TOLSTOJ ELLER TELEFONBOG? - AU Library - Aarhus Universitet

TOLSTOJ ELLER TELEFONBOG? - Computerassisterede bevisers rolle i den matematiske praksis

Specialeafhandling Januar 2011

Jens Kristian Schack Jensen Årskortnummer: 20050725 Vejleder: Henrik Kragh Sørensen

When faced with such a proof even the fairest minded mathematician can be forgiven for wishing that it would just go away rather than being forced to think about the fact that an “elegant” proof may never appear and thus our Eden is defiled. - Kennneth Appel og Wolfgang Haken om beviset for Firefarvesætningen

If Wiles's proof of Fermat's last theorem is rich in ideas and form – like War and Peace – the computer proofs are more like telephone directories. - Ian Stewart

2

ABSTRACT The aim of this thesis is to investigate the role of computer-assisted proofs in the mathematical practice seen from a philosophical point of view. Since 1976 where Kenneth Appel and Wolfgang Haken presented a computer-assisted proof of the renowned Four Color Theorem, such proofs have been the subjects of much debate – both within the mathematical community itself and within the philosophy of mathematics. Where most of former investigations in the philosophy of mathematics have dealt with problems related to the foundation of mathematics, a new shift – which has occurred over the last thirty-five years or so – has resulted in the appearance of philosophical research focusing on aspects of the mathematical practice which have previously been ignored – one of these aspects being the use of computers in mathematics. My thesis adheres to this new shift and the implications of this are examined in-depth. By looking at mathematicians‟ responses following Appel and Haken‟s proof, I have tried to pinpoint the causes of uneasiness among the mathematical community by isolating four problems revolving around the following claims:

1) Computer-assisted proofs force a change in the concept of a proof. 2) Computer-assisted proofs are not as reliable as traditional proofs. 3) Computer-assisted proofs lack the quality of being explanatory. 4) Computer-assisted proofs do not enable mathematicians to gain a sufficient amount of mathematical understanding.

I have investigated these four claims in the main chapters 5 to 8 and this has led me to conclude that computer-assisted proofs cannot be accepted as an integral part of the mathematical practice. This is mostly due to the affirmative answers to the last two claims.

3

TAKSIGELSER Først og fremmest ønsker jeg at takke min vejleder Henrik Kragh Sørensen for et godt samarbejde og for al hans støtte gennem de seneste fire år. Det er jeg dybt taknemmelig for. Derudover vil jeg takke alle på Institut for Videnskabsstudier, hvor jeg særligt vil fremhæve Minna Elo, Louis Klostergaard og Kirsti Andersen. Tak til institutleder Hanne Andersen og Carsten Sestoft for at deres “komplicerede forhandlinger på højt niveau” resulterede i, at jeg fik mulighed for at skrive mit filosofispeciale med Henrik som vejleder. Tak til de stræbsomme filosofistuderende på læsesalen samt bibliotekar Susanne Nørskov for godt selskab gennem hele specialeprocessen. Tak til Anne Blom og Pernille Borch Petersen for at læse korrektur og stille opklarende spørgsmål. Til sidst vil jeg sige tak til mine venner og familie.

4

INDHOLDSFORTEGNELSE 1 INDLEDNING .............................................................................................................................................. 7 1.1 MOTIVATION ...................................................................................................................................... 7 1.2 PROBLEMFORMULERING OG ARBEJDSSPØRGSMÅL ........................................................ 8 1.3 AFGRÆNSNING ................................................................................................................................ 8 1.4 METODISKE OVERVEJELSER ...................................................................................................... 9 1.5 PRAKTISKE BEMÆRKNINGER ................................................................................................... 10 1.5.1 TERMINOLOGI ......................................................................................................................... 10 2 MATEMATISKE BEVISER ..................................................................................................................... 11 2.1 INDLEDNING .................................................................................................................................... 11 2.2 SANDHED.......................................................................................................................................... 11 2.3 PÅLIDELIGHED, KORREKTHED OG TILLID............................................................................ 11 2.4 FORMELLE OG STRINGENTE BEVISER................................................................................... 12 2.5 A PRIORI OG A POSTERIORI BEGRUNDELSER .................................................................... 13 2.6 OVERSKUELIGHED ....................................................................................................................... 15 3 COMPUTERASSISTEREDE BEVISER – ET PROBLEM? ............................................................... 17 3.1 FIREFARVESÆTNINGEN .............................................................................................................. 18 3.2 REAKTIONER FRA MATEMATIKERKREDSE .......................................................................... 19 4 MATEMATIKFILOSOFI OG DEN MATEMATISKE PRAKSIS ........................................................ 21 4.1 INDLEDNING .................................................................................................................................... 21 4.2 KITCHER OG DEN MATEMATISKE PRAKSIS ......................................................................... 21 4.3 DEN MATEMATISKE PRAKSIS OG MATEMATIKKENS GRUNDLAG ............................... 22 4.4 SHAPIROS PRINCIPPER ............................................................................................................... 23 4.5 INTERPRAKSIS-TRANSITION ..................................................................................................... 25 5 ÆNDRET BEVISBEGREB? ................................................................................................................... 30 5.1 INDLEDNING .................................................................................................................................... 30 5.2 TYMOCZKOS ARTIKEL ................................................................................................................. 30 5.2.1 BEVISER OG OVERSKUELIGHED...................................................................................... 30 5.2.2 TANKEEKSPERIMENT MED SIMON OG MARSBOERNE ............................................. 33 5.2.3 ÆNDRET BEVISBEGREB...................................................................................................... 35 5.3 REAKTIONER ................................................................................................................................... 37 5.3.1 BEVISBEGREBET OG A PRIORI BEGRUNDELSER ...................................................... 37 5.3.2 DISKUSSION AF TELLER OG MCEVOY ............................................................................ 39 5.4 OVERSKUELIGHED I PRINCIPPET ............................................................................................ 41 5.5 COMPUTEREN – ET VÆRKTØJ TIL EKSPERIMENTER? ..................................................... 44 5.6 DELKONKLUSION .......................................................................................................................... 46

5

6 PÅLIDELIGHED ....................................................................................................................................... 47 6.1 INDLEDNING .................................................................................................................................... 47 6.2 MULIGE COMPUTERFEJL ............................................................................................................ 47 6.3 SHIMAMOTOS HESTESKO........................................................................................................... 48 6.4 LAM OG COMPUTERRESULTATER........................................................................................... 49 6.5 TRADITIONELLE BEVISERS PÅLIDELIGHED ......................................................................... 50 6.5.1 FEJL I BEVISER ....................................................................................................................... 50 6.5.2 STRINGENSKRAV .................................................................................................................. 51 6.6 COMPUTERASSISTEREDE BEVISERS PÅLIDELIGHED...................................................... 53 6.7 TRADITIONELLE OG COMPUTERASSISTEREDE BEVISER ............................................... 54 6.8 MCEVOYS TO BUD ......................................................................................................................... 55 6.8.1 OPDELING I OVERSKUELIGE DELE ................................................................................. 55 6.8.2 COMPUTERTJEK AF COMPUTERASSISTEREDE BEVISER ....................................... 56 6.9 DELKONKLUSION .......................................................................................................................... 58 7 MATEMATISK FORKLARING ............................................................................................................... 59 7.1 INDLEDNING .................................................................................................................................... 59 7.2 MATEMATISK FORKLARING I MATEMATIKFILOSOFIEN ................................................... 59 7.3 BAKER OG MATEMATISKE TILFÆLDIGHEDER .................................................................... 60 7.3.1 DISKUSSION AF BAKERS TEORI....................................................................................... 63 7.4 MATEMATISKE TILFÆLDIGHEDER OG COMPUTERASSISTEDE BEVISER .................. 65 7.5 DELKONKLUSION .......................................................................................................................... 67 8 MATEMATISK FORSTÅELSE OG BEVISETS ROLLE .................................................................... 68 8.1 INDLEDNING .................................................................................................................................... 68 8.2 MATEMATISK FORSTÅELSE ....................................................................................................... 68 8.2.1 FORSTÅELSE OG FORKLARING ........................................................................................ 69 8.3 THURSTON, RAV OG UDBREDELSEN AF MATEMATISK FORSTÅELSE ....................... 70 8.3.1 FORSTÅELSE I CENTRUM ................................................................................................... 70 8.4 UDVIKLINGEN AF FRUGTBARE IDÉER, BEGREBER OG METODER .............................. 71 8.5 COMPUTERASSISTEREDE BEVISERS FRUGTBARHED..................................................... 74 8.6 ER INTERN FORSTÅELSE TILSTRÆKKELIGT? ..................................................................... 75 8.7 COMPUTERASSISTEREDE BEVISER SOM LEDETRÅD? .................................................... 76 8.8 DELKONKLUSION .......................................................................................................................... 77 9 KONKLUSION .......................................................................................................................................... 79 10 LITTERATURLISTE .............................................................................................................................. 81

6

1 INDLEDNING 1.1 MOTIVATION Da jeg begyndte på matematikstudiet på Aarhus Universitet i 2005, fandt jeg hurtigt ud af, at jeg særligt interesserede mig for de filosofiske og historiske aspekter af matematikken. Førstnævnte aspekt er stort set udeladt fra studiet, hvis der ses bort fra faget Matematikkens Videnskabsteori, hvorfor matematikstuderende – i de obligatoriske fag – har yderst begrænsede muligheder for at stifte bekendtskab med matematikfilosofi. Selv har jeg forfulgt min interesse for filosofi ved at tage overbygningen i netop dette fag, og specialet giver mig en kærkommen mulighed for at kombinere filosofi og matematik. Som emne har jeg valgt at se nærmere på computerassisterede bevisers rolle i den matematiske praksis set fra et matematikfilosofisk perspektiv.1 Disse beviser har været genstand for megen debat i både matematiske og matematikfilosofiske kredse – særligt siden Kenneth Appel og Wolfgang Haken i 1976 præsenterede, hvad de mener, er et bevis for den berømte Firefarvesætning.2 I beviset gør de essentielt brug af computerberegninger til at bevise et lemma. Det var ligeledes i forbindelse med Appel og Hakens bevis, at jeg selv stiftede bekendtskab med computerassisterede beviser samt de problemer, der følger i kølvandet på dem. Emnet er valgt af flere grunde: Det giver mig rig mulighed for at lave en nærmere undersøgelse af beviser og disses rolle i matematik. Samtidigt er et af mine mål at nå til en større forståelse af, hvad der bliver vægtet tungt i matematikken af den praktiserende matematiker. Derudover bliver spørgsmålet om computerassisterede bevisers rolle i matematikken kun større, som udviklingen skrider frem, da der er stor sandsynlighed for, at flere vigtige sætninger i fremtiden vil blive bevist med brug af computere. Som sociologen Donald MacKenzie påpeger, er det ikke utænkeligt, at der i fremtiden kan opleves to matematikergrupperinger – én der accepterer computerassisterede beviser, og én der ikke gør – med hver deres vidt forskellige syn på, hvad der udgør matematisk viden.3 Derfor ser jeg emnet som værende yderst aktuelt.

