The Tone Diamond

16 downloads 0 Views 1MB Size Report
For example, in the syntonic temperament (which tempers out 81/80), all JI ... draw a unison vector (which connects two notes that are a comma apart), and a line ...
The  Tone  Diamond   As  you  can  explore  here,1  we  have  implemented  a  mapping  of  the  Thummer  keyboard’s  note-­‐ layout  to  the  QWERTY  keyboard  which  allows  (a)  Dynamic  Tuning  along  the  syntonic2  tuning   continuum,  (b)  the  dynamic  alignment  of  notes’  fundamentals  &  overtones  with  the  tunings’   scale  steps  to  maximize  consonance,  and  (c)  the  ability  to  adjust  overtones  from  fully   harmonic  to  fully  tempered  in  any  tuning.   Question:  Can  there  be  a  fundamental  tempering  slider  that  can  take  us  from  a  JI  tuning  to  a   fully  tempered  tuning  such  that  the  geometric  shape  of  a  given  musical  structure  stays  the   same  whether  tempered,  JI,  or  in  between  (and  which  uses  a  sensible  algorithm  to  reverse-­‐ map  from  temperament  to  JI)?  Yes  we  can.   Question:  Can  we  progress  smoothly  from  JI  to  regular  temperament  maintaining  maximal   consonance  all  the  way  (thus  creating  a  new  trade-­‐off  between  regularity  and  harmonicity)?   Yes  we  can.   Question:  Does  this  enable  us  to  propose  a  new  type  of  diamond  control  system  which  allows   for  the  user  to  easily  control  the  trade-­‐offs  between  the  affects  of  regularity,  harmonicity,  and   consonance?  Of  course!  

1. Reverse-­‐mapping  from  regular  temperament  to  Just  intonation   In  a  regular  temperament,  a  JI  comma  is  tempered  to  unison.  This  means  that  a  given  note  in  a   regular  temperament  has  an  infinity  of  JI  notes  mapped  to  it—all  of  which  are  comma-­‐variants   of  one  another.  For  example,  in  the  syntonic  temperament  (which  tempers  out  81/80),  all  JI   notes  of  the  form  

 (where  z  is  an  integer)—such  as  100/81,  5/4,  81/64—are  all  mapped  to  

the  same  note  in  the  temperament.   When  mapping  in  reverse  from  a  regular  temperament  to  JI  there  is  no  mathematical  reason   to  choose  any  one  of  these  comma-­‐variants  over  another.  But  there  are  sensible  aesthetic   choices.  Let’s  look  at  some  possible  reverse-­‐mappings  of  the  syntonic  diatonic  scale  C,  D,  E,  F,   G,  A,  B  to  JI:   Table  1.  Three  valid  reverse-­‐mappings  of  the  syntonic  diatonic  scale.  

C   1/1   1/1   1/1  

D   9/8   10/9   9/8  

E   5/4   5/4   81/64  

F   4/3   4/3   4/3  

G   3/2   3/2   3/2  

A   5/3   5/3   81/48  

B   15/8   15/8   15/8  

                                                                                                              1

 http://www.thummer.com/blog/2007/06/dynamic-­‐tuning-­‐mark-­‐i.html  

2

 Syntonic  tuning  continuum:  http://www.thummer.com/blog/2007/06/isomorphic-­‐controllers-­‐and-­‐ dynamic.html  

The  Tone  Diamond  

v1.2  

Page  1  of  9  

The  above  are  all  legitimate  reverse-­‐mappings  from  rank-­‐2  regular  temperament  to  JI,  but  the   first  two  contain  five  JI  major  and  minor  triads,  whereas  the  third  contains  only  one  JI  triad   (the  roots  of  JI  major  triads  are  coloured  blue,  minor  are  coloured  pink).  The  first  two  reverse-­‐ mappings  are  special  because  there  is  no  other  reverse-­‐mapping  (other  than  a  simple   transposition)  that  can  provide  as  many  JI  triads  as  the  first  two.   It  makes  aesthetic  sense  to  reverse-­‐map  to  a  choice  of  JI  notes  that  provides  for  the  densest   clustering  of  major  and  minor  triads;  it  also  makes  sense  for  that  clustering  of  JI  triads  to  be   centred  around  the  Thummer’s  reference  tone  (the  1/1),  which  on  the  Thummer  is  (by  default)   the  note  D.   The  task  is,  therefore,  to  determine  a  method  to  reverse-­‐map  from  any  temperament  to  JI  such   that  we  achieve  the  densest  possible  clustering  of  JI  triads  centred  around  the  reference  tone.  

