´ırculo unitario. 28

2.7 Controlador autosintonizable por asignaci´ on de polos (Wellstead) Ya que se desea lograr que la salida de la planta siga una referencia dada, dentro de un esquema de asignaci´ on de polos, los polinomios de control designados en este caso como H, G y E requieren ser dise˜ nados. En la Figura 2-9 se presenta un diagrama que incorpora la estructura adaptable completa (considerando la etapa de identificaci´ on) para el STPAC.

Figura 2-9: Esquema adaptable para el STPAC. En la Figura 2.9 puede apreciarse la ley de control como la ecuaci´ on: Hu (t) = Er (t) − Gy (t)

(2.67)

Al cerrarse el lazo de control la ecuaci´ on caracter´ıstica que define al STPAC es: HA + z −k BG

(2.68)

En el caso del STPAC la asignación deseada de polos es definida por el polinomio T (en sustitución de D para el caso adaptable). Cuando k = 1, la ecuación (2.66) toma la siguiente forma: Ay (t) = z −1 Bu (t) + Ce (t)

(2.69)

Combinando el controlador definido por la ecuaci´ on (2.67) con la ecuaci´ on del proceso (2.69), se tiene: (HA + BG) y (t) = z −1 BEr (t) + CHe (t)

(2.70)

Si se desea que el lazo cerrado tenga un comportamiento asociado a la posici´ on de polos definida por T , se requiere resolver la identidad polinomial: HA + z −1 BG = T C

(2.71)

donde los polinomios H, G y E están definidos por: H = 1 + h1 z −1 + ... + hnh z −nh G = g0 + g1 z

−1

+ ... + gng z

E = e0 + e1 z

−1

+ ... + ene z −ne

(2.72)

−ng

29

2. Control Adaptable Para lograr una soluci´ on u ńica para (2.71) es necesario que nh y ng se elijan como: nh = nb

(2.73)

ng = na − 1 Sabiendo que A y B son coprimos nt ≤ na + nb − nc

(2.74)

Cuando se inserta la ecuación (2.71) en la ecuaci´ on (2.70), se tiene : y (t) =

EB H r (t − 1) + e (t) TC T

(2.75)

El precompensador E se elige para alcanzar un ajuste con la ganancia de baja frecuencia del sistema, mediante la aplicación del teorema del valor final (ver ecuaci´ on (2.33)) · ¸ T (2.76) E=C B z=1 Finalmente el STPAC puede sintetizarse en el siguiente algoritmo: Algoritmo 2.1. STPAC. En cada periodo de muestreo: ˆ B, ˆ C, ˆ de (2.66) Paso 1: Utilizando RLS estimar A, Paso 2: Sintetizar los polinomios de control de: ˆG ˆ = CT ˆ ˆ + z −1 B AˆH ˆ = T (1) Cˆ H ˆ (1) B Paso 3: Generar la salida de control u (t) de: ˆ (t) = Er ˆ (t) − Gy ˆ (t) Hu Paso 4: Esperar a que termine el periodo de muestreo y retornar al paso 1. En el caso donde existen ceros fuera del c´ırculo unitario; es decir, cuando el sistema es de fase no m´ınima se procede a resolver la ecuaci´ on identidad bajo la siguiente modificaci´ on HA + z −1 BG = CT B +

(2.77)

donde B = B + B − y B + contiene los modos estables inversos de B. Estrictamente hablando el STPAC es un controlador autosintonizable, ya que cumple la propiedad autosintonizable [82]. A continuación se bosqueja dicha propiedad. Considere el sistema: (2.78) A0 y (t) = z −1 B0 + C0 e (t) En la notación usual, donde los coeficientes polinomiales son desconocidos. Un algoritmo autosintonizable con asignación de polos para regulación se implanta a partir de una estimaci´ on RLS de A y B que son coeficientes en el modelo: (2.79) Ay (t) = z −1 B + X eˆ (t) 30

2.8 El control de varianza m´ınima generalizado (Clarke) donde X es un polinomio conocido con inversa estable y los grados de A, B son nα , y nβ respectivamente (nα 6= 0) . ˆ B ˆ en el tiempo t, el control u (t) generado de: Dados los estimadores A, ˆ (t) + Gy ˆ (t) = 0 Hu

(2.80)

ˆG ˆ = XT ˆ + z −1 B AˆH

(2.81)

si ˆ →H yG ˆ → G asint´ H oticamente la propiedad de autosinton´ıa prevalece si H y G satisfacen la identidad: A0 H + z −1 B0 G = C0 T

(2.82)

En [82] se presentan un conjunto de condiciones suficientes para satisfacer a (2.82) en todos los puntos de convergencia.

2.8.

El control de varianza m´ınima generalizado (Clarke)

˚ström y Wittenmark La principal debilidad del controlador de varianza m´ınima (MVC), propuesto por A [6], es la incapacidad de afrontar el control de sistemas de fase no m´ınima. Con la intención de superar esta inconveniencia, Clarke y Gawthrop propusieron el control de varianza m´ınima generalizado (GMVC) [19], [20] el cual contempla la inclusi´ on de una salida auxiliar que no s´ olo toma en cuenta la salida del sistema, sino que también incorpora a la referencia y a la se˜ nal de control. Entre otras propiedades el GMVC permite al dise˜ nador definir diversos perfiles en el desempe˜ no, mediante la elecci´ on adecuada de un criterio de optimalidad, el cual se expresa a través de la funci´ on de salida generalizada φ (t + k) = P y (t + k) + Qu (t) − Rr (t)

(2.83)

donde P, Q y R son los denominados polinomios costo, utilizados para modificar el desempe˜ no del control. La labor de los polinomios costo es filtrar la referencia, el control y la salida. Esta realimentaci´ on permite rehubicar las ra´ıces en lazo abierto de B a la ubicaci´ on de las ra´ıces de PB+QA, ya que sustituyendo la ecuaci´ on del sistema en (2.83), se obtiene : φ (t + k) =

PC P B + QA u (t) + e (t + k) − Rr (t) A A

La funci´ on costo a ser minimizada es la varianza de la salida generalizada: £ ¤ J = Ex φ2 (t + k)

(2.84)

(2.85)

En la ecuaci´ on (2.83) puede observarse que en un tiempo t, Qu (t) y Rr (t) , pueden conocerse; por otro lado P y (t + k) está desplazado en el tiempo al igual que la propia salida generalizada, por lo que la ecuaci´ on (2.85) puede dividirse en dos secciones: la primera está relacionada a la acción de control y la segunda a la perturbación, tal que: G PC e (t + k) = F e (t + k) + e (t) A A

(2.86)

donde el polinomio F es relativo a la perturbaci´ on futura y la relaci´ on G/A relativa a las perturbaciones 31

2. Control Adaptable presentes y pasadas. A partir de (2.86), se tiene la identidad: P C = F A + z −k G

(2.87)

si P es m´ onico, F

= 1 + f1 z −1 + ... + fk−1 z −(k−1)

G = g0 + g1 z

−1

+ ... + gng z

(2.88)

−ng

ng = m´ ax (na − 1, np + nc − k) multiplicando F por la ecuaci´ on: Ay (t + k) = Bu (t) + Ce (t + k)

(2.89)

P Cy (t + k) = BF u (t) + Gy (t) + CF e (t + k)

(2.90)

y sustituyendo FA de (2.87),

adicionando CQu (t) − CRr (t) a ambos lados se tiene: C [P y (t + k) + Qu (t) − Rr (t)] = (BF + QC) u (t) + Gy (t) − CRr (t) + CF e (t + k)

(2.91)

lo cual puede factorizarse como: φ (t + k) =

1 [(BF + QC) u (t) + Gy (t) − CRr (t)] + CF e (t + k) C

(2.92)

La función costo minimiza el primer término del lado derecho de la ecuación a 0. El GMVC est´ a dado por: (BF + QC) u (t) = −Gy (t) + CRr (t) (2.93) o bien, Hu (t) + Gy (t) + Er (t) = 0

(2.94)

donde: H = BF + QC E = −CR cuando la ley de control (2.94) es aplicada al proceso, se tiene que: y (t) =

(BF + QC) z −k BR r (t) + e (t) P B + QA (P B + QA)

en la Figura 2-10 se presenta un diagrama conceptual del GMVC. 32

(2.95)

2.8 El control de varianza m´ınima generalizado (Clarke)

Figura 2-10: Diagrama de realimentación conceptual del GMVC. De (2.95) puede apreciarse que si Q = 0, ambos miembros de la ecuaci´ on tienen como factor com´ un B, en el numerador y en el denominador, de esta forma se cancelar´ıan los ceros. Cuando se desea lograr el seguimiento a la referencia debe cumplirse la siguiente condici´ on: BR |z=1 = 1 P B + QA

(2.96)

el an´ alisis presentado muestra una equivalencia entre (2.83) y (2.92). Esta equivalencia es la idea central detrás de un control GMVC. Partiendo de la equivalencia se asume que si se cuenta con (2.83) conocido (es decir, se han propuesto de alguna manera los polinomios P, Q y R) se pueden estimar de (2.83) los polinomios de control H, G y E, basados en esta suposici´ on se eliminan los c´ alculos de los polinomios de control, ya que éstos se estiman directamente de (2.83) y la estructura se vuelve impl´ıcita. La equivalencia entre (2.83) y (2.92) es clara en lo referente a los valores de la salida generalizada, pero no ˆ G ˆ yE ˆ converjan a en cuanto a estructura, por lo cual el funcionamiento del GMVC depende de que H, valores constantes y después que éstos sean los verdaderos. La convergencia de los par´ ametros permanece como una posibilidad [82], pero no puede establecerse, en el posible caso de que los parámetros converjan, la manera en que lo hacen. A continuaci´ on se sintetiza el algoritmo de control para el GMVC. Algoritmo 2.2 (GMVC). En un tiempo t Paso 1. Proponer de alguna forma los polinomios costo y formar la pseudo salida φ (t) φ (t) = P y (t) + Qu (t − k) − Rr (t − k)

(2.97)

ˆ G ˆ yE ˆ de (2.97) Paso 2. Estimar H, Paso 3. Con los polinomios de control conocidos aplicar a ley de control ˆ (t) = −Gy ˆ (t) − Er ˆ (t) Hu

(2.98)

Paso 4. Esperar a que termine el periodo de muestreo y retornar al paso 1. En la Figura 2-11 se presenta un diagrama que contempla la parte de adaptaci´ on. 33


Figura 2-11: Diagrama a bloques del GMVC implementado como una estructura adaptable. A continuaci´ on se presenta un ejemplo donde se implementa el algoritmo de Clarke. Ejemplo 2.4. Suponga el sistema de segundo orden G (s) =

s2

10 + 0.5s + 1

(2.99)

suponga que el sistema es muestreado, eligiendo h=0.5 segundos, al aplicar un ZOH se tiene la funci´ on de transferencia 1.129z + 1.038 (2.100) G (z) = 2 z − 1.562z + 0.7788 se proponen valores para la funci´ on costo de la forma: P

= 0.00121z − 0.0752

(2.101)

Q = 0.998

R = 0.02588 por el momento, en este ejemplo no se plantea la forma en que estos polinomios son propuestos. De (2.101) se construye la función de salida generalizada como: φ (t) = 0.00121y (t) − 0.0752y (t − 1) + 0.998u (t − 1) − 0.02588r (t − 1)

(2.102)

ˆ G ˆ y E. ˆ Se sabe que a partir de (2.102) se tienen que estimar los polinomios de control H, Para continuar con el análisis, se considera que se trabaja con la estructura de estimaci´ on RLS. Si lo que se quiere es estimar los mismos coeficientes que conforman el polinomio (2.102), el regresor tendr´ıa la forma: (2.103) ϕ1 (t) = [y (t) , −y (t − 1) , u (t − 1) , −r (t − 1)] ˆ Q ˆ yR ˆ sino H, ˆ G ˆ y E. ˆ Considerando la estructura equivalente de pero lo que se desea no es encontrar P, la función de salida generalizada de la ecuación (2.92) para el caso F = 1, se tiene: ˆ (t − k) + Gy ˆ (t − k) + Er ˆ (t − k) + e (t) φ (t) = Hu

(2.104)

Se puede observar que la relación (2.104) incluye a las variables del sistema, pero con configuración 34

2.8 El control de varianza m´ınima generalizado (Clarke) diferente, lo cual resultar´ıa en un vector regresor diferente a (2.103). Si se reconstruyera (2.104) a partir de los polinomios costo estimados, considerando (2.88) y luego (2.94) se tendr´ıa: ˆ 1 u (t − 2) + gˆ0 y (t − 2) + gˆ1 y (t − 3) + eˆ0 r (t − 1) ˆ 0 u (t − 1) + h φ (t) = h

(2.105)

considerando un proceso de estimación RLS, el vector de regresión necesario para estimar los polinomios de control tendr´ıa la forma: ϕ2 (t) = [u (t − 1) , u (t − 2) , y (t − 2) , y (t − 3) , r (t − 1)]

(2.106)

Lo que resulta adecuado en el dise˜ no del control, repercute en el proceso pr´ actico de estimaci´ on. Pues si se estiman los polinomios de control de (2.102) se requiere aplicar (2.106). De (2.106) se puede observar dos cosas; que la estructura del regresor es diferente y que (2.106) es de dimensión mayor; es decir, la estimaci´ on de los polinomios de control está sobredimensionada. Desde el punto de vista de control se espera que la estructura RLS opere como un predictor de orden m´ınimo, pero desde la perspectiva de la identificaci´ on la estimaci´ on sobredeterminada puede representar un gran problema [85]. En la Figura 2-12 se presenta el control del sistema para el Ejemplo 2.4 y el proceso de estimaci´ on involucrado. En la Figura 2-12a) se observa un desempe˜ no del control satisfactorio, a pesar de que los par´ ametros estimados var´ıan como puede observarse en la Figura 2-12b), pero al hacerlo conjuntamente, las relaciones en la ley de control pueden prevalecer constantes sin afectar grandemente el desempe˜ no del sistema en lazo cerrado (ver Figura 2-12a)). Al observar el comportamiento de la estimaci´ on de los par´ ametros de control, se concluye heur´ısticamente que puede haber m´ as de una solución v´ alida, pues el comportamiento de los parámetros de estimación delata una dependencia lineal, que guarda relación con la estimaci´ on sobredeterminada. El GMVC presenta un desempe˜ no satisfactorio en la mayor parte de los casos; sin embargo, habrá que considerar que la estimaci´ on sobredeterminada representa un riesgo permanente al desempe˜ no del sistema en lazo cerrado.

Figura 2-12: Control GMVC para el proceso 2.98. 35


2.9.

Acerca del controlador predictivo generalizado (Clarke)

El controlador predictivo generalizado (GPC) fue propuesto por Clarke [22] y fue presentado como un “sucesor natural” del GMVC [23]. Ambos algoritmos comparten algunas propiedades estructurales, como la minimización de una función costo que moldea el desempe˜ no del sistema y el manejo de un horizonte de predicci´ on [8]. Seg´ un Clarke, el GPC permite sortear algunos de los problemas m´ as comunes a los que se enfrenta un STR, como son; una inadecuada elección de orden del sistema y las posibles variaciones en el retardo del mismo. Una vez propuesto el GPC, el autor pr´ acticamente deja de lado desarrollos posteriores sobre la estructura de control propuesta en 1975 y se enfoca de lleno en el estudio del GPC; sin embargo, y como se podr´ a observar en el Cap´ıtulo 3, ha habido un resurgimiento del interés sobre el GMVC durante la u ´ltima década. Dos caracter´ısticas que pueden resaltarse sobre el GMVC son: Su carácter predictivo, La minimizaci´ on de la varianza de la salida generalizada bajo la rector´ıa de una función costo. En el siguiente cap´ıtulo se presenta una propuesta de control asociada al GMVC. Para la s´ıntesis del algoritmo propuesto se consideró que el car´ acter predictivo del algoritmo de Clarke, no ten´ıa una contribuci´ on determinante al desempe˜ no del controlador, ya que el horizonte de predicci´ on es de orden m´ınimo. Esta consideración llevo a una modificaci´ on en la que desaparece del algoritmo propuesto la etapa de predicci´ on y se lleva a cabo una reestructuraci´ on algor´ıtmica que permite al GMVC pasar de su tradicional estructura impl´ıcita a una expl´ıcita. Dicha modificaci´ on orient´ o el desarrollo del trabajo de tesis hacia una vertiente diferente al del GPC, pues en éste u ´ltimo existe un horizonte de predicci´ on que puede ser construido de diferentes formas y dimensiones [21], permitiendo el manejo de cierto nivel de incertidumbre sobre el proceso (y consecuentemente sobre el desempe˜ no del sistema), mientras que en la modificaci´ on del GMVC, el objetivo principal es asegurar un nivel de desempe˜ no en la salida, reduciendo la incertidumbre mediante la anexión de una etapa de inicialización y otra de supervisión. Por lo anteriormente expresado se consider´ o oportuno comparar al algoritmo propuesto en este trabajo, con el algoritmo original GMVC y el STPAC de Wellstead (como podr´ a apreciarse en el Cap´ıtulo 3), sin considerar dentro del marco de pruebas al GPC.

36

Cap´ıtulo 3

Controlador de varianza m´ınima generalizado con asignaci´ on din´ amica de polos 3.1.

Introducci´ on

A pesar de que la formulación original del GMVC incorporó propuestas de control innovadoras, es importante mencionar que este algoritmo presenta un conjunto significativo de limitaciones pr´ acticas. Como puede apreciarse en la secci´ on 2.8, los polinomios costo de la funci´ on de salida generalizada φ, deben dise˜ narse fuera de l´ınea y aunque éstos pueden proponerse de varias formas (lo cual implica flexibilidad), se requiere que el dise˜ nador tenga cierto conocimiento sobre el proceso a controlar (lo cual implica dependencia). Adem´ as si el proceso es susceptible a perturbaciones en los par´ ametros, el desempe˜ no general del sistema controlado podr´ıa degradarse con respecto a las proyecciones iniciales de desempe˜ no, pudiendo en algunos casos llegar a poner en entredicho la estabilidad del lazo cerrado. De tal forma que el GMVC puede usarse adecuadamente y con buenos resultados en aplicaciones particulares, donde existe suficiente informaci´ on del proceso, pero no se pueden tener amplios m´ argenes de confiabilidad cuando se tiene poca informaci´ on del proceso, como ser´ıa el caso que tienen que enfrentar los controladores industriales de campo. A pesar de las desventajas mencionadas, los niveles de desempe˜ no (subóptimos) ofrecidos por el GMVC, posicionan a este controlador como una opci´ on muy atractiva. Un intento por sortear las desventajas anteriormente mencionadas se present´ o por primera vez en [1]; sin embargo, el algoritmo en cuesti´ on depende de la propuesta arbitraria de los polinomios costo y presenta serios problemas de convergencia [82]. En [51], se encuentra una alternativa para solucionar el problema de la inicializaci´ on de parámetros mediante una modificaci´ on en el dise˜ no del controlador; en esta propuesta los parámetros del control no se estiman de la función de salida generalizada, sino que se calculan a partir de una estimaci´ on de se˜ nales prefiltradas asociadas a los par´ ametros de la planta. En a˜ nos recientes, el interés sobre el GMVC se ha incrementado, lo cual se puede atestiguar al encontrar en la literatura un creciente n´ umero de modificaciones, extensiones y aplicaciones de dicho algoritmo, a continuaci´ on se presentan algunos de los casos m´ as representativos: Interacci´ on con otras estructuras de control [52], [89], Extensión al caso multivariable [37], Extensión a sistemas lineales variantes en el tiempo [43], [49], 37

3. Controlador de varianza m´ınima generalizado con asignaci´ on din´ amica de polos Análisis de robustez [50], Aplicaciones industriales varias [73], [88],[58], y recientemente Extensión al caso no lineal [28]. Si se desea que los polinomios costo P y Q de φ (t) , se dise˜ nen para lograr una asignación de polos determinada, se dice que se tiene un controlador de varianza m´ınima generalizado con asignación de polos (GMVPAC). Entonces los polinomios costo se obtienen de la soluci´ on de la ecuaci´ on diofantina: ˆ + AQ ˆ =T BP

(3.1)

donde T es la asignaci´ on deseada de los polos. El GMVPAC tiene dos problemas importantes que enfrentar. El primero se debe a que la estructura de dise˜ no del controlador fuerza una estimación sobreparametrizada, tal como se coment´ o en la secci´ on 2.8, provocando a su vez una inconsistencia estructural; es decir, aunque pudiera haber identificabilidad paramétrica no hay garant´ıa de que los par´ ametros identificados sean los “verdaderos”. Lo cual repercute directamente en que la relaci´ on (3.1) no sea satisfecha. El segundo problema surge incluso suponiendo que los par´ ametros estimados son los correctos, pues si existe perturbaci´ on en los par´ ametros y en alg´ un momento de la elecuci´ on del control, estos son diferentes a los usados en el dise˜ no original de los polinomios costo, nuevamente la ecuaci´ on (3.1) no llegar´ a a satisfacerse. Una posible alternativa para calcular de forma aut´ onoma los polinomios costo en función de una asignaci´ on deseada de polos, y actualizar la ley de control en presencia de perturbaciones paramétricas, se presenta en el diagrama a bloques de la Figura 3-1. Como puede observarse, se requiere una doble estimaci´ on y no se soluciona el problema de la estimación sobreparametrizada, haciendo necesaria la b´ usqueda de soluciones alternas.

Figura 3-1: GMVPAC modificado para enfrentar incertidumbres paramétricas. 38

3.2 El controlador de varianza m´ınima generalizado con asignaci´ on din´ amica de polos En la b´ usqueda de una mejor solución se desarroll´ o un algoritmo de control que comparte con el STPAC la estimación de la planta y con el GMVC la estructura de control, el cual se explicar´ a a detalle en la siguiente secci´ on.

3.2.