1

Den matematiske praksis henviser til den fungerende praksis i det matematiske samfund. Når jeg efterfølgende omtaler beviset for Firefarvesætningen, henviser jeg til Appel og Hakens bevis. 3 MacKenzie (1999): 10. 2

7

1.2 PROBLEMFORMULERING OG ARBEJDSSPØRGSMÅL Specialet skal ses som en besvarelse af følgende problemformulering: 

Kan computerassisterede beviser accepteres som en integreret del af den matematiske praksis?

Besvarelsen af ovenstående spørgsmål kan ses som et led i besvarelsen af det mere overordnede matematikfilosofiske spørgsmål: 

Hvad er et matematisk bevis og hvilke(n) funktion(er) har det?

For at besvare problemformuleringen har jeg bygget opgaven op omkring følgende underspørgsmål: 

Bør problemformuleringen besvares fra en matematikfilosofisk synsvinkel? Bør det ikke i stedet være op til de praktiserende matematikere at bestemme computerassisterede bevisers rolle? Hvad kan matematikfilosofien i givet fald bidrage med?



Hvorfor er nogle matematikere skeptiske over for brugen af computerassisterede beviser? Hvad savner de ved denne form for beviser?



Hvordan adskiller computerassisterede beviser sig fra traditionelle beviser?



Ændrer computerassisterede beviser selve bevisbegrebet?



Giver computerassisterede beviser den samme grad af pålidelighed som traditionelle?



Hvilken forståelse giver computerassisterede beviser? Er de forklarende?



Hvad er matematikerens mål med sit arbejde? Hjælper computerassisterede beviser med at indfri disse?

1.3 AFGRÆNSNING Computere bliver brugt i flere vigtige forbindelser, når der i dag laves matematik. Blandt andet har computerens stigende betydning i den videnskabelige og teknologiske udvikling gjort, at der skabes store mængder ny matematik for at imødekomme denne udvikling. Som Jeremy Avigad skriver, er der i dette tilfælde tale om “[…] numerical, symbolic, and statistical methods that make it possible to use the computer effectively in scientific domains”.4 Det er dog ikke dette forhold mellem

4

Avigad (2008): 303.

8

computere og matematik, specialet omhandler. I stedet vil jeg fokusere på brugen af computere som redskab i den rene matematik, og som problemformuleringen indikerer, drejer det sig om den proces, der omhandler beviset af sætninger. Nærmere bestemt vil jeg undersøge de beviser, hvor dele af beviset er delegeret til computere grundet nødvendigheden af omfattende beregninger, hvormed jeg ser bort fra de såkaldte Automated Theorem Provers. Nogle matematikere mener, at computere også kan spille en stor rolle i retfærdiggørelsen af formodninger. Det sker ved enumerativ (eller ufuldstændig) induktion, hvorved beregningen af mange instanser af en formodning styrker tiltroen til denne.5 Et eksempel er Goldbachformodningen, der siger, at alle lige tal større end 2 kan udtrykkes som summen af to primtal. I 2007 var alle lige tal op til 1018 verificeret.6 Dog er der stadigvæk tale om en formodning – ikke en sætning. Både retfærdiggørelsen af formodninger og computerassisterede beviser hører under eksperimentel matematik i Alan Bakers forstand, hvor X er et stykke eksperimentel matematik, hvis og kun hvis X omfatter beregningen af instanser af en generel hypotese. 7 I forbindelse med retfærdiggørelsen af formodninger er slutningsformen som nævnt induktiv, mens beregningerne i forbindelse med computerassisterede beviser deduktivt medfører den pågældende sætning. Det er kun det sidste tilfælde, jeg vil behandle.

1.4 METODISKE OVERVEJELSER Jeg vil vie et hovedafsnit til at undersøge, hvordan matematikfilosofien kan bidrage til at besvare problemformuleringen, og resultatet vil have betydning for den metode, hvormed specialet gribes an. Dog vil jeg kort nævne nogle overvejelser, jeg har gjort mig. Da jeg vil undersøge computerassisterede bevisers rolle i den matematiske praksis, er det vigtigt, at jeg præsenterer et matematiksyn, der stemmer overens med den matematik, som den praktiserende matematiker laver. Jeg skal derfor undgå at præsentere et idealiseret billede af matematikken, som ikke har nogen chance for at overleve i praksis. Et sådant billede kan eksempelvis være udsprunget af et formalistisk matematiksyn, hvor matematikken identificeres med dens formelle, aksiomatiske abstraktion.8 Da dette matematiksyn langt fra er i overensstemmelse

5

I [Baker (2007)] argumenteres for, at enumerativ induktion generelt ikke styrker tiltroen til formodninger. Jeg går ikke nærmere ind i denne diskussion, da pointen er, at specialet ikke omhandler denne form for induktion. 6 Baker (2008): 335. 7 Ibid.: 340-341. 8 Lakatos (1976): 1.

9

med den matematik, der rent faktisk bliver lavet, vil jeg behandle den traditionelle matematik som værende i høj grad uformel.9 I samme forbindelse er det vigtigt at have matematikhistorien for øje for derved at følge videnskabs- og matematikfilosof Imre Lakatos, der skriver, at “[…] the philosophy of mathematics, turning its back on the most intriguing phenomena in the history of mathematics, has become empty”.10

1.5 PRAKTISKE BEMÆRKNINGER 1.5.1 TERMINOLOGI Firefarvesætningen spiller en central rolle i specialet. At kalde den en sætning i stedet for en formodning indebærer, at der findes et bevis. Det er problematisk, da jeg vil stille spørgsmål ved, hvorvidt computerassisterede beviser kan accepteres som beviser. Der kan argumenteres for, at jeg i min sprogbrug allerede har valgt side til fordel for computerassisterede beviser, men det er ikke tilfældet. Grunden er derimod, at Firefarvesætningen bliver omtalt som en sætning i litteraturen, og jeg ønsker at undgå misforståelser ved ikke at afvige fra dette. Af samme grund kalder jeg det Keplers Formodning på trods af, at formodningen er bevist – med et computerassisteret bevis.

9

Jeg uddyber meningen med uformelle beviser i afsnit 2.4. Lakatos (1976): 2.

10

10

2 MATEMATISKE BEVISER 2.1 INDLEDNING Jeg vil præcisere betydningen af visse begreber, som ofte bliver benyttet i forbindelse med beviser, og som jeg ligeledes vil benytte. Det gøres i et forsøg på at undgå misforståelser og uklarheder i det følgende. Det er indledningsvist vigtigt at nævne, at når jeg senere sammenligner computerassisterede beviser med traditionelle beviser, henviser sidstnævnte til beviser, der findes i nyere forskningslitteratur. Der er derfor tale om beviser af en vis kompleksitet. Samtidig har de ofte en anden udformning end beviser i lærebøger, da færre bevisskridt er udpenslet, hvilket skyldes, at der i tidsskrifter ikke behøver at blive taget samme pædagogiske hensyn, som tilfældet er med litteratur, der er skrevet med undervisning for øje.

2.2 SANDHED Jeg vælger at tale om sandhed i forbindelse med matematiske sætninger, hvilket er problematisk, for som Robert Pollack skriver: We have no access to truth in any aspect of human experience, including either formal or informal mathematics.11

Morris Kline skriver ligeledes, at “Mathematics is a body of knowledge. But it contains no truths”.12 Om det vitterligt er muligt at tale om sandhed i matematikken, og i givet fald i hvilken form, er et stort filosofisk spørgsmål, som jeg undlader at behandle. At jeg alligevel vælger at tale om sandhed, skyldes to ting: For det første omtaler matematikere normalt sætninger som værende sande eller falske, og jeg følger således blot denne sprogbrug. For det andet bliver sandhed benyttet i store dele af den relevante litteratur, uden at der bliver dvælet ved den nærmere betydning. Jeg tillader mig at gøre det samme for at undgå misforståelser i min behandling af denne litteratur.

2.3 PÅLIDELIGHED, KORREKTHED OG TILLID I et senere hovedafsnit undersøger jeg, hvor pålidelige computerassisterede beviser er i forhold til traditionelle beviser. Derfor vil jeg kort komme ind på sammenhængen mellem pålidelighed, korrekthed og tillid, da de ofte bliver brugt i de samme forbindelser.

11 12

Pollack (1997): 5. Rav (1999): 19.

11

Det er vigtigt at bemærke, at beviser kan være korrekte eller pålidelige, mens matematikere kan have tillid til dem. En sådan tillid kan derfor variere fra matematiker til matematiker, mens korrekthed og pålidelighed er af mere objektiv karakter. Derudover er korrekthed et spørgsmål om enten-eller: Enten er et bevis korrekt, eller også er det ikke. Pålidelighed kommer derimod i gradsforskelle og er placeret mellem to poler bestemt af netop korrektheden: Opstod den hypotetiske situation, at beviser altid var fejlfyldte og dermed ukorrekte, ville de overhovedet ikke være pålidelige. Var de til gengæld altid korrekte, ville de være absolut pålidelige. Da tillid er betinget af den enkelte matematiker, kan et bevis være korrekt eller i det mindste meget pålideligt, uden at en matematiker nødvendigvis har tillid til det. Jeg kan da spørge til – og vurdere – grunden til denne mistillid.

