O secventça de transformari afine poate fi reprezentata printr-o matrice unica. ......
In concluzie, variabilele de stare sunt (x , y , d ), iar criteriul decizional este.
!
! $ ! % !
! & '&
(& (& ) * + &
# # $ # $ ' $ ' " $ " $ " $ &
" $ & " $ " $ $
" #
+ +" +" +" + # # # #+ # " "
+ #
', & - .
/ / ! / 0 / & / / 1 02 3 4 ! / 1 3 / # $ # *
# ( # ( 1 3 5 ! 13
# "" " " " " "+ "+ "# " " " " "
&
$
! ' (& 6
! 6 (& 6 & (& , 7 & (& 1 3 +
02 &
! 4 ' - 4 8 4 + - ! ( ! (
&
8 & + ! & + 8 & 9 # # ( 9 # 5 9
" #
+ #
!
"
# + + + ++ + # # "
: '
: - - (
$ % + +
+ +
+
++
* $ ! + : + + % + ' ' + ' + '
02
+ + ( & ; + - + ( &
! +
! ++ -
' 3 6 6 ) ' 3 "
0 0
0
0
0
0
¼
¼
¼
¼
3! 0 " " # " . ¼
¼
¼
¼
" ! # " ,0 ) *' , ' " 7 2 , ' /
? ' 2
0 ' # ! + 40 '
*
!
" 0 " " "
!"
" !" !" &
& "
"
# "
#
+ " " "
"
7! / # #
6
! 2 ' *
0 2 '
' 6 9 +
' 2 -2 '
" ' '
0
" "" " "" ""
! 0
!"
9! 0 " # # " !"
" ' ,0 & 6 / ' " *
# + '
# +!
#
#
" ' 0 8 ' : ' ' 8 ' ' 6 0 ' 1 2 0 ' 0 ' < ' !
&! 1 " "
/! 0 # ! ' ! ' "
8 "
< ,
!
> '
; 2 , ! ! ! ! 6 + ) 4 , ' @ , > ' # " ' 3 #+3 +3 2
# + + +
# + + # + +
# +3 +3 . " # "
#
) )
4 '
# 5 '
#
+¿
+ + +
+¿ # + + +
4 0 ' 2 ' ' ' ; ' -.
-&! + !" , + + # , ! " 1
-3
-/! / " !" 2 6 8 8 4 # 3 ' " ! " # ? ' . ' . ? 4' 2 ' 5 '
- ' -
. ' ' ) + + + * -0 ' " 0 . " 0 ' > 0 0 * < * * 6 ' 0 0 ' # * $ # < * $ 4'
2 2 > > > : '
+ # " ! # + + ' ' ' 40 '
' '
-9
.+! ! ? . + + # ! -&
. ! " !" 2 6
. ! "
% ' '! ,
#
# # $
5
#
+
+
+ + + +
+ +
½ ½·
+ +
½·
#
+
' 4'
-2 ! > ' ' ' 0 6 ' -/
.-! + + +
, 0
' ! ! -2 > ' + + > - -2> . -2 ' > 3 -2 > 7 '
# > 9 > & 2
'
0 0 ' ! ! ;
)
' " ' 0 8 .- 2 0 -2 -2
! ! .+
: ' ' 0 B+ C B0 C ' 0 B+ + -C " -2 2
*+ !
! =
.
! "# " $ " " "# % ! $ "#
& "# ! '
"# "# " "# "# " ! ( "#
) "#
"# ( "# "# ! ! ) "# ) "# ) " "# *" +,
" "# - , -. -/0 "# ! )
1 "# "# " ! ! / -! % "# "# ! "# " ! 2 2
/ -
) " " 3 ' 4 5
!
+/
4
4 "# ) $ "# 1
- " 4 5 !! ! 4 6 5 078 " / , ! "
" ) "# "# 1 ! !! ! 4 5 -
!
/ , ! !