El controlador de varianza m´ınima generalizado con asignaci´ on din´ amica de polos

Con la intensión de superar las principales inconveniencias del GMVC, en esta sección se propone una estructura de control, que se basa en el desarrollo de un controlador GMVC cuyos polinomios costo se dise˜ nan en relaci´ on con una asignación deseada de polos. La soluci´ on denominada controlador de varianza m´ınima generalizada con asignación din´ amica de polos, consiste en la reconfiguraci´ on de la arquitectura impl´ıcita del GMVC, utilizando la estructura de dise˜ no subyacente descrita en la secci´ on 2.8, para convertirla en expl´ıcita, adem´ as de a˜ nadir el recálculo en l´ınea de la ubicaci´ on de polos para contemplar los casos de perturbaci´ on paramétrica, todo dentro de un esquema con mayor eficiencia computacional a la estructura presentada en la Figura 3.1. A continuaci´ on se presenta una s´ıntesis del algoritmo propuesto. Algoritmo 3.1. GMVDPAC. En un tiempo t ˆ B ˆ y C. ˆ Paso 1. Usando RLS estimar los polinomios del proceso A, Paso 2. Calcular P y Q de: ˆ + AQ ˆ =T BP ˆ G ˆ yE ˆ de; Paso 3. Con P y Q calcular directamente los par´ ametros del controlador H, P C = F A + z −K G H = BF + QC E = −CR donde R se obtiene para lograr el seguimiento a la referencia de la aplicaci´ on del teorema del valor final ˆ BR | =1 ˆ + QAˆ z=1 PB Paso 4. Con los polinomios de control calculados se aplica la ley de control ˆ (t) = −Gy ˆ (t) − Er ˆ (t) Hu Paso 5. Esperar a que termine el periodo de muestreo y retornar al paso 1. En la Figura 3-2 se presenta la estructura del GMVDPAC dentro de un esquema adaptable. Al estimar la planta, en vez de los polinomios de control se soluciona el problema de sobreestimación en el GMVC, adem´ as de que el sistema se hace m´ as sensible. La inclusión de los pasos 1 y 2 en el algoritmo a su vez permiten actualizar la ley de control en presencia de perturbaciones paramétricas. La s´ıntesis del controlador en el GMVDPAC se realiza directamente, de esta forma se evita estimar H, G y E de φ (t). La idea para calcular estos polinomios, en lugar de estimarlos también se utiliza en [51], aunque de diferente forma. En la Figura 3-3 se presentan las principales caracter´ısticas principales del GMVDPAC y su relaci´ on con los algoritmos STPAC y GMVC. 39

3. Controlador de varianza m´ınima generalizado con asignaci´ on din´ amica de polos

Figura 3-2: Control GMVDPAC.

Figura 3-3: S´ıntesis del GMVDPAC a partir del STPAC y GMVC. 40

3.2 El controlador de varianza m´ınima generalizado con asignaci´ on din´ amica de polos Ejemplo 3.1. Con el fin de ejemplificar la aplicaci´ on del algoritmo y analizar sus propiedades se presenta la función de transferencia de la planta G (s) =

1 e−0.1s s2 + 2s + 1

(3.2)

Aplicando una discretización con un retenedor de orden cero, con un periodo de muestreo h=0.1 segundos y a˜ nadiendo una perturbación, el sistema (3.2) se puede expresar como la ecuaci´ on diferencia y (t) = 1.80967y (t − 1) − 0.81873y (t − 2) + 0.0046788u (t − 2) + 0.004377u (t − 3) + e (t)

(3.3)

Se contemplan las siguientes condiciones de simulaci´ on:

Varianza de la perturbaci´ on de 0.0000123, la cual al interactuar con la dinámica del sistema provoca que la salida tenga variaciones sobre la referencia de aproximadamente 10 %,

Una covarianza inicial Px0 =100I, donde I es la matriz identidad,

Un factor de olvido λ=0.99,

Un tren de pulsos cuadrados de amplitud 2 como la referencia r.

De la ecuación (3.3) se puede establecer que los valores a los cuales el sistema debe converger son: θ = [θ (0) , θ (1) , θ (2) , θ (3) , θ (4)] = [1.81, 0.8187, 0.004679, 0.004377, 1.0] Tras 2000 iteraciones los par´ ametros de estimaci´ on son h i ˆθf = ˆθf (0) , ˆ θf (1) , ˆ θf (2) , ˆ θf (3) , ˆ θf (4) = [1.8099, 0.81869, 0.0046789, 0.004377, 0.9999]

(3.4)

(3.5)

Para este caso se dise˜ na la asignaci´ on de polos para 10.7 % de sobreimpulso máximo como T = z 2 − 1.88z + 0.8896

(3.6)

En la Figura 3-4, se presenta una comparaci´ on entre el lazo abierto y el sistema en lazo cerrado con la ubicaci´ on de polos (3.6). Para la asignaci´ on de polos definida y considerando (3.3), se tienen los polinomios costo: P = −8.6058z + 8.6665 y Q = 1.040266 (3.7) 41


Figura 3-4: Comparación del sistema en lazo abierto y la respuesta deseada demarcada por la ecuación 3.6.

Figura 3-5: a) Seguimiento de la referencia del sistema cuando es controlado con un GMVDPAC, b) Señal de control.

En la Figura 3-5a) se presenta el seguimiento de la referencia por la salida del proceso. Se puede observar que el sistema obedece a la se˜ nal de control s´ olo después de unos pocos segundos, lo cual se debe al proceso de estimaci´ on, como se puede ver en la Figura 3-6. 42

3.2 El controlador de varianza m´ınima generalizado con asignaci´ on din´ amica de polos

Figura 3-6: a) Evolución de los parámetros de estimación en función del tiempo, b) Desempeño de la traza de la matriz de covarianza. La traza de la matriz de covarianza puede considerarse como una medida de confiabilidad en la estimación. La identificabilidad est´ a en riesgo si la magnitud de la traza de Px crece sin cota. En la Figura 3-6b) se muestra que la traza del proceso de estimaci´ on se mantiene alrededor de un valor constante. A continuación se resumen las ventajas fundamentales de la estructura a la que se ha denominado controlador de varianza m´ınima generalizado con asignaci´ on dinámica de polos (GMVDPAC). No se requiere inicializaci´ on de los polinomios costo, Los polinomios costo se actualizan en l´ınea en función de los parámetros estimados de la planta (lo cual es beneficioso si los parámetros sufren perturbaciones), El sistema de control permite la asignaci´ on din´ amica de polos, lo cual disminuye considerablemente fluctuaciones en el desempe˜ no dinámico del lazo cerrado, Los márgenes de estabilidad en el GMVDPAC se modifican en l´ınea para enfrentar posibles perturbaciones en los parámetros del proceso (lo cual se revisa en secciones subsecuentes), El GMVDPAC es algor´ıtmicamente eficiente tanto en tiempo de ejecuci´ on, como en espacio. Desde la perspectiva del an´ alisis algor´ıtmico el GMVDPAC es más simple (Figura 3-2) que la propuesta de la modificaci´ on al GMVC presentada en la Figura 3-1, ya que ésta requiere de 2 estimaciones recursivas de parámetros y una solución de una ecuaci´ on diofantina en l´ınea, mientras que el GMVDPAC lleva a cabo una estimación en l´ınea y la soluci´ on de 2 ecuaciones diofantinas. Si se parte del hecho de que una estimaci´ on basada en m´ınimos cuadrados recursivos requiere de: 32n3 − 17n2 − 3

(3.8)

operaciones computacionales (flops, operaciones de puntos flotantes), donde n es el orden del proceso y para resolver una ecuación diofantina con ayuda de la matriz de Sylvester se requieren: 43

3. Controlador de varianza m´ınima generalizado con asignaci´ on din´ amica de polos 18n3 − 10n2 − 1

(3.9)

pasos, ya que el resultado (3.8) es mayor que el (3.9) (y esta diferencia se hace mayor conforme n aumenta), el GMVDPAC requiere de menos operaciones de c´ omputo que el algoritmo presentado en la Figura 3-1.

3.3.

Estabilidad del controlador de varianza m´ınima generalizado con asignaci´ on din´ amica de polos (GMVDPAC)

Cuando la selecci´ on de los polinomios costo se lleva a cabo bajo el criterio de asignaci´ on de polos, la identidad: P B + QA = T

(3.10)

es necesaria para la obtenci´ on de los polinomios P y Q. El diagrama a bloques de la Figura 3-7, representa conceptualmente el control GMVPA cuando los polinomios costo se obtienen de (3.10) para una asignaci´ on de polos determinada.

Figura 3-7: Diagrama a bloques conceptual del GMVPAC La redución del diagrama a bloques de la Figura 3-7, proveé la función de transferencia: GLC =

BQ P B + QA

(3.11)

El enfoque del algoritmo original GMVC propuesto por Clarke [19], está orientado a sistemas lineales invariantes en el tiempo y no contempla incertidumbres paramétricas; es decir, que el dise˜ no de este controlador asume que los par´ ametros del proceso no tienen variaciones, por lo que los polinomios costo P y Q son constantes durante el proceso de control. De (3.11) se puede suponer que si A y B son los polinomios de un sistema lineal invariante en el tiempo con incertidumbres paramétricas y durante el proceso de control los par´ ametros de la planta sufren una desviaci´ on con respecto a los originales, la identidad (3.10) no se cumplirá.

3.4.

An´ alisis de estabilidad del GMVPAC para sistemas de segundo orden

La elecci´ on de los polinomios costo en el GMVPAC guarda una estrecha relaci´ on con la estabilidad del sistema, ya que éstos delimitan la zona en la que los par´ ametros del modelo lineal pueden variar sin provocar la inestabilidad en lazo cerrado. Un caso representativo que permite apreciar claramente este fenómeno de forma gr´ afica, es el control de procesos que pueden representarse como un modelo lineal de segundo orden cuando nT =2. 44

3.4 An´ alisis de estabilidad del GMVPAC para sistemas de segundo orden Las estructuras de segundo orden son un caso muy representativo del control de procesos industriales. Es una recomendación com´ un en la implementaci´ on de STR’s, la anexi´ on de una etapa de filtrado para poder manipular el proceso con una dinámica dominante de segundo orden. Aunque el controlador tiene una estructura discreta en su implementación, sólo para fines del an´ alisis de estabilidad se emplea un equivalente continuo. Lema 3.1. Dada la planta en lazo abierto: G(s) =

s2

K + a1 s + a2

(3.12)

y un controlador GMVPAC cuyos polinomios costo son de la forma: P (s) = p0 s + p1

(3.13)

Q (s) = 1 y asumiendo el parámetro K fijo en la ecuaci´ on (3.12), entonces, la zona de estabilidad de la planta (3.12) ante perturbaciones en los par´ ametros a1 y a2 , en lazo cerrado con el controlador definido por los polinomios costo (3.13), es la zona E cuyas fronteras est´ an definidas por: ∂a1 = −p0 K

∂a2 = −p1 K en el espacio de par´ ametros a1 − a2 (ver Figura 3-8).

Figura 3-8: Zona de estabilidad definida en función del polinomio costo P. Prueba: Se tiene una planta de la forma: B (s) K = 2 A (s) s + a1 s + a2

(3.14)

na un controlador GMVPAC donde nT = n, si Para (3.14) n=2, de lo que nA = n y nB = n − 2, se dise˜ se tiene que nP = n − 1 y nQ = n − 1, entonces los polinomios costo P y Q pueden expresarse como: P (s) = p0 s + p1

(3.15)

Q(s) = q0 s + q1 45

3. Controlador de varianza m´ınima generalizado con asignaci´ on din´ amica de polos Si al utilizar el GMVPAC, se supone que: ˆ =B, Aˆ=A, ˜ B ˜ Cˆ =C ˜

(3.16)

ˆ (s) + Q (s) Aˆ (s) = T (s) P (s) B

(3.17)

entonces:

donde T es el denominador del sistema en lazo cerrado y representa la asignaci´ on deseada de los polos. Entonces el polinomio caracter´ıstico en lazo cerrado es: ¡ ¢ T (s) = (sp0 + p1 K) + s2 + a1 s + a2 (sq0 + q1 )

(3.18)

si se reduce algebraicamente (3.18), se tiene:

T (s) = s3 q0 + s2 (q1 + a1 q0 ) + s (p0 K + a1 q1 + a2 q0 ) + p1 K + a2 q1 nT = 2 =⇒ q0 = 0 finalmente T (s) = s2 q1 + s (p0 K + a1 q1 ) + p1 K + a2 q1

(3.19)

si T (s) es mónico, q1 = 1. Sabiendo que el polinomio denominador en lazo cerrado es: s2 + s (p0 K + a1 ) + p1 K + a2

(3.20)

Y ya que (3.14) no contempla retardos en el transporte, se obtiene un cálculo de las fronteras de estabilidad a partir del criterio de Routh aplicado a (3.20): 1 p1 K + a2 s2 1 s p0 K + a1 s0 p1 K + a2

(3.21)

para que el sistema en lazo cerrado sea estable, es condici´ on necesaria y suficiente que:

p0 K + a1 > 0

(3.22)

p1 K + a2 > 0 de lo que se deduce que el rango de estabilidad se define por:

∂a1 > −p0 K

(3.23)

∂a2 > −p1 K donde ∂ es utilizado aqu´ı para indicar la frontera de estabilidad dada y la Lema 3.1 está probada. ¤ A continuaci´ on se presenta un ejemplo para ilustrar el Lema 3.1 Ejemplo 3.2. Suponga el circuito RLC de la Figura 3-9. 46

3.4 An´ alisis de estabilidad del GMVPAC para sistemas de segundo orden

Figura 3-9: Circuito RLC. Si los valores de los elementos est´ an dados por: L=8.4572 Henrios; C=.004523 Faradios; R=69.02119 Ohmios. Ya que la funci´ on de transferencia definida para el circuito de la figura es: 1/LC Eo (s) = 2 Ei (s) s + R/Ls + 1/LC

(3.24)

La funci´ on de transferencia para este caso es: 26.14 s2 + 8.161s + 26.14 Suponga que se desea tener una din´ amica del sistema en lazo cerrado, tal que: G(s) =

T = s2 + 3.68s + 9.688

(3.25)

(3.26)

Si se considera un GMVPAC, los polinomios costo continuos están dados por: P (s) = −0.1714157999s − 0.62941652

(3.27)

Q (s) = 1

(3.28)

Entonces puede mostrarse la zona de estabilidad en la Figura 3-10.

Figura 3-10: Zona de estabilidad para el ejemplo 6. La soluci´ on discreta para la ecuaci´ on (3.12) es:

P (z) = −2.597z + 1.7988

(3.29)

Q (z) = 1.25784

47

3. Controlador de varianza m´ınima generalizado con asignaci´ on din´ amica de polos Considerando (3.29) se simul´ o el control para (3.25) bajo las siguientes condiciones:

Matriz de covarianza inicial Px = 100I,

Factor de olvido exponencial λ =0.98,

Estimados iniciales θ0 = (0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5) , Varianza del vector de perturbaci´ on V(e (t)) = 1 × 10−5 .

La amplitud de la varianza es arbitrariamente peque˜ na, para que la respuesta dinámica propuesta por T sea evidente. En la Figura 3-11, se representa la respuesta a la referencia y la se˜ nal de control del GMVPAC.

Figura 3-11: a) Seguimiento a la referencia b) Señal de control.

Suponga ahora que hay una variación en el valor nominal de la resistencia, tal que: R=37.5; de (3.24) los nuevos coeficientes del sistema son a∗1 =4.434 y a∗2 =26.14. Este cambio en la resistencia provoca que los coeficientes del sistema queden fuera de la zona de estabilidad, definida por los polinomios costo dise˜ nados originalmente para (3.25). En la Figura 3-12 se presenta el comportamiento del sistema cuando R cambia. 48

3.5 Estabilidad del GMVDPAC

Figura 3-12: GMVPAC ante el cambio de resistencia. El desempe˜ no mostrado en la Figura 3-12, remarca la limitaci´ on del algoritmo propuesto por Clarke, donde los polinomios P y Q se dise˜ nan de acuerdo a (3.10) (GMVPAC) cuando existen perturbaciones en los par´ ametros. ¤ A continuaci´ on se revisa la zona de estabilidad asociada al algoritmo propuesto GMVDPAC.

3.5.

Estabilidad del GMVDPAC

Gracias a que los polinomios costo no son propuestos fuera de l´ınea y no pierden vigencia debido a que son recalculados permanentemente, las posibles perturbaciones en los par´ ametros pueden ser consideradas en el dise˜ no, permitiendo as´ı, que el sistema permanezca estable en lazo cerrado (siempre que los par´ ametros de estimación converjan a los verdaderos). De lo anterior se puede decir que el GMVDPAC modifica las zonas de estabilidad para permitir la operación segura del sistema ante perturbaciones en los par´ ametros. A continuaci´ on se presenta un Teorema que describe dicho fen´ omeno. Teorema 3.1. Para una planta con funci´ on de transferencia de lazo abierto G(s):

G (s) =

s2

K + a∗1 s + a∗2

(3.30)

en la cual los par´ ametros a∗1 y a∗2 est´ an sujetos a perturbaciones del tipo: a∗1 = a1 + ∆a1 y a∗2 = a2 + ∆a2

(3.31)

si se aplica el GMVDPAC a esta planta, entonces la coordenada (a∗1 , a∗2 ) permanece dentro de la zona de estabilidad dada por las fronteras: 49


∂a1 = a∗1 − t1 ∂a2 =

a∗2

(3.32)

− t2

donde t1 y t2 son los coeficientes del polinomio de asignación de polos: T (s) = s2 + t1 s + t2

(3.33)

Prueba: Considere incertidumbres en el siguiente polinomio denominador: A∗ (s) = s2 + (a1 + ∆a1 ) s + (a2 + ∆a2 )

(3.34)

donde ∆a1 , ∆a2 son perturbaciones aditivas en los parámetros a1 , a2 , definiendo lo siguiente: a∗1 = a1 + ∆a1 y a∗2 = a2 + ∆a2

(3.35)

Entonces el polinomio en lazo cerrado es de la forma: T (s) = s2 + s (p0 K + a∗1 ) + p1 K + a∗2

(3.36)

Cuando existe incertidumbre en los parámetros se tiene que: a∗1 6= a1 y a∗2 6= a2

(3.37)

En el GMVPAC los polinomios costo se obtienen fuera de l´ınea a partir de la solución de la matriz de Sylvester. Bajo el GMVPAC el c´ alculo de los polinomios costo correspondientes se lleva a cabo con a1 y a2 , no con a∗1 y a∗2 ; esto implica que las perturbaciones ∆a1 y ∆a2 pueden ocasionar que el par (a∗1 , a∗2 ) esté fuera de la zona de estabilidad dada por las fronteras del Lema 3.1. El cálculo de los polinomios costo resulta en:     1 q1   q0   = 1 0 1   (3.38)  p1   − a2 + t2  K K p0 − K1 a1 + K1 t1

donde, los par´ ametros t1 , t2 son los correspondientes al polinomio deseado: T (s) = s2 + t1 s + t2

(3.39)

ˆ y Por su parte en el GMVDPAC, el c´ alculo de los polinomios costo se realiza en l´ınea a partir de A ˆ (suponiendo la convergencia en la estimaci´ B on). Bajo este esquema, si existen perturbaciones en los parámetros del sistema, el algoritmo recalcula los polinomios costo correspondientes a los par´ ametros perturbados una vez que a∗1 y a∗2 se han estimado, por lo que es posible asumir: a∗1 =ˆ ˜ a1 y a∗2 =ˆ ˜ a2 y los polinomios costo correspondientes para estos par´ ametros están dados por:     1 q1  q0    0     1  p1  =  − 1 a  ˆ + t 2 2 K K 1 1 p0 −K a ˆ1 + K t1 50

(3.40)

(3.41)

3.5 Estabilidad del GMVDPAC Se sabe del Lema 3.1, que las fronteras de estabilidad para los parámetros del proceso están dadas por:

∂a1 = −p0 K y

(3.42)

∂a2 = −p1 K

Sustituyendo los parámetros dados por (3.41) en (3.42) se tiene que: µ 1 a1 = − − a∗1 + K µ 1 a2 = − − a∗2 + K

¶ 1 t1 K K ¶ 1 t2 K K

(3.43)

Por lo que simplificando en (3.43) se obtiene:

a1 = a∗1 − t1 a2 =

a∗2

(3.44)

− t2

De (3.55) se puede observar que si el polinomio T (s) cumple la condici´ on de Stodola, las fronteras de la ∗ ∗ estabilidad del GMVDPAC envuelven a la coordenada (a1 , a2 ), tal como puede apreciarse en la Figura 3-13.

Figura 3-13: Estabilidad del GMVDPAC. Observaci´ on 3.1. Las magnitudes de ∆a1 , ∆a2 est´ an limitadas en la práctica por la capacidad de los actuadores y sensores; es decir, que aunque algoritmicamente es posible ampliar la zona de estabilidad indefinidamente, la se˜ nal de control podr´ıa alcanzar la saturaci´ on en alg´ un punto.

Sustituyendo el controlador empleado en el Ejemplo 3.2 por un GMVDPAC, puede observarse en la Figura 3-14 que cuando ocurre el cambio de resistencia, el lazo cerrado permanece estable, a diferencia de cuando se aplica el GMVPAC (ver Figura 3-12), ésto debido a que la ley de control se actualiza en presencia de la perturbaci´ on. 51


Figura 3-14: Control GMVDPAC ante el cambio de resistencia. ¤

3.5.1.

Asignaci´ on din´ amica de polos

En las secciones anteriores se han revisado algunos aspectos que guardan relaci´ on con la estabilidad del GMVDPAC. Otra cualidad relevante del GMVDPAC, es la capacidad que el controlador poseé en lo din´ amico para sobreponerse a perturbaciones. Suponga ahora que existe una perturbación en los parámetros; si (3.34) es considerado en: BP + QA∗

(3.45)

donde A∗ es el polinomio de los par´ ametros perturbados, considerando el dise˜ no original, el sistema en lazo cerrado tendr´ıa la forma: s2 + t1 s + (sa∗1 − sa1 ) + t2 + (a∗2 − a2 )

(3.46)

por lo que cuando (3.36) se cumple, en el GMVDPAC se cumple la asignación de polos BP + QA∗ = T

(3.47)

Para revisar lo anterior en un caso real, el control propuesto para el circuito RLC del Ejemplo 3.2 fue implementado en la pr´ actica, considerando una variaci´ on en el valor de la resistencia en el segundo 30, con el fin de generar una incertidumbre paramétrica. En la Figura 3-15 se presenta el efecto de dicha variaci´ on, cuando se aplica el GMVPAC, como puede observarse la respuesta din´ amica se desv´ıa del objetivo original. En la Figura 3-16 se presenta el funcionamiento del GMVDPAC y se observa que la variaci´ on de R es compensada por la se˜ nal de control para preservar el comportamiento delimitado por el polinomio T de consigna. 52

3.5 Estabilidad del GMVDPAC

Figura 3-15: Control GMVPAC.

Figura 3-16: Control GMVDPAC.

53


54

Cap´ıtulo 4

Sistema de soporte al controlador 4.1.

Introducci´ on

Uno de los principales objetivos de la tesis es la operaci´ on aut´ onoma del controlador. En este cap´ıtulo se presenta el procedimiento desarrollado para proveer de arranque aut´ onomo al controlador adaptable presentado en el Cap´ıtulo 3. Adem´ as se expone el desarrollo de un controlador, usado para reemplazar al control adaptable en caso de que este u ´ltimo presente comportamientos poco satisfactorios. El control desarrollado en la tesis denominado GMVDPAC, presentado en el Cap´ıtulo 3, es una estructura con altos niveles de confiabilidad, por lo que la inclusi´ on de un control de respaldo busca principalmente expandir los márgenes de autonom´ıa del sistema. Del control de respaldo a su vez, se espera que sea capaz de mantener un nivel de desempe˜ no aceptable, ante un amplio espectro de condiciones de operaci´ on. También en este cap´ıtulo se presenta el sistema de supervisi´ on desarrollado para monitorear el desempe˜ no del sistema en su conjunto capaz de tomar decisiones de configuración del sistema.

Figura 4-1: Bosquejo del algoritmo de inicialización. 55

4. Sistema de soporte al controlador El procedimiento de inicializaci´ on se lleva acabo previamente a la acci´ on de control. Como primer paso de la inicializaci´ on, el sistema excita al proceso en lazo abierto, para obtener las se˜ nales de entrada y salida del proceso, con el fin de ejecutar procedimientos RLS con modelos internos de diversos o´rdenes. De los procedimientos de estimación recursiva se almacenan tanto las soluciones, como algunos aspectos del desempe˜ no del propio estimador. Con la información recabada durante el proceso de estimaci´ on se realiza un análisis (el cual se describe en la siguiente secci´ on), para obtener las variables de inicializaci´ on necesarias para el control aut´ onomo. En la Figura 4-1 se bosqueja el proceso de inicializaci´ on y se muestra su v´ınculo con el proceso de sinton´ıa del control de respaldo.

4.2.

Inicializaci´ on

En el Cap´ıtulo 1 se mencionan brevemente otras técnicas de inicializaci´ on, como la desarrollada por Lundh ˚ y Aström [46] basada en el an´ alisis en frecuencia y la interpretación heur´ıstica. En [46] se aprovechan las se˜ nales de entrada y salida del sistema (producto de un proceso de autosintonizaci´ on cuando se aplica un relevador realimentado) para proveer de la información necesaria al sistema de arranque del controlador autosintonizable mediante la interpretaci´ on heur´ıstica del an´ alisis espectral resultante. La limitación de la técnica de dicho método, es que es funcional s´ olo para procesos asint´ oticamente estables. Por otro lado, en el Cap´ıtulo 2 se abordan algunos aspectos de la naturaleza lineal de los RLS, como la condici´ on de que los procesos a estimar no tuvieran ra´ıces comunes en el numerador y el denominador del modelo del proceso. Como ya se coment´ o en el Cap´ıtulo 2, la no unicidad de la soluci´ on guarda relación con la excitaci´ on persistente y con el sobredimensionamiento del modelo de estimaci´ on. Dicha situaci´ on representa una inconveniencia de la estimaci´ on RLS; sin embargo, en un cambio de perspectiva, esta situación se aprovecha por el método de inicializaci´ on propuesto en este trabajo. En [85],[86] se describe un fenómeno que sucede en la estimaci´ on RLS cuando el modelo interno está sobreparametrizado, consistente en la tendencia de colocar pares de polos y ceros en la misma posición para compensar el sobredimensionamiento, y minimizar el residuo. Basados en tal premisa cuando se aplica RLS, puede emitirse un diagn´ ostico aproximado acerca de si el sistema de estimaci´ on está sobredimensionado considerando la evoluci´ on del RLS durante la estimación, por lo que si la estimaci´ on est´ a sobredeterminada debido a que el orden del modelo interno fue elegido de orden mayor al “real”, el modelo estimado no tendrá car´ acter coprimo ni unicidad en la soluci´ on (ver Cap´ıtulo 2). Este fen´ omeno en los RLS inspir´ o un proceso de inicializaci´ on que basa su funcionamiento en un sistema experto que discrimina entre modelos internos a partir del fenómeno mencionado. En la pr´ actica diversas situaciones pueden provocar que el desempe˜ no de un proceso de estimación tenga variaciones en relación con el comportamiento esperado, en este sentido Narendra menciona en [54]: “Me gustar´ıa a˜ nadir a este escenario que en 30 a˜ nos durante los cuales fueron llevadas a cabo simulaciones extensivas ¡rara vez me he topado con situaciones (exceptuando ejemplos muy simples) donde los parámetros convergen a los valores verdaderos!, incluso cuando la entrada de referencia es PE (excitada persistentemente), los par´ ametros convergen tan lentamente que para fines prácticos no lo hacen. Uno de los hechos sorprendentes es que a pesar de esto el error de salida del sistema din´ amico tiende a 0”. Por lo anterior para los fines del desarrollo de la estructura de inicializaci´ on presentada en este cap´ıtulo, cobra relevancia el comportamiento cualitativo ante el cuantitativo en la pr´ actica, para establecer el sobredimensionamiento de la estimaci´ on, por lo que se considera m´ as importante la tendencia a la cancelaci´ on de ra´ıces en el desempe˜ no de la estimación, que la cancelaci´ on en si, o la inconsistencia de estimación (que delata la no unicidad de la solución) que la vigilancia estrecha de los residuos. En las siguientes secciones se presenta la metodolog´ıa propuesta para la inicializaci´ on de las variables necesarias para la operaci´ on de la estructura de control, que para el caso del control adaptable persigue la inicializaci´ on de las siguientes variables: Estructura del modelo de estimaci´ on, 56

4.2 Inicializaci´ on Parámetros de identificaci´ on iniciales, θ0 , Matriz de covarianza inicial, Px0 , Factor de olvido, Retardo del sistema, Dise˜ no de asignación de polos, Periodo de muestreo. Y para el caso del control de respaldo, los par´ ametros del controlador.

4.2.1.

Selecci´ on del orden del modelo de estimaci´ on

La elecci´ on del orden del modelo interno se realiza por medio de un procedimiento mediante el cual se excita el sistema, almacenando inmediatamente la respuesta y la entrada de excitaci´ on. Con la informaci´ on disponible, se realiza la estimaci´ on con RLS para los modelos deterministas.

y (t) = a1 y (t − 1) + b0 y (t − 1)

(4.1)

y (t) = a1 y (t − 1) + a2 y (t − 2) + b0 y (t − 1) + b1 y (t − 2)

y (t) = a1 y (t − 1) + a2 y (t − 2) + a3 y (t − 3) + b0 y (t − 1) + b1 y (t − 2) + b2 y (t − 3)

Sólo se utilizan tres modelos de primero, segundo y tercer orden, debido a que la dinámica dominante de la mayor´ıa de los sistemas puede ser sintetizada con estas estructuras [82] y a la vez evitar un aumento excesivo del esfuerzo computacional. Una vez que se tiene la informaci´ on de las tres estimaciones recursivas se procede a realizar el proceso de selección. El método propuesto es básicamente un procedimiento de discriminación. La selecci´ on depende de cumplir tres criterios, en el orden de precedencia: Criterio de ubicaci´ on de polos, Criterio de error, Criterio de convergencia heur´ıstica. Criterio de ubicaci´ on de polos Si se asume que el sistema a identificar tiene la forma. G (z) =

B (z) b0 z m + b1 z m−1 + ... + bm = n A (z) z + a1 z n−1 + a2 z n−2 + ... + an

(4.2)

que también puede expresarse como: Kx G (z) =

m Q

i=1 n Q

i=1

(z − ci )

(z − pi )

,m ≤ n

(4.3)

57

4. Sistema de soporte al controlador Al aplicar RLS, se obtiene el proceso estimado: ˆ x Q (z − cî ) K r

ˆ (z) = G

i=1

s Q

i=1

(z − pî )

,r ≤ s

(4.4)

donde r y s son el orden del numerador y el denominador del modelo de estimación respectivamente. Si el modelo estimado es consistente [82] y s > n, entonces:

ˆ (z) = G

´ m r−m ³ ˆ Q (z − cî ) Q z − dî K i=1 n Q

i=1

(z − pî )

i=1 s−n Q i=1

(z − qî )

, m (r − m) ≤ n (s − n) , di ≈ qi

(4.5)

La diferencia entre la posici´ on del polo y el cero redundante puede definirse como: ∆RLS = |di − qi |

(4.6)

RLS asigna los polos y ceros redundantes para capturar la dinámica del sistema, a la vez que el residuo es minimizado. La magnitud de (4.6) está determinada por el tama˜ no del residuo y la excitación del sistema. Como ya se mencion´ o, si el sistema est´ a sobreestimado el modelo estimado no es coprimo. Esta condici´ on se usa para descartar modelos. Es importante mencionar que (4.5) es un resultado experimental y que para que se cumpla tiene que existir la excitación persistente [8]. Si Px se vuelve singular indica la correlaci´ on de parámetros y al igual que con el criterio de ubicaci´ on de polos se procede a descartar el modelo. Este método no considera, el caso de ceros en el origen del modelo en lazo abierto. Ejemplo 4.1. Para mostrar el efecto de cancelaci´ on de polos y ceros que se da cuando se usan RLS con un modelo interno sobredimensionado, se presenta el modelo de un proceso integrador de la forma: 1 s Suponiendo un periodo de muestreo de h=0.1 segundos, se tiene el modelo discreto: G (s) =

G (z) =

0.1 z−1

(4.7)

(4.8)

A continuaci´ on se realiza en simulación la identificaci´ on RLS, usando los modelos discretos de primero, segundo y tercer orden descritos por la ecuaci´ on (4.1), bajo las siguientes condiciones: λ =0.98, Px0 = 1000I, donde I es la matriz identidad y finalmente θ0m1 = (0.5, 0.5) , θ0m2 = (0.5, 0.5, 0.5, 0.5) , θ0m3 = (0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5) , para las identificaciones deterministas RLS de primero, segundo y tercer orden respectivamente. En la Figura 4-2a) se presenta la respuesta del sistema a la excitaci´ on de un tren de pulsos cuadrados (ver Figura 4-2b)).

58

4.2 Inicializaci´ on

Figura 4-2: Sistema excitado.

El proceso descrito por la ecuaci´ on (4.7), puede utilizarse para representar la posición angular en motores de C.D., por lo que la forma de (4.7) es usual en el dise˜ no de servos de posición. El modelo descrito por la ecuaci´ on (4.7), no tiene ciclo l´ımite en presencia de un relevador realimentado [2], por lo que un método de inicializaci´ on basado en este principio [46] no puede emplearse. En la Figura 4-3a) se presenta el comportamiento de los parámetros de estimaci´ on con modelo interno de primer orden.

Figura 4-3: a) Comportamiento de la estimación primer orden b) Traza de la matriz de covarianza c) Determinante de la inversa de la matriz de covarianza

59

4. Sistema de soporte al controlador En la Figura 4-3b) se observa como después de un determinado tiempo de ejecución de la estimación de primer orden, la traza de la matriz de covarianza decrece para permanecer después en un nivel constante, lo cual denota un proceso de estimación adecuado. La Figura 4-3c) muestra el comportamiento de la traza de la inversa de la matriz de covarianza, el comportamiento de ésta variable es una raz´ on cualitativa ¡ −1 ¢ , puesto que si det P = 0, el sistema es linealmente dependiente, de la independencia lineal de P x x ¡ −1 ¢ se aleje lo m´ as posible y de forma regular de 0 puede inferirse que el modelo de mientras det Px estimaci´ on es el adecuado; se habla de una interpretaci´ on cualitativa, puesto que cuando los parámetros de estimación convergen a los verdaderos, se asume la convergencia si θ ≈ ˆ θ, lo cual implica que ¢ ¡ existen peque˜ nas diferencias entre los par´ ametros reales y estimados que a su vez impiden¡ que ¢det Px−1 sea exactamente igual a cero, de aqu´ı se vuelve importante la interpretaci´ on, pues si det Px−1 se acerca a 0 debe sospecharse dependencia lineal. En la Figura 4-4 se presenta el LGR discreto del modelo de primer orden estimado

Figura 4-4: Figura 4.4: LGR del modelo estimado de primer orden.

Cuando se aplica la estimación LGR utilizando un modelo interno de segundo orden se obtienen los resultados mostrados en la Figura 4-5 En la Figura 4-5a) se observa el comportamiento de los parámetros de estimaci´ on, mientras que en la Figura 4-5b) se observa que la traza crece, lo cual muestra una pérdida de identificabilidad por ¢ ¡ provocada la estructura de identificaci´ on sobredimensionada, en la Figura 4-5c) se aprecia que det Px−1 es menor al presentado por la Figura 4-4c) y se observa que es m´ as cercano a 0. De lo observado en la Figura 4-5, se puede sospechar que el modelo est´ a sobredimensionado. Como ya se mencion´ o, la estimación RLS tiende a superponer polos y ceros cuando la estructura de estimación está sobredimensionada, situación que puede apreciarse en la Figura 4-6 con la redundancia de un polo y un cero. 60


Figura 4-5: a) Comportamiento de la estimación segundo orden b) Traza de la matriz de covarianza c) Determinante de la inversa de la matriz de covarianza.

Figura 4-6: LGR del modelo estimado de segundo orden.

De la aplicación de la estimación LGR, con un modelo interno de tercer orden, se presenta en la Figura 4-7a) el proceso de estimaci´ on en el tiempo, en la Figura 4-7b) ¢ se observa que la traza Px crece conforme ¡ −1 se acerca peligrosamente a cero. La sobrepasa el tiempo, mientras que en la Figura 4-7c) det Px determinaci´ on del modelo interno es evidente y se confirma con la doble redundancia de polos y ceros presentados en la Figura 4-8. 61

4. Sistema de soporte al controlador

Figura 4-7: a) Comportamiento de la estimación tercer orden b) Traza de la matriz de covarianza

c)

Determinante de la inversa de la matriz de covarianza.

Figura 4-8: LGR del modelo estimado de tercer orden.

De lo observado en el Ejemplo 4.1, se puede deducir que sin la estructura del modelo, pero conociendo el comportamiento de la estimaci´ on de primero, segundo y tercer orden, la estructura de estimación del control adaptable para el proceso debe ser de primer orden, ya que para las estimaciones de segundo y tercer orden, los polinomios de los modelos estimados no son coprimos. ¤

62

4.2 Inicializaci´ on Criterio de error Considerando el residuo del proceso de estimaci´ on est´ a dado por: θ (t − 1) ε (t) = y (t) − ϕT (t − 1) ˆ

(4.9)

La sumatoria del residuo absoluto est´ a dada por. εac =

x P

t=1

|ε (t)|

(4.10)

donde x es el tiempo definido para la excitaci´ on inicial. El criterio de ubicaci´ on de polos es suficiente si el sistema que se est´ a estimando es de primer orden, pues los modelos estimados de segundo y tercer orden no serán coprimos, (4.10) se usa como un criterio de desempate si el modelo real es de segundo o tercer orden. Ejemplo 4.2. El caso presentado en el Ejemplo 4.1 es f´ acil de interpretar, ya que s´ olo un modelo de estimaci´ on interno cubre las condiciones m´ınimas de identificabilidad. Sin embargo si se asume el modelo de segundo orden: 1 (4.11) s2 el cual es un doble integrador, usualmente utilizado para modelar sistemas de posición con m´ınima fricci´ on, como los usados en manipuladores espaciales o submarinos. Se usa el modelo (4.11) como ejemplo, pues se trata de un modelo de segundo orden que tampoco cuenta con un ciclo l´ımite. Al discretizar (4.11) con h = 0.1 segundos se obtiene G (s) =

G (z) =

0.005z + 0.005 z 2 − 2z + 1

(4.12)

Para (4.12) s´ olo cuando el modelo interno es de tercer orden existe cancelaci´ on de polos y ceros, lo cual es congruente con lo planteado en esta secci´ on. En la Figura 4-9 se puede observar dicha cancelaci´ on

Figura 4-9: LGR del modelo de estimación de tercer orden. 63

4. Sistema de soporte al controlador Tanto el modelo interno de primer orden como el de segundo cumplen con la condici´ on de que sus polinomios de identificaci´ on sean coprimos. Es aqu´ı donde el criterio de error cobra importancia. Para el caso de primer orden, el error de estimaci´ on acumulado es 1.6714, y para el caso de segundo orden es 0.01781; por lo cual, se puede deducir para este caso que el modelo de estimaci´ on interno para el control adaptable debe elegirse como segundo orden En la pr´ actica, una situación que puede delatar la no unicidad de la soluci´ on, es la variaci´ on extrema o alternancia en el comportamiento de los par´ ametros de estimación, por lo que se define a continuaci´ on un u ´ltimo criterio de validación. Criterio de convergencia heur´ıstica El desempe˜ no del procedimiento de estimación tiene un comportamiento particular cuando es sobreestimado, pues el proceso pierde consistencia [82]. Suponga ahora que el vector de estimaci´ on cuando la perturbación es ruido blanco, es definido como: θ = [θ0 , θ1 , θ2 , ..., θ 2n+1 ]

i = 0, 1, ..., 2n + 1

(4.13)

de lo cual se tiene que θi puede expresarse como el vector de longitud x : θi = [θi0 , θi1 , θi2 , ..., θx ] Si (4.14) se representa ahora como:

£ ¤ θi = w1 , w2 , ..., wx/v

(4.14)

(4.15)

donde w1 , w2 hasta wx/v son v segmentos de la misma dimensi´ on del vector (4.14), denominadas en este trabajo como ventanas. De tal forma, que se puede decir que hay convergencia (en particular consistencia) heur´ıstica cuando: (4.16) var (w1 ) > var (w2 ) > ... > var(wx/v ) ¡ 2¢ donde var es la varianza σ del vector involucrado. A continuaci´ on se resume el procedimiento de selecci´ on de orden del modelo interno, en el siguiente algoritmo: Algoritmo 4.1. Para la elecci´ on del orden del modelo de estimaci´ on Paso 1. Excitar al proceso con un tren de pulsos en lazo abierto y guardar las se˜ nales de excitaci´ on. Paso 2. Con las se˜ nales de excitaci´ on, aplicar RLS usando los modelos descritos por la ecuaci´ on (4.1). Paso 3. Del comportamiento exhibido por los procesos de estimaci´ on definir el orden del modelo interno considerando a) Si s´ olo el modelo estimado de primer orden es coprimo, se elige una estructura de primer orden, b) Si el modelo de tercer orden es el u ńico que no es coprimo, se elige el modelo de segundo orden si su proceso de estimaci´ on es consistente y su error acumulado es el menor, c) Si todos los modelos estimados son coprimos se opta por un modelo interno de tercer orden si su proceso de estimaci´ on es consistente y su error acumulado es el menor. En caso de no satisfacer la validaci´ on se opta por un modelo de segundo orden. NOTA: Para la adquisici´ on de se˜ nales debe usarse un filtro pasabajas. Efectividad del m´ etodo de selecci´ on de orden Para medir el nivel de efectividad del proceso de selecci´ on de orden del modelo interno se realiz´ o una prueba estad´ıstica. Debido a que la evaluación del desempe˜ no del algoritmo de selección de orden se 64

4.2 Inicializaci´ on dificulta en la pr´ actica debido a la falta de una referencia, se desarrollaron pruebas en simulación, ya que es m´ as fácil medir el porcentaje de acierto si se conoce con certeza el orden del proceso. Para la prueba se desarrolló un programa que genera aleatoriamente, funciones de transferencia continuas, cuyo orden del denominador es máximo n=3, mientras que el orden del numerador es m´ aximo n − 1. Por su parte los coeficientes de la funci´ on son generados aleatoriamente con valores que var´ıan en un rango continuo entre 0 y 10. Una vez que el modelo es generado, se ejecuta el programa de selecci´ on de orden el cual excita inicialmente al modelo con un tren cuadrado de pulsos. Con los datos generados a partir del proceso de excitaci´ on, el método para selecci´ on de orden realiza una propuesta del orden del modelo interno. Para las pruebas se generaron aleatoriamente 100 procesos, con los que se prob´ o la efectividad del algoritmo de selecci´ on de orden teniendo éste un porcentaje de acierto del 94 %. Los desaciertos estuvieron relacionados en todos los casos para procesos de tercer orden, en 5 de los 6 desaciertos el sistema propuso modelos de segundo orden, mientras que en el restante, la propuesta fue de primer orden.

4.2.2.

Inicializaci´ on de par´ ametros iniciales

Los par´ ametros iniciales del control adaptable se ajustan como los par´ ametros finales (se asume convergencia) del procedimiento de estimaci´ on, de la estructura cuyo orden haya sido seleccionada.

4.2.3.

Asignaci´ on de polos

La configuración para definir la asignaci´ on de polos en el sistema aut´ onomo, consiste en una asignación de primer orden cuando el procedimiento de inicializaci´ on opta por una estructura interna de primer orden, tal que: (4.17) τ d = 0.7τ es decir, se propone una asignaci´ on de polos que dinámicamente sea 30 % m´ as rápida que en lazo abierto. Para el caso del segundo orden tanto como del tercero, se propone una asignación deseada de polos de segundo orden que cumpla (4.18) tsd = 0.7ts y Mpd = 10 % Ambas configuraciones son válidas cuando la referencia deseada no supere el 50 % del rango máximo permisible de acci´ on de la variable de salida. Si la referencia se ecuentra entre el 50 % y el 80 % se realiza una evaluaci´ on numérica para la magnitud de la se˜ nal de control, para obtener el pico m´ aximo de ésta, y se ejecuta un algoritmo que reduce las expectativas en reducci´ on de tiempo, aplicando incrementos; es decir, si el tiempo que el sistema pasa en saturaci´ on supera el 30 % del tiempo de establecimiento del proceso en lazo abierto, la expectativa del tiempo pasa del 70 % al 80 % del tiempo de establecimiento en lazo abierto, se eval´ ua nuevamente la respuesta del control, y si se cumple con la condicionante se conserva la propuesta de asignación de polos. Este proceso se repite con intervalos definidos hasta cumplir una asignaci´ on de polos necesaria. El inicializador también considera el ajuste manual de la asignaci´ on de polos mediante el dise˜ no de la respuesta dinámica deseada. Los criterios utilizados para el dise˜ no de los polinomios de asignaci´ on de polos se proponen como una relaci´ on heur´ıstica entre el comportamiento del actuador, la referencia y la ganancia de lazo abierto del proceso. Debido a la dificultad que representar´ıa obtener una relaci´ on generalizada que se adaptara a cualquier rango de actuaci´ on, se eligi´ o el est´ andar ISA de 4 a 20mA. Si suponemos que usamos un controlador cuyas entradas y salidas est´ an normalizadas dentro del estándar de 4 a 20mA podemos suponer una ganancia unitaria. Con fines ilustrativos se utiliza un proceso particular con dos polos en -1, lo cual resulta en un tiempo de establecimiento de 5.84 (usando la funci´ on settling time de Matlab). Suponiendo un tope para la se˜ nal de actuación equivalente al 90 %, tenemos un m´ aximo de 18.4 mA (si se restan los 4mA del inicio del rango se tendr´ıan 14.4mA como tope de actuaci´ on). Tomando como referencia 14.4mA como m´ aximo valor neto posible al actuador, podemos establecer en funci´ on de 65

4. Sistema de soporte al controlador porcentaje del rango, los m´ aximos valores de actuaci´ on para diferentes tiempos de establecimiento en lazo cerrado (Ver Figura 4-10).

Figura 4-10: Múltiplo valor porcentual en el actuador. En la Figura 4-10 se exploran la se˜ nales m´ aximas de control cuando se requiere alcanzar porcentajes que van desde 0.2 hasta 3 veces el tiempo de establecimiento. Para lograr que la se˜ nal de control no llegue al tope del actuador, es necesario dise˜ narla para que el tiempo de establecimiento en lazo cerrado sea muchas veces mas lento que en lazo abierto. Observando la Figura 4-10, podemos observar que 0.7 del tiempo de establecimiento en lazo abierto como propuesta inicial, puede llegar a tener un m´ aximo porcentual de la se˜ nal de control del 200 %, esto significa que teniendo la se˜ nal de control saturada (ver Figura 4-11), el controlador sólo estar´ıa en saturaci´ on el 17 % del tiempo de establecimiento de la planta, lo cual vuelve a este criterio una alternativa viable para el dise˜ no de asignación de polos.

Figura 4-11: Señal de control saturada 66


4.2.4.

Selecci´ on del periodo de muestreo

Para sistemas asintóticamente estables el periodo de muestreo se calcula como: h=

4.2.5.

ts 50

(4.19)

Factor de olvido

La elecci´ on del factor de olvido modifica de forma fundamental el comportamiento de la matriz de on (como se ver´ a mas adelante) se opta por un covarianza Px , como ésta es una variable de supervisi´ factor de olvido λ constante de 0.99.

4.2.6.

Matriz de covarianza

La matriz de covarianza se debe inicializar seg´ un [82], como: Px0 = Kcov I

(4.20)

donde Kcov debe elegirse entre 100 y 1000 si el conocimiento del proceso es escaso y entre 1 y 10 si hay informaci´ on sobre el sistema. Gracias al proceso de inicializaci´ on se opta por Kcov = 10.

4.2.7.

Detecci´ on del retardo

El valor del retardo se obtiene directamente de la salida del sistema en lazo abierto, contando los muestreos hasta obtener una respuesta del sistema una vez que una entrada de excitación se ha aplicado (Figura 4-12).

Figura 4-12: Obtención del retardo del sistema. Wn es la amplitud de la variaci´ on de la salida del proceso con entrada 0. El conteo de muestreos se realiza hasta: (4.21) y > max (Wn ) El n´ umero de muestreos contabilizados se denomina k. La reducci´ on del costo computacional es muy importante. Para evitar un incremento en la dimensi´ on de a definido por: Px , cuando el regresor est´ ϕ (t − 1) = [−y (t − 1) ... − y (t − n) , u (t − 1) ...u (t − n) ...e (t − 1) ...e (t − n)]

(4.22) 67

4. Sistema de soporte al controlador cuando k > 0 se redefine el regresor como: ϕ (t − 1) = [−y (t − 1) ... − y (t − n) , u (t − 1 − k) ...u (t − n − k) ...e (t − 1) ...e (t − n)]

4.2.8.

(4.23)

Excitaci´ on de procesos inestables

El proceso de inicializaci´ on en simulación es completamente funcional, tanto para sistemas estables como inestables; sin embargo, en la pr´ actica hay que mencionar que la metodolog´ıa propuesta sólo es v´ alida para sistemas que tienen sus ra´ıces en el semiplano izquierdo y sobre el eje imaginario. Un sistema inestable no puede excitarse en la pr´ actica en lazo abierto (por los riesgos que representa), y para excitarlo en lazo cerrado se requiere conocimiento del proceso. El GMVDPAC tiene capacidad para controlar sistemas inestables y de fase no m´ınima, sin embargo para llevar a la pr´ actica este caso, ser´ıa necesario que el usuario brinde la información necesaria para el arranque.

4.3.

Control de respaldo

El control de respaldo juega un papel de suma importancia en la estructura del sistema en general, puesto que vuelve al sistema redundante y los m´ argenes de confiabilidad se expanden. En a˜ nos recientes se ha aprovechado la capacidad de optimizaci´ on de los algoritmos genéticos en el control. En lo concerniente a los controladores PID, los algoritmos genéticos se emplean para optimizar los controladores ante condiciones particularmente demandantes. La idea b´ asica del PID genético es la formación de un cromosoma [27] cuyo contenido genético sean las ganancias del controlador PID como se muestra en la Figura 4-13.

Figura 4-13: Representación genética Cada cromosoma es probado y evaluado. Los individuos con aptitud superior al promedio tendrán mayores oportunidades de reproducción. Las ganancias que permiten un mejor desempe˜ no del control tienen mayor oportunidad de heredar su perfil del cromosoma. Para el caso particular del PID genético directo se usa la estructura de control PID ¶ µ Z de (t) 1 t (4.24) e (t) dt + Td u (t) = Kc e (t) + Ti 0 dt y en particular su equivalente discreto para el algoritmo de posici´ on ¸ · n Td hP (e (k) − e (k − 1)) e (i) + u (k) = Kc e (k) + Ti i=0 h

(4.25)

En la Figura 4-14 se presenta un diagrama donde se representa el funcionamiento del PID Genético Directo. El sistema usa el modelo estimado por RLS, del orden definido por la inicialización, el cual se utiliza para evaluar la sintonizaci´ on del sistema en cuesti´ on. Por medio de la funci´ on de aptitud [27] se establece un criterio de desempe˜ no. 68

4.3 Control de respaldo

Figura 4-14: Estructura del PID Genético Directo. Uno de los aspectos m´ as importantes que debe considerarse en el proceso evolutivo, es el acotamiento del esfuerzo de control, por lo que la funci´ on contempla una penalización a la saturación como:  x   P |e (t)| , m´ın (u) > Sl ∧ m´ ax (u) < Sh  f.a. (4.26) t=1   baja aptitud m´ın (u) > Sl ∧ m´ ax (u) < Sh

En la Figura 4-15 se presentan los l´ımites de saturaci´ on del actuador, dichos l´ımites pueden ajustarse en el proceso evolutivo, para desalentar esfuerzos del controlador que el operario considere excesivos, aunque sean inferiores a los l´ımites de saturación naturales.

Figura 4-15: L´ımites de saturación del actuador. En la Figura 4-16a) se presenta el control PID genético directo para el proceso del Ejemplo 4.2 una vez que se cuenta con el modelo interno. En la Figura 4-16b) se presenta la evolución de la función de aptitud 69

4. Sistema de soporte al controlador a través de 10 generaciones. El cromosoma más apto, para el ejemplo particular arroj´ o un conjunto de ganancias de control, como Kc =0.39, Ti =9.11 y Td =9.24, como puede apreciarse el algoritmo genético evolucionó una ganancia derivativa relativamente grande para compensar la acci´ on del doble integrador. Como puede apreciarse en la Figura 4-16 el desempe˜ no del control es satisfactorio, hay que hacer hincapié en que ning´ un método de sintonización basado en las reglas de Ziegler y Nichols es u ´til para la sintonización de un proceso de esta clase.

Figura 4-16: a) Seguimiento de la referencia del sistema cuando es controlado con el PID genético directo b) Funci´ on de aptitud.

4.3.1.

Criterio de paro

La ejecuci´ on de un algoritmo genético usualmente es detenida mediante un criterio de paro que involucra la consecuci´ on de una meta, la cual podr´ıa ser alcanzar una cota m´ınima de error, o la m´ınima satisfacción para un problema. La principal desventaja de detener un algoritmo de esta forma consiste en el hecho de que es muy dif´ıcil predecir el tiempo que le puede tomar alcanzar al algoritmo una solución satisfactoria. Del otro lado del espectro queda el establecer un n´ umero fijo de generaciones que nos permitan determinar un tiempo determin´ıstico de ejecuci´ on para el algoritmo. Desafortunadamente al aplicar esta alternativa de solución, no se puede garantizar una cota de error. Para sortear ambas dificultades se propuso determinar a partir de pruebas estad´ısticas, un n´ umero m´ınimo de generaciones que cumpliera con una cota de desempe˜ no determinada. Dado que el tama˜ no del problema de optimizar el n´ umero de generaciones para obtener los par´ ametros de optimización para cualquier proceso ser´ıa inconmensurable, se opt´ o por realizar las pruebas para un proceso u ńico de la forma: 1 (4.27) s2 + 2s + 1 lo cual si bien no garantiza un desempe˜ no global, da una idea de cómo ajustar el tiempo de ejecuci´ on del algoritmo de una manera aceptable. G (s) =

70

4.3 Control de respaldo El experimento se llevo a cabo modificando el n´ umero de generaciones de 2 a 20, para 25 muestras (se ejecut´ o el algoritmo genético para cada n´ umero determinado de generaciones en 25 ocasiones, y se obtuvieron valores de desempe˜ no promedio). En la Figura 4-17 se presenta el comportamiento del tiempo de ejecuci´ on (en segundos), con relación al n´ umero de generaciones, como puede observarse la relación es pr´ acticamente lineal, de lo que se puede presumir un aumento directamente proporcional en el tiempo de ejecución al aumentar el n´ umero de generaciones que se definan para el algoritmo.

Figura 4-17: Relación tiempo de ejecución del algoritmo versus número de generaciones. En la Figura 4-18 se presenta el comportamiento del IAE promedio, con 25 muestras para diferentes n´ umeros de generaciones (las x representan los puntos de prueba, mientras que la l´ınea representa una interpolación lineal). Contrario a lo que podr´ıa pensarse, no necesariamente un mayor n´ umero de generaciones garantiza un menor error, una de las razones es que el algoritmo genético no emplea elitismo [16] y las u ´ltimas generaciones podr´ıan tener una función de aptitud inferior a algunas de sus predecesoras. En particular la mayor funci´ on de aptitud (el menor IAE) se consigue estad´ısticamente como puede apreciarse en la Figura 4-18, al ejecutar 10 generaciones, lo cual implica en referencia a la Figura 4-17 un tiempo de ejecución inferior a un minuto (usando Matlab 6 sobre Intel Centrino). Existen casos reportados donde similarmente se tienen muy pocas generaciones fijas para un PID genético y se alcanzan buenos resultados [41].

71


Figura 4-18: Relación IAE promedio obtenida versus número de generaciones.

4.3.2.

Comportamiento del proceso evolutivo ante diferentes niveles de mutaci´ on

Ya que el algoritmo genético propuesto para el PID genético directo es de 8 bits, la longitud del cromosoma es 24. El porcentaje de mutaci´ on definido para el sistema es 10 %, lo cual significa alterar el valor l´ ogico de un bit de 10 cromosomas en una población de 100. En otras palabras significa la alteración del 0.00416 % del contenido genético de la poblaci´ on medido en bits. Las razones que llevaron a la selecci´ on de este porcentaje de mutación tienen que ver con el comportamiento de la máxima funci´ on obtenida para un porcentaje de mutación dado. La variaci´ on efectiva de los tiempos de ejecución por modificaci´ on de los porcentajes de mutación es m´ınima (para un mismo tama˜ no de población y un n´ umero de generaciones establecido), por lo que es muy dif´ıcil de medir al ejecutarse la simulaci´ on sobre una plataforma multitarea (Windows), y aunque estrictamente hablando, aumentar el porcentaje de mutación repercute en mayor n´ umero de operaciones, la dificultad de la medici´ on impide apoyarse en este factor para tomar una decisi´ on. Para obtener el IAE promedio se llevaron a cabo 10 pruebas para un mismo porcentaje de mutaci´ on, cada una de ellas para 10 generaciones en todos los casos. Se realizaron pruebas para ´ındices de mutaci´ on que van desde el 0 % hasta el 30 %, en la Figura 4-19 se ilustran los resultados. Como podemos observar en la Figura 4-19, el m´ınimo error promedio se obtuvo con un 10 % de la mutación del algoritmo genético. La gr´ afica presenta con “x” los puntos de prueba, mientras que la l´ınea que une a dichos puntos es el resultado de una interpolación lineal de octavo orden. Dicha curva representa un comportamiento complejo, pues se pueden observar varios m´ınimos. En particular se selecciona la mutaci´ on del 10 %, puesto que ésta demarca el m´ınimo global de la curva.

72

4.4 Supervisi´ on

Figura 4-19: Comportamiento del IAE promedio (10 muestras), para diferentes porcentajes de mutación.

4.4.

Supervisi´ on

En la literatura disponible sobre supervisi´ on de sistemas adaptables, la inicialización y el control de respaldo forman parte de un concepto general de supervisión [31], [39], [46]. En particular en este cap´ıtulo la supervisión es referida como la etapa de monitoreo para la operaci´ on del control adaptable. La estructura de supervisi´ on es un módulo basado en sistemas expertos, la cual sintetiza el conocimiento heur´ıstico necesario para establecer un margen de operación seguro del control adaptable. Dicho sistema experto es en esencia un sistema de diagn´ ostico rápido, que establece acciones para salvaguardar la operación del sistema de control. Las principales variables de supervisión utilizadas en esta etapa, est´ an definidas en función de factores necesarios para el adecuado funcionamiento del GMVDPAC: Estabilidad en lazo cerrado, Identificabilidad del proceso, Error de seguimiento, Respuesta del sistema ante cambios de carga.

4.4.1.

Estabilidad en lazo cerrado

Cuando se aplica un controlador del tipo GMV, el lazo cerrado tiene la forma descrita por la ecuaci´ on (2.95), por lo que puede observarse, que la relaci´ on (3.1) determina la ubicaci´ on de los polos en lazo cerrado. Para supervisar la estabilidad del sistema durante el proceso recursivo, puede establecerse la relaci´ on (3.1) mediante un proceso de identificaci´ on RLS que involucra la salida del proceso y a la referencia del mismo en lazo cerrado. La ubicaci´ on de los polos respecto al tiempo puede monitorearse, como se puede observar en la Figura 4-20, cuando se controla el proceso descrito en el Ejemplo 3.1 del Cap´ıtulo 3. 73


Figura 4-20: a) Comportamiento de los polos en lazo cerrado con respecto al tiempo, la dirección de las flechas muestran la dirección de la migración de los polos en función del tiempo, b) proyección ε., Las X representan la ubicación de polos definida por T, c) Asignaci´ on de los polos con respecto al tiempo, los trapezoides representan la proyecci´ on ε.

Cuando la estimación acaba de comenzar, los polos pueden quedar fuera por algunos muestreos del c´ırculo unitario, pero una vez que los par´ ametros han convergido los polos no deben salir del c´ırculo unitario. 74

4.4 Supervisi´ on Una forma indirecta de medir la inestabilidad del sistema en lazo cerrado es a través del comportamiento de la se˜ nal de control, por lo que la magnitud de u, puede ser u ´til para definir las condiciones de operaci´ on a través de la regla heur´ıstica

Si |u| > cota max . entonces control adaptable OFF y control de respaldo ON

4.4.2.

(4.28)

Identificabilidad del proceso

La identificabilidad [82] de parámetros, es un concepto fundamental en la identificaci´ on de parámetros. Como se estableci´ o en el Cap´ıtulo 2. La correlaci´ on de los elementos del vector de datos, se debe fundamentalmente a la falta de excitación persistente o a casos de sobreparametrizaci´ on. La identificabilidad de un proceso se puede determinar a través de la verificaci´ on de la independencia lineal de Px . Si la inversa de la matriz Px se vuelve singular pueden tomarse acciones mediante el uso de la regla:

Si det(Px )−1 = 0 entonces control adaptable OFF y control de respaldo ON

(4.29)

La traza de la matriz de covarianza es una variable de supervisi´ on u ´til, pues a partir de ella se pueden deducir dos cosas, si el proceso est´ a en riesgo de ser no identificable y/o que los par´ ametros de estimaci´ on no est´ an convergiendo; en presencia de ambas condiciones, la operaci´ on del control adaptable debe detenerse, por lo cual se aplica el procedimiento

Si tr(P x) > cota max. entonces control adaptable OFF y control de respaldo ON

(4.30)

A través de la interpretaci´ on de la traza, el sistema de supervisión desarrollado puede realizar algunas acciones correctivas en la etapa temprana de la anomal´ıa. La primera acci´ on propuesta si se detecta un crecimiento de la traza de la matriz de covarianza (mientras no se alcance la cota m´ axima) es la propuesta en [85], la cual consiste en enriquecer el regresor artificialmente una vez que se ha establecido un sobredimensionamiento tal que: ¡ ¢ y (t) = θT ϕ + e (t) − θT v (t) ,

ϕ=ϕ ¯ + e (t)

(4.31)

donde ϕ ¯ es el regresor para el sistema sobredimensionado y v(t) es el término agregado para asegurar que ϕ este excitado adecuadamente; seg´ un [85], v(t) debe seleccionarse con ruido blanco gausiano con media cero. La segunda acción se lleva acabo cuando el modelo interno que se est´ a aplicando es de segundo orden, si la traza tiene una tendencia creciente se realiza la conmutaci´ on del modelo interno a uno de primer orden, de la forma: Si t r (Px ) tiene una tendencia creciente ∧ t r (Px ) < cota max , entonces modelo interno de segundo orden OFF y modelo interno de primer orden ON Si la causa de la anomal´ıa es la falta de excitaci´ on persistente, la conmutación al control de respaldo es un paso necesario. 75


4.4.3.

Error de seguimiento

La supervisi´ on del error se inicializa cuando el error instant´ aneo supera una cota permitida, y se realiza el procedimiento max P Si |e(k )| > cota max1 . entonces e (k) , (4.32) k=1

Si

max P

e (k) > cota max2. entonces . . .

k=1

control adaptable OFF y control de respaldo ON max P Si |e(k)| < cota max1. entonces e (k) = 0 k=1

4.4.4.

Respuesta de sistema ante cambios de carga

Los cambios de carga pueden detectarse de la siguiente manera Si u aumenta e y disminuye entonces CAMBIO DE CARGA Si CAMBIO DE CARGA entonces detener la adaptaci´ on Si CAMBIO DE CARGA contar tiempo t Si t > tiempo max. entonces control adaptable OFF y control de respaldo ON

(4.33)

Este proceso est´ a inspirado en el método propuesto por [31], y utiliza un filtro pasa altas a la salida del controlador para sensar la variaci´ on.

4.4.5.

Simulaci´ on

A continuación se presentan algunos ejemplos en simulaci´ on asociados al sistema de supervisi´ on descrito en las secciones anteriores. En la Figura 4-21 se presenta el comportamiento del sistema (3.2) controlado con el GMVDPAC, cuando los parámetros iniciales del proceso adaptable son ajustados con la informaci´ on obtenida del proceso de inicializaci´ on, como puede observarse en la Figura 4-21b), no existe un pico inicial en la se˜ nal de control. En la Figura 4-22 se observa que cuando el control usa el procedimiento de inicializaci´ on, los polos permanecen siempre dentro del c´ırculo unitario. De lo mostrado en la Figura 4-22, se puede observar que el proceso de inicializaci´ on tiene un impacto muy positivo en el desempe˜ no del sistema y en la estabilidad de lazo cerrado. En la Figura 4-23, se presenta el arranque del sistema con el control de respaldo: el PID genético directo. Después del segundo 100 el sistema conmuta al modo adaptable; la conmutaci´ on es arbitraria, con fines ilustrativos. Con la finalidad de probar el supervisor, en caso de inestabilidad en lazo cerrado en simulación, se hacen los polos inestables de T en el segundo 100. En la Figura 4-24, se observa el comportamiento de los polos en esta situaci´ on y en la Figura 4-25 se observa la respuesta en el tiempo ante el fallo provocado. Finalmente en la Figura 4-26 se presenta la conmutación entre controles, cuando la supervisi´ on est´ a activada. Este proceso se lleva a cabo midiendo el exceso de se˜ nal de control descrito en la secci´ on 4.4, lo cual es conveniente, pues se puede actuar r´ apido y rescatar oportunamente el sistema de una disfunción. 76

4.4 Supervisi´ on

Figura 4-21: Comportamiento del sistema cuando los parámetros iniciales del control adaptable son proporcionados por el procedimiento de inicializaci´ on.

Figura 4-22: Comportamiento de los polos en lazo cerrado cuando los parámetros iniciales del control adaptable son proporcionados por el procedimiento de inicializaci´ on

77


Figura 4-23: Arranque del sistema bajo el control de respaldo

Figura 4-24: Falla provocada al definir los polos de T fuera del c´ırculo unitario

78

4.4 Supervisi´ on

Figura 4-25: Falla Comportamiento del control adaptable en el tiempo cuando los polos de T se trasladan fuera del c´ırculo unitario.

Figura 4-26: Conmutaci´ on al modo respaldo por la falla provocada.

79


80

Cap´ıtulo 5

Resultados y Aplicaciones 5.1.

Introducci´ on

En este Cap´ıtulo se presentan a través de simulaciones y pruebas pr´ acticas resultados obtenidos a partir de la implementaci´ on del sistema de control desarrollado en la tesis.

5.2.

Implementaci´ on y evaluaci´ on general

En esta sección se presenta un an´ alisis del procedimiento necesario para la implementaci´ on del controlador de varianza m´ınima generalizado con asignaci´ on din´ amica de polos (GMVDPAC). Además se presenta una evaluaci´ on llevada a cabo al GMVDPAC, con ayuda de un conjunto de pruebas realizadas sobre un lote de plantas, que involucraron con fines comparativos a otras estrategias de control.

5.2.1.

Implementaci´ on del GMVDPAC

El procedimiento de implementación del controlador GMVDPAC se revisa en funci´ on de n, que es el orden del polinomio A. ˆ → B, Cˆ → C, por lo cual en lo subsecuente se Para fines del siguiente análisis se asume: Aˆ → A, B hará referencia a ellos como los verdaderos. Implementaci´ on digital del GMVDPAC para n = 1 Cuando el modelo del proceso tiene la forma: G (z) =

b0 z + a1

(5.1)

donde (5.1) puede representar tanto a un proceso estable, inestable o integrador. El polinomio de ubicación de polos en este caso tiene la forma: T = t0 z + t1

(5.2)

ya que nT = 2n − 1. Las ra´ıces del polinomio de ubicaci´ on de polos T, deben permanecer dentro del c´ırculo unitario para alcanzar una ubicación de polos estable en lazo cerrado. Cuando los polinomios costo del controlador GMVC se dise˜ nan para satisfacer una asignación de polos, es necesario resolver la identidad: P B + QA = T (5.3) 81

5. Resultados y Aplicaciones Una forma de solucionar (5.14) es mediante el planteamiento de la matriz de Sylvester como: M=

·

a1 b0 1 0

¸−1 ·

t1 t0

¸

=

·

q0 p0

¸

(5.4)

De manera que los polinomios P y Q tienen la forma: P

= p0

(5.5)

Q = q0 En el GMVDPAC los polinomios F y G se calculan a partir de: P C = F A + z −k G

(5.6)

Para el caso donde se cuenta con una funci´ on de transferencia, como la definida por la ecuación (5.1), el orden para el polinomio de la perturbación c es n c ≤ nA , de tal forma: c = c0 z + c1

(5.7)

Por lo que la soluci´ on de (5.6) está dada por: f0 = p0 c0

(5.8)

g0 = c1 p0 − a1 c0 p0 Entonces el polinomio de control asociado a la entrada de la planta tiene la forma: H = QC + BF = q0 c0 z + q0 c1 + b0 p0 c0 de lo que h0 = q0 C0

(5.9)

y h1 = b0 f0 + q0 c1 , mientras que: E = −CR

(5.10)

E = e0 z + e1

(5.11)

Hu (t) + Gy (t) + Er (t) = 0

(5.12)

o bien:

Dada la forma conocida del controlador:

Expandiendo la ecuación (5.12) se tiene: (h0 z + h1 ) u (t) + g0 y (t) + (e0 z + e1 ) r (t) = 0 Por ejemplo para el caso particular donde c1 = 0, la ley de control podr´ıa implementarse como: u (t) = − ¤ 82

h1 g0 e0 u (t − 1) − y (t − 1) − r (t) h0 h0 h0

(5.13)

5.2 Implementaci´ on y evaluaci´ on general Implementaci´ on digital del GMVDPAC para n = 2 Cuando el modelo del proceso tiene la forma: G (z) =

z2

b0 z + b1 + a1 z + a2

(5.14)

nT = 3, ya que nT = 2n − 1, de tal forma: T = t0 z 3 + t1 z 2 + t2 z + t3

(5.15)

El orden de la asignación puede variarse mediante la adecuada selecci´ on de los coeficientes del polinomio T. La soluci´ on de la identidad se da a partir de: −1  a2 0 b1 0  a1 a2 b0 b1     M =  1 a1 0 b0   0 1 0 0 

  q1 t3  q0 t2  = t1   p1 t0 p0

   

(5.16)

Por lo que los polinomios P y Q tienen la forma: P

= p0 z + p1

(5.17)

Q = q0 z + q1 Entonces la ecuaci´ on (5.3), puede representarse como: z 3 q0 + z 2 (a1 q0 + b0 p0 + q1 ) + z (a2 q0 + a1 q1 + b1 p0 + b0 p1 ) + b1 p1 + a2 q1

(5.18)

por lo que por ejemplo, para el caso particular donde nT = 2, q0 = 0. En el GMVDPAC, F y G se calculan a partir de la ecuaci´ on (5.6). Para el proceso representado por la funci´ on de transferencia de la ecuaci´ on (5.14) el orden m´ aximo posible para el polinomio c est´ a dado como nc ≤ nA por lo que c tiene la forma: z 2 + c1 z + c2 donde el polinomio C es m´ onico. Con la finalidad de mostrar un resultado general se incluye el coeficiente c0 , el cual tiene un valor conocido de 1; sin embargo, es importante para ilustrar el efecto de c cuando nc < nA . Al resolver (5.6) se obtiene: f0 = c0 p0 1 p1 c2 f1 = a2 1 g0 = − p1 c2 + p0 c1 − a1 c0 p0 a2 a1 g1 = − p1 c2 + p0 c2 + p1 c1 − a2 c0 p0 a2

(5.19)

cuando nc ≤ nA . 83

5. Resultados y Aplicaciones para: F

= f0 z + f1

(5.20)

G = g0 z + g1 Por su parte los polinomios de control H y E tienen la forma: H = BF + QC

(5.21)

por lo que H tiene la forma: µ ¶ b0 b1 H = z c0 q0 + z (b0 c0 p0 + q1 c0 + c1 q0 ) + z c1 q1 + b1 c0 p0 + p1 c2 + c2 q0 + q1 c2 + p1 c2 a2 a2 3

2

(5.22)

o bien H = h0 z 3 + h1 z 2 + h2 z + h3

Mientras que: E = −CR de lo que: E = e0 z 2 + e1 z + e2

Considerando que la ley de control tiene la forma Hu (t) + Gy (t) + Er (t) = 0

(5.23)

La expansi´ on puede estar dada a su vez por: ¡ ¢ ¢ ¡ h0 z 3 + h1 z 2 + h2 z + h3 u (t) + (g0 z + g1 ) y (t) + e0 z 2 + e1 z + e2 r (t) = 0 para la implementaci´ on hay que despejar u (t) , asociada al coeficiente de mayor orden. Como ejemplo suponga el caso sonde nT = n, por lo que q0 = t0 = 0, y consecuentemente h0 = 0. Además de suponer on particular estar´ıa dada por: c = c0 z, por lo que la implementaci´ u (t) = −

¤ 84

h2 g0 g1 e0 u (t − 1) − y (t − 1) − y (t − 2) − r (t) h1 h1 h1 h1

(5.24)

5.2 Implementaci´ on y evaluaci´ on general Implementaci´ on digital del GMVDAPC para n = 3 Cuando el modelo del proceso tiene la forma: G (z) =

b0 z 2 + b1 z + b2 z 3 + a1 z 2 + a2 z + a3

(5.25)

la ubicaci´ on de polos se define con el polinomio: T (z) = t0 z 5 + t1 z 4 + t2 z 3 + t3 z 2 + t4 z + t5

(5.26)

ya que cuando n = 3, nT = 5. La soluci´ on de la identidad se da a partir de: 

   M =   

−1  a3 0 0 b2 0 0  a2 a3 0 b1 b2 0     a1 a2 a3 b0 b1 b2     1 a1 a2 0 b0 b1    0 1 a1 0 0 b0   0 0 1 0 0 0

t5 t4 t3 t2 t1 t0

De manera que los polinomios P y Q tienen la forma: P





      =      

q2 q1 q0 p2 p1 p0

       

= p0 z 2 + p1 z + p2

(5.27)

(5.28)

2

Q = q0 z + q1 z + q2 Considerando la ecuaci´ on (5.25), nc ≤ nA por lo que: F

= f0 z 2 + f1 z + f2

y

(5.29)

2

G = g0 z + g1 z + g2 donde: f0 = c0 p0 a2 1 f1 = − 2 c3 p2 + (c2 p2 + c3 p1 ) a3 a3 1 f2 = c3 p2 a3 a2 1 g0 = c3 p2 − (c2 p2 + c3 p1 ) + c0 p1 + c1 p0 − a1 c0 p0 2 a3 a3 −a3 − a2 a1 1 g1 = c3 p2 − a1 (c2 p2 + c3 p1 ) + c0 p2 + c1 p1 + c2 p0 − a2 c0 p0 a3 a23 −a22 + a3 a1 1 g2 = c3 p2 − a2 (c2 p2 + c3 p1 ) + c1 p2 + c2 p1 + c3 p0 − a3 c0 p0 2 a3 a3 por ejemplo en el caso particular de c1 = c2 = 0 se tendr´ıa f0 = c0 p0 mientras que f1 = f2 = 0, por su parte, g0 = c0 p1 − a1 c0 p0

(5.30)

g1 = c0 p2 − a2 c0 p0

g2 = −c0 a3 p0

85

5. Resultados y Aplicaciones Por lo tanto H puede definirse como: H = h0 z 5 + h1 z 4 + h2 z 3 + h3 z 2 + h4 z + h5

(5.31)

donde: h0 = q0 c0 h1 = q0 c1 + q1 c0 + b0 f0 h2 = q0 c2 + q1 c1 + b0 f1 + b1 f0 + q2 c0 h3 = q0 c3 + b0 f2 + b1 f1 + q1 c2 + q2 c1 + b2 f0 h4 = q1 c3 + q2 c2 + b1 f2 + b2 f1 h5 = q2 c3 + b2 f2 Por su parte E = e0 z 3 + e1 z 2 + e2 z + e3 , para E = −CR donde: R = P (1) +

(Q (1) A (1)) B (1)

(5.32)

Sabiendo que la ley de control es: Hu (t) + Gy (t) + Er (t) = 0

(5.33)

puede realizarse la implementaci´ on de la ley de control; por ejemplo, para un caso particular donde c1 = c2 = c3 = 0 puede expresarse a su vez en ecuaciones diferencia tiene la forma: h1 h2 h3 h4 u (t − 1) − u (t − 2) − u (t − 3) − u (t − 4) − h0 h0 h0 h0 h5 g0 g1 g2 e0 u (t − 5) − y (t − 3) − y (t − 4) − y (t − 5) − r (t − 2) h0 h0 h0 h0 h0

u (t) = −

(5.34)

Sin embargo, para cualquier nT ≤ 2n − 1, h4 = h5 = 0

(5.35)

debido a que h4 = b1 f2 + b2 f1 , mientras que h5 = b2 f2 cuando f2 = f1 = 0. En el caso particular nT = nA , h0 = 0, porque: h0 = q0 c0 dado que cuando nT = 3, q0 = 0, puesto que cuando la identidad es resuelta q0 = t0 . Por su parte h1 = 0, ya que, b0 f0 = −q1 c0

(5.36)

(5.37)

de tal forma (5.33) puede ser expresada u (t) = −

g0 g1 g2 e0 h3 u (t − 1) − y (t − 1) − y (t − 2) − y (t − 3) − r (t) h2 h2 h2 h2 h2

(5.38) ¤

5.3.

Manejo del retardo

Para evitar que la dimensi´ on de las matrices involucradas en la estimación crezca en proporci´ on directa a la magnitud del retardo, se opta en todos los casos de identificaci´ on, por la manipulaci´ on del vector de 86

5.4 Ejemplo numérico de implementaci´ on del GMVDPAC regresión tal como se explic´ o en la secci´ on 4.2.7.

5.4.

Ejemplo num´ erico de implementaci´ on del GMVDPAC

Con la finalidad de mostrar el proceso de implementaci´ on del GMVDPAC, se ha seleccionado un ejemplo de control de procesos consistente en el control del sistema de intercambiador de calor [75], mostrado en la Figura 5-1, cuyo principal objetivo es que la temperatura del flujo a procesarse en la salida T0 (t) se controle en el punto de trabajo T0sp (t), mediante el paso de vapor Fs (t) a través de una v´ alvula de control

Figura 5-1: Diagrama esquemático del sistema intercambiador de calor Suposiciones: El rango de la se˜ nal eléctrica es 4-20 mA, El rango de la se˜ nal neumática es 3-15 psi, la v´ alvula de control es neumática y utiliza un convertidor corriente a presi´ on I/P, con una relación (15 − 3) psi ∆P = = 0.75psi/mA ∆I (20 − 4) mA La ca´ıda de presión a través de la v´ alvula es constante Tabla 5.1.Condiciones de operación y especificaciones de los instrumentos Variable Especificaci´ on Gasto del fluido en proceso F =12Kg/s Temperatura de entrada T =50C sp Punto de control T 0 =90C Capacidad calor´ıfica del fluido Cp =3750J/KgC Calor latente del vapor λ=2.25x106 J/Kg Capacidad de la v´ alvula de vapor Fs =1.6kg/s Rango del transmisor de temperatura 50 a 150C 87

5. Resultados y Aplicaciones En la Figura 5-2 se presenta un diagrama a bloques simplificado del control del proceso de intercambio de calor.

Figura 5-2: Diagrama a bloques del control para el intercambiador de calor Donde las funciones de transferencia están dadas por: a) Intercambiador Gs (s) =

50 30s + 1

(5.39)

b) Sensor-transmisor Hs (s) = =

0.16 Kh = mA/C Ts + 1 10s + 1 1 %/C 10s + 1

(5.40)

Se usa el % de rango como unidad de ganancia, en el caso eléctrico el 100 % es 16 mA; para el neum´ atico es 12 psi. c) Para fines del c´ alculo de la ganancia u ´ltima el controlador se define como uno proporcional. GC (s) = KC %/ %

(5.41)

d) Válvula. Tomando la capacidad de la válvula de 1.6 kg/s de vapor, se tiene que Gv (s) = Kv0 = =

0,1 Kv = mA − kg/s Ts + 1 3s + 1 1.6kg/s = 0.016kg/s/ % 100 % 0.016 kg/s/C 3s + 1

(5.42)

De las funciones de transferencia en lazo cerrado se tiene que la ecuación caracter´ıstica tiene la forma 1 + Hs (s) GC (s) Gv (s) Gs (s) = 0 1 50 0.016 = 0 1 + KC 3s + 1 10s + 1 30s + 1 900s3 + 40s2 + 43s + 1 + 0.8KC = 0 88

(5.43)

5.4 Ejemplo numérico de implementaci´ on del GMVDPAC Para encontrar el valor de la ganancia u ´ltima, se sustituye s por jω, de lo que resulta que Ku = 23.8 on). mientras que la frecuencia es ω = 0.2186 rad/s (Tu = 28.7s el per´ıodo de oscilaci´ Con estos parámetros es factible el uso de la tabla de sintonización del Ziegler Nichols de lazo cerrado, y el PID ISA[4] (ver Tabla 5.2). Tabla 5.2. Ganancias de Controlador Kc P 11.9 PI 10.8 PID 14.0

sintonizaci´ on Ti Td 23.9 14.3 3.6

Si se asume una perturbación en el proceso de transmisi´ on, el diagrama a bloques de la Figura 5-2 puede replantearse como se muestra en la Figura 5-3.

Figura 5-3: Perturbacion en la transmision

Con fines de simulación, se selecciona un periodo de muestreo equivalente a 1/30 de la constante de tiempo m´ as peque˜ na entre los bloques del diagrama de la Figura 5-3. Dicha velocidad de muestreo tiene como consecuencias directas, una reducción considerable en la magnitud de los coeficientes del numerador (debido a la sensitividad polo-coeficiente [9]) y una mayor susceptibilidad a la magnitud de la perturbaci´ on ξ en la ecuación diferencia, por lo que con el fin de llevar a cabo el ejemplo numérico se asume como perturbación una secuencia pseudo aleatoria con distribuci´ on gaussiana y media cero, con varianza de 1x10−8 . En la Figura 5-4 se presenta el control PID sintonizado con las ganancias de la Tabla 5.2. Como puede observarse en la Figura 5-4a) el sistema presenta un sobreimpulso importante. Mientras en la Figura 5-4b) se puede observar que se incluye un saturador definido como: max u = 300, min u = −300, y que la se˜ nal de control permanece un tiempo notable en saturaci´ on. 89

5. Resultados y Aplicaciones

Figura 5-4: Control PID del intercambiador de calor a) Seguimiento a la referencia y=T0 en grados centigrados, b) Se˜ nal de control Siguiendo el procedimiento descrito en la secci´ on 5.2.1, cuando n = 3, el dise˜ no del GMVDPAC para el intercambiador de calor se da bajo las siguientes condiciones de identificaci´ on

Px0 = 1000I

(5.44)

λ = 0.99 θ0 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) y asumiendo la convergencia de la estimaci´ on Aˆ → A ˆ → B B Cˆ → C

(5.45)

De dicho procedimiento de estimación se desprende el cálculo en l´ınea de los poilinomios P, Q y R, considerando una propuesta inicial de asignaci´ on polos, que para este caso está dado por: T (z) = z 3 − 2.955z 2 + 2.911z + 0.955

(5.46)

Suponiendo que (5.45) se cumple, tales polinomios tiene la forma: P (z) = −1920.12z 2 + 4063.13z − 2140.46

Q (z) = 0.000281z + 1.001 R (z) = 3.799

Con (5.47) calculado a partir de la estimaci´ on, se tiene que: 90

(5.47)

5.4 Ejemplo numérico de implementaci´ on del GMVDPAC

F

= −1920.12z 2

(5.48)

2

G = −1608.78z + 3443.91z − 1832.57 Siendo por su parte H : H = z 3 + 0.000274z 2

(5.49)

E = −3.79

(5.50)

mientras que:

En la Figura 5-5 se presenta el desempe˜ no del proceso cuando éste es controlado por un GMVDPAC, en la Figura 5-5a), se puede apreciar el seguimiento a la referencia, mientras que en la Figura 5-5b), se observa la se˜ nal de control, la cual en relaci´ on con la se˜ nal de control del PID sintonizada por el método de Ziegler-Nichols lazo cerrado es moderada y no alcanza en ning´ un momento, los l´ımites de saturaci´ on establecidos en este ejemplo.

Figura 5-5: Control GMVDPAC del intercambiador de calor a) Seguimiento a la referencia, b) Señal de control Por su parte en la Figura 5-6 se presenta el proceso de estimaci´ on del sistema.

91


Figura 5-6: Estimación del proceso de intercambio de calor La estructura de θ para este caso particular est´ a dada por : θ = [a1 , −a2 , a3 , b0 , b1 , b2 , c0 ]

(5.51)

siendo θ verdadera, ¡ ¢ θver = 2.95, 2.90, 0.95, 0.1464x10−6 , 0.578x10−6 , 0.143x10−6 ,1

(5.52)

A partir de (5.53) se puede observar en la Figura 5-6 que ˆ θ→θ

5.5.

(5.53) ¤

Evaluaci´ on general del desempe˜ no

Con la finalidad de evaluar el desempe˜ no del GMVDPAC, se seleccionó un lote de plantas de diversas fuentes bibliogr´ aficas [4], [46], [80], cuyas din´ amicas son comunes en la industria del control de procesos.

5.5.1.

El lote de plantas

A continuaci´ on se enumera el lote de plantas empleadas para las pruebas de desempe˜ no G1 (s) =

e−s (1 + sTx )2

G2 (s) = 92

1 (1 + s)n

Tx = 0.1, 1, 10 n = 3, 4

(5.54) (5.55)

5.5 Evaluaci´ on general del desempe˜ no

G3 (s) =

1 (1 + s) (1 + αx s) (1 + α2x s) (1 + α3x s) G4 (s) =

5.5.2.

(1 + αx s) (1 + s)3

αx = 0.2, 0.5, 0.7

(5.56)

αx = 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2

(5.57)

G5 (s) =

0.0506 −6s e s

(5.58)

G6 (s) =

1 −0.2s e s−1

(5.59)

Criterios de evaluaci´ on

Con la finalidad de permitir un procedimiento de evaluaci´ on general y debido a la naturaleza particular de cada prueba, se ha optado por asignar una calificaci´ on representativa al nivel de desempe˜ no mostrado por un controlador con respecto a sus homólogos, bajo las mismas condiciones de operaci´ on. Por lo que se propone la siguiente relaci´ on, la cual toma en cuenta los valores obtenidos de IAE, IAC e ITAE a partir de la siguiente ecuación: ¶ µ valor evaluado - mejor resultado × 100 er = 100 − peor resultado - mejor resultado esta relaci´ on eval´ ua con 100 al mejor desempe˜ no y con 0 al peor desempe˜ no, y con una calificaci´ on gradual entre 0 y 100 a los dem´ as desempe˜ nos, dependiendo de su cercan´ıa al mejor o peor resultado. Durante la evaluaci´ on del desempe˜ no, se contempla la inclusi´ on del control PID ISA [3] debido a su extenso uso en la industria. ¶ µ Z de (t) 1 t u (t) = Kc e (t) + e (t) dt + Td Ti 0 dt

(5.60)

En particular se utiliza como variante discreto de (5.60), el algoritmo de posici´ on [9].

u (k) = Kc

Ã

n

Td hX [e (k) − e (k − 1)] e (k) dt + e (k) + Ti h t=0

!

(5.61)

Donde h es el periodo al que se muestrea el proceso. Para la autosintonizaci´ on del controlador PID, se utilizan los métodos de Ziegler Nichols de lazo abierto y lazo cerrado [3]. Los métodos de sintonizaci´ on de Ziegler y Nichols, no son u ´tiles cuando se realiza la sintonización de controladores PID para procesos cuyas ra´ıces no están estrictamente en el semiplano izquierdo del LGR. Como alternativa a dicho método de sintonización se utiliza la estrategia propuesta por Visioli [80], que al igual que en el método de Ziegler Nichols requiere del uso de tablas, con la diferencia de que tales tablas no son una s´ıntesis heur´ıstica, sino el resultado de una optimización con algoritmos genéticos. También fue utilizado el método de sintonizaci´ on para sistemas integradores con retardo propuesto por Poulin y Pormeleau [68], el cual se basa en el uso de los diagramas de Nichols para encontrar una relaci´ on óptima entre el margen de fase y m´ aximo sobreimpulso. La evaluaci´ on particular del desempe˜ no de cada proceso se lleva a cabo con los siguientes ´ındices de desempe˜ no La integral del valor absoluto de error (IAE) 93

5. Resultados y Aplicaciones Caso continuo IAE =

Z

t

0

Caso discreto IAE =

n X t=1

|e (t)| dt

(5.62)

|e (t)| dt

(5.63)

La integral del valor absoluto de error por el tiempo (ITAE) Caso continuo IT AE =

Z

t

t |e (t)| dt

0

Caso discreto

n X IT AE = t |e (t)| dt

(5.64)

(5.65)

t=1

Esfuerzo del controlador Caso continuo

IAC =

Z

t

0

Caso discreto IAC =

n X t=1

|u (t)| dt

(5.66)

|u (t)| dt

(5.67)

El IAE se emplea para evaluar el seguimiento a la referencia, mientras que el ITAE, se utiliza para evaluar la capacidad de un controlador determinado para sobreponerse ante un cambio de carga, la multiplicaci´ on por el tiempo t, acent´ ua en el resultado el tiempo que le toma al sistema de control superar dicho cambio. Por su parte el IAC es la integral del valor absoluto de la se˜ nal de control y es representativa del esfuerzo de control. El IAC est´ a ligado con la capacidad de operaci´ on de un actuador, as´ı como con el tiempo de vida del mismo. Cuando un proceso es perturbado con un cambio de carga, ésta puede modelarse como un escalón aplicado en la salida del sistema, si se aplica el teorema del valor final al circuito serie, el efecto del cambio de carga puede observarse como una ganancia adicional [17], por lo cual se proprone en este texto una aproximaci´ on a un cambio de carga escal´ on. En particular, para medir el ITAE se simula un cambio de carga en un tiempo dado t, modificando la ganancia del polinomio B(z) como: Bcarga (z) = Kcarga B(z)

(5.68)

para Kcarga < 1 (ver anexo A), lo cual puede interpretarse como que la dinámica de la carga es mucho más rápida que la del sistema perturbado.

5.5.3.

Evaluaci´ on del desempe˜ no por proceso

En esta secci´ on se revisa a partir de la informaci´ on adjunta en el Anexo A el desempe˜ no de cada proceso del lote, considerando como rubros a evaluar, el seguimiento a la referencia, el esfuerzo de control y la respuesta ante cambios de carga. 94

5.5 Evaluaci´ on general del desempe˜ no - Proceso G1 En este proceso de segundo orden, se realizan pruebas para 3 valores diferentes de Tx , cuya variaci´ on provoca en primer lugar una variación sobre el tiempo de respuesta del sistema, el interés de este experimento recae en el hecho de que el retardo del proceso se mantiene constante, generando diferentes relaciones entre el retardo y el tiempo de respuesta, siendo en casos extremos el retardo muy grande o muy peque˜ no en relación con el tiempo de establecimiento, siendo ambos casos dif´ıciles de afrontar por la sintonización de Ziegler Nichols (al grado de que la variación de este método en lazo abierto no logra on proveer ganancias que estabilicen el controlador cuando Tx = 1 y Tx = 10, mientras que esta situaci´ se repite para el Ziegler Nichols lazo cerrado cuando Tx =0.1 ). En términos generales, el mejor desempe˜ no de control lo tiene para este proceso el STPAC, seguido muy de cerca por el GMVDPAC, resaltando el desempe˜ no de éste u ´ltimo cuando la magnitud de la perturbación es mayor y en la respuesta cuando existen cambios de carga. La dinámica descrita por G1 puede hallarse en procesos que involucran la regulaci´ on de nivel. - Proceso G2 En realidad el barrido de n en el proceso G2 genera dos procesos sin retardo, uno de tercer orden y otro de cuarto orden, para el control adaptable ambos sistemas usan un modelo interno de tercer orden, observándose en las tablas relacionadas del Anexo A, un mejor desempe˜ no en general del GMVDPAC cuando n = 4. El GMVDPAC presenta un mejor desempe˜ no nuevamente cuando la amplitud de la perturbación es la máxima empleada y cuando se aplican los cambios de carga programados. La estructura del modelo G4 puede usarse en la representación de procesos de reacción qu´ımica [47]. - Proceso G3 El principal interés sobre el proceso G3 , consiste en que al realizar el barrido del par´ ametro αx , se obtienen diversas combinaciones de ubicaci´ on de polos, manteniendo una respuesta temporal similar. Esta situaci´ on provoca diferentes respuestas al cerrar al lazo de control. El STPAC presenta el mejor comportamiento para αx =0.2, teniendo el GMVDPAC un buen desempe˜ no, mejorando cuando hay cambios de carga o mayor amplitud de la perturbaci´ on. Cuando αx =0.5 la sintonización de Ziegler Nichols en lazo cerrado muestra el mejor seguimiento a la referencia (seguido de cerca por el GMVDPAC) con un esfuerzo de control moderado. Cuando αx =0.7 el GMVDPAC presenta el mejor seguimiento a la referencia y la mejor respuesta a cambios de carga. Puede observarse también que cuando αx =0.7 y la amplitud de la perturbación es máxima la respuesta de control PID sufre un gran deterioro. Para G3 , puede decirse que la mayor virtud del GMVDPAC es la regularidad en su desempe˜ no ante diversas condiciones de operaci´ on. - Proceso G4 El proceso G4 es muy u ´til para ejemplificar algunas situaciones relacionadas con el desempe˜ no de los controladores. La dinámica de las funciones de transferencia con barrido del par´ ametro αx están vinculadas entre si, puesto que αx , en G4 modifica la posici´ on del u ńico cero en la función de transferencia. on es por demás demandante en A medida que αx aumenta, dicho cero se acerca al origen, esta situaci´ aquellos controladores que basan su dise˜ no en la asignaci´ on de polos en lazo cerrado [17] como es el caso del STPAC, GMVPAC y GMVDPAC. En la Figura 5-7 se sintetiza el desempe˜ no de los controladores en el rubro de seguimiento a la referencia, evaluado con ayuda del IAE promedio (el promedio del IAE medido para todos los niveles de perturbaci´ on considerados). 95


Figura 5-7: Comportamiento del IAE promedio en función de α

En la Figura 5-7 se presenta en forma de “x” el IAE promedio de cada controlador para una αx determinada. A partir de tales puntos, se realizó un ajuste de curva con m´ınimos cuadrados para un polinomio de tercer orden, con la finalidad de mostrar posibles tendencias. En la gr´ afica puede observarse que en general el seguimiento a la referencia se ve perjudicado en todos los controladores con el acercamiento del cero al origen; sin embargo, es interesante observar que el mayor IAE a mayor αx se da con el controlador PID sintonizado con el método de Ziegler-Nichols lazo cerrado y no con los controladores adaptables que basan su funcionamiento en la asignación de polos. Para ésta planta podemos observar que el mejor seguimiento se da para el menor IAE del controlador de Clarke; sin embargo, hay que hacer hincapié que para este controlador se requiere cierto nivel de conocimiento sobre el proceso a controlar, para poder as´ı proponer fuera de l´ınea los polinomios P, Q y R, adem´ as de tener la inconveniencia a ser susceptible a un deterioro en el desempe˜ no cuando existe perturbación paramétrica en el proceso. Con respecto al GMVDPAC se puede mencionar que es el segundo mejor desempe˜ no además de mostrar la mayor regularidad al tener el ajuste de curva más notorio. En la Figura 5-8 se presenta la relación entre el esfuerzo de control (medido con el IAC promedio) y la variaci´ on de αx .Como puede observarse en la Figura 5-8, el comportamiento del IAC para el GMVPAC y el STPAC es bastante irregular. Por su parte las curvas sintetizadas a partir del comportamiento del PID y del GMVDPAC muestran un desarrollo monótono, s´ıntoma de un mejor nivel de confiabilidad para este tipo de pruebas. Finalmente en la Figura 5-9 se presentan las curvas que relacionan el desempe˜ no ante cambios de carga (medido con ITAE) y αx . 96


Figura 5-8: Comportamiento del IAC promedio en función de α

Figura 5-9: Comportamiento del ITAE promedio en función de α Como puede observarse el menor ITAE lo presenta el GMVDPAC, significando un mejor desempe˜ no ante la perturbación paramétrica, lo cual es congruente con lo expuesto en el Cap´ıtulo 3. Es importante recalcar que el GMVPAC, por su parte presenta el segundo peor comportamiento en este rubro, por lo que su modificaci´ on en GMVDPAC cobra relevancia en estos casos. En las gráficas presentadas para esta planta, no se incluye una curva relacionada con la sintonización de Ziegler Nichols en lazo abierto, puesto que ésta sólo puedo realizarse para αx = 0,1 y αx = 0,2 (ver 97

5. Resultados y Aplicaciones on presenta sobreimpulso Anexo A), ya que para los subsecuentes barridos de αx , la respuesta al escal´ negativo, y se consider´ o que dos puntos no eran suficientes para la s´ıntesis de una curva. La din´ amica descrita por G4 puede hallarse en procesos de temperatura relacionados con la presión, como podr´ıa darse en el manejo de vapor en turbinas. - Proceso G5 El proceso G5 es un proceso integrador con retardo, para este caso no es posible aplicar la sintonización Ziegler y Nichols, por lo cual se emplean los métodos de sintonizaci´ on propuestos por Visioli [80] y Poulin y Pormeleau [68]. Como puede observarse, en la tabla relacionada en el Anexo A, el GMVDPAC presenta el mejor comportamiento din´ amico en todos los rubros, haciendo hincapié en que el GMVPAC y el STPAC siguen los mismos criterios de desempe˜ no. alvulas actuadas por motor. La estructura de G5 puede encontrarse en la representación de v´ - Proceso G6 El proceso G6 es un sistema inestable de primer orden. El GMVDPAC presenta el mejor desempe˜ no tanto en seguimiento a la referencia, esfuerzo de control y respuesta a cambios de carga.

5.5.4.

Resultados generales

A continuación se presentan algunos gr´ aficos de pastel que representan el porcentaje del total de las pruebas en que un controlador dado, logra el mejor desempe˜ no para un criterio de evaluación (ver Anexo A). Como podr´ a observarse no todos los controladores involucrados en las pruebas comparativas aparecen en los gr´ aficos, lo cual se debe a que en ninguna oportunidad dichos controladores tuvieron la mejor evaluaci´ on para un rubro en particular. En la Figura 5-10 se presenta una gr´ afica de pastel que representa el porcentaje del total de ocasiones en que un controlador dado tiene el mejor seguimiento a la referencia a lo largo de las pruebas. Como puede observarse el controlador GMVPAC fue en este rubro el mejor en el 40 % de las pruebas seguido por un 27 % del GMVDPAC. Es importante recalcar que en las simulaciones (salvo en las perturbaciones que simulan cambios de carga) los procesos se asumen LTI, y que para el caso del GMVPAC los par´ ametros determinantes para el desempe˜ no del controlador son dise˜ nados fuera de l´ınea.

Figura 5-10: Gráfica de pastel que representa el porcentaje en que cada controlador obtuvo el mejor resultado a lo largo de las pruebas para seguimiento a la referencia (medido con IAE)

98

5.5 Evaluaci´ on general del desempe˜ no En la Figura 5-11 se presenta una gr´ afica de pastel que representa el porcentaje total de ocasiones en que un controlador dado realiza el menor esfuerzo de control. En esto caso el STPAC realiza el menor esfuerzo de control en el 40 % de las pruebas, seguido por el GMVDPAC y el PID sintonizado por Ziegler y Nichols lazo cerrado con un 20 %.

Figura 5-11: Gráfica de pastel que representa el porcentaje total de ocaciones en que un controlador dado realiza el menor esfuerzo de control.

Como ya fue comentado anteriormente, el disturbio por cambio de carga es aproximado mediante una alteración de la ganancia del polinomio B(z), lo cual en ecuaciones diferencia, representa también una perturbación paramétrica. En la Figura 5-12 se puede observar que en el 60 % de las pruebas, el menor ITAE fue obtenido con el GMVDPAC.

Figura 5-12: Gráfica de pastel que representa en que porcentaje cada controlador obtuvo el mejor resultado a lo largo de las pruebas de cambio de carga (medido con ITAE)

Como ya fue comentado, se observ´ o que el desempe˜ no del GMVDPAC mejoraba con respecto al desempe˜ no general en los casos en que la varianza de la perturbaci´ on era mayor. En la Figura 5-13 se puede observar que el porcentaje de casos donde el GMVDPAC obtuvo el menor IAE no tuvo variaci´ on con respecto a la Figura 5-10. 99


Figura 5-13: Gráfica de pastel que representa en que porcentaje cada controlador obtuvo el mejor resultado a lo largo de las pruebas para seguimiento a la referencia (medido con IAE) cuando la varianza de la perturbación fue la m´ axima probada.

Sin embargo, puede observarse en la Figura 5-14 que el GMDPAC aumenta su participaci´ on en siete puntos porcentuales con respecto a lo mostrado en la Figura 5-11.

Figura 5-14: Gráfica de pastel que representa en que porcentaje cada controlador obtuvo el mejor resultado a lo largo de las pruebas de esfuerzo de control (medido con IAC) cuando la varianza de la perturbación fue la máxima probada.

Finalmente en la Figura 5-15 puede observarse que en m´ as de las 2/3 partes de las pruebas que involucraron la máxima amplitud de la perturbaci´ on el GMVDPAC arrojaron el menor ITAE. 100


Figura 5-15: Gráfica de pastel que representa en que porcentaje cada controlador obtuvo el mejor resultado a lo largo de las pruebas de cambio de carga (medido con ITAE) cuando la varianza de la perturbación fue la máxima probada.

Las gráficas de pastel presentadas a lo largo de esta sección, son herramientas u ´tiles que proporcionan informaci´ on relevante del desempe˜ no de un controlador a lo largo de un conjunto de pruebas; sin embargo, no proporcionan información del desempe˜ no general del controlador, cuando este no obtiene el mejor resultado (como puede observarse en la Tabla 5.4 el u ´ nico controlador que obtiene el mejor resultado en todos los rubros de evaluaci´ on para un proceso dado, es el GVMVDPAC para el proceso integrador de primer orden G5 y para el proceso inestable con retardo de primer orden con retardo G6 ). Por su parte, el esquema de evaluaci´ on por puntaje descrito en la sección 5.5.2 permite tener una idea mas precisa del desempe˜ no general de una estrategia de control, usada con el lote de plantas de la secci´ on 5.5, ya que un buen resultado en dicha evaluaci´ on representa regularidad en el desempe˜ no. La Tabla 5.4 sintetiza los puntajes acumulados bajo dicho esquema de pruebas.

101


Tabla 5.4. Evaluaci´ on del desempe˜ no de los controladores. PID LA

PID LC

PID Visioli

PID Poulin

STPAC

GMVPAC

GMVDPAC

IAE

IAC

ITAE IAE

IAC

ITAE IAE

IAC

ITAE IAE

IAC

ITAE IAE

IAC

ITAE IAE

IAC

ITAE IAE

IAC

ITAE

0

100

0

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

100

268

100

182

0

255

295

259

292

N.A.

N.A.

N.A.

200

0

165

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

16.338

300

300

171

281

0

3.98

293

293

N.A.

N.A.

N.A.

0

0

0

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

273.92

300

294

300

299

237

247

298

298

0

0

0

163

199

127

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

270.97

300

273

294

218

66

297

226

300

0

0

86.1

244

273

204

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

241.58

264

251

299

294

10.5

266

273

295

N.A.

N.A.

N.A.

0

0

191

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

282.66

300

171

255

237

136

201

271

267

0

0

162

300

242

300

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

247.08

300

250

249

297

0

264

295

256

0

0

50.9

294

271

286

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

291.61

282

289

264

300

0

300

248

300

0

0

100

234

238

165

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

263

289

225

300

234

159

280

284

247

0

44.5

0

172

295

195

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

244.42

288

219

300

18.4

140

271

272

248

N.A.

N.A.

N.A.

74.5

300

190

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

100

76.2

217

296

151

0

172

129

207

N.A.

N.A.

N.A.

152

300

97.1

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

100

22.2

160

286

103

137

228

78.6

205

N.A.

N.A.

N.A.

0

300

100

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

264.78

114

164

227

117

70.8

198

25

224

G5

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

160

0

0

0

220

107

297.9

286

299

271

278

264

299

300

300

G6

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

0

0

N.A.

N.A.

N.A.

N.A.

299.4

297

300

285

297

0

300

300

300

Total

0

144.5

399

1835

2418

2020

160

0

0

0

220

107

3293.65 3684

3512

3979

3124

1476

3623

3551

4032

G1 T=0.1 G1 T=1 G1 T=10 G2 n=3 G2 n=4 G3 a=0.2 G3 a=0.5 G3 a=0.7 G4 a=0.1 G4 a=0.2 G4 a=0.5 G4 a=1 G4 a=2

De la tabla se pueden deducir a su vez ciertos resultados generales. Con respecto al criterio IAE, que es representativo del seguimiento a la referencia en la Figura 5-16, puede observarse un gr´ afico de barras que sintetiza los resultados generales obtenidos por los diferentes controladores en este rubro.

102


Figura 5-16: Puntaje acumulado para seguimiento a la referencia

Por su parte la evaluaci´ on general de los controladores para la medici´ on del esfuerzo (Figura 5-17).

Figura 5-17: Puntaje acumulado para el esfuerzo de control 103


Figura 5-18: Puntaje acumulado para el cambio de carga. En la Figura 5-18 se muestra la evaluaci´ on general numérica para el cambio de carga. El buen desempe˜ no del GMVDPAC a lo largo de las pruebas se debe fundamentalmente a tres razones: La reestructuraci´ on expl´ıcita del algoritmo, El rec´ alculo en l´ınea de los polinomios costo, La minimizaci´ on permanente de la varianza de la funci´ on de salida generalizada φ (t) . ¤

5.6.

Control de velocidad

Utilizando el control GMVDPAC, se llev´ o a cabo el control pr´ actico de un motor Minertia T03 manufacturado por Yaskawa, el cual se utiliza frecuentemente en periféricos computacionales como: Bobinado y rebobinado de cintas magnéticas, Alimentaci´ on de papel para impresoras, Graficadores X-Y, Maquinaria peque˜ na de propósito general. El experimento consiste en el control de velocidad del motor mencionado. La salida del proceso es la variable velocidad, medida en revoluciones por minuto (rpm). La referencia fue desarrollada de tal forma que involucra rampas con la finalidad de observar tanto el seguimiento como la regulación en el mismo experimento. En la Figura 5-19 se puede observar que la velocidad del motor sigue la referencia de forma muy cercana. 104

5.6 Control de velocidad

Figura 5-19: Control de velocidad usando el GMVDPAC.

En la Figura 5-20a) se presenta el comportamiento de los par´ ametros de estimaci´ on cuando el proceso se estima como uno lineal de primer orden, como puede observarse los parámetros denotan una variaci´ on dependiendo de la zona de operación. En la Figura 5-20b) se presenta el desempe˜ no de la funci´ on de salida generalizada para este caso, que como puede observarse tiene una amplitud muy peque˜ na, significando un proceso de optimizaci´ on altamente satisfactorio.

Figura 5-20: Comportamiento de la estimación, a) Parámetros de la estimación, b) Función de salida generalizada. 105


5.7.

Control de posici´ on

Para este experimento, se seleccion´ o una banda transportadora prototipo actuada por un motor de DC con imanes permanentes, el cual incluye un mecanismo de reducción de velocidad modelo 1.61.046 manufacturado por Buehler (ver Figura 5-21). La entrada del proceso es la alimentaci´ on en volts del motor, mientras que la salida del proceso es el desplazamiento de la banda en cent´ımetros. Para este ejemplo se usa la misma forma de la referencia del control de velocidad. Usualmente para control de posici´ on se usa un control PD; cuando el sistema ha alcanzado el valor de la referencia, la se˜ nal de control se vuelve nula. En este caso pr´ actico, el motor tiene una zona muerta entre -3V y 3V en la entrada del proceso. El GMVDPAC ubica la se˜ nal de control justo abajo de la frontera de la zona muerta, lo cual permite una respuesta más rápida ante un cambio de referencia s´ ubita

Figura 5-21: Motor de CD Buehler con reducción de velocidad. En la Figura 5-22 se observa el control de posición cuando se usa una se˜ nal de referencia compuesta de escalones y rampas como las usadas en el control de velocidad. La Figura 5-23 presenta el mismo control pero con una referencia cuadrada, para apreciar la respuesta del sistema ante cambios s´ ubitos de referencia (la variable posici´ on en éste caso está medida directamente del sensor en volts). La inicializaci´ on para este sistema es arbitraria consistiendo en los siguientes par´ ametros: n = 1, h =0.1, θ0 = [0.5,0.5] (asumiendo c = z) Px0 = 100I, λ =0.99 y T = z−0.8 lo cual implica una constante de tiempo en lazo cerrado τ =0.5 seg.

Figura 5-22: Control de posición de una banda transportadora usando GMVDPAC (seguimiento). 106

5.8 Control de temperatura

Figura 5-23: Control de posición de una banda transportadora usando GMVDPAC (regulación). En la Figura 5-24 se presenta el comportamiento de la estimaci´ on cuando la referencia es cuadrada.

Figura 5-24: Comportamiento de la estimación, a) Parámetros de estimación, b) Traza de la matriz de covarianza.

5.8.

Control de temperatura

En esta secci´ on se presenta una comparación del seguimiento a una referencia dada por un controlador PID autosintonizable DC1020 de Honeywell y un GMVDPAC corriendo sobre LabVIEW y Matlab simultáneamente con una tarjeta de adquisición de datos National Instruments PCI 6014. 107

5. Resultados y Aplicaciones El controlador DC1020 es un controlador de temperatura perteneciente a la familia DC1000 de Honeywell [35], el cual incluye control PID con autosintonizaci´ on. El controlador PID se conect´ o directamente al elemento sensor, que para este caso es un termopar tipo K, ya que el controlador incluye compensaci´ on de punta fr´ıa. Una imagen de este controlador puede observarse en la Figura 5-25.

Figura 5-25: Controlador de temperatura Honeywell DC1020 Con el fin de realizar la comparaci´ on se eligi´ o un proceso de temperatura, el cual consiste de dos c´ amaras. En la primera c´ amara el aire es calentado con una fuente constante de calor (l´ ampara incandescente), en la uni´ on entre las dos c´ amaras existe un ventilador que impulsa el aire caliente de la primera cámara hacia la segunda c´ amara. En la segunda cámara se encuentra alojado el sensor de temperatura cerca de la ventilaci´ on de ésta (ver Figura 5-26).

Figura 5-26: Figura 5.26. Proceso de temperatura La velocidad del ventilador puede regularse con un voltaje variable de 0 V a 10 V (la velocidad aumenta en relaci´ on directa al voltaje), de tal forma que la temperatura en la c´ amara 2 puede elevarse de forma proporcional a la velocidad de giro del ventilador. En este sistema el elemento primario de medici´ on es el termopar, mientras que el ventilador es el elemento final de control, en particular el ventilador tiene una zona muerta entre 0 V y 3 V, por lo que una se˜ nal de control debe superar este umbral para tener un impacto en la temperatura de la c´ amara 2. En este proceso, el enfriamiento sucede cuando el ventilador no es actuado y depende primordialmente de la transferencia de calor entre la c´ amara 2 y el medio ambiente a través de la ventilación de la misma c´ amara. Debido a la naturaleza del sistema, s´ olo puede aspirarse a temperaturas de consigna superiores a la temperatura ambiental; es importante remarcar que para realizar la comparaci´ on en circunstancias igualitarias, el proceso es considerado como una caja negra cuando se aplica el GMVDPAC. 108

5.8 Control de temperatura

Figura 5-27: Control del DC1020 a) Regulación, b) Señal de control. El DC1020 fue conectado al proceso de la Figura 5-26 y se ejecutó la autosintonizaci´ on comprendida por este sistema particular (este sistema realiza una excitaci´ on inicial, con la cual ajusta las ganancias del controlador PID). Con ayuda de la tarjeta PCI 6014 se adquirieron las se˜ nales anal´ ogicas correspondientes a la salida de temperatura y a la se˜ nal de control enviada por el controlador. Para este caso particular la referencia fue elegida como 38 ◦ C. La respuesta del sistema se aprecia en la Figura 5-27. En la Figura 5-27a se observa que la temperatura del sistema var´ıa alrededor de la referencia. Dicha variaci´ on depende de la acción de control (Figura 5-27b) pero además guarda cierta relación con la zona muerta del actuador. La se˜ nal de control es bastante irregular debido a la naturaleza del mecanismo de autosintonizaci´ on de éste sistema. Es importante mencionar que el desempe˜ no del control PID, puede mejorarse con una cuidadosa elección de ganancias por parte del usuario, pero la intensi´ on central de esta prueba es comparar la sintonizaci´ on aut´ onoma de un controlador PID comercial, y el arranque inicializado del GMVDPAC. En este sentido, se realiz´ o el proceso de inicializaci´ on cuyo resultado principal fue la elecci´ on de una estructura interna de estimación de primer orden. En la Figura 5-28a) se presenta la regulaci´ on del proceso a la temperatura de consigna, y se puede observar un mejor desempe˜ no que con el controlador comercial. La se˜ nal de control es más regular y se equilibra por encima de la zona muerta (Figura 5-28b).

109


Figura 5-28: Control GMVDPAC, (a) Regulación, (b) Señal de Control.

5.9.

Plataforma de aplicaci´ on

La plataforma de aplicación, es la herramienta dise˜ nada para llevar a cabo las pruebas pr´ acticas del sistema de control desarrollado. Las partes de la plataforma de aplicaci´ on se presentan en la Figura 5-29.

Figura 5-29: Figura 5.29. Plataforma de aplicación. De la Figura 5-29 se observa que la totalidad de los algoritmos de control se ejecutan sobre Matlab, a la vez la interfaz gr´ afica se ejecuta sobre LabVIEW, junto con la comunicaci´ on entrada salida a la tarjeta de adquisición de datos, que para este caso es una PCI modelo 6014 de National Instruments. Las ventajas de la plataforma de aplicaci´ on son varias, entre ellas la posibilidad de explotar al mismo tiempo las herramientas de LabVIEW y Matlab, configuración flexible del periodo de muestreo y resoluci´ on de 16 bits. 110

5.10 Interfaz de usuario La plataforma de aplicaci´ on incorpora las tres etapas involucradas en el desarrollo, inicialización, control y supervisión, implementados como SubVI’s (subprogramas) de LabVIEW [55]. A continuación se describe la secuencia de operaci´ on del sistema. 1. Al activar la inicializaci´ on, el sistema manda una se˜ nal de excitaci´ on al proceso en lazo abierto, consistente de un tren de pulsos durante un n´ umero determinado de ciclos. Se guardan tanto el vector de datos de entrada como el de salida. 2. Con los vectores de entrada y de salida, se llevan a cabo estimaciones recursivas de primero, segundo y tercer orden 3. Con la información recolectada se realiza el procedimiento de inicializaci´ on descrito en el Cap´ıtulo 4 4. Una vez obtenido el orden del modelo interno, se sintoniza un control PID con el método basado en algoritmos genéticos descrito en el Cap´ıtulo 4 5. Con toda la informaci´ on de la inicializaci´ on disponible y con el controlador de respaldo ajustado, se procede a encender el control adaptable 6. Una vez que el controlador est´ a funcionando se habilita el supervisor. El supervisor a su vez consta de 2 etapas. La primera etapa es la supervisi´ on activa que es la parte del supervisor que toma decisiones de forma independiente al usuario, para modificar el desempe˜ no del sistema. La otra etapa es la supervisi´ on pasiva, la cual provee de la informaci´ on necesaria para que un usuario pueda tomar decisiones a través de la interfaz de usuario. La variables de supervisión más importantes se derivan de las se˜ nales de error, se˜ nal de control y la matriz de covarianza 7. A través de la interfaz de usuario, el usuario tiene acceso a todas las etapas descritas anteriormente.

5.10.

Interfaz de usuario

En la Figura 5-30 se presenta un esquema donde se asocian los elementos de la interfaz gr´ afica con la secuencia dise˜ nada para el controlador

Figura 5-30: Interfaz grafica del controlador. 111

5. Resultados y Aplicaciones Como puede observarse en la Figura 5-30, la pantalla principal de la interfaz gráfica esta dividida en las 3 etapas del sistema. A Cuando inicializa el controlador y se calcula la informaci´ on necesaria, el indicador de “inicializando” parpadea. Una vez que se ha terminado el proceso de excitaci´ on inicial, el indicador de “respaldo listo” se activa, a su vez cuando se concluye la inicializaci´ on genética y finalmente los espacios de variables son llenados con la informaci´ on obtenida. B Mientras el control adaptable opera se grafican en l´ınea las variables del proceso: se˜ nal de control, salida del proceso, par´ ametros de estimaci´ on (si el controlador de respaldo estuviera en funcionamiento, la gr´ afica de estimación de parámetros es desactivada), en esta secci´ on se incluyen 2 controles para iniciar y detener el controlador C Tanto la traza de la matriz de covarianza, como la magnitud de la se˜ nal de control son usadas como un criterio para conmutación automática entre el control adaptable y el control de respaldo. También se monitorea el error de seguimiento a la referencia, que es un criterio de desempe˜ no al igual que el esfuerzo de control, este u ´ltimo al alcanzar ciertas cotas conmuta al control de respaldo.

5.11.

Pruebas con el sistema integrado

En esta sección se presenta un experimento completo de inicialización, supervisión y control sobre el prototipo de la banda transportadora descrito en la sección 5.7, como ya se explic´ o anteriormente el primer paso del sistema, es la excitaci´ on del proceso.

Figura 5-31: Excitación del sistema durante la inicialización, a) Respuesta del proceso, b) Señal de excitación. En la Figura 5-31b) podemos observar la se˜ nal cuadrada usada para excitar el motor de C.D. En la Figura 5-31a) por su parte podemos observar la respuesta del sistema (medida directamente del sensor de posición en volts). El comportamiento de la posición angular en un motor de C.D. en lazo abierto, puede modelarse usualmente como un integrador. En una banda transportadora la dinámica dominante sigue siendo integradora, sin embargo intervienen otros factores como la elasticidad de la banda y la 112

5.11 Pruebas con el sistema integrado fricci´ on de la misma con los elementos actuadores, por lo que en la Figura 5-31a) puede apreciarse un comportamiento desviado de la respuesta lineal propia de un integrador puro. El siguiente paso dado por el inicializador, consiste en que una vez almacenados los vectores de entrada y salida, se ejecutan los algoritmos de estimación RLS para los sistemas de primero, segundo y tercer orden. En la Figura 5-32 se presenta el comportamiento de la estimaci´ on recursiva para el modelo interno de primer orden.

Figura 5-32: Estimación recursiva para el modelo interno de primer orden, a) Comportamiento de los parámetros de estimación, b) Traza de la matriz de covarianza Px , c) Determinante de la inversa de la matriz de covarianza. En la Figura 5-32a) se puede observar un comportamiento de los par´ ametros bastante regular (consistente), en la Figura 5-32b) se observa que la traza de la matriz de covarianza decrece, lo cual denota que la estimación recursiva se está desarrollando adecuadamente, como un indicador del desempe˜ no se mide la varianza de la traza y se tiene 5.532x103 . Si el determinante de la matriz inversa de covarianza es 0, el sistema no es identificable como ya se mencion´ o en secciones anteriores, ya que existe dependencia lineal en la solución de la identificaci´ on. Mientras este u ´ltimo indicador se acerque a cero, implica el riesgo de la perdida de la identificabilidad. Para el caso de la identificaci´ on con modelo interno de primer 9 orden, la varianza de este indicador es 9.457x10 , lo cual implica que el sistema no tiene problemas de identificabilidad. En la Figura 5-33 se presenta el comportamiento de la estimaci´ on recursiva cuando el modelo interno es de segundo orden. En la Figura 5-33a) puede observarse un comportamiento variable en la estimaci´ on; no hay un patrón que pudiera delatar perturbación paramétrica y en su lugar puede observarse una inconsistencia en la estimación. Una situaci´ on que permite sospechar del sobredimensionamiento de la estimaci´ on es el desempe˜ no en espejo que puede apreciarse en los puntos a y b, y en los puntos c y d en la Figura 5-33a). El comportamiento de la traza de Px se observa errático en la Figura 5-33b); la varianza es para este caso 1.0995x108 , lo cual es un aumento significativo con respecto al caso de primer orden, incluso considerando el aumento en la dimensi´ on de la matriz de covarianza causado por el aumento dimensional del modelo interno. Finalmente la varianza del determinante de la inversa de la matriz de covarianza durante la estimaci´ on es 1.595x106 . 113


Figura 5-33: Estimación recursiva para el modelo interno de segundo orden, a) Comportamiento de los parámetros de estimación, b) Traza de la matriz de covarianza Px , c) Determinante de la inversa de la matriz de covarianza.

En la Figura 5-34a se observa que la estimaci´ on cuando el modelo interno es de tercer orden, tiene una mayor variaci´ on. Se puede observar que los par´ ametros no parecen converger, la varianza de la traza para este caso es 2.447x108 y la varianza del determinante de la inversa de la matriz de covarianza es de 12.919, lo cual dados los niveles paramétricos para este indicador obtenidos durante la identificaci´ on tanto de primer como de segundo orden, es peligrosamente cercano a cero, delatando el sobredimensionamiento. De lo analizado gráfica por gráfica de la estimación para los diferentes o´rdenes se pueden obtener conclusiones basadas en la experiencia de dise˜ no, y la interpretaci´ on cualitativa del proceso de estimaci´ on. El procedimiento de selecci´ on del orden n para el modelo interno del estimador RLS usado por el GMVDPAC descrito en el Cap´ıtulo 4 es un esfuerzo para capturar la experiencia del dise˜ nador para la interpretación de las gr´ aficas de estimación recursiva.

114

5.11 Pruebas con el sistema integrado

Figura 5-34: Estimación recursiva para el modelo interno de tercer orden, a) Comportamiento de los parámetros de estimación, b) Traza de la matriz de covarianza Px , c) Determinante de la inversa de la matriz de covarianza.

Considerando la metodolog´ıa de selecci´ on de orden descrita en el Cap´ıtulo 4, para el caso de la banda transportadora se obtiene la informaci´ on presentada en las tablas 5.5, 5.6 y 5.7. En la Tabla 5.5 se presentan los modelos discretos identificados por RLS para cada orden, con los u ´ltimos valores de identificaci´ on. Tabla 5.5. Modelos identificados Orden del Funci´ on de transferencia discreta h=0.1 modelo 0.005439 1er orden G1 (z) = z−0.9973 0.0004z−0.005985 er 2 orden G2 (z) = z2 −0.8224z−0.1744 2 +0.002636z+0.004061 er 3 orden G3 (z) = 0.0004554z z 3 −0.8001z 2 −0.07889z−0.1174 De las funciones de transferencia discretas puede decirse que todas tienen polinomios coprimos; es decir, no hay redundancia de polos y ceros, en el sentido pr´ actico la distancia entre polos y ceros impide inferir el sobredimensionamiento, ya que la respuesta del sistema presentada en la Figura 5-31 tiene un contenido arm´ onico mucho m´ as rico que un primer orden, y aunque una alternativa basada en la experiencia es modelar estos sistemas como integradores puros, podemos observar que el criterio de asignaci´ on de polos no es concluyente en este sentido. Para este caso particular la banda del prototipo es el´ astica, lo cual introduce otras dinámicas adicionales a la integradora dominante. Si la elasticidad de la banda fuera despreciable; es decir, la transmisi´ on tuviera una relaci´ on uno a uno, la din´ amica dominante ser´ıa m´ as evidente para este criterio, pero por los resultados se requiere revisar los otros dos criterios de decisi´ on. En la Tabla 5.6 se presenta el comportamiento de la integral de los residuos de la estimaci´ on.

115

5. Resultados y Aplicaciones Tabla 5.6. Residuos integrados x P Orden del |ε (t)| t=1 modelo 1er orden 4.6231038 2er orden 2.246151 er 3 orden 2.120186 Como se mencion´ o en el Cap´ıtulo 4, este criterio s´ olo es empleado como criterio de desempate si no se pueden tener resultados del criterio de asignaci´ on de polos y el de convergencia heur´ıstica, por lo que se proceder´ a a revisar el criterio de convergencia heur´ıstica, cuyos resultados se exponen en la Tabla 5.7 (la varianza es medida en θ1 ).

Orden del modelo 1er orden 2er orden 3er orden

Tabla 5.7. Convergencia heur´ıstica Varianza de los par´ ametros de estimaci´ on por ventana Ventana 1 Ventana 2 Ventana 3 Ventana 4 0.003790 0.009126 0.02379

0.0000001782(< V 1) 0.03455(>> V 1) 0.01867(< V 1)

0.000001244(< V 2) 0.01143(< V 2) 0.01143(< V 2)

0.000005033(≈ V 2) 0.05760(> V 3) 0.03394(> V 3)

Este criterio arroja resultados suficientes para la elecci´ on de orden, pues se puede observar la falta de consistencia para estructuras internas, tanto de segundo como de tercer orden. Por lo cual y del algoritmo de selección de orden descrito en el Cap´ıtulo 4 se deduce que el modelo es n = 1. De la excitación para este caso puede medirse un retardo k=0 (ver Figura 5.31). Para el dise˜ no de la ubicaci´ on de polos, la din´ amica dominante es integradora y la tarea fundamental es desplazar el polo dominante en las cercan´ıas de 1 al interior del c´ırculo unitario. Para establecer que tanto se puede desplazar el polo hacia el interior del c´ırculo unitario, se hace la siguiente consideración pr´ actica con respecto a los actuadores: se calcula τ como el 10 % del tiempo necesario para alcanzar el 50 % del rango entre los l´ımites de saturación de la variable. Por lo cual se tiene una τ deseada en lazo cerrado equivalente a 2 seg., lo cual determina T como cuando h =0.1 seg., como: T = z − 0.9512

(5.69)

resultado de la estimaci´ on inicial, se ajustan como valores iniciales del GMVDPAC, los finales de la estimaci´ on de primer orden (5.70) θ0 = (0.99727053,0.00543861,1) donde el tercer par´ ametro corresponde a Co (la estructura de este polinomio, se elige a partir de la recomendaci´ on de [8]), ya que se tiene cierta certeza sobre los parámetros de arranque que la matriz de covarianza inicial es ajustada como: (5.71) Px0 = 10I Finalmente el factor de olvido es fijo durante la estimación como λ =0.99. En la Figura 5-35a) puede apreciarse el comportamiento del desplazamiento de la banda transportadora (medido del sensor en volts). La acci´ on de control está menos tiempo en saturaci´ on que el control ajustado arbitrariamente presentado en la Figura 5-23, además el sobreimpulso inicial es mucho menor en la Figura 5-35a) que en la Figura 5-23a). En la Figura 5-36 se presenta el proceso de estimación llevado a cabo durante el control GMVDPAC. 116

5.11 Pruebas con el sistema integrado

Figura 5-35: Comportamiento del controlador GMVDPAC, a) Seguimiento a la referencia, b) Señal de control.

Figura 5-36: Estimación recursiva durante el control adaptable, a) Parámetros de estimación, b) Traza de la matriz de covarianza.

En la Figura 5-36a) puede observarse que uno de los par´ ametros de estimación presentado en la Figura 534 ronda la unidad, lo cual es congruente con la dinámica integradora dominante del sistema. En términos generales se puede observar una estimación consistente, lo cual es validado por el comportamiento de la traza de la matriz de covarianza presentado en la Figura 5-36b). En la Figura 5-37 se presenta el resultado de una prueba que involucra cambio de carga, como puede observarse éstos se realizan en los segundos 100 y 110 como desplazamientos axiales arbitrarios en la banda, para sacar al sistema de su posici´ on de control. La duración de la carga en tiempo está restringida 117

5. Resultados y Aplicaciones a sólo lograr el desplazamiento de la banda para quedar fuera de la referencia. En la Figura 5-37b) se observa la correcci´ on realizada por la se˜ nal de control para regresar al sistema a su posici´ on original. En la Figura 5-38 se presenta el proceso de estimación relacionado.

Figura 5-37: Control GMVDPAC aplicando al control de posición de una banda transportadora prototipo durante cambios de carga, a) Seguimiento a la referencia, b) Se˜ nal de control.

Figura 5-38: Estimación recursiva durante el control adaptable cuando existen cambios de carga, a) Parámetros de estimación, b) Traza de la matriz de covarianza.

El control de respaldo (el PID genético directo), descrito en la secci´ on 4.3 es probado por separado para el mismo sistema. Una vez que se ha elegido el orden del modelo interno, se utilizaron los par´ ametros 118

5.11 Pruebas con el sistema integrado de estimación de dicha estructura para construir un modelo interno usado para computar la función de aptitud dentro del algoritmo genético. Las especificaciones particulares para el algoritmo genético son: tama˜ no de población = 50, longitud del cromosoma = 3 para genes de 8 bits. La reproducci´ on es realizada a partir de un torneo, donde participa el 10 % de la población por generaci´ on. El PID genético incluye un proceso de mutación del 10 % con el fin de disminuir las posibilidades de la convergencia prematura.

Figura 5-39: Simulación del controlador PID para el individuo más apto, a) Seguimiento a la referencia, b)Proceso evolutivo.

Como ya se mencion´ o en la secci´ on 4.3, el individuo (cromosoma) est´ a compuesto como las ganancias PID para la ecuaci´ on (4.25). El proceso evolutivo está realizado para un n´ umero fijo de generaciones, 25, que le llevan al sistema de c´ omputo particular 60.367 segundos. Los valores obtenidos a partir del individuo más apto al finalizar la evoluci´ on controlada se exponen en la Tabla 5.8. Tabla 5.8. Ganancias del PID genético Ganancia Valor Kc 9.355351 Ti 3.789035 Td 0.156860 En la Figura 5-40 se presenta la prueba práctica del control PID genético en la banda transportadora, puede observarse un comportamiento adecuado ya que el control s´ olo tiene un error en estado estacionario muy peque˜ no, pues llega a 3.93 volts cuando la referencia de 4 volts, lo cual equivale al 1.75 % de error en estado estacionario. En la Figura 5-40b) se observa el comportamiento de la se˜ nal del control el cual es diferente a la generada por el GMVDPAC. En la Figura 5-41 se realiza un cambio forzado entre el GMVDPAC y el control de respaldo en el tiempo t = 100 seg para observar la continuidad de desempe˜ no de los controladores para un proceso real. 119


Figura 5-40: Control PID genético directo aplicado al control de posición de una banda transportadora prototipo, a) Seguimiento a la referencia, b) Se˜ nal de control.

Figura 5-41: Conmutación entre controladores GMVDPAC y PID genético directo en el segundo 100, a) Seguimiento a la referencia, b) Se˜ nal de Control.

120

Cap´ıtulo 6

Conclusiones Este trabajo de tesis condujo a una modificaci´ on sobre el algoritmo del controlador de varianza m´ınima generalizado (GMVC), para lacanzar mejores niveles de desempe˜ no y confiabilidad en aplicaciones prácticas. Al resultado de la modificaci´ on del GMVC se le denomin´ o controlador de varianza m´ınima generalizado con asignaci´ on dinámica de polos (GMVDPAC). Las modificaciones realizadas al GMVC, reestructuraron el algoritmo impl´ıcito como uno expl´ıcito, permitiendo as´ı, la actualizaci´ on de los parámetros asociados a la funci´ on costo en cada iteraci´ on, con el fin de mejorar la respuesta del sistema ante perturbaciones paramétricas. Los principales beneficios del GMVDPAC son: Extensión de la zona de estabilidad con respecto al algoritmo original. En el Cap´ıtulo 3 se demostró que la zona de estabilidad del controlador GMVDPAC se modifica para envolver a las coordenadas de los par´ ametros perturbados, por lo que supera al algoritmo original de Clarke en el rubro de estabilidad. Mejor repetibilidad Debido a la estructura del controlador, el sistema tiene una mejor interacción con el procedimiento de identificaci´ on (ver Cap´ıtulos 3 y 4), lo cual facilita que el sistema pueda comportarse de manera muy similar en cada oportunidad de uso. Mayor confiabilidad El sistema tiene un perfil para encarar perturbaciones en los par´ ametros del proceso (ver los Cap´ıtulos 3 1 y 5), lo cual brinda un mayor nivel de confiabilidad. Mayor maleabilidad de la respuesta din´ amica. La estructura expl´ıcita incorporada por el GMVDPAC y el rec´ alculo de los polinomios costo hace posible garantizar la ubicaci´ on de polos, con lo que se facilita alcanzar una respuesta din´ amica determinada ante diversas condiciones de operaci´ on (ver Cap´ıtulo 4). Eficiencia algor´ıtmica El algoritmo esta dise˜ nado de tal forma, que realiza la actualización de parámetros en l´ınea con un s´ olo procedimiento RLS, y un incremento computacional moderado para calcular permanentemente los polinomios costo. 1

En el Cap´ıtulo 5 se observ´ o que en términos generales cuando la amplitud de la perturbaci´ on aumenta, el GMVDPAC muestra un mejor desempe˜ no. También en las pruebas de dicho cap´ıtulo se observ´ o que cuando hay perturbaci´ on en los par´ ametros el menor ITAE se tiene con GMVDPAC.

121

6. Conclusiones Flexibilidad El GMVDPAC es un algoritmo flexible ya que para operar, la informaci´ on necesaria del proceso es reducida y puede ser recopilada por un sistema automático (inicializador), lo que facilita su uso en posibles aplicaciones industriales. Con el fin de recopilar la informaci´ on m´ınima necesaria para la operaci´ on del control adaptable, se desarroll´ o un sistema de inicializaci´ on que dio muy buenos resultados, tanto en simulaci´ on como en experimentos pr´ acticos. Las capacidades del GMVDPAC permitieron minimizar las necesidades del sistema en su conjunto, simplificando as´ı varios aspectos del desempe˜ no del control en lazo cerrado. Por su parte la etapa de supervisi´ on desarrollada, extiende la autonom´ıa del controlador, pues le permite operar bajo un modo de respaldo en caso necesario, proveyendo al sistema en su conjunto de un mayor grado de independencia. El sistema desarrollado integrado, permite la operaci´ on dentro de un buen nivel de confiabilidad y autonom´ıa. Aunque el controlador individualmente es capaz de controlar sistemas de fase m´ınima e inestables, el sistema integrado en su conjunto sólo contempla la operaci´ on aut´ onoma con sistemas asint´ oticamente estables, marginalmente estables e integradores. En general la estructura de control desarrollada tiene una enorme potencialidad para su aplicaci´ on pr´ actica en el contexto industrial, adem´ as de que las ventajas expuestas en el trabajo pueden hacerla atractiva en sistemas donde existan perturbaciones paramétricas y se requiera un seguimiento de la referencia estrecho.

6.1.

Contribuciones

El desarrollo de la tesis parti´ o de la premisa que para aumentar los niveles de confiabilidad y autonom´ıa de un controlador adaptable del tipo STR (y de esta forma facilitar su inserción en el contexto industrial), se requiere que el sistema de control adaptable contemple una estructura de soporte, conformada por un inicializador autom´ atico y un sistema de supervisi´ on, capaz de tomar acciones pertinentes en caso de un desempe˜ no poco satisfactorio. Como fue comentado al inicio del documento en [46] se describe un procedimiento de inicializaci´ on ligado a la estructura de supervisi´ on descrita en [31], ambos procedimientos est´ an basados en el análisis de la respuesta a la frecuencia, particularmente en el uso del relevador realimentado [2] y son empleados en el controlador de campo adaptable ABB ECA600. La principal limitante es que el relevador realimentado solo puede emplearse con procesos as´ıntoticamente estables. Ya que el controlador involucrado en la propuesta original, puede nominalmente manejar indistintamente sistemas de fase m´ınima y no m´ınima, debiera esperarse que el inicializador desarrollado tuviera rangos de operaci´ on más amplios. En la propuesta de tesis doctoral presentada en el documento del seminario predoctoral, se propusieron como opciones para el controlador del sistema, el GMVC [19], [20] y el GMVPAC [1]. Posterior al seminario predoctoral se encontró que el GMVPAC de Allidina ten´ıa problemas algor´ıtmicos y de convergencia por lo que se descart´ o como opci´ on, la propuesta original del inicializador y supervisor descrita en el documento del seminario predoctoral estaba en función de las necesidades de dicho controlador, siendo las variables de inicializaci´ on requeridas para dicho controlador: 1. Par´ ametros de estimaci´ on iniciales, 2. Matriz de covarianza inicial, 3. Detecci´ on del retardo del proceso, 4. Selecci´ on del orden del modelo de estimaci´ on, 5. Selecci´ on del periodo de muestreo, 122

6.1 Contribuciones 6. Selecci´ on del polinomio de ubicaci´ on deseada de los polos, 7. Selecci´ on de los polinomios costo, 8. Inicializaci´ on del control de respaldo. Mientras que las variables involucradas en la supervisión eran: 1. Variables relacionadas a la respuesta din´ amica como el error y algunas de sus relaciones estad´ısticas, 2. Identificabilidad y calidad de la estimaci´ on (a través de la matriz de covarianza y los residuos), 3. Estabilidad del sistema de control a través del monitoreo de la se˜ nal de control y la ubicaci´ on de polos, 4. Conmutador entre el controlador de respaldo y el control adaptable, 5. La comunicaci´ on con el usuario a través de la interfaz de usuario. Bajo este esquema, ser´ıa necesario proponer los polinomios costo (punto 7 de la inicializaci´ on) y verificar que los polos alcanzaran la asignación deseada (punto 3 de la supervisión), para que en caso de que ésto no sucediera, redise˜ nar los polinomios costo. La particularidad de las necesidades expresadas motivaron la s´ıntesis de un algoritmo de control que satisfaciera dichas necesidades: el GMVDPAC. El uso del GMVDPAC elimina la necesidad del punto 7 de inicializaci´ on y simplifica el punto 3 de la supervisión, al suprimir la necesidad de verificar la ubicaci´ on de polos ya que ésta se asegura, si la estimaci´ on converge (ver Cap´ıtulo 3), por lo que se centró el desarrollo en el punto 2 de la supervisi´ on, ya que si el supervisor garantiza la consistencia estructural se pueden esperar buenos niveles de desempe˜ no en el controlador. Las principales aportaciones del trabajo se pueden establecer en relación a las etapas del sistema. Con respecto al algoritmo de control adaptable propuesto, las aportaciones son: El algoritmo propuesto no requiere de una inicializaci´ on de los polinomios costo, El algoritmo propuesto contempla una actualizaci´ on permanente de los polinomios costo (relativamente con poco aumento de costo computacional) lo cual permite garantizar una asignaci´ on de polos ante perturbaciones paramétricas, El algoritmo presenta un mayor rango de estabilidad que el algoritmo original ante perturbaciones paramétricas arbitrarias. El algoritmo de control desarrollado en la tesis se ha reportado en [64] y en [59] donde se aborda como tema la eficiencia computacional, mientras que en [61] se aborda el desempe˜ no de los polos en lazo cerrado. En [67] se revisa a partir de una aplicación el desempe˜ no dinámico del controlador, y en [60] se estudia la estabilidad del algoritmo ante perturbaciones paramétricas. Por su parte para el control de respaldo se desarroll´ o un sistema de sintonizaci´ on por modelo interno (para n ≤ 3) que permite la sintonización del controlador PID, sin importar si el sistema es estable, marginalmente estable o inestable. El control aprovecha un procedimiento de inicializaci´ on com´ un con el control adaptable, del cual se genera un modelo interno y con ayuda de un algoritmo genético se obtienen las ganancias necesarias. Esta propuesta de sintonizaci´ on fue denominada PID genético directo y ha sido reportada en [62] y en [63], también se hace referencia a ella en [64]. En lo referente al sistema de soporte se desarrolló un proceso de inicializaci´ on que se basa en una excitaci´ on en lazo abierto y la estimaci´ on RLS. 123

6. Conclusiones Para el desarrollo de la inicializaci´ on se propuso un método original para elegir el orden del modelo interno e inicializar las variables del controlador autosintonizable. Dicho método fue reportado en [64]. Finalmente para la estructura de supervisión en l´ınea se desarrolló un sistema experto, que sintetiza el conocimiento heur´ıstico generado en este rubro, a lo largo del trabajo. A continuaci´ on se enumeran las publicaciones, producto del trabajo de tesis. Paz-Ramos M.A., Torres-Jiménez J., Quintero-M´ armol-Márquez E., “Proportional-Integral-Derivative Controllers Tuning for Unstable and Integral Processes Using Genetic Algorithms”, ICCS 2004 (International Conference on Computational Science 2004, Krakow, Poland), publicado en el n´ umero especial de la revista Lecture Notes in Computer Science, 3037, pp. 532-539, Springer-Verlag 2004. Paz-Ramos M.A., Torres-Jiménez J., Quintero-M´ armol-Márquez E., “PID Controller Tuning for Stable and Unstable Processes Applying” GECCO 2004 (Genetic and Evolutionary Computation Conference 2004, Seattle, Washington), publicado en el n´ umero especial de la revista Lecture Notes in Computer Science, 3103, pp. 1-10, Springer-Verlag 2004. Paz-Ramos M.A., Quintero-M´ armol-Márquez E., Torres-Jiménez J., “Automatic Intelligent Initialization for a Modified Generalized Minimum Variance Controller”, Proceedings of the 5th Asian Control Conference, pp.1231-1238, Melbourne 20-23 July 2004. Paz-Ramos M.A., Quintero-M´ armol-M´ arquez E., Fern´ andez del Busto R., “Generalized Minimum Variance with Pole Assignment Controller Modified for Practical Applications”, Proceedings of the 2004 IEEE International Conference on Control Applications, pp. 1347-1352, September 2-4, Taipei, Taiwan. Ponce Cruz P., Paz Ramos M.A., Fern´ andez del Busto R., Quintero-M´ armol E., “DTC Scheme for an Induction Motor Using Generalized Minimum Variance Controller with Dynamic Pole Assignment”, IEEE International Symposium on Industrial Electronics, pp. 957-962, Junio 20-23 2005, Dubrovnik, Croacia. Paz-Ramos M.A., Quintero-M´ armol-Márquez E., Fernandez del Busto R., Olguin E., Santos O. J., Ponce P., “Improving Stability and Performance in a Generalized Minimum Variance Controller using Dynamic Pole Assignment”, 2nd International Conference on Electrical and Electronics Engineering and XI Conference on Electrical Engineering, pp. 370-373, México City, September 7-9 2005. Paz Ramos M. A., Fernández del Busto R., Quintero Mármol E., “Generalized Minimum Variance with Pole Assigment Controller”, Memorias del congreso nacional de Control Autom´ atico 2005 de la Asociaci´ on de México de Control Autom´ atico (AMCA), art´ıculo 77. Cuernavaca Morelos, México, 19-21 de Octubre del 2005.

6.2.

Trabajos futuros

Durante el desarrollo de tesis se encontraron algunas vertientes de investigación, que por diversas razones no pudieron ser exploradas ó explotadas. Algunas de estas vertientes pueden presentar un interés suficiente como para permitir trabajos futuros relacionados. Dichos trabajos pueden asociarse principalmente a los siguientes t´ opicos: Estabilidad: En este trabajo se exploraron algunos aspectos relacionados a la estabilidad del algoritmo propuesto (GMVDPAC), y se mostraron las capacidades del algoritmo para sobreponerse a perturbaciones paramétricas durante su operaci´ on. Los casos revisados en el documento no contemplan 124

6.2 Trabajos futuros retardo en el transporte. En alg´ un momento del desarrollo de la tesis, se revisaron algunos casos con retardo con la ayuda del método D particiones [36], sin embargo no se pudo generalizar un resultado, a pesar de lo cual se observaron situaciones sumamente interesantes, las cuales requieren mayor trabajo en la b´ usqueda de una interpretación acertada. Supervisi´ on: Un aspecto que requiere la mayor atenci´ on en el control de procesos es el manejo de las oscilaciones, pues la existencia de estas en un lazo, representa un riesgo de consideraci´ on, para la operaci´ on del proceso. En particular las estructuras de control adaptable son más susceptibles a la disfunci´ on a causa de las oscilaciones [72] y de hecho en la práctica, cuando las oscilaciones se presentan se recomienda detener el proceso de adaptaci´ on [29]. Un trabajo de interés podr´ıa ser el desarrollo de una herramienta que trabaje de forma coordinada con el control adaptable y que permita la detecci´ on oportuna de dichas oscilaciones para tener otras alternativas diferentes a detener la adaptaci´ on. El estudio de la interacci´ on entre la herramienta y el control adaptable ameritar´ıan especial cuidado. Implementaci´ on: Durante el desarrollo del trabajo, siempre se mantuvo el objetivo de que el trabajo pudiera implementarse en la práctica, por lo cual fueron llevados a cabo varios experimentos con el fin de evaluar el desempe˜ no del sistema en su conjunto. Por otro lado siempre se tuvieron como referencia algunos controladores comerciales de campo, por lo que un paso lógico podr´ıa ser la implementaci´ on del sistema en un sistema m´ınimo, bajo una estructura embebida o´ aprovechando las posibilidades que brindan los controladores de automatizaci´ on programables [79].

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6. Conclusiones

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ANEXO A

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Referencias Bibliogr´ aficas [1] Allidina A.Y., Hughes F.M., “Generalized self-tuning controller with pole assigment”, IEE Proc. Control Theory Appl., Vol. 127, No.127 . 13—18. 1980. [2] ˚ Aström K.J., Adaptive Control, Filtering and Signal Processing . Springer-Verlag, 1995. [3] ˚ Aström K.J., “Adaptive Control Around 1960”, IEEE Control Systems Magazine , 44—49, June 1996. [4] ˚ Aström K.J., H¨ agglund T. PID controllers: theory, design and tuning (Second Edition). Research Triangle Park, 1995. [5] ˚ Aström K.J., H¨ agglund T., “The future of PID Control”, Control Engineering Practice No. 9 , 1163—1175, 2001. [6] ˚ Aström K.J., Wittenmark B., “On Self Tuning Regulators”, Automatica Vol. 9 , 185—199, 1973. ˚ström K.J., Wittenmark B., “Self-Tuning Controllers Based on Pole-Zero Placement”, IEE Proc. [7] A Control Theory Appl., Vol. 127, No.3 , 120—130, 1980. [8] ˚ Aström K.J., Wittenmark B., Adaptive Control (Second Edition). Addison Wesley, 1995. ˚strom K.J., Wittermark B., Computer Control led Systems; Theory And Design . Prentice Hall, [9] A 1997. [10] Bartos F.J., “Artificial Intelligence ...Within”, Control Engineering , 26—33, September 2003. [11] Bennett S., “Development of the PID Controller”, IEEE Control Systems Magazine , 58—64, December 1993. [12] Bennett S., “A Brief History of Automatic Control”, IEEE Control Systems Magazine, Vol. 16, No. 3, 17—25, June 1996. [13] Bernaerts K., Van Impe J.F., “Data-driven approaches to the modelling of bioprocesses” Transactions of the Intitute of Measurement and Control No. 16 , 349—372, 2004. [14] Bernstein D. S., “Feedback Control: An Invisible Thread in the History of Technology”, IEEE Control Systems Magazine, Vol.22 , 53—68, April 2002. [15] Butman S., Sivan R., “On Cancellations, Controllability and Observability”, IEEE Transactions on Automatic Control , 317—318, 1964. [16] Chang W.A., Ramakrishna R.S., “Elitism-Based Compact Genetic Algorithms”, IEEE Transactions on Evolutionary Computation , Vol. 7, No. 4, 367 — 385, Aug. 2003. [17] Chen Ch-T., Linear System Theory and Design (3rd Edition). Oxford University Press, 1998. 145

´ REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS [18] Chiu S., “Developing Commercial Applications of Intelligent Control”, IEEE Control Systems Magazine , 94—100, April 1997. [19] Clarke D.W., Gawthrop B.A., “Self-tuning controller”, IEE Proc. Control Theory Appl., Vol. 122, No.9 122 , 929—934, September 1975. [20] Clarke D.W., Gawthrop B.A., “Self-tuning control”, IEE Proc. Control Theory Appl., Vol 126 , 633—640, 1979. [21] Clarke D.W., Mohtadi C., “Properties of Generalized Predictive Control”, Automatica Vol. 25, No. 6, 859-875, 1989. [22] Clarke D.W., Mohtadi C., Tuffs P. S., “Generalized Predictive Control - Part I. The Basic Algorithm”, Automatica Vol. 23 , No. 2, 137—148, 1987. [23] Clarke D.W., Mohtadi C., Tuffs P. S., “Generalized Predictive Control - Part II. Extensions and Interpretations”, Automatica Vol. 23, No. 2, 149—160, 1987. [24] Ender D.B., “Process Control Performance Not as Good as You Think”, Control Engineering , 180—190, September 1993. [25] Estévez-Reyes L., “Process Control Reliability: The Key to Investing in Your Infrastructure”, ISA Transactions, Vol. 39, No. 1 , 115—121, 2000. [26] Franklin G.F., Powel J.D., Workman M.L., Digital Control of Dynamic Systems (Second Edition). Addison Wesley, 1990. [27] Goldberg David, Genetic Algorithms in search, optimization and machine learning . Addison Wesley, 1989. [28] Grimble M.J., “Non-Linear Generalized Minimum Variance Feedback, Feedforward and Tracking Control”, Automatica No. 4, 957—969, 2005. [29] Hägglund T., “Industrial Implementation of on-Line Performance Monitoring Tools”, Control Engineering Practice , Vol. 13 , 1383—1390, 2005. ˚ström K.J., “Industrial Adaptive Controllers Based on Frequency Response Tech[30] Hägglund T., A niques”, Automatica Vol. 27 , 599—609, 1991. [31] Hägglund T., ˚ Aström K.J., “Supervision of adaptive control algorithms”, Automatica Vol. 36 , 1171— 1180, 2000. [32] Hägglund T., ˚ Aström K.J., “Method and on apparatus in tuning a PID-Regulator”, U.S. Patent No. 4,549,123, Oct. 22 1985. [33] Hang C.C., “The Choice of Controller Zeros”, IEEE Control Systems Magazine, January 1989. [34] Holmberg U., Relay Feedback of Simple Systems . PhD dissertation, Department of automatic control, Lund Institute of Technology, August 1991. [35] Http://www.Honeywell.Com.Pl/, “DC1000.Pdf.” [36] Hwang C., Hwang J.H., “Stabilisation of First-Order Plus Dead-Time Unstable Processes Using PID Controllers”, IEE Proc.-Control Theory Appl., Vol. 151, No. 1, 89—94, January 2004. 146

´ REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS [37] Inoue A., Yanou A., Sato T. Hirashima Y., “An Extension of Generalized Minimum Variance Control for Multi-input Multi-output systems Using Coprime Factorization Approach”, 4184—4188, 2000. [38] Ioannou P.A., Sun J., Robust Adaptive Control . Prentice Hall, 1996. [39] Isermann R., Lachmann K.H., “Parameter-adaptive Control with Configuration Aids and Supervision Functions ”, Automatica Vol. 21, No.6 , 625—638, 1985. [40] Jury E.I., “On the History and Progress of Sampled-Data Systems”, IEEE Control Systems Magazine , 16—21, 1987. [41] Kim Y.-S., (Samsung Electronics). “Unit Method for Determining Gains a of PID Controller Using a Genetic Algorithm” U.S. Patent , No. 5,971,579, Oct. 26 1999. [42] Lawrence D.A., Sethares W. A., Ren W., “Parameter Drift Instability in Adaptive Systems”, Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control , 3230—3235, December 1990. [43] Li Z., Evans R.J., “Generalised minimum variance control of linear time-varying systems”, IEE Proc. Control Theory Appl., Vol. 149 . 111—116, 2002. [44] Ljung L., System Identification, Theory for the User . Second edition Prentice Hall PTR, 1999. [45] Ljung L., Glad T., Anderson T., “Identidicability Implies Robust Identificability”, Proceeding of the 32nd Conference on Decision and Control , 567—569, 1993. [46] Lundh M., ˚ Aström K.J., “Automatic Initialization of Robust Self-tuning Controllers”, Automatica Vol. 30 , No. 11, 1649—1662, 1994. [47] Luyben W.L., Process Model ling, Simulation and Control for Chemical Engineers . Mc Graw Hill, 1990. [48] Luyben W.L., Luyben M.L., Essentials of process control . Mc Graw Hill International Editions, 1997. [49] Masayoshi D., Yasuchika M., “Generalized Minimum Variance Control for Time Varying Systems without Diophantine equation”, Proceedings of American Control Conference , 3230—3235, 2002. [50] Masayoshi D., Yasuchika M., “A Study on Robust Asymptotic Tracking Property for Generalized Minimum Variance Control”, Proceedings of American Control Conference , 1472—1477, 2002. [51] Mendes R.S., Amaral W.C., Latre L.G., “Determination of weighting polynomials in generalized minimum variance controllers”, IEE Proc. Control Theory Appl., Vol. 135 , 21—27, 1988. [52] Mitsukura Y., Yamamoto T., Kaneda M., “A Design of Self-Tuning PID Controllers Using a Genetic Algorithm”, Proceedings of American Control Conference , 1361—1365, 1999. [53] Montmain J., Gentil S., “Dynamic causal model diagnostic reasoning for online technical process supervision”, Automatica Vol. 36 , 1137—1152, 2000. [54] Narendra K.S., “Parameter Adaptive Control - The End... or the Beginning?”, Proceedings of the 33rd Conference on Decision and Control , 2117—2125, 1994. [55] National Instruments, “User Manual, LabVIEW / Express”, 2003. [56] Niu S., Fisher D.G., “Monitoring Parameter Identificability During on Line Identification”, Proccedings of IEEE Conference on Control Applications , 1717—1722, 1994. 147

´ REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS [57] Ogata K., Sistemas de Control en Tiempo Discreto . Segunda Edición, Pearson Educaci´ on, 1996. [58] Oki T., Yamamoto T., Kaneda M., “A Comparison of Self-Tuning Control Schemes in Applications”, SICE , 1593—1598, 1995. [59] Paz Ramos M.A., Quintero-Mármol-Márquez E., Fern´ andez Del Busto R., “Generalized Minimum Variance with Pole Assigment Controller Modified for Practical Applications”, Proceedings of the 2004 IEEE International Conference on Control Applications , 1347—1352, 2004. [60] Paz Ramos M.A., Quintero-M´ armol E., Fern´ andez Del Busto R. Olgu´ın E. Santos O.J. Ponce P., “Improving Stability and Performance in a Generalized Minimum Variance Controller Using Dynamic Pole Assignment”, 2nd International Conference on Electrical and Electronics Engineering and XI Conference on Electrical Engineering, Mexico City , 370—373, September 2005. [61] Paz Ramos M.A., Fernandez Del Busto R., Quintero-M´ armol E., “Generalized Minimum Variance with Dynamic Pole Assignment Controller", Memorias del Congreso Nacional de Control Autom´ atico 2005 de la Asociaci´ on de México de Control Autom´ atico (AMCA), Cuernavaca Morelos, México, articulo 77, Octubre 2005. [62] Paz Ramos M.A., Torres-Jiménez J., Quintero-Mármol-Márquez E., “PID Controller Tuning for Stable and Unstable Processes”, GECCO 2004, Lecture Notes in Computer Science 3103 Springer Verlag , 1—10, 2004. [63] Paz Ramos M.A., Torres-Jiménez J., Quintero-M´ armol-Márquez E., “Proportional-IntegralDerivative Controllers Tuning for Unstable and Integral Processes Using Genetic Algorithms”, ICCS 2004, Lecture Notes in Computer Science 3037 Springer Verlag , 1—10, 2004. [64] Paz Ramos M.A., Quintero-Mármol-Márquez E., Torres-Jiménez J., “Automatic Intelligent Initialization for a Modified Generalized Minimum Variance Controller”, Procceding of the 5th Asian Control Conference , 1231—1238, 2004. [65] Pereira J.M. Dias., “A Fieldbus Prototype for Educational Purposes”, IEEE Instrumentation Measurement Magazine , 24—31, 2004. [66] Piedrafita R., Ingenier´ıa de la Automatizaci´ on Industrial . Alfaomega/Rama, 2004. [67] Ponce Cruz P., Paz Ramos M.A., Fernandez Del Busto R. Quintero-M´ armol E., “DTC Scheme for an Induction Motor Using Generalized Minimum Variance Controller with Dynamic Pole Assignment”, Proc. IEEE International Symposium on Industrial Electronics. Dubrovnik, Croatia , 957—962, June 2005. [68] Poulin E., Pormeleau A., “PI Setting for Integrating Processes Based on Ultimate Cycle Information”, IEEE Transactions on Control Systems Technology, Vol. 7, No. 4 , 509—511, July 1999. [69] Reeve A., “Auto-Tuning and Self-Tuning Controllers”, C&I , 67—69, October 1991. [70] Reyes A., “Producci´ on Inteligente”, Manufactura, An õ 10, Nu ´mero 106 , 73—81, Abril 2004. [71] Rhinehart R.R., “The century’s greatest contributions to control practice”, ISA Transactions , Vol. 39, 3—13, 2000. [72] Rohrs C. E., Valvani L., Athans M. Stein G., “Robustness of Continuous-Time Adaptive Control Algorithms in the Presence of Unmodeled Dynamics”, IEEE Transactions on Automatic Control , AC-30, No. 9 , 881—889, September 1985. 148

´ REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS [73] Sazali Y., Faisal A.M., Mohamed F.A., “On-line self-tuning controller for induction motor based on generalized minimum variance method”, SICE , 875—878, 1998. [74] Shoureshi R., “Active Noise Control: A Marriage of Acoustics and Control”, Proceedings of the American Control Conference , 3444—3448, June 1994. [75] Smith C. A., Corripio A. B., Control Autom´ atico de Procesos. Teor´ıa Y Pr´ actica . Editorial Noriega Limusa, 2002. [76] Strothman J., “Leaders of the pack”, InTech 50 , 22—27, August 2003. [77] Takatsu H., Itoh T., “Future Needs for Control Theory in Industry - Report of Control Technology Survey in Japanese Industry”, IEEE Transactions on Control Systems technology, Vol. 7, No.3 , 298—305, May 1999. [78] Thornhill N. F., Cox J. W., Paulonis M. A., “Diagnosis of Plant-Wide Oscillation Through DataDriven Analysis and Process Understanding”, Control Engineering Practice ,Vol. 11 ,1481—1490, 2003. [79] Vázquez C.M., “La Nueva Generaci´ on de PLC’s, PAC’s Controladores Autom´ aticos Programables”, InTech México Automatizaci´ on, an õ 3, No. 2 , 16—21, Abril-Junio 2004. [80] Visioli A., “Optimal Tuning of PID Controllers for Integral and Unstable Processes”, IEE Proc.Control Theory Appl., Vol. 148, No. 2 , 181—184, March 2001. [81] Wellstead P.E., Prager F., Zanker P., “Pole Assigment self-tuning regulators”, IEE Proc. Control Theory Appl., No. 126 , 781—787, 1979. [82] Wellstead P.E., Zarrop M.B., Self-Tuning Systems, Control and Signal Processing . John Wiley & Sons, 1991. [83] Wilbanks W.S., “50 Years of Progress in Measuring and Controlling Industrial Processes”, IEEE Control Systems Magazine Vol. 16, No.1 , 62—66, 1996. ˚ström K.J., “Practical Issues in the Implementation of Self-Tuning Control”, [84] Wittenmark B., A Automatica Vol. 20 , 595—605, 1984. [85] Xia L., Moore J.B., Gevers M., “On adaptive estimation and pole assigment of overparametrized systems”, International Journal of Adaptive Control and Signal Processing No.1 , 143—160, 1987. [86] Xia L., Moore J.B., “Recursive Identification of Overparametrized Systems”, IEEE Transactions on automatic control, Vol. 34, No. 3 , 327—331, 1989. [87] Y.-Ang K. H., Chong G. C. Y., “Patents, Software, and Hardware for PID Control”, IEEE Control Systems Magazine , February 2006. [88] Yamamoto T., Fujii K., Kaneda M., “Self-Tuning Temperature Control of a Polymerizing Reactor”, 1110—1114, 1998. [89] Yamamoto T., Inoue A., Shah S.L., “Generalized Minimum Variance Self-Tuning Pole-Assigment Controller with PID Structure”, Proceedings of IEEE International Conference on Control Applications , 125—130, 1999. [90] Ziegler J.G., Nichols N. B., “Optimum Settings for Automatic Controllers”, Trans. ASME, No. 64 , 759—7687, November 1942.

149