2.4 FORMELLE OG STRINGENTE BEVISER Jeg vil skelne mellem to bredt accepterede klassificeringer af beviser, nemlig formelle beviser og stringente beviser. Den brede accept til trods bliver distinktionen mellem de to bevistyper overset – oftest i det tilfælde, hvor matematik bliver set som en videnskab bestående mestendels af formelle beviser, mens det i realiteten forholder sig modsat.13 Matematikeren Keith Devlin skriver eksempelvis om formelle beviser, at “[…] except for trivial examples, it is not clear that anyone has ever seen such a thing”, hvilket er for stor en påstand, der dog er med til at markere de formelle bevisers minimale rolle i den matematiske praksis.14 Derfor vil der gælde, at jeg med traditionelle beviser henviser til stringente beviser og ikke formelle beviser. Nedenfor vil jeg kort beskrive de to bevistyper for at tydeliggøre forskellene. Formelle beviser i en formaliseret teori T består af en endelig række formler, der er formuleret i Ts sprog, hvor hver formel enten er et aksiom eller udledt fra tidligere formler ved brug af eksplicitte regler for logisk slutning.15 Udledningen sker på en syntaktisk måde, hvilket betyder, at korrektheden af udledningen kan tjekkes uden forståelse af meningen af de benyttede formler.16 Dette åbner muligheden for, at computere kan tjekke korrektheden af et formelt bevis, hvilket vil blive behandlet nærmere i afsnit 6.8.2. Stringente beviser er derimod uformelle og består af alle de uformelle argumenter, der er accepteret af matematikere som konstituerende matematiske beviser. Disse beviser lever med andre 13

En konsekvens af den manglende distinktion er, at de to bevistypers betydning i og for matematikken bliver uklar. Jeg vil påpege de steder, hvor forskellige holdninger bygger på et misforstået syn på det matematiske bevis. 14 Devlin (2003). 15 Rav (1999): 11. 16 MacKenzie (2006): 136.

12

ord op til visse stringenskrav. Som Yehuda Rav påpeger, er den logiske struktur i et stringent bevis generelt meget forskellig fra en udledning i et formelt bevis.17 Han skriver således om de logiske deduktioner i et stringent bevis: One of the salient features of a logical deduction in the course of a proof is that the deduction depends on an understanding and on prior assimilation of the meanings of the concepts from which certain properties are to follow logically.18

Dette står i direkte kontrast til formelle beviser, da jeg netop har vist, at forståelse af meningen af de benyttede formler ikke har nogen betydning for udledningerne i disse beviser. I stringente beviser er flere logiske skridt ofte udeladt for i stedet at være overladt til læseren, og Rav benytter en glimrende notation til at belyse processen i læsningen af et sådant bevis: I en matematisk artikel skriver forfatteren, at påstand B følger af påstand A, her symboliseret ved

A  B .19 Da det måske ikke umiddelbart er klart, hvorfor det er tilfældet, kan der ske følgende: [I]n trying to understand the author‟s claim, one picks up paper and pencil and tries to fill in the gaps. After some reflection on the background theory, the meaning of the terms and using one‟s general knowledge of the topic, including eventually some symbol manipulation, one sees a path from A to A1 , from A1 to A2, and finally from An to B.20

Der bliver altså dannet bevisskridtene A  A1, A1  A2, …, An  B, der igen kan udvides – eksempelvis med A  A ' , A '  A1. Der er med andre ord i princippet ingen øvre grænse for disse indskudte skridt, og det nødvendige antal skridt er betinget af læseren af beviset.21 En konsekvens af det foregående er, at stringente bevisers opgave oftest bliver at overbevise læseren om korrektheden af en sætning, hvorfor Reuben Hersh skriver, at et stringent bevis “[…] is just a convincing argument, as judged by competent judges”.22

2.5 A PRIORI OG A POSTERIORI BEGRUNDELSER Hvilke former for viden opnås på baggrund af sanseerfaring, og hvilke kan opnås ved brug af fornuften alene? A priori og a posteriori betyder henholdsvis “det, der kommer før”, og “det, der kommer efter” – her forstået som før og efter sanseerfaringen – og bliver benyttet i forbindelse med

17

Rav kalder beviserne for “conceptual proofs”, men betydningen er den samme som stringente beviser. Rav (1999): 29. 19 Ibid.: 14. Pilen indikerer, at der er en uformel logisk vej fra A til B og skal ikke forveksles med en formel implikation. 20 Ibid.: 14. 21 Ibid.: 14. 22 Hersh (1993): 389. 18

13

foregående spørgsmål. A priori viden er altså viden, der opnås uafhængig af alle sanseerfaringer, mens a posteriori viden stammer fra partikulære sanseerfaringer. I matematikfilosofien har begrebsparret spillet en stor rolle, og matematisk viden har været et paradigme for a priori viden.23 Brugen af begreberne er dog langt fra ukontroversiel, hvilket blandt andet skyldes, at ovenstående vage definitioner lader meget stå hen i det uvisse: Hvad vil det sige, at fornuften er brugt uafhængigt af sanseerfaringer? For overhovedet at få adgang til et nedskrevet bevis bruges synssansen, så det er en anden form for uafhængighed, der er ment. Man kan måske komme nærmere et svar ved at indse, at den matematiske viden synes at afvige fra naturvidenskabernes viden ved, at sidstnævntes a posteriori viden er essentielt afhængig af empiriske udsagn.24 Afsnit 5 behandler spørgsmålet om, hvilken type begrundelse (warrant) computerassisterede beviser giver. For at kunne forstå problemstillingen til fulde, er der behov for at udvide begrebsapparatet betydeligt. Udover a priori viden vil jeg derfor ligeledes benytte “a priori” i forbindelse med begrundelser, sandheder, beviser og ræsonnementer. Et a priori bevis består af a priori ræsonnementer, “[…] that makes no warranting use of anything that might legitimately be labeled sensory experience”.25 At synssansen bruges til at få adgang til den begrundelse, beviset giver, påvirker ikke, hvorvidt begrundelsen i sig selv er a priori eller ej. Et sådant bevis beviser en a priori sandhed, hvormed der kan opnås a priori viden om den pågældende sætning ved at læse beviset. Tyler Burges definition af a priori begrundelser og a priori viden opsummerer det foregående: A warrant […] is apriori if neither sense experiences nor sense-perceptual beliefs are referred to or relied upon to contribute to the justificational force particular to that warrant. A person‟s knowledge is apriori if the knowledge is supported by an apriori warrant that needs no further warrant for the knowledge to be knowledge.26

I den nyere matematikfilosofi er der blevet sat spørgsmålstegn ved, hvorvidt traditionelle beviser giver a priori begrundelser.27 Afsnit 5 er skrevet under den forudsætning, at traditionelle bevisers begrundelser vitterligt er a priori for derved at undersøge, om det forholder sig anderledes, hvis beviset er computerassisteret. For at afsnittet skal give mening, stipulerer jeg derfor, at traditionelle beviser giver a priori begrundelser. 23

Putnam (1986): 51. Arkoudas & Bringsjord (2007): 191. 25 McEvoy (2008): 375. 26 Burge (1998): 3. 27 Philip Kitcher påstår eksempelvis i [Kitcher (1984)], at det ikke gælder for lange beviser. 24

14

2.6 OVERSKUELIGHED Et bevis‟ overskuelighed spiller en central rolle senere.28 For at komme til en nærmere forståelse af, hvad der menes med denne, vil jeg tage udgangspunkt i O. Bradley Basslers skelnen mellem lokal og global overskuelighed.29 Lokal overskuelighed kræver en besigtigelse af hvert enkelt skridt i et bevis i en rækkefølge. 30 Der skal skelnes mellem to former for ressourcer, der bliver brugt i opnåelsen af lokal overskuelighed: På den ene side er der de ressourcer, der er krævet for at kunne overskue førnævnte bevisskridt. Altså nødvendige ressourcer for at hvert enkelt af skridtene A  A1, A1  A2, …, An  B i en argumentationsrække kan overskues. På den anden side er der de ressourcer, der er krævet til den slags “bogføring”, der bliver brugt til at kunne holde regnskab med, at alle skridtene er besigtiget, samt at de er blevet det i en eller anden form for rækkefølge.31 Med det foregående in mente kan følgende citat virke ejendommeligt: […] to say that a proof is locally surveyable does not necessarily imply that it has been (or could be) directly surveyed in any practical sense.32

For at indse at det er tilfældet, kan der forestilles et meget langt bevis med skridtene A  A1, A1  A2, …, An  B, hvor n i så fald er et stort naturligt tal. I princippet kan hvert enkelt skridt i beviset overskues, hvis beviset er lokalt overskueligt. Det indebærer dog ikke nødvendigvis, at det er sket, og beviset kan være af en sådan længde, at ingen matematiker i praksis kan besigtige alle skridtene. Global overskuelighed kræver, at et bevis kan overskues som et begribeligt hele.33 At denne form for overskuelighed er betinget af, at beviset begribes, har den konsekvens, at der nødvendigvis opstår gradsforskelle i global overskuelighed. Der er med andre ord et spektrum, der bliver dannet af, at nogle beviser er sværere at begribe end andre, og derfor kan Bassler tale om en nedre og en øvre grænse for global overskuelighed. Førstnævnte giver et minimumskrav for global overskuelighed, som Bassler i citatet nedenfor beskriver samtidig med, at han uddyber forskellen mellem lokal og global overskuelighed:

28

Overskuelighed er en oversættelse af det engelske ord surveyability, mens jeg vil veksle mellem besigtige og overskue som dækkende for det tilhørende verbum surveing. 29 Jeg er dermed ikke enig i Edwin Colemans kritik af Bassler i [Coleman (2009)]. Colemans egen definition af overskuelighed, der minder meget om global overskuelighed uden lokal, giver ikke det samme analyseværktøj som Basslers. Samtidigt indfanger den ikke problemstillingen i afsnit 5. 30 Bassler (2006): 100. 31 Ibid.: 100. 32 Ibid.: 101. 33 Ibid.: 100-101.

15

[…] the collective force of the proof steps requires a further conceptual acknowledgment in addition to a recognition of the validity of each of the steps and their respective positioning within the proof. Such a conceptual acknowledgement, that the proof steps fit together in such a way that they establish the claim, is a minimal requirement for global surveyability.34 (Basslers kursivering)

Lokal overskuelighed er altså ikke nok, da der stadig mangler en anerkendelse af, at skridtene er tilstrækkelige, og at de beviser den ønskede sætning. Bassler kalder fornuftigt nok minimumskravet for bindeleddet mellem de enkelte skridt og bevisets gennemslagskraft som et hele.35 Er minimumskravet ikke opfyldt, får skridtene i beviset ikke den indre sammenhæng, der er nødvendig for, at beviset opfylder sin rolle. Det er straks sværere at karakterisere den øvre grænse for global overskuelighed, for hvornår kan der med rette påstås, at et bevis ikke kan være mere (globalt) overskueligt? Bassler indrømmer, at det er urealistisk at tro på ét enkelt ideal, der kan gøre et bevis helt klart for læseren. 36 Dog har han ret, da han derefter påstår, at det er bredt accepteret i det matematiske samfund, at nogle beviser er mere begribelige end andre, og at der bliver brugt anseelig tid på at forbedre beviser for at gøre dem mere begribelige og dermed mere overskuelige i global forstand. 37 Bassler fremhæver flere egenskaber, der ofte karakteriserer klare beviser, nemlig “[…] clarity of presentation, including the perspicuous subdivision of the proof into lemmas and appropriate “sections”, exclusion of irrelevant ideas, and proofs organized around “leading ideas””.38 Jeg vil forlade den lokale og globale overskuelighed for at vende tilbage til dem i afsnit 5.

34

Bassler (2006): 102. Ibid.: 102. 36 Ibid.: 103. 37 Ibid.: 104. Påstanden bliver underbygget i [Dawson (2006)]. 38 Ibid.: 104. Bassler ser på faktorer, der gør et bevis lettere at begribe, men af pladshensyn vil jeg ikke komme nærmere ind på disse. 35

16

3 COMPUTERASSISTEREDE BEVISER – ET PROBLEM? På trods af at jeg i indledningen har skrevet, at jeg anser emnet for at være yderst aktuelt, kan der ligeledes argumenteres for, at jeg skriver om det tredive år for sent. Den matematikfilosofiske diskussion vedrørende computerassisterede beviser var således på sit højeste omkring 1980. Diskussionen er dog aldrig ebbet ud, hvad artikler som [Bassler (2006)], [McEvoy (2008)] og [Arkoudas & Bringsjord (2007)] også vidner om. Samtidigt giver nyere matematikfilosofisk forskning mulighed for at blive klogere på, hvad der præcist lå til grund for den store skepsis, som særligt Appel og Hakens bevis blev mødt af i matematikerkredse. Ydermere er der flere gange skabt fornyet debat om computerassisterede bevisers rolle i matematikken, hvilket er sket, når en meget omtalt formodning er blevet bevist med computerassistance. Da Clement W.H. Lam et al. i 1988 brugte computersøgning til at bevise ikkeeksistensen af en endelig projektiv plan af orden 10 – en søgning, der krævede omfattende beregninger, hvor over 1014 tilfælde blev undersøgt – fik det journalisten Malcolm W. Browne til at spørge i The New York Times, hvorvidt et matematisk bevis er et bevis, hvis ingen kan tjekke det.39 Senest har der været stor furore omkring accepten af Thomas Hales‟ bevis for Keplers Formodning og dets optagelse i tidsskriftet Annals Of Mathematics: Et panel på 12 bedømmere blev i 1999 sat til at evaluere beviset, men efter fire års arbejde kom udmeldingen, at de ikke var i stand til fuldstændigt at godtgøre korrektheden af argumentet.40 Først i 2006 så artiklen dagens lys i tidsskriftet, men i en udgave der ikke indeholdt de computerassisterede dele af beviset bestående af omkring 40.000 linjer computerkode.41 Til spørgsmålet om, hvorvidt computerassisterede beviser stadigvæk udgør et problem i den matematiske praksis, synes svaret derfor at være både ja og nej. Journalisten George G. Szpiro skriver, at computerassisterede beviser i dag “[…] anerkendes bredt som et nødvendigt onde af mange moderne matematikere”.42 På den ene side bliver beviserne altså anerkendt, men på den anden side er det som et nødvendigt onde. I samme tråd har Annals Of Mathematics bestemt, at beviserne har værdi, men samtidigt bliver de tildelt en lavere status end traditionelle beviser.43 Med det forrige in mente mener jeg, at spørgsmålet stadig har sin relevans. Om ikke andet kan besvarelsen af spørgsmålet bruges til at kaste nyt lys over interessante emner i matematikfilosofien.

39

Lam (1990): 8; Browne (1988). Devlin (2003). 41 Hales (2008): 1378. 42 Szpiro (2003): 232. 43 Chang (2004). 40

17

3.1 FIREFARVESÆTNINGEN Beviset for Firefarvesætningen er centralt for specialet og vil blive brugt som omdrejningspunkt, hvilket der er flere grunde til: For det første er der med Firefarvesætningen tale om den første vigtige sætning, hvor computeren har spillet en essentiel rolle i bevisprocessen. 44 Sætningens historie byder på mange mislykkede forsøg på at finde et bevis uden brug af computere, og et spørgsmål, der behandles yderligere i det følgende, er, om det overhovedet er muligt at bevise sætningen med et traditionelt bevis.45 Den anden grund til mit valg er, at beviset følger et mønster, der ligeledes ses ved andre computerassisterede beviser: Bevisdele indeholdende et stort, men endeligt antal tilfælde, bliver delegeret til computere, da tilfældene ville være ekstremt tidskrævende at beregne i hånden. I beviset for Firefarvesætningen er der tale om 1936 kombinatorisk krævende tilfælde (såkaldte konfigurationer), der blev beregnet på computer, hvilket tog omkring 1200 timer.46 De generelle bevisskridt i sådanne beviser kan illustreres således:

A1  A2 

 Aj ,1     Aj ,2   Ai     Ak    A   j ,m 

 An  B

Fra bevisskridt A1 til Aj lykkes det at reducere problemet til at være et spørgsmål om endeligt mange tilfælde Aj,1, Aj,2, …, Aj,m, der skal tjekkes én efter én.47 Den tredje grund er, at beviset skabte fornyet debat om, hvad der overhovedet udgør et matematisk bevis. Beviset afstedkom en længerevarende matematikfilosofisk diskussion om forskellene på computerassisterede og traditionelle beviser, og da jeg netop ønsker at undersøge disse forskelle, er diskussionen yderst interessant. Endelig er beviset interessant på grund af reaktionerne i matematikerkredse. Det blev således “[…] greeted with enthusiasm but also with dismay”.48 Et er, hvad matematikfilosoffer mener om beviset. Noget andet er, hvad den praktiserende matematiker mener. Ved at se nærmere på

44

Sætningen bliver her betegnet som vigtig i kraft af dens historie snarere end dens nytte som matematisk resultat. Se afsnit om matematisk forklaring. 46 Antallet af tilfælde blev senere reduceret til 1482 og igen til 1405. 47 I Appel og Hakens bevis er m  1936 . 48 Wilson (2003): 4. 45

18

reaktioner er det muligt at blive klogere på, hvorfor nogle matematikere er skeptiske over for brugen af computerassisterede beviser. Selvom beviset fungerer som omdrejningspunkt, vil jeg ikke gå i detaljer med det, da jeg i stedet ønsker at fokusere på de konsekvenser, sådanne beviser har for matematikken. I resten af specialet forudsætter jeg dog et vist kendskab til Firefarvesætningen samt Appel og Hakens bevis.49

3.2 REAKTIONER FRA MATEMATIKERKREDSE Følgende citater belyser punkter, hvor Appel og Hakens bevis ikke har indfriet matematikeres forventninger. Samtidigt er de bestemmende for undersøgelserne i hovedafsnit 5 til 8. En meget iøjefaldende og hård kritik kommer fra George Spencer-Brown, der ikke blot afviser, at der er tale om et bevis, men går et skridt videre og fastholder, at det end ikke ligner et bevis: Nowhere in their long and often irrelevant account do they provide the evidence that could enable the reader to check what they say. It may, or may not, be „possible‟ to prove the color theorem the way they claim. What is now certain is that they did not do so… not only is no proof to be found in what they published, but there is not anything that even begins to look like a proof. It is the most ridiculous case of „The King‟s New Clothes‟ that has ever disgraced the history of mathematics.50

Spencer-Brown peger på, at det i Appel og Hakens fremstilling ikke er muligt at gennemse alle skridt i beviset, som tilfældet er i traditionelle beviser. Han synes at være særligt utilfreds med, at “[…] the reader is told that certain facts have been verified with the use of about twelve hundreds hours of computer time”.51 Selv med en vedlagt udskrift af alle beregninger ville det være umuligt at overskue beviset. Beviset paraderer derfor, ifølge Spencer-Brown, som et bevis uden at være det. Manglen på overskuelighed er også et problem for Daniel Cohen: The real thrill of mathematics is to show that as a feat of pure reasoning it can be understood why four colors suffice. Admitting the computer shenanigans of Appel and Haken to the ranks of mathematics would only leave us intellectually unfulfilled.52

Da alle bevisskridt ikke kan følges, mener Cohen ikke, at matematikere med fornuften alene kan indse, hvorfor sætningen er sand. Der kan derfor stilles spørgsmålstegn ved, om beviset er et a

49

[Appel & Haken (1988)], [Bernhart (1977)] og [MacKenzie (1999)] giver alle et godt overblik over den overordnede struktur i beviset. Sidstnævnte giver desuden en god gennemgang af hele Firefarveproblemets historie. Derudover kan jeg henvise til [Wilson (2003)] for en pædagogisk udlægning af selvsamme historie. 50 Wilson (2003): 221-222. 51 Appel & Haken (1986): 10. 52 Wilson (2003): 221.

19

priori bevis. Cohen beskriver ligeledes, hvordan computerens output i beviset adskiller sig fra et output, “[…] which can subsequently be verified by humans as being the correct answer”. 53 Han er således yderligere skeptisk over for det faktum, at det ikke er muligt for matematikere at tjekke korrektheden af beviset på traditionel vis. Hvis det ikke kan lade sig gøre, hvor pålideligt er beviset i så fald? Næste citat bliver leveret af Ian Stewart: The answer appears as a kind of monstrous coincidence. Why is there an unavoidable set of reducible configurations? The best answer at the present time is: there just is. The proof: here it is, see for yourself. The mathematician‟s search for hidden structure, his pattern-binding urge, is frustrated.54

Grunden til Stewarts skepsis skal findes i, at beviset ikke forklarer, hvorfor sætningen er sand. Lignende kritik kommer fra F.F. Bonsall: We cannot possible achieve what I regard as the essential element of a proof – our own personal understanding – if part of the argument is hidden away in a box.55

Bonsall peger således på, at matematikere ikke opnår den ønskede forståelse af beviset. Kritikpunkterne vil blive behandlet i de følgende hovedafsnit: De matematikfilosofiske konsekvenser ved den manglende overskuelighed er genstand for afsnit 5; spørgsmålet om computerassisterede bevisers pålidelighed bliver efterfølgende behandlet; sidst bliver den manglende forklaring og den manglende mulighed for at opnå forståelse undersøgt nærmere.

53

Wilson (2003): 221. Ibid.: 220-221. 55 MacKenzie (1999): 41. 54

20

4 MATEMATIKFILOSOFI OG DEN MATEMATISKE PRAKSIS 4.1 INDLEDNING Devlin skrev i 2003 i forbindelse med Hales‟ bevis for Keplers Formodning: But then there is the thorny question of deciding whether what the computer has done amounts to a proof of the Kepler Conjecture. And that is a decision that only the mathematical community can make. 56 (Min kursivering)

Hensigten med dette hovedafsnit er blandt andet at undersøge, hvorvidt matematikfilosofien kan bidrage til debatten om computerassisterede beviser. I forhold til ovenstående citat munder spørgsmålet ud i, hvorvidt det er i det matematiske samfunds interesse at få “hjælp udefra” i form af matematikfilosofiske undersøgelser, før der træffes en beslutning. Jeg ønsker at arbejde ud fra den tese, at Devlin i bund og grund har ret, men at det matematiske samfund kan drage nytte af at inddrage matematikfilosoffer i beslutningstagningen, da de kan skabe større klarhed omkring computerassisterede bevisers rolle i den matematiske praksis. Dette leder mig hen til afsnittets andet tema: I problemformuleringen såvel som i de forrige afsnit nævner jeg den matematiske praksis. For at komme nærmere en forståelse af denne, vil jeg tage udgangspunkt i Kitchers teori om selvsamme. Jeg vil derefter præsentere to traditioner inden for matematikfilosofien, der fokuserer på henholdsvis matematikkens grundlag og den matematiske praksis, og placere mine undersøgelser i forhold til disse. Filosofiens rolle i matematikken vil blive underbygget i forhold til Stewart Shapiros to yderprincipper the philosophy-first principle og the philosophy-last-if-at-all principle, der begge vil blive udsat for kritik. Jeg vender efterfølgende tilbage til Kitchers teori, da et af formålene med denne er at kunne beskrive den matematiske udvikling, hvilket sker gennem såkaldte interpraksistransitioner. Kitcher karakteriserer nogle af disse som værende rationelle, hvorfor det er interessant at undersøge, hvilke konsekvenser det har for en udvikling igangsat af accepten af computerassisterede beviser.

4.2 KITCHER OG DEN MATEMATISKE PRAKSIS Med udgangspunkt i Thomas Kuhns teori om paradigmer og videnskabelige revolutioner beskriver Kitcher i bogen The Nature of Mathematical Knowledge, hvordan den videnskabelige udvikling sker gennem ændringer i den videnskabelige praksis, der blandt andet indeholder sprog, teoretiske 56

Devlin (2003).

21

principper og accepterede måder at ræsonnere på.57 Kitcher går skridtet videre og foreslår, at der ligeledes snakkes om en matematisk praksis for at kunne systematisere og derved opnå større forståelse af den matematiske udvikling. Nærmere bestemt ser han den matematiske praksis som en fem-tupel

L, M , Q, R, S , hvor L angiver sproget hørende til denne praksis, M angiver meta-

matematiske antagelser, mens Q, R og S angiver samlingen af henholdsvis accepterede vigtige spørgsmål, accepterede argumentationsmåder og accepterede udsagn. 58 Ved matematisk udvikling bliver denne praksis efterfulgt af en ny praksis, hvorved der sker en interpraksis-transition.59 Der kan sættes spørgsmålstegn ved, hvorvidt fem-tuplen indfanger alle vigtige facetter i den matematiske praksis, hvilket Kitcher selv er klar over, da han nævner, at andre matematiske aktiviteter måske skal tilføjes for at kunne opnå en tilfredsstillende forståelse af den matematiske udvikling.60 Modsat kan han have inddraget for mange komponenter, så én eller flere er unødvendige, men det vil i så fald ikke skabe samme problemer som første tilfælde. Kitchers model bør under alle omstændigheder betegnes som en idealiseret model til beskrivelse af den matematiske udvikling. Vigtigst er dog, at modellen giver mulighed for at opnå en klarere forståelse af, hvad accepten af computerassisterede beviser indebærer af ændringer i den matematiske praksis.

4.3 DEN MATEMATISKE PRAKSIS OG MATEMATIKKENS GRUNDLAG Jeg følger et skift i matematikfilosofien, der er sket over de sidste femogtredive år: Hvor megen matematikfilosofi tidligere har koncentreret sig om emner vedrørende matematikkens grundlag, er der de seneste årtier opstået en stigende interesse for aspekter af matematikken, som ellers er blevet negligeret – heriblandt problemstillingen omhandlende computere i matematikken. Paolo Mancosu nævner blandt andet dynamikkerne i matematikkens vækst samt induktion og formodninger i matematik som eksempler på områder, der ligeledes er blevet genstand for matematikfilosofiske undersøgelser.61 Fælles for dem alle er, at de belyser forskellige aspekter af den matematiske praksis, og min tilgang til matematikfilosofien kan derfor siges at være praksis-fokuseret. Som Mancosu påpeger, har flere bidrag inden for undersøgelser af førnævnte områder været ledsaget af en opsang om behovet for at være opmærksom på den matematiske praksis samt et

57

Kitcher (1984): 163. Ibid.: 163-164. De fem komponenter vil blive uddybet senere. 59 Det er vigtigt at bemærke, at Kitcher – på trods af inspirationen fra Kuhn – ikke taler om inkommensurabilitet mellem to på hinanden efterfølgende praksisser. 60 Kitcher (1984): 164. 61 Mancosu (2001): 97. 58

22

angreb på matematikfilosofiens store fokus på matematikkens grundlag.62 Et eksempel på sidstnævnte kan ses i David Corfields Towards a Philosophy of Real Mathematics: By far the larger part of activity in what goes by the name philosophy of mathematics is dead to what mathematicians think and have thought, aside from an unbalanced interest in the ‟foundational‟ ideas of the 1880-1930 period, yielding too often a distorted picture of that time.63

Mancosu finder kritikken uberettiget af flere grunde, men faktum er, at flere aspekter af den matematiske praksis ikke har fået opmærksomhed, da de har været irrelevante for spørgsmål om matematikkens grundlag.64 At jeg følger dette skift har visse konsekvenser, hvor nogle allerede er blevet omtalt i afsnit 1.4. Yderligere kan nævnes, at jeg bevæger sig udover grundlæggende matematikfilosofiske problemstillinger for i stedet at fokusere på de konsekvenser, computerassisterede beviser har for den praktiserende matematiker. Jeg er enig med Avigad, når han skriver: When we focus on particular features of mathematical practice, metaphysical concerns often seem petty and irrelevant, and we find, instead, a rich assortment of issues that have concrete bearing upon what we do and say about the subject.65

Dog er der en begrænsning for, hvor tæt knyttet emnet er til den matematiske praksis: Jeg vil eksempelvis ikke påstå, at den praktiserende matematiker til dagligt skænker Firefarvesætningen mange tanker. Jeg kan dog – i stil med Baker – retfærdiggøre dens relevans i forhold til den matematiske praksis med, at mange matematikere tidligere har fundet den interessant.66 Tilmed fungerer beviset for Firefarvesætningen blot som udgangspunkt for at kunne tale om computerassisterede beviser generelt, og som tidligere nævnt kan disse komme til at spille en stor rolle i fremtidig matematisk praksis.

4.4 SHAPIROS PRINCIPPER Fokusset på den matematiske praksis påvirker tilgangen til det overordnede emne, hvilket jeg vil vise gennem afvisningen af Shapiros the philosophy-first principle og the philosophy-last-if-at-all principle. Førstnævnte kan med fordel belyses ved hjælp af et eksempel: I første halvdel af sidste århundrede rettede intuitionismens fader, L.E.J. Brouwer, en skarp kritik af den klassiske 62

Mancosu (2001): 97. Corfield (2004): 5. 64 Mancosu (2001): 97. 65 Avigad (2008b): 351. 66 Baker (2009): 149. 63

23

matematik, og hans mål var at lave gennemgribende ændringer af selvsamme.67 Grunden skal findes i Brouwers syn på matematikkens ontologi: De matematiske objekter er for ham en mental konstruktion, hvorfor eksistensen af dem begrænser sig til det menneskelige intellekt. Brouwers anti-realisme fik ham til at advokere for en forkastelse af brugen af det udelukkede tredjes princip i uendelige systemer, hvilket gør indirekte beviser ugyldige. I sin matematikfilosofi fandt Brouwer således grund til at lave ændringer i den matematiske praksis, og det er karakteristisk for Shapiros princip: The idea is that we first figure out what it is that we are talking about and only then figure out how to talk about it, and what to say about it. Philosophy thus has the noble task of determining mathematics.68 (Min kursivering)

Denne tilgang har sjældent vist sig effektiv: Filosofien har gang på gang kæmpet en tabt sag, hvilket også var tilfældet med Brouwers intuitionisme. Problemerne opstår, når filosofien går imod almindelig matematisk praksis, fordi den praktiserende matematiker ikke lader sig diktere af filosofiske grunde.69 Jeg er selv imod tilgangen og erklærer mig enig med Penelope Maddy, der skriver: If our philosophical account of mathematics comes into conflict with successful mathematical practice, it is the philosophy that must give. This is not, in itself, a philosophy of mathematics; rather, it is a position on the proper relations between the philosophy and the practice of mathematics.70

I den anden grøft er the philosophy-last-if-at-all principle, der til dels minder om den fremgangsmåde, jeg vil benytte – dog med afvigelser på afgørende punkter. Princippet bygger netop på, at det på trods af filosofiske undersøgelser er matematikere, der praktiserer og formulerer deres eget felt.71 Hvis matematikfilosofien overhovedet har et job, er det at give en kohærent fremstilling af matematikken, som den er praktiseret op til det pågældende punkt.72 Princippet tager altså store hensyn til den matematiske praksis, hvorved konflikten mellem filosofi og praksis undgås. Princippet kan dog efter min mening ikke accepteres, hvilket der er to nævneværdige grunde til: Den første er, at det sætter spørgsmålstegn ved, hvorvidt filosofien er brugbar for matematikken, 67

Se eksempelvis [Brouwer (1996)]. Shapiro (1997): 25. 69 Denne holdning skinner blandt andet igennem i en kronik af matematikerne Nils A. Baas, Johan P. Hansen og Ib Madsen, hvor de til spørgsmålet om, hvorvidt matematik opdages eller opfindes, svarer, at det er et interessant filosofisk spørgsmål, der dog ingen betydning har for den aktive matematiker. Se [Baas et al. (2004)]. 70 Mancosu (2008a): 11. 71 Shapiro (1997): 28. 72 Ibid.: 28. 68

24

hvilket er uholdbart – særligt når filosofien viser tilpas respekt for den matematiske praksis. Som Gian-Carlo Rota skriver, er filosofi “[…] effective at correcting and redirecting our thinking, helping us do away with glaring prejudices and unwarranted assumptions”.73 Dette anser jeg for værende en vigtig hjælp for enhver videnskabelig disciplin, matematik inkluderet. Citatet indfanger det, jeg mener, matematikfilosofien kan bidrage med: Den kan belyse og tydeliggøre forskellige aspekter ved en problemstilling, hvilket kan komme matematikken til gode. Dette fører direkte til den anden grund: Gennem dette bidrag guider filosofien matematikken, hvorfor filosofiens rolle bliver større end blot at give en kohærent fremstilling af matematikken. I afsnit 1.4 citerede jeg Lakatos for at skrive, at matematikfilosofien, der havde vendt sig bort fra matematikhistorien, var blevet tom, men det repræsenterer kun sidste del af det oprindelige citat, der starter med ordene: “The history of mathematics, lacking the guidance of philosophy, has become blind”.74 Min påstand er, at det samme kan siges om matematikken selv. Afvisningen af Shapiros to principper har haft indflydelse på problemformuleringens udformning: At filosofien ikke bør diktere matematikken gør, at jeg starter formuleringen med “kan”, der i forhold til andre muligheder såsom “bør” eller “skal” er af mere normativ neutral karakter – i hvert fald hvis svaret er bekræftende. Dermed ikke sagt, at problemformuleringen lægger op til et rent deskriptivt svar. Målet er dog at belyse, hvorvidt computerassisterede beviser kan accepteres uden samtidigt at foreskrive, at den matematiske praksis nødvendigvis skal følge konklusionen. Filosofiens rolle bliver dermed at guide – ikke diktere – matematikken. Omvendt er det blotte faktum, at jeg overhovedet stiller spørgsmålet, med til at vise, at jeg tror på, at filosofien kan bidrage positivt til den matematiske udvikling.

4.5 INTERPRAKSIS-TRANSITION Som nævnt er målet med Kitchers fem-tupel at beskrive den matematiske udvikling gennem interpraksis-transitioner. Han ønsker at identificere mønstre i denne udvikling, der kan forsvares som værende rationelle, hvor den matematiske praksis ændres gennem en række rationelle skridt.75 Af disse finder han fem, der hver især indeholder ændringer i adskillige komponenter fra en praksis til den anden:

73

Rota (2006): 221. Lakatos (1976): 2. 75 Kitcher (1984): 194. 74

25

Generelt mønster Spørgsmålsbesvarelse

L, M , Q, R, S  L ', M , Q ', R ', S '

Spørgsmålsgenerering

L, M , Q, R, S  L ', M , Q ', R, S

Generalisering

-

Rigorisering

-

Systematisering

-

Specialets begrænsede omfang tillader mig ikke at gå i dybden med mønstrene. I stedet vil jeg i det efterfølgende benytte Kitchers teori som analyseværktøj til at se nærmere på, hvilke ændringer en accept af computerassisterede beviser giver. Jeg ønsker at argumentere for, at kun L forbliver uændret, og da indførslen af computerassisterede beviser ikke kan placeres i et af ovenstående mønstre, er udviklingen ikke nødvendigvis rationel ifølge Kitcher. Dette kan umiddelbart ses som en grund til ikke at acceptere beviserne, men spørgsmålet er, hvorvidt det gør sig gældende efter nærmere granskning af det rationalitetskriterium, Kitcher benytter. Ifølge Kitcher er den matematiske udvikling styret af nogle meget generelle hensyn, som efterkommes af alle matematikere til alle tider: at bestræbe sig på at fremme korrekte matematiske udsagn, at systematisere de matematiske resultater, at give beviser der øger den matematiske forståelse, med flere.76 Her kommer de metamatematiske antagelser M ind i billedet, for som Kitcher skriver: [T]hese general aims are mediated by more specific metamathematical views, which can vary from community to community, and which represent the community‟s reflective understanding about how its ultimate goals are to be achieved.77

På trods af enighed om matematikkens mål, kan der altså opstå uenighed om midlerne til at opnå disse. Fra reaktionerne på beviset for Firefarvesætningen er det tydeligt, at en sådan uenighed er til stede i forbindelse med brugen af computerassisterede beviser. Brugen starter en debat om bevisstandarder, der er én af de ting, et metamatematisk syn skal indeholde.78 Det matematiske samfund har således visse – eksplicitte eller implicitte – standarder for, hvad der opfylder kravene

76

Kitcher (1984): 188-189. Ibid.: 189. 78 Ibid.: 189. 77

26

for at fungere som et bevis.79 Som citaterne i afsnit 3.2 vidner om, er der matematikere, der ikke mener, at computerassisterede beviser lever op til disse standarder. At der bliver skabt debat er ligeledes med til at belyse en pointe om de metamatematiske antagelser: De behøver ikke være eksplicit formuleret af matematikerne i den pågældende praksis. I perioder med radikale ændringer bliver de dog tydeliggjorte, da “[…] The metamathematics of a practice is most evident when the practice is under siege”.80 Ændringer i M kan få store konsekvenser for de andre komponenter i fem-tuplen, hvorfor “[…] metamathematical change serves to indicate those episodes which are the closest analogs to scientific revolutions”.81 Samlingen af accepterede argumentationsmåder R er den serie af udsagn, matematikere fremfører for at underbygge de matematiske udsagn, der bliver hævdet, og de mest fremtrædende er dem, der går for at være matematiske beviser.82 At R kan komme op til revision ses hos MacKenzie, der skriver, at det er det matematiske samfund – og ikke et absolut kriterium – der afgør hvilke argumenter, der tæller som beviser.83 Da bevisstandarder som nævnt hører under M, er R betinget af denne. Accepteres computerassisterede beviser, ændres R, da en ny måde at argumentere på bliver accepteret som et bevis. R betinger derefter samlingen af accepterede udsagn S, der er “[…] the set of sentences, formulated in the mathematical language of the time, to which an omnivorous and alert reader of the current texts, journals, and research papers would assent”.84 Med andre ord er der tale om samlingen af det, der kan accepteres som værende matematiske sætninger, og udsagn kan slettes fra eller tilføjes denne samling. I dette konkrete tilfælde vil de udsagn, der er bevist med computerassisterede beviser – samt de udsagn, der er ækvivalente formuleringer af pågældende udsagn – blive tilføjet til S, hvis denne type beviser bliver accepteret.85 Tillige bliver delresultater, der optræder i argumenterne for udsagnene, tilføjet til S.86 Samtidigt vil samlingen af accepterede spørgsmål Q blive mindre. Q er de spørgsmål, som matematikere finder værd at spørge om og selvfølgelig svare på, og samlingen kan generelt blive

79

Kitcher (1984): 180. Ibid.: 189. 81 Ibid.: 191-192. 82 Ibid.: 180. 83 Heintz (2003): 938. 84 Kitcher (1984): 178. 85 Robin Thomas peger eksempelvis på, at der eksisterer mange forskellige ækvivalente formuleringer af Firefarvesætningen, der benytter sprog fra forskellige grene af matematikken. Se [Thomas (1998): 850]. 86 Kitcher (1984): 195. 80

27

både større og mindre.87 Accepteres computerassisterede beviser, bliver der fjernet spørgsmål fra Q, såsom hvorvidt der eksisterer en projektiv plan af orden 10. Ækvivalente formuleringer af disse spørgsmål bliver ligeledes fjernet. Behovet for at svare på forskellige spørgsmål kan variere, og spørgsmålene kan have varierende iboende og instrumentel værdi. Førstnævnte værdi opstår ved, at besvarelsen af et spørgsmål belyser diskuterede entiteter eller bringer nye entiteter inden for den matematiske diskussions rammer, mens den instrumentelle værdi opstår ved, at besvarelsen åbner op for besvarelsen af en ny gruppe spørgsmål.88 Spørgsmålene, der ledte frem til Firefarvesætningen og Keplers Formodning, må betegnes som havende størst iboende værdi, men det betyder ikke nødvendigvis, at det ligeledes er tilfældet for spørgsmål, der i fremtiden vil blive besvaret med computerassisterede beviser. Den sidste komponent er sproget, der består af en syntaks og en semantik. Kitcher peger på en ændring i sproget, der er relativ triviel, nemlig når matematikere introducerer notation til at forkorte udtryk i det eksisterende sprog.89 I dette tilfælde bliver syntaksen ændret ved at indføre et nyt udtryk, mens semantikken forøges ved at fiksere udtrykkets referent gennem en eksplicit bestemmelse i tidligere benyttede termer.90 Der er dog også vigtige ikke-trivielle ændringer, hvor Kitcher peger på to fra matematikhistorien: ved begrebsændringer (eksempelvis funktionsbegrebet) og ved indførsel af nyt matematisk sprog, der synes at være i strid med tidligere accepteret matematik (eksempelvis Georg Cantors indførsel af

). Sådanne kan dog ikke findes ved accepten

af computerassisterede beviser, hvorfor komponenten forbliver uændret.91 Beskrivelsen af de fem komponenter og ændringen af de fire første ved accepten af computerassisterede beviser har fulgt den rækkefølge, hvormed de i dette tilfælde påvirker hinanden. Den kausale sammenhæng komponenterne imellem ser således ud:

Accepterede udsagn Metamatematik  Accepterede argumentationsmåder   Accepterede spørgsmål

Alt i alt fås en interpraksis-transition

L, M , Q, R, S  L, M ', Q ', R ', S ' . Denne følger ikke

Kitchers fem rationelle mønstre, men at transitionen ikke umiddelbart er rationel i Kitchers 87

Tilmed kan et spørgsmål blive fjernet, fordi det bliver anset for besvaret, hvorefter en fejl i besvarelsen atter gør spørgsmålet til en del af samlingen. Som jeg viser i afsnit 6.5.1, er dette sket i forbindelse med Firefarvesætningen. 88 Kitcher (1984): 185. 89 Ibid.: 170. 90 Ibid.: 170. 91 Den mulige ændring i bevisbegrebet påvirker ikke L, da ændringen sker på et metamatematisk plan.

28

forstand, er ikke tilstrækkeligt til, at jeg allerede kan svare på spørgsmålet i problemformuleringen. Det skyldes, at det ikke er en højere form for rationalitet, der er på spil, hvilket blandt andet kommer til udtryk i Kitchers behandling af spørgsmålsbesvarelse, hvorom han skriver: The rationale for making these modifications consists in the fact that they enable the mathematical community to answer questions previously recognized as important, and the value of providing answers may outweigh the difficulties involved in the ill-understood language, the new statements, and the unrigorous reasonings.92

Rationaliteten afhænger altså af en cost-benefit-analyse. Hans argumenter for rationaliteten af de fire resterende mønstre afslører, at der er forskellige rationaliseringskriterier på spil i hvert tilfælde. Rationalet for systematisering ved aksiomatisering bestemmes eksempelvis ud fra, hvorvidt aksiomatiseringen er i stand til at forene et felt for derved at skabe større forståelse af feltet. 93 Selvom accepten af computerassisterede beviser medfører en transition, der ikke umiddelbart er rationel i Kitchers forstand, betyder den manglende form for højere rationalitet i hans teori, at det ikke er ensbetydende med, at transitionen bør afvises på det grundlag. I stedet bør forskellige aspekter ved beviserne undersøges for derved at kunne vurdere, om en accept af beviserne er gavnlig for det matematiske samfund. Undersøgelserne sker i de næste fire hovedafsnit.

92 93

Kitcher (1984): 195. Ibid.: 218.

29

5 ÆNDRET BEVISBEGREB? 5.1 INDLEDNING Som allerede beskrevet afstedkom beviset for Firefarvesætningen mange reaktioner fra matematiske og matematikfilosofiske kredse, hvor sidstnævnte er genstand for dette hovedafsnit. Afsnittet vil nærmere bestemt tage udgangspunkt i Thomas Tymoczkos artikel The Four-Color Problem and Its Philosophical Significance fra 1979, og målet er at undersøge, hvorvidt computerassisterede beviser ændrer bevisbegrebet. Viser det sig at være tilfældet, udgør denne kendsgerning en berettiget grund til at være skeptisk over for introduktionen af computerassisterede beviser i den matematiske praksis. Det skyldes, at beviserne i så fald kan medføre fundamentale – og uvelkomne – ændringer i den nuværende matematikopfattelse. Det foregående forklarer valget af Tymoczkos artikel som udgangspunkt for resten af hovedafsnittet, da han netop taler for nødvendigheden af en ændring i bevisbegrebet for at kunne akkommodere indførslen af computerassisterede beviser i matematikken. Hans formål er således “[…] to raise the question of whether the 4CT is really a theorem”.94 Nedenfor vil jeg analysere og diskutere Tymoczkos centrale påstande med inddragelse af flere kritiske reaktioner på artiklen.

5.2 TYMOCZKOS ARTIKEL 5.2.1 BEVISER OG OVERSKUELIGHED Tymoczkos artikel tager udgangspunkt i, hvad der for ham karakteriserer beviser, nemlig at de er overbevisende, overskuelige og formaliserbare.95 Overskueligheden spiller en særlig vigtig rolle for hans argument, hvorfor jeg vil koncentrere mig om denne. Ifølge Tymoczko er overskueligheden karakteristisk for et bevis, da han ser beviset som en konstruktion, der kan gennemses, vurderes og verificeres af en rationel person, hvorpå det bliver overbevisende i sig selv uden hjælp fra udefrakommende faktorer.96 Tymoczko stiller to krav til, at et bevis er overskueligt: 1) Beviset kan tjekkes af medlemmer af det matematiske samfund.97 2) Dette tjek kan ske inden for en livstid.98

94

Tymoczko (1986): 246. Ibid.: 247. 96 Ibid.: 247. 97 Ibid.: 248. 98 Ibid.: 249. 95

30

At overskuelighed spiller en altafgørende rolle for Tymoczkos holdning til computerassisterede beviser skyldes, at ingen matematiker har kunnet overskue beviset for Firefarvesætningen i sin helhed. Han ser dette som det afgørende punkt, hvor beviset afviger fra traditionelle beviser: No mathematician has surveyed the proof in its entirety; no mathematician has surveyed the proof of the critical reducibility lemma. It has not been checked by mathematicians, step by step, as all other proofs have been checked. Indeed, it cannot be checked that way.99

Konsekvensen er, at matematikere – i stedet for at følge beviset skridt for skridt – appellerer til, at en computer har udført de fornødne skridt. For at tydeliggøre betydningen af dette, tyr Tymoczko til et tankeeksperiment, som jeg vil gennemgå i det følgende afsnit. Grundlaget for artiklen er altså, at beviset for Firefarvesætningen – i modsætning til traditionelle beviser – ikke er overskueligt, men i hvilken forstand? Tymoczko åbner selv op for svaret, da han skriver, at Appel og Hakens “[…] work […] is very much like a surveyable proof with a lacuna where a key lemma is justified by nontraditional means”.100 Beviset minder altså meget om et traditionelt, overskueligt bevis, hvor Tymoczkos overskuelighedsbegreb dækker over både lokal og global overskuelighed. Uoverskueligheden opstår på grund af føromtalte lemma, og det er derfor i første omgang den lokale overskuelighed, der forsvinder. Det er med andre ord ikke alle skridt i beviset, der hvert for sig kan besigtiges, hvad illustrationen tydeliggør:

A1  A2 

 Aj ,1     Aj ,2   Ai     Ak    A   j ,1936 

 An  B

Det er således bevisskridtet Aj,1, Aj,2,… Aj,1936  Ak, der er skyld i førnævnte lakune. I samme forbindelse er det interessant at påpege, at Bassler spekulerer i, om det ikke i en vis forstand giver mening at sige, at beviset er globalt overskueligt uden at være det lokalt: Appel and Haken have in fact surveyed the proof in the sense that if we accept the computer calculation as routine, the proof is comprehensible.101

99

Tymoczko (1986): 255. Ibid.: 255. 101 Bassler (2006): 123. 100

31

I bevisgennemgangen i Hakens artikel An Attempt to Understand the Four Color Problem finder Bassler belæg for, at argumentationens logiske struktur er global overskuelig.102 Det er altså muligt at overskue skridtene A  A1, A1  A2, …, An  B som helhed. Hvis bevisskridtet i lemmaet kan accepteres uden et krav om besigtigelse, er det således muligt at følge beviset på samme måde som traditionelle beviser. Er det faktum, at Tymoczko bruger et afsnit i sin artikel på at gennemgå bevisets struktur ikke netop et vidnesbyrd om bevisets begribelighed? At Tymoczko dette til trods stadig kalder beviset uoverskueligt, skyldes, at han ikke ser samme muligheder som Bassler for global overskuelighed uden den lokale: Den globale overskuelighed er, ifølge Tymoczko, grundlagt på den lokale, hvilket tydeligt ses, når han skriver, at “The mathematician surveys the proof in its entirety and thereby comes to know the conclusion” (min kursivering).103 Det er derfor, Tymoczko andetsteds påstår, at ingen matematiker nogensinde har set et bevis for Firefarvesætningen, da det ifølge ham ville kræve en besigtigelse af alle skridt i beviset for at kunne begribe det som et hele.104 Den lokale uoverskuelighed blokerer så at sige den globale overskuelighed. Bassler indrømmer, at en accept af Tymoczkos synspunkt vanskeliggør svaret på, hvorledes beviset for Firefarvesætningen på nogen måde er blevet eller kan overskues.105 Bassler giver dog adskillige bud, og et af dem vender jeg tilbage til i afsnit 5.4. Basslers to begreber kan derudover benyttes til at adskille beviset for Firefarvesætningen fra de traditionelle beviser, der oftest stemples som uoverskuelige. Mikkel Willum Johansen har eksempelvis skrevet følgende i en artikel på Videnskab.dk: Hvis man ser nærmere efter, er computerassisterede beviser måske slet ikke så forskellige fra andre beviser. Det er jo ikke alle beviser, der umiddelbart kan overskues og gennemtjekkes med tanken alene.106

Som eksempel nævner Johansen beviset for den såkaldte Enorme Sætning om klassificeringen af alle endelige, simple grupper, der krævede samarbejde mellem flere hundrede matematikere. Beviset er udgivet i over 500 artikler og fylder mere end 15.000 sider, hvilket har fået Rota til at skrive:

102

Bassler (2006): 125. Tymoczko (1986): 247. 104 Ibid.: 246. 105 Bassler (2006): 124. 106 Johansen (2009). 103

32

The variety of intermediate theorems needed for this classification is so large as to defy the mental powers of any individual mathematician.107

Udover at Tymoczko nok ville mene, at en kompetent matematiker kunne tjekke det omtalte bevis på en livstid, og at beviset derfor, ifølge hans egne krav, er overskueligt, dukker spørgsmålet op, om det overhovedet er den samme form for uoverskuelighed, der er på spil? Det mener jeg ikke, da beviset for Den Enorme Sætning – til forskel fra beviset for Firefarvesætningen – har lokal overskuelighed, mens problemet opstår i forbindelse med den globale overskuelighed, da det kan være vanskeligt – eller umuligt – at begribe et bevis af den pågældende størrelsesorden. Derfor kan der argumenteres for, at minimumskravet for global overskuelighed ikke er opfyldt. Dog er det yderst tvivlsomt, om Tymoczko i dette tilfælde ville hævde, at ingen nogensinde har set beviset. 5.2.2 TANKEEKSPERIMENT MED SIMON OG MARSBOERNE Tymoczko synes at have hentet inspiration til sit tankeeksperiment fra Hilary Putnam. 108 Hvor Putnams tankeeksperiment omhandler marsboere, der har en empirisk tilgang til løsningen af matematiske problemer, forestiller Tymoczko sig i stedet en situation, hvor marsboerne løser problemerne ved at henvende sig til matematikgeniet Simon.109 Matematik på Mars har hidtidigt udviklet sig i stil med matematikken på Jorden, men det ændrer sig drastisk med ankomsten af Simon. Til at starte med beviser Simon nye resultater på mere eller mindre traditionel vis, men efter et stykke tid begynder han at retfærdiggøre sætninger ved blandt andet at sige: “Beviset er for langt til at kunne inkluderes, men jeg har selv verificeret det”. Simon benytter først denne metode udelukkende på lemmaer, der er af kombinatorisk art, men senere udvider han brugen til også at indbefatte mere abstrakte lemmaer og tilmed beviser. Nogle gange er det ikke muligt for marsboerne at genskabe beviserne, men Simons store anseelse gør, at matematikerne fra Mars accepterer disse. Resultaterne bliver derfor inkorporeret i deres matematik under rubrikken “Simon says”. Om tankeeksperimentet skriver Tymoczko: Is Martian mathematics, under Simon, a legitimate development of standard mathematics? I think not; I think it is something else masquerading under the name of mathematics. […] The appeal “Simon says” is an anomaly in mathematics; it is simply an appeal to authority and not a demonstration.110 107

Rota (1997): 194. Se [Putnam (1986): 51-53]. 109 Se [Tymoczko (1986): 256]. 110 Tymoczko (1986): 256. Et lignende syn har matematikeren Paul Halmos, der skriver: “The present proof relies in effect on an Oracle, and I say down with Oracles! They are not mathematics”. Se [Hersh (1993): 393]. 108

33

Pointen med tankeeksperimentet er svært at overse: Tymoczko mener, at computerassisterede beviser giver computeren samme rolle, som Simon har på Mars. 111 Tymoczko skriver således, at “[…] the logic of the appeals “Simon says” and “by computer” are remarkably similar”.112 I begge tilfælde er der tale om en autoritet, og brugen af computere til at bevise sætninger repræsenterer derfor ligeledes en anomali. Tymoczko finder kun én grund til at adskille de to former for autoritet, nemlig at matematikere har stærk evidens for, at de kan stole på computeren, mens det ikke er tilfældet med Simon – computeren er ikke blot en autoritet, men derimod en berettiget autoritet.113 Ses appellen til Simon som bizar, men appellen til computere som legitim, skyldes det, ifølge Tymoczko, netop denne forskel i autoritet. Evidens for berettigelsen af computerens autoritet fås ved at observere, at computerens hardware og software fungerer som ønsket. Da denne evidens er vigtig for at etablere computerens pålidelighed, skal den efter Tymoczkos mening indgå i den filosofiske fremstilling af computerassisterede beviser.114 Konsekvenserne af dette er genstand for næste afsnit. Spørgsmålet er, hvorvidt analogien mellem “Simon says” og ”by computer” kan accepteres. Giver tankeeksperimentet et tilfredsstillende billede af computerens rolle i eksempelvis beviset for Firefarvesætningen? Jeg har et væsentligt kritikpunkt, som jeg deler med Paul Teller: Marsboerne er uvidende om, hvordan Simon kommer frem til sine resultater. Derfor er Tymoczko retfærdiggjort i sin påstand om, at der i dette hypotetiske tilfælde udelukkende er tale om en “appeal to authority”, hvorfor han med rette kan tale om en anomali. Det forholder sig derimod anderledes i tilfældet med computerassisterede beviser, hvilket Teller uddyber: [T]he theory, practical execution, and reliability of the known methods of computation executed by the computer are all open for inspection in as much detail as desired by anyone who cares to investigate. In particular, one understands very clearly the nature of the computer‟s combinatorial check.115

Udover at computere giver berettiget autoritet i modsætning til Simon, overser Tymoczko altså endnu en grund til at adskille de to former for autoritet: Det er ikke kun evidensen for pålideligheden af computere, der får matematikere til at tro på disse frem for Simon. Det er 111

Ved at lade Simon begynde med lemmaer af kombinatorisk art – som lemmaet i Appel og Hakens bevis – og derefter udvide brugen af hans evner til hele beviser, spørger Tymoczko implicit, hvor grænsen for computerassistance skal gå. Tymoczko kan således bruge et “slippery slope”-argument til at argumentere for, at hvis matematikere accepterer et bevis som Appel og Hakens, så ender de med at acceptere sætninger, hvis beviser er lavet udelukkende af computere. Jeg mener dog, at en undersøgelse af accepten af sådanne sætninger bør ske på disses egne præmisser. 112 Tymoczko (1986): 256. 113 Ibid.: 256. 114 Ibid.: 257. 115 Teller (1980): 799.

34

ligeledes den kendsgerning, at matematikerne ved hvilke programmer, computeren kører, samt kender til de algoritmer, der gøres brug af. Simons metoder er derimod skjult for alle andre end ham selv. Forskellen er efter min vurdering tilstrækkelig til, at analogien bryder sammen. Tymoczko forsvarer analogien ved at skrive, at der ikke er nogen stor formel forskel på “Simon says” og “by computer”, men er der stor formel forskel på “Simon says” og “by another mathematician”?116 I sidstnævnte tilfælde er der også tale om en form for autoritet, men det er bredt accepteret, at delegeret tillid er en vigtig bestanddel af den matematiske praksis. Matematikere ved slet og ret, at mange sætninger er beviste, fordi de har tillid til de matematikere, der har bevist sætningerne eller tjekket beviserne. Et godt eksempel på dette er Andrew Wiles‟ bevis for Fermats Sidste Sætning, som kun et fåtal matematikere har tjekket i tilfredsstillende grad, hvorfor spørgsmålet om bevisets korrekthed bygger på tillid til dette arbejde. At der ikke er nogen stor formel forskel er altså ikke nok til at retfærdiggøre analogien. Er det muligt at redde Tymoczkos tankeeksperiment ved at argumentere for, at de færreste matematikere har et tilstrækkeligt kendskab til computere og programmer til at kunne inspicere de forskellige processer i beviset, hvormed beviset på en måde er skjult for dem? Det er korrekt, at sådanne matematikere bliver nødt til at bygge deres tillid til beviset på andres udsagn, men endnu en gang er der tale om delegeret tillid, som er almindelig i den matematiske praksis. Der kan meget vel være tale om en vis form for autoritet i tilfældet med beviset for Firefarvesætningen, men at sammenligne den med Simon og marsboerne er uberettiget. At Tymoczko i 1979 følte, at analogien var berettiget, kan skyldes, at computeren på daværende tidspunkt stadig var i sin ungdom. Det samme kan formodes at have gjort sig gældende for det almene kendskab til de processer, computeren foretager. Det kan give grund til at tro, at Tymoczko har stået uforstående over for store dele af den computerassisterede bevisproces. Denne påstand bliver bakket op af hans sparsomme gennemgang af selve computerens rolle i udførelsen af beviset. 5.2.3 ÆNDRET BEVISBEGREB Ifølge Tymoczko har en accept af beviset for Firefarvesætningen store konsekvenser for bevisbegrebet, fordi en sådan accept medfører, at begrebet skal ændres.117 Årsagen skal findes i den skelnen, filosofien ofte har lavet mellem matematisk og naturvidenskabelig viden, hvilket eksempelvis kommer til udtryk i dikotomien a priori – a posteriori, hvor matematisk viden og

116 117

Tymoczko (1986): 256. Ibid.: 246.

35

naturvidenskabelig viden tilhører henholdsvis venstre og højre side.118 Tymoczko påstår, at dikotomien ikke gør sig gældende i forbindelse med Firefarvesætningen, da viden om sætningen ikke repræsenterer matematisk viden i traditionel forstand, men i stedet er en viden, der ligner den naturvidenskabelige. Konsekvensen er, at en accept af computerassisterede beviser tvinger matematikerne til at opgive eller ændre mange almindeligt accepterede opfattelser om matematik, hvor følgende bliver nævnt:119

1) Alle matematiske sætninger er kendt a priori. 2) Matematik har ikke empirisk indhold i modsætning til naturvidenskab. 3) Matematik benytter sig kun af beviser i modsætning til naturvidenskab, der benytter eksperimenter. 4) Matematiske sætninger er sikre i en grad, ingen sætning i naturvidenskab kan matche.

Tymoczko mener ikke, at sandheden om Firefarvesætningen kan være kendt a priori, da han påpeger, at “[…] it is not plausible to maintain that the 4CT is known by reason alone”.120 I stedet hviler denne viden på empiriske antagelser om computeres beskaffenhed og navnlig Appel og Hakens arbejde med computere. Hvorvidt computeren er pålidelig er op til ingeniører og fysikere at besvare ved at undersøge, hvorvidt computeren og programmet gør, hvad de skal.121 Derfor er denne viden betinget af usikkerheden i instrumenter, computer og program. Tymoczko sammenligner beviset for Firefarvesætningen med et argument i teoretisