Text S2

1

Text S2: Supporting Information for Coordinated optimization of visual cortical maps (I) Symmetry-based analysis 1

Amplitude equations for higher order coupling energies

Here, we list the amplitude equations for the OP dynamics in case of the high order inter-map coupling energies U = ϵ|∇z · ∇o|4 and U = τ |z|4 o4 .

∂t Ai

=

∑

rz Ai −

(

∑

′ gij + δ 4 gij + δ2

|Aj | Ai 2

u

j

(

′′ +δgij

−

∑

)

B1 B2 B3 + B 1 B 2 B 3 +

∑

gijuv |Bu | |Bv | ∑

′ 2 gij − + δ 4 gij − + δ

|Aj − | Ai

( ) B1 B2 B3 + B 1 B 2 B 3 +

3 ∑

(

′ fij + δ 4 fij + δ2

Aj Aj − Ai− (

)

B1 B2 B3 + B 1 B 2 B 3 + (

Ai Aj Al

∑

− −

∑

Ai Aj − Al ( Ai Aj Al−

−

(1) hijlu B j Bl |Bu |2

∑

) (1) δ 2 hijl B j Bl

+

) (1) hij − lu Bj Bl |Bu |2

∑

+

(1) δ 2 hij − l Bj Bl

+

(1) δ 2 hijl− B j B l

) (1) hijl− u B j B l |Bu |2

( Ai Aj − Al−

∑

∑

) (1) hij − l− u Bj B l |Bu |2

u (2)

Aj Al Ak hijlk B j B l Bk Bi −

l,j̸=k

−

fijuv |Bu | |Bv |

2

u

j̸=l

−

) 2

u

j,l

∑

∑ u,v

(

j,l

∑

fiju |Bu |2

u

j̸=l

∑

gij − uv |Bu | |Bv |

2

u

′′ +δfij

−

) 2

u,v

j

∑

gij − u |Bu |2

u

′′ +δgij −

−

2

u,v

( 2

) 2

j

∑

giju |Bu |2

∑

l,j̸=k

∑

+

(1) δ 2 hij − l− Bj B l (2)

Aj − Al Ak hij − lk Bj B l Bk Bi

l,j,k (2) Aj Al Ak− hijlk− B j B l B k Bi

−

∑

l,j̸=k

(2)

Aj − Al− Ak hij − l− k Bj Bl Bk Bi

2 −

∑ l,j̸=k

−

∑

(

|Aj | Al 2

− −

l,j̸=k

∑

( |Aj − | Al 2

j,l

∑

( |Aj | Al− 2

−

∑

∑

+

) (3) hij − lu |Bu |2 B l Bi

∑

−

+

(3) δ 2 hij − l B l Bi

+

(3) δ 2 hijl− Bl Bi

) (3) hijl− u |Bu |2 Bl Bi

|Aj − | Al−

∑

) (3) hij − l− u |Bu |2 Bl Bi

u

∑

(4)

δhiju Ai Aj Au Bu+1 Bu+2 Bj −

j,u

∑

−

−

−

(4)

δhiuj Ai Aj Au B u+1 B u+2 B j

−

−

∑

−

−

−

−

∑

3 (5)

δ h

Ai Au A(u+1)− Bu+2 −

∑

−

(6)

δhiju Aj Au Au+1 Bu+2 Bj Bi −

−

∑

˜ (5)− Ai Au− A(u+1) B u+2 B 1 B 2 B 3 h iu

3 (5)

δ h

Ai Au− A(u+1) B u+2

∑

(6)

δhij − u Aj − Au Au+1 Bu+2 B j Bi

j,u

(7) δhiju |Aj |2 Au Bu+1 Bu+2 Bi

−

∑

−

∑

(6)

δhij − u− Aj − Au− A(u+1)− B u+2 B j Bi

j,u (7) δhij − u |Aj − |2 Au Bu+1 Bu+2 Bi

∑ (7) (7) δhiju− |Aj |2 Au− B u+1 B u+2 Bi − δhij − u− |Aj − |2 Au− B u+1 B u+2 Bi ∑ (8) ∑ (8) 2 − δhij A2j Ai+2 B j B i+1 − δhij − A2j − Ai+2 Bj2 B i+1 ∑ ∑ (9) (9) − δ 3 hij |Aj |2 A(i+2)− B i+1 − δ 3 hij − |Aj − |2 A(i+2)− B i+1 −

∑

(5)

hiu− Ai Au− A(u+1) B u+2 B1 B2 B3

u

(6) δhiju− Aj Au− A(u+1)− B u+2 Bj Bi

j,u

∑

∑

u

j,u

∑

(4)

δhij − u− Ai Aj − Au− Bu+1 Bu+2 B j

u

˜ (5) Ai Au A(u+1)− Bu+2 B 1 B 2 B 3 − h iu

u

−

∑ j,u

(5) hiu Ai Au A(u+1)− Bu+2 B1 B2 B3

u

∑

(4)

δhiju− Ai Aj Au− Bu+1 Bu+2 Bj

j,u (4) δhij − u− Ai Aj − Au− B u+1 B u+2 B j

u

∑

(4)

δhij − u Ai Aj − Au B u+1 B u+2 B j

j,u

(4) δhiju− Ai Aj Au− B u+1 B u+2 Bj

j,u

∑

+

∑

j,u

∑

(3) δ 2 hij − l− Bl Bi

j,u (4) δhij − u Ai Aj − Au Bu+1 Bu+2 B j

j,u

∑

)

(3) δ 2 hijl B l Bi

u

( 2

j,l

−

(3) hijlu |Bu |2 B l Bi

u

j,l

∑

(2)

Aj − Al− Ak− hij − l− k− Bj Bl B k Bi

u

j,l

∑

∑

(2)

Aj − Al Ak− hij − lk− Bj B l B k Bi −

where the indices are considered to be cyclic i.e. j + 3 = j. All sums are considered to run from 1 to 3. In the article, these amplitude equations are specified in case of OD stripes, Eq. (109), OD hexagons, Eq. (110), or a constant OD solution, Eq (111).

3

2

Coupling coefficients

In the following, we list the non-zero elements of the coupling coefficients. gii = 1

gij = 2

giji = gijj = giju = 24τ

giii = giij = 12τ

′′ gij = 48τ

′′ gii = 24τ

gijii = 6ϵ + 12τ

gijij = 33ϵ + 48τ

gijju = −3ϵ + 48τ

gijuu = 1.5ϵ + 12τ

fij = 2

′ fij = 2τ

fiju = fijj = fiji = 24τ

′′ fij = 48τ

fijii = 12τ

fijij = 48τ + 33ϵ

fijju = 48τ − 3ϵ

fijuu = 12τ + 1.5ϵ

(1)

hijlj = 0.75ϵ + 24τ

(1)

hijij = 9.75ϵ + 24τ

hijli = 15ϵ + 48τ hijii = 21ϵ + 24τ

(1)

hijl− j = hijl− l = 0.75ϵ + 24τ

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

hiij = 12τ

hiiij = 10.5ϵ + 12τ

(2)

hijli− = 15ϵ + 48τ

(2)

hijji− = 8.25ϵ + 12τ

(2)

hij − l− j = 7.5ϵ + 24τ

(2)

hij − li− = 15ϵ + 48τ

(2)

hij − j − i− = 8.25ϵ + 12τ

(3)

(2)

(3)

(2)

(2)

(2)

hij − j − l− = 3.75ϵ + 12τ (3)

hijll = 0.75ϵ + 24τ

(3)

hijl = 24τ

(3)

hiijl = 1.5ϵ + 48τ

hiijj = 9.75ϵ + 24τ (3)

hii− jj = 9.75ϵ + 24τ hij − jj = 21ϵ + 24τ

(3)

hij − lj = 0.75ϵ + 24τ

hij − li = 0.75ϵ + 24τ

(2)

hii− ij = 21ϵ + 24τ

(2)

(3)

hij − ji = 9.75ϵ + 24τ

(2)

hij − li = 7.5ϵ + 24τ

hij − l− l = 7.5ϵ + 24τ

hijjl = 0.75ϵ + 24τ

hii− ji = 21ϵ + 24τ

(1)

(2)

(3)

(3)

hiji− = 24τ

hij − i− = 24τ

hijjl− = 3.75ϵ + 12τ

hijlj = 15ϵ + 48τ

hiiji = 12ϵ + 24τ

(1)

(1)

(2)

(3)

hijjj = 10.5ϵ + 12τ

(1)

hij − j = 12τ

hiii− = 6τ

hii− j − = 24τ

(2)

(1)

(1)

hij − l = hii− j = 24τ

(1)

(1)

hijli = 0.75ϵ + 24τ

(1)

hiiju = 0.75ϵ + 24τ

hiij − = 12τ

hij − l− = 24τ

hij − l− i− = 15ϵ + 48τ

(1)

(1)

(1)

hijl− = 24τ

hij − ll− = 7.5ϵ + 24τ

(1)

(1)

(1)

hij − l− i = 7.5ϵ + 24τ

fijiu = 48τ + 3ϵ

hij − l− j = hij − l− l = 0.75ϵ + 24τ

hijl = 24τ

hijli = 7.5ϵ + 24τ

fijjj = 12τ + 6ϵ

hijil = 1.5ϵ + 48τ

hij − lj = hij − ll = 0.75ϵ + 24τ

hij − l− i = 15ϵ + 48τ

gijiu = 3ϵ + 48τ

(1)

(1)

hijl− i = 15ϵ + 48τ

gijjj = 6ϵ + 12τ

hijll = 0.75ϵ + 24τ

hiijj = 4.875ϵ + 12τ

hij − li = 15ϵ + 48τ

′ gij = 2τ

(1)

(1)

hiiji = 10.5ϵ + 12τ

′ gii =τ

(3)

(3)

(3)

(3)

(3)

hii− jl = 1.5ϵ + 48τ (3)

hij − jl = 15ϵ + 48τ (3)

hij − ll = 15ϵ + 48τ

(3)

hijji = 4.875ϵ + 12τ (3)

hijj = 12τ (3)

hiij = 24τ

4

(3)

(3)

hii− j = 24τ (3)

hiji− i = 4ϵ + 8τ

(3)

hiij − j = 9.75ϵ + 24τ

(3)

hijj − l = 1.5ϵ + 48τ

hiii− j = 12ϵ + 24τ

(3)

hiij − i = 21ϵ + 24τ

hiji− l = 1.5ϵ + 24τ (3)

hijj − i = 9.75ϵ + 24τ (3)

(3)

hij − i− i = 4ϵ + 8τ

hij − i− l = 1.5ϵ + 24τ

(3)

hij − l− i = 0.75ϵ + 24τ

(3)

hii− i− = 6τ

(3)

hij − l− l = 0.75ϵ + 24τ

(3)

(3)

(4)

(4)

(4)

(4)

(4)

˜ (5) = 2h(5) h ii ii

hii+1 = 7.5ϵ + 48τ

(5)

˜ (5) = 2h(5) h ii+2 ii+2

hii− = 1.5ϵ + 48τ

(5)

hi(i+1)− = 15ϵ + 48τ

hii− j = 48τ

(4)

(4)

(5)

hii+2 = 0.75ϵ + 24τ

(4)

(4)

hij − i− = hij − l− = 24τ

hii = 0.375ϵ + 12τ

(3)

hij − j − = 12τ

hii− i = hij − i = 24τ

hijl = 24τ (4)

(3)

hii− i− = 12τ

hiji− = hijj − = hijl− = 48τ

hijj − j = hij − l = 48τ

(3)

(3)

hij − l− = 24τ

hiji = 12τ

(3)

hii− j − j = 9.75ϵ + 24τ

(3)

hij − i− j = 16.5ϵ + 24τ hij − j − l = 0.75ϵ + 24τ

hii− j − = 24τ

(4)

(3)

hii− j − i = 21ϵ + 24τ

(3)

hij − j − j = 10.5ϵ + 12τ

(3)

hiji− = 12τ

(3)

(3)

(3)

(3)

hijl− i = 0.75ϵ + 24τ

hijl− = 24τ

hii− i− j = 6ϵ + 12τ

hii− j − l = 1.5ϵ + 48τ

(3)

hiij − l = 1.5ϵ + 48τ

(3)

(3)

(3)

(3)

hiji− j = 16.5ϵ + 24τ

hiii− = 12τ

hijj − = 24τ

hii− i− i = 8ϵ + 4τ

(4)

(3)

(3)

(3)

(3)

(3)

hijl− l = 0.75ϵ + 24τ

hiij − = 24τ

hij − l− j = 15ϵ + 48τ

(3)

hijj − j = 21ϵ + 24τ

hijl− j = 15ϵ + 48τ

(3)

hij − l = 24τ

(3)

hiii− i = 16ϵ + 8τ

hij − j − i = 4.875ϵ + 24τ

(3)

hij − j = 24τ

(5)

˜ (5) = 2h(5) h ii+1 ii+1

(5)

˜ (5)− = 1/2h(5)− h ii ii

˜ (5) − = 1/2h(5) − h i(i+1) i(i+1)

h(5) = 8τ (6)

(6)

hiij = 8τ

(6)

(6)

hiji− = hijj − = hiju− = 48τ

(6)

hij − u− = hii− j − = 24τ

hijj = hiju = 24τ (6)

hiii− = hiij − = 24τ (6)

hij − j − = hii− i− = 48τ (7)

hijj = 12τ (7)

(7)

(7)

hiii− = hiij − = hiji− = 48τ (7)

(7)

hij − i− = 48τ

(7)

hii− j = hij − j = hij − l = 24τ

hiij = hijl = 24τ (7)

(6)

(6)

(6)

(7)

(7)

(7)

(7)

hijj − = hijl− = 48τ (7)

(7)

hii− i− = hij − j − = 24τ

(8)

hii− = hij − = 12τ

hii = hij = 12τ (9)

(6)

(6)

hii− j = hij − j = 24τ

(6)

(6)

(7)

hii− j − = hij − i− = 48τ (8)

(6)

(6)

(6)

hii− i = hij − i = 48τ

(8)

(7)

hij − l− = 48τ

(8)

(9)

hij = hii = 8τ Note, that coupling coefficients involving the constant shift δ only occur in case of the product-type inter-map coupling energy.