' 9 " " # # $ # "$ # "$
"
# "$
! # "
++
"
"
# $ % % #
4 ! " "# - 3 " / , ! - 4 ) "# "# " "# " 4 ! "# ' "# "# : ! 1 "# %
"# "# "#
"# +0 -!! ; " / /! ! < 5- 5- 5-! 5 - ! ; / / 1 "# "# " ! "# " 4 ! 4 4 4 4 4 5 -
4 5 - 4 ! 4 5 - 4 4 5 - !
! 4 ,
, -! 4
5 -! , - 4 , 5 -! , 4 ,
1 ! ! 4 ! +0
; 4 , ! 5 , 4 , ! 5 , 4 ,6 ! !7 4 - 4 5 , , !
4 , ! 5 , 4 , ' ! 5 - 5 -! 4 5 , ! 5 - ! 4 5 ,
/ / % &' & '(
) "#
& ) " " # # "$ # "$ # ( $ #
# ( $ * ( ( +
# ( $ * ( ( , # "$
# "$
$
+=
-'
! " ' , # # + # $ # $
# $
$ . ( -' )
< , " "# " < ! * & $
! "# > "# $ 3 ! 4 5 5 > "# 4 , 5 - 5 ! ; ! 1 4 , 5 , 5 -,! 4 ,6 5 ,! 5 5 -,! 5 7 4 5 , 4
4 5 ,
4 , 5 , 5 /,! 4 5 , 5 ! 4 5 ,
!
> 4 , 5 - 5 -,! 4 , ! 5 , 5 4 , 5 4 ,
! :
+?
"# 5 4
"# ;
"# "# @ A " 4 " / + ! " 4 > "# '
2 / 0!
* ) ( + , - .
"
/ + ! &'
& ! " 6 +0 7
! ; "# "# "#
) "# 1
"# "# ' "# 1 "# - "# " "# , " " +.
/ 0 /
! 4 5 ! ! 5 -! - 5 -! / + ! > : "# 5 -! "# - 5 -! "# '
! 4
B 4 5 -! 5 - 5 -! 4 5 -! 5 , 5 -! ,
1 B 5-! - 5-! "# ) B B 4 B 5 + 5 ,
B 4 B + 5 + 5 , ; B ! > 4
4
B 4 / ,
' -! "# ,!
"# "# & "# "# @ "#
" "# ) "# +C
' , ! "# - 5 -! - ! 3 B 4 5 5 -! 5 , -! ,
B + 5 , B 4 B B + + 5 , - , "
4 4 4 , "# $ "#
"# $ "# "# / =!
/ = 0 &'
3 "# "#
1 $ "# "#
B 4 5 - ! 1 B "# " B 4 5, ! 4 Æ 5B Æ 4 , 5/8 "# B 4 5 , ! 4 B 5 Æ B 4 , , 50 ; ! % $ - ! - ! 4 1 "# "# ) B 4 B 4 - B -+ 1 0
B "# "# "# B "# !
"# "#
1 5 - ! "# B 4 , 5 -! 5 / 4 B 5 , B 4 , 5 -! , 5 0 4 Æ 5 , 1 5 - -! "# B 4 , 5 -! 5 / 4 B 5 , B 4 , 5 -! , -! 5 0 4 B 5 + ) "# - B "# 8 , " B B "# 8 / B B " " ) . / ( " ( ( " # "$ # $ # $ # )$ # ( +$ $ -'
! " ' " + # $ # ($ # ($ # # $ # ($ # *$ # $
#
0-
/ ? 1 &' &'
$ -' ) .