2. Method  to  reverse-­‐map  to  a  triad-­‐dense  JI  block  centred  over  the   reference  tone   This  section  may  be  a  bit  heavy  so,  if  necessary,  skip  it  and  go  straight  to  Section  3.   If  we  draw  a  JI  lattice  with  unit  vectors  of  3/2  and  5/4,  we  get  the  tightest  possible  spatial   clustering  of  JI  major  and  minor  triads  (3/2  and  6/5  would  have  been  an  alternative  valid   choice).  A  different  choice  of  5-­‐limit  JI  basis  for  the  unit  vectors  results  in  a  less  dense   clustering  of  JI  triads—as  shown  below  where  the  notes  making  up  all  triads  containing  the   note  C  are  coloured  green  for  JI  lattices  with  two  different  unit  vectors.                    

Figure  2.  All  triads  containing  C  in  JI  lattice   basis  (unit  vectors)  of  3/2  and  5/4.  

Figure  1.  All  triads  containing  C  in  JI  lattice   basis  (unit  vectors)  of  5/3  and  25/24.  

This  implies  that,  for  any  reverse-­‐mapping  to  a  selection  of  JI  notes  to  have  as  many  JI  triads  in   it  as  possible,  the  selection  must  form  a  block  from  the  lattice  with  unit  vectors  of  3/2  and  5/4.   Mathematically,  we  cannot  reverse-­‐map  to  a  JI  note  and  one  or  more  of  that  note’s  comma-­‐ variants  because  each  different  tempered  note  maps  to  a  different  set  of  comma-­‐variants.  If  we   draw  a  unison  vector  (which  connects  two  notes  that  are  a  comma  apart),  and  a  line  at  right   angles  to  the  unison  vector  through  each  of  that  unison  vector’s  end  points,  the  strip   The  Tone  Diamond  

v1.2  

Page  2  of  9  

(coloured  green  below)  within  these  lines  (such  that  one  line  is  included  and  one  is  not)   contains  no  notes  that  differ  by  a  comma  (by  containing  a  note  I  mean  containing  the  centre   point  of  each  square).  Any  block  taken  from  this  strip,  therefore,  contains  the  notes  that  can   be  reverse-­‐mapped  to  and  also  have  the  densest  possible  clustering  of  JI  major  and  minor   triads.   This  is  illustrated  below  for  the  syntonic  comma—the  two  Ds  (and  Fbbs  and  B##s)  are  hashed   because  either  one  (but  not  both)  can  be  included  in  the  green  strip—depending  on  which   line  is  included  in  the  green  strip.                        

Figure  3.  Syntonic  strip.  

  Within  this  strip  is  the  tightest  possible  clustering  of  major  and  minor  triads  for  the  syntonic   temperament;  but  at  the  edges  of  the  strip,  JI  triads  are  no  longer  possible—e.g.  there  are  no  JI   Eb,  C##,  or  Cb  major  triads  within  the  strip.   Because  the  breakdown  occurs  at  the  edges  of  the  strip  we  need  to  ensure  that  the  strip  edges   are  located  as  far  away  from  the  regular  temperament’s  reference  tone  (D)  as  is  possible.  

Centring  the  strip   It  is  necessary  to  place  the  strip  so  that  the  just  chords  are  centred  on  the  button-­‐lattice’s   layout  around  the  reference  tone  (D).  This  is  the  tricky  bit…not  all  of  it  is  fully  worked   out…essentially  in  all  the  examples  I’ve  tested  so  far,  the  strip  needs  to  be  placed  so  that  one  of   its  edges  runs  through  the  reference  tone  (D).  This  is  what  I  have  done  in  all  the  figures  in  this   write-­‐up.  

The  Tone  Diamond  

v1.2  

Page  3  of  9  

I  have  a  rough  proof  for  why  this  works  when  the  temperament  has  a  generator  which  is  a   direct  mapping  of  a  primary  consonance  (e.g.  syntonic,  magic,  hanson,  schismatic,  etc.).  I   think  it  will  work  for  all  temperaments,  but  I  don’t  have  the  general  proof  yet.   For  now  we  will  assume  that  the  strip  must  be  located  so  that  its  edge  runs  through  the   reference  tone  (D).  

Delimiting  the  strip   So  we  have  a  strip—the  first  part  of  this  section  told  us  how  wide  it  needed  to  be;  the  second   part  gave  us  the  precise  location  of  the  strip  on  the  JI  lattice;  the  final  task  is  to  delimit  the   strip  into  the  block  that  is  mapped  to  the  Thummer’s  buttons.   At  any  given  tuning    (where  

),  the  Thummer  has  a  finite  number  

 of   -­‐reduced  

notes.  The  width  of  the  block  is  determined  by  the  unison  vector;  for  example,  if  the    comma   is  

,  its  unison  vector  length  is  

and  its  width  is  

.  So  if  the  block  needs  to  contain  

,  its  length  must  be  

 notes  

 (this  length  being  inclusive  of  the  lines),  

and  this  block  is  centred  over  the  reference  note  (D).  

The  Tone  Diamond  

v1.2  

Page  4  of  9  

Two  such  blocks  are  shown  below—syntonic  and  Magic,  and  

   is  here  assumed  to  be  19:      

               

Figure  4.  Syntonic  block  of  nineteen  notes.  

                 

Figure  5.  Magic  block  of  nineteen  notes.  

Major  and  minor  reverse-­‐mappings   Depending  on  which  of  the  two  lines  separated  by  the  unison  vector  are  chosen  as  being   included  in  the  block,  the  resulting  selection  has  a  bias  towards  major  triads  or  towards  minor   triads.  For  example,  in  the  syntonic  example  above  if  we  include  the  D  that  is  3/2  above  G  we   get  the  JI  scale  in  row  1  of  Table  1  (which  has  three  major  triads  two  and  minor  triads);  if  we   include  the  D  that  is  3/2  below  A  we  get  the  JI  scale  in  row  2  of  Table  1  (which  has  three  minor   triads  two  and  major  triads).   The  difference  between  the  major  and  minor  reverse-­‐mappings  is  simple—the  pitches  of  the   notes  will  be  identical  with  the  exception  of  the  reference  tone  which  will  differ  by  a  comma.   Ideally  the  user  would  be  able  to  toggle  between  major  and  minor  mappings,  and  it  would   probably  make  sense  for  the  frequency  of  the  reference  tone  to  go  either  up  or  down   (depending  on  the  position  of  the  major/minor  toggle)  by  half  a  comma  as  the  mapping  slider   is  moved  from  fully  tempered  to  fully  JI.  

The  Tone  Diamond  

v1.2  

Page  5  of  9  

3. What  control  does  this  give  the  user?   Imagine  two  sliders:   • An  Overtone  Tempering  slider  which  controls  the  degree  of  tempering  applied  to  the   spectra  of  every  tone,  so  that  at  its  leftmost  position  tones  have  fully  harmonic  spectra,  at   its  rightmost  position  the  spectra  is  fully  tempered  to  the  current  tuning.  This  control  is   implemented  in  WickiSyn.   •

A  Fundamental  Tempering  slider,  which  controls  the  degree  of  tempering  applied  to  the   tuning  of  the  fundamental  of  every  tone  with  respect  to  the  reverse-­‐mapped  JI  block  as   derived  above,  so  that  at  its  leftmost  position  tones  are  tuned  to  JI,  at  its  rightmost   position  the  tones  are  fully  tempered  to  the  current  tuning.  

The  absolute  and  relative  positions  of  the  two  sliders  have  an  impact  on  three  perceptual   effects:  harmonicity,  regularity,  and  consonance.  We  get:   • Full  harmonicity  when  the  Overtone  Tempering  slider  is  fully  to  the  left  (overtones  are   harmonic)   • Full  regularity  when  the  Fundamental  Tempering  slider  is  fully  to  the  right  (fundamentals   are  aligned  with  the  notes  of  the  current  tuning  of  a  rank-­‐2  regular  temperament)   • Full  consonance  when  the  two  sliders  are  in  the  same  position  (overtones  and   fundamentals  all  align  with  the  current  tuning’s  scale  steps,  whether  regular  or  JI)   If  we  assume  that  maximal  harmonicity,  regularity,  and  consonance  are  “good”  things,  then  it   is  clear  that  we  can  only  ever  get  two  goods  out  of  the  three—but  we  can  optimise  one  of  them   and  trade  between  the  other  two,  as  follows:   1. Set  the  Overtone  Tempering  slider  to  the  left  giving  full  harmonicity,  and  trade  between   consonance  and  regularity  by  adjusting  the  Fundamental  Tempering  slider   2. Set  the  Fundamental  Tempering  slider  to  the  right  giving  full  regularity,  and  trade   between  consonance  and  harmonicity  by  adjusting  the  Overtone  Tempering  slider   3. Lock  the  timbre  and  mapping  sliders  together  to  give  full  consonance,  and  trade  between   harmonicity  and  regularity  by  adjusting  both  sliders  together.   So  you  can  pick  your  poison  (or  precise  mixture  of)!  

The  Tone  Diamond  

v1.2  

Page  6  of  9  

The  Tone  Triangle   From  a  GUI  perspective  the  above  relationships  can  be  nicely  illustrated  (or  possibly   controlled)  using  a  triangular  “pad”:                        

Figure  6.  The  triangle  of  perception  

In  the  above  example,  the  position  of  the  star  indicates  a  setting  with  high  regularity  and   consonance  but  low  harmonicity.   The  distance  of  the  star  relative  to  the  harmonicity  line  corresponds  to  the  position  of  the   Overtone  Tempering  slider,  the  distance  of  the  star  from  the  regularity  line  corresponds  to  the   position  of  the  Fundamental  Tempering  slider,  while  the  distance  of  the  star  from  the   consonance  line  corresponds  to  the  distance  apart  of  the  two  sliders.   The  diagram  illustrates  how  the  X_System,  as  originally  implemented,  lived  entirely  in  the   bottom  right  corner  of  this  triangle.  The  addition  of  the  Overtone  Tempering  slider  in   WickiSyn2  enabled  us  to  traverse  the  bottom  line  of  the  triangle.  The  addition  of  a  new   Fundamental  Tempering  slider  would  enable  the  entire  perceptual  triangle  to  be  explored.  

The  Tone  Diamond   Because  there  are  a  two  possible  reverse  mappings—one  to  a  selection  of  JI  tones  favouring   major  harmony  and  one  favouring  minor  harmony  we  can  use  two  triangles  joined  together  to   form  a  diamond  shaped  control/display  pad.  This  diamond  enables  us  to  smoothly  navigate   the  entire  range  of  tonal  possibilities.  

The  Tone  Diamond  

v1.2  

Page  7  of  9  

                          Figure  7.  The  Tone  Diamond.  

 

The  circles    in  the  figure  above  indicate  notable  positions:   •

• •

the  circles  on  the  diamond’s  points  indicate  positions  where  two  percepts  are  optimised  at   the  expense  of  the  third  (e.g.  JI  with  harmonic  timbres,  which  optimises  harmonicity  and   consonance  at  the  expense  of  regularity);     the  circles  on  the  lines  indicate  positions  where  one  percept  is  optimised  and  the  other   two  percepts  are  equally  de-­‐optimised;   the  circles  in  the  middle  indicate  a  position  where  all  three  percepts  are  equally  de-­‐ optimised—in  this  position  the  system  is  only  one  third  away  from  being  fully  harmonic,   one  third  away  from  being  fully  regular,  and  one  third  away  from  being  fully  consonant.  

4. Playing  in  JI,  and  exposing  the  linkage  between  regular   temperament  MOS  scales  and  their  JI  archetype   This  system  allows  the  Thummer-­‐player  to  play  in  JI  precisely  as  she  would  play  in  regular   temperaments  (something  Allaudin  Mathieu  asked  for),  and  the  JI  explorer  has  the  benefit  of   being  able  to  invoke  a  different  selection  of  JI  notes  by  choosing  a  different  regular   temperament.  Assuming  the  regular  temperament  is  a  sensible  one  (i.e.  the  comma  is   relatively  small  in  size),  the  resulting  JI  note  selection  will  also  be  a  sensible  one  because  it  will   have  a  high  density  of  triads  clustered  together.  Furthermore,  the  notes  of  this  JI  note   selection  will  retain  the  Thummer  keyboard’s  geometry,  so  changing  between  a  regular   temperament  and  its  reverse-­‐mapped  JI  equivalent  will  not  require  changing  fingering.  

The  Tone  Diamond  

v1.2  

Page  8  of  9  

Moving  the  Fundamental  Tempering  control  between  JI  and  tempered  will  also  allow  for  the   user  to  hear  the  relationship  between  a  temperament’s  MOS  scales  and  the  JI  archetype  from   which  they  are  derived.  In  this  way  we  can  see  and  hear  how  each  different  MOS  scale  is  a   specific  selection  of  notes  taken  from  JI  such  that,  with  a  small  amount  of  tempering,  they   become  organised  into  a  simple  and  aesthetically  pleasing  pattern  (i.e.  two  step  sizes   distributed  with  maximal  evenness,  and  having  constant  structure).   For  example,  in  the  syntonic  temperament,  the  tempering  out  of  the  syntonic  comma  allows   for  all  of  the  notes  making  up  six  tightly  clustered  major  and  minor  triads  to  be  connected   with  a  simple  seven  note  (diatonic)  MOS  scale.  In  a  different  temperament  like  Magic  the   tempering  out  of  the  comma  allows  for  a  different  selection  of  tightly  clustered  JI  triads  to  be   connected  with  a  different  MOS  scale.              

The  Tone  Diamond  

v1.2  

Page  9  of  9