) $ !! : "# "# / ?! "# "# - ! 4 5 4 , 4 , ! ; "# $ "# $ "# "# $ > "# ' - ! 4 + 5 - ! 1 4 5 , ! 4 5 + , 5 /! 4 5 , ! 4 5 + , 5 ,! !8 4 + - ! 4 + 5 + 5 -! > ! 4 5 $ 4 , 5 , $ 3
"# - " - 1 ! 5-! - "# , "# ! ) ! 4 5 555 5 4 ! "# / . / -! ) "# - 0,
,
+
* )
( . / . 2 &'
"# ! - > 4 5 - 5 ! % 4 5, 5 ! 4 5, 5 ! ' 4 5 "# 4 5 4 , 5 -! 5 5 -,! 5 5 , 4 , 5 ! 5 5 ,! 5 5 , 5 5 5 , 5 5 ! 4 5 , 4 5 , 5 4 5 , 5 4 5 , 5 , 5 , * - "# , " "#
5 ! 4 , 5 5 ! 5 5 / 5 ! 4
5
, , "# / " "# ! 4 , 5 5 4 5 , 1 4 , 4 , 5 4 , 5 , 5 , - 4 5 4 5 8 , 4 5 4 5 ; 4
, 5 4
,
) ! " 0/
2 3 3 "
( "
) "4
* 4 "
+ 4 "4
, "4 4
" 4
. "4
5 / - 6 &'
- , / +
8 8
"# 8
"# 8 0 ! 0 1 #
! " " '
! ' 0 1 23 0 1 24
! .
# . ! " ' ( ! !( !) #
( " " .( 5( # #0 1
! 3 # #( #* #( # #( # #( $ ! # ( $ !( # ( $ !) # !( ( $ # $ # "$ # $ # 4 # #* #( #( # #( # #( ! # ( $ !( # ( $ !) # !( ( $ # "$ # $ # $ # 6 / # $ # $
0+
" # ( $ " # ( $ #0 1 " " $ ( (
! " ' # .$ # $ # $ -' "
! ' -' !(#( -
! " ' # $ # $ # ! $ # !($ # # $ # $ # !($ # !)$ # ' ( # #( !(#( ) !)#. # !(#( !)#( # !( !)#( ! # ! ( !( !)$ !( # !) !($ # $ # $ # -' !(#( -
! " ' # $ # $ # !($ # !)$ # # $ # $ # ! $ # !($ # ' ( # ! !($ # ( ! !($ # ! !($ !) # * ! !( !)$ !( # ( ! !($ # $ # $ # # $
! . ' # .$ #
00
3 "# ! 4 5 5 5 5 5 4 "# ; Æ 4 + B 4 5 5 + ! ! 4 B ! "# " + B! @ ! ! 4 5 5 ! 5 5 ! "# 1 "# ; B4 1 * Æ ! Æ 4 1 ! "#
! 4 "# "# 1 "# !" 4 - ! " "# "# "# ! 4
" # ! 4 ! 4 !
"# A "# "# ) 1
"# "#
. ! ?
. " "# 4 ? / C !
0=
! ! !
! ! "# ! "# ! "# "#
"# - 5 .! ) / C ! ; "# /
)+
/ C 7 &'
' "# " ! ! " ! "# 1 "# "# .! ; : "# ! ! "# ! ! 1 "# ! 5 ! ! 5 ! ! 5 ! ! 5 ! ) " 1
1 "# ! ! 4 5 - ! 4 ! 5 , 5 5 ! 5 8 ! 4 ! 5 , 5 5 ! 5 5 , 5 ! 5 5 5 8
0?
"# "# "# & "# "# A "# ¼ ¼ "# ! 4 ¼ ! 4 , 5 5 ! 4 ¼ ! 4 5 , 5
3 ' "# ! 4 ! 5 , ! 4 ! 5 ! 4 ! 5 , 5 ! 4 ! 5 5 ,
> "#
' - ! "# 4 !8 , ! "# $ %! % 6 7 $ 4 %!
" 4 $ % 4 $ % / ! 4 %! 4 # %! % 6 7 'A %! 4 %! # %!! "# 'A 'A8 + ! ! 4 ' $ ' "# ! "# @
"# ! "# "#
0.
"# ) 4 %! % 4 %! % ! !
4 %!
4 %!
% 6 -7
! ! & "# B % "# B! B!! 4 - 6-B7 "# B "# " "# "# " B B 8 B
" "# ) "# @ %
" "#" " % 1 "# ' % "# "# "# " ' $ " " "# ' "# * " ( "#$ "# $ "# ; ' "# % % "# ! % 6% % 7 @ " 1 "# " " !
"# 0C
"# "# - *
@
!
"
; - 4 ! & 4 # !8 , & ! 4 8 / 4 %! 4 %! & 4 & %! 1 "# & ) 5 4 - 1 " /1 "# % " & " "# % ; ;
-, %! 4 % 5 % 5 % 5
%! 4 % 5 % 5 % 5
& %! 4 % 5 % 5 % 5
% 6 -7 1 ' %! 4 %! %! & %!!
( 4 % % % -!
4
' %! 4 ( > "# % '¼ %! 4 /% ,% - ! 3 + -, % " =
! 8 ! 8 ! "# ' 4 + + " ! + / "
! ) %! 4 ( %! 4 %!# 5 %!# 5 %!# 5 %!# # ! 4 ( %! 4 % 5 % 5 % 5 ! "# "# /1 %! 4 -
%!# 5 %# %! 4 -
%!# 5 %# & %! 4 -
%!# 5 %#
1 ! 1 ! 1 "# ! "# ! / - ! 1 ) % 6' %!7 "# ; " " "# ' "# " /1 "# "# "# "# "# D "# "#
/ - % " " (
=-
; $ "# / -- / -,!
/ -- 7 ( &' 8 & &' &'
! !8 ! "# !
/ -, 7 ( &' &
4
3 =,
) %! 4 ( ! 4 4 -! -! 4 4 - - - -! ¼ ! 4 4 - ! ¼ -! 4 4 / , - !
- - - - 4 - / , )
- , , - - - - - / / , - 4 - 4 / , ) " "# & E ' %! 4 ( $ / -/! 4 ( 3
/ -/ 7 (
F $ %
( ) ( ) (
$
! ! 4 - / -+! ; $ " ! =/
/ -+ 7 9 &'
%
$ "# / -0 !
/ -0 7 &8
"# ! 1 "# 4 '¼ ! 4
4 '¼ -! 4
!
!
1 "# "# 4 / > %
4
)
4 4
- 4
=+
; ' %! 4 ( 4 ( % 4/
4 4
/ / -
/ = /
/ /
/ -= 1 &
4 ( / -=! 3 % ' %! 4 - %! 5 /% % -! 5 /% - %! 5 % % ! ! 4 ! / -?!
4 1 : "# "#
"# @
/ -? 7 &8 $
=0
G"
* " " "#
$
"# ! ' $ % "# ; G"
/ -.! ! "# " / -C! & G" 5 - / ,
' ' ' 3 % - % $ "# " ' % % % / 1 4 / ' % % % + ! "# ' ' & G" % % 4 % % 4 - / * 2G2 2 2 # ! ' "# " &" ' 4 ! / 3 : 1 ( 4 % % ! % % ! % % ! -! ' %! 4 ( % % % / # % - ' % % ! 4 %! 5 %! 5 %! 5 %! 1 ' ' "# % ! - : "# "#
4 / '¼ % % ! 4 '¼ % % ! ' % % ! 4 ' % % !
4 / ' 2 % % ! 4 ' 2 % % !
4 / %! 5 %! 5 %! 5 %! 4 - % 6 -7 # "# " $
,
) , * ) ) ) , , ,
G"
4
- =
/ / ==
/ = +
/ / / -
/ -. 2 &9 $ $
/ -C ! &9
/ , !
=?
.(9 (
; &"
"# " # ! ; "# 3 "# " / " - %! . %! + %! %! 4 & %! 4 %! 4 , %! , %! , %! + %! - %! . %! , %! "# & "# " , %! 4 - $ ' % 1 &" &" () ! ; ' " ! ;
"# "#" ! ) $ "# "# ! ' "# /1 *& +! &" ! % " / , ! "# ' ) "# "# A *&
- / / - , 0 + - ' %! 4 ( 4 ( , ,
; "# "# / , H " " ; "
=.
!
"
"
"
#
"
5 / , 1
@ %! %! & %! 6 -7 % "# ! " $ !8 ! 8 # - 8 ,
D 6 -7 Æ 4 -) ) -8 D % 4 Æ 4 - ) ! % ! % ! & % !8 ! 8 / -- - ! : 2 :;3##
C
&" &
( ) * + ,
C
& & & & & & &
5 / + ! &' .' 9"' )7
""
"""" " "" """"" "" "" %
" " " " """ " "" "" "" """"" " """ """ "" """""" "" """ 6 " """" " """ " " "" "" " """ " " " " """ " """" " "" " " " " " " "" " " " "
** *
* -&
"" " """ "
/ // .' 9"' )7
4 & %
- ) * & 1 "# ,1 + % "# /1 = > 7 "# "# / 0 4 4 & 4 & & 7 ! "# ! ) * & /1 "# *" . A " " & " & & # # # & # #! # "$ # $ # "$ # "$ & # & & "$
! . & " & " '
! . & " & " ' # "$
! . & " & " ' ?
C0
# &# & # &
A +
" 4 " "4
"
*
'( ) (
# & ' . 2 & ()>' %
& 2' & ' ! & ()> '* &' + & ' " 0
& ())' )--
! & ( ! ! & & & & ( ! & ! ! & & ( ! & & ! !& & ( & ! !& ! & ! ! ! & !& ! % !
! !
"$ "
$ # # " # " #
! ! ( & ! (
* +
' &
())* '( '(
& ' % & ()) ' ! #
2 0 > = & ()-'
% $ " %
0 )-.
()-* ) , - . & '
5 # 2 ! 2 2 "
2 # ,
# 2 # %
# & ' ! * # )-1
& &
& &
& &
& &
& &
& &
& &
().* * ** * # & # # # # & # , # # & # # # # # , # # # # ) ) + # # , # # + )# , + +,
** * * # & # # & # # & # # # ) ) # # # )#
* ** * # & # # & # # & # # # ) ) # # # )#
()1* , %
* &' " # > 2 ? ) & '
$ % ) + -
> ) & ' ! 2 ! ().& ' &' "
% & ()1'
)-(
" & ' 6 & 2 )+ ) 0 > & ()(' # " 2
0
2 # , ! ()( 0 2 2 2 2 & ()( ' # 2 2 2 ! 2 & ' !
" % # @ " 2 2 & 2 '
!
& > )' " 2 2 " 2 " =
2 2 ' # 2 6 & '
2 # )-3
/
/ / / // / // // / / // + + +
" ! / ! / / ! +
/ / / /
// //
+
+ + +
+ + / / / + + // / //
+ / +/
**
1
0&
.
2!
** ** * *
()(* 3 4 )& #
= % % # # $
2 # &
' # # % " & > ) ' % )
# ; & '
%
$ ; > %
)-7
()3*
(
! 0 & ()3' # &
' & ' #
% 8 $
# $ $ # A & ()7'
& ' % & ' 2 & ()9' 2 & ' )-9
()7* )
()9* 5 & '
!
! & ' & ' ! (): & '
)-:
():*
(->* )
(-)* ) & (->' %
! # & (-)' , (-- # ).>
(--* 6 6 ) 6 )
(-.* - #
&
'
#
% ! (-. &
'
" & ' 5 % 2 ).)
5 !(! * &' + & ' * & ' * ) & '+ - & '
& ' & '
" & ' % ()- ()- 1 )6 % B
-
-7 /
-7 / /
-7 7
= (-1 & '
).-
(-1* ,
- ( . ,
, !
=
C C ! C " ; > " ; & C C "' ! & ' & CD ' D ! & ' ! D ; ) ,
&
!'
" # #
" # 2 * ) "
& ' !
& ' = * &' & ' & ' & ' 2 )..
(-(* 3 &' 2 & 2 '+ - & ' ! * &' & ' & ' &'
& $ '+ . "
& ' 2 % 8 " % 2 # %
* ) & ); >; '+ - * &' ) B + & ' & ' # & ' # (-(
; & ' ).1
(-3*
! 8 ; & '
? 2 (-3 ; 2 = 8 ! 8 ; #
8 ; $ # ; $ ! & ' " 4
! " # # 0 "
%
" #$
= ! $ & (-7'* &' + & ' + & ' + &' ! * ) + ).(
(-7* - 8 8
"1 1
8
4
1
! * ** 1 ! ** ! * 1 ! ! !
/ /
// /
/
" 00 1 0
8
4
(-9* 3 8 -
+ . + 1 " $ & 1' + ! (-9 & $ ' & ' ! (-9 $
).3
1
1
1 1
(-:* '(
) - . ! (-: & 2 $ 2' @
"
8 )>-1 )>-1
" %$
# & 2 !' " = 2 %
% % $ , $ "
(.> #
$ $ " *
! " ).7
-7
# !
$ ! ! - !6
- " !
! # - " !6
! -7 # -7
! ! # !
!
! !
$ ! ! ! ! $$
-7 #
& $
#
= & '
1 2 @ # $ ! & ' , = $ 0
& ).9
' $ 2 2
2 $
" %
, "
"
! " & ' "# "# $ # *
& '+ & ' +
%
2 & ' * &)' # + &-' # + &.' # # % - +
).:
(.>* 9 (
(.)* % # . $ % # &1' # # $ + &(' # & ' & (.> (.)' (
% % ) - ( . 1 ! (.> .
! (.> + ! (.> % . 1
#
! 2
)1>
%$ 5 5 2 # = % @ + " %$ A A
& ' " & - ; & ) C "' & ; - - & > ! $ "
- > " * *+ - > &- . ) '+ ,+ - & & > &. . )
'+ + &. . '+ ! 9 G : -
( $
"
& ' & ' !
2 " & & % &> " & & & & , & / - &
0
8 " 0 " :
!
-$ & & 3 $ & > " > " 3 " & " $ "> " $ % & H@< *"> " > " > " &> $" & $*"
# & 2 . & % " / $ & $ " + % " & % " - *
;9
!
!
" ' & $ " ' * # / % # * & % % < ? - ' & ( # % % &
$ $ % $ ; " ( $ % % % C C " - * % % $ > ? $ $ $ @" $ $ % $ - % % & . $ A 9 ( $ ' " & % 3 % & $ ' . $ ' 8! : - $ % & % ( @!
; ( / 0 ! ! !
@ ! $ ' " & % & - % % % . % -$ $ $ & $ % & .%
$ ;!" + % " $* " % $ % $ , % & ! F & & & 5 $ $ ! $ ;" , $ & ! (
@
!
0
A
9 ! , ! & % % , % ! $ &> ! & , & ! % .% / ? % .% ! & % 0 ! ! , & 3 &
'" 4
/ + / $ ;;" + % / H "
;; 8 0 -$ @9
& ' &> " ' & "> " "> " ' 4 $* $ % " 3 $ $* $* " 4 $ $ $ &%> $ & # $ $
( $ / & $ - $ E $ / $ ' ' % )% $ % ' $ % % $ & % / $ ' $ A % % $ & % $ ' $ % A % & % $ ;@" ' $ & % .
$ % % & . . >
J ' &
$ $ ' ! ! * $ &" - $ " $ " & ( & & 8!! ?!: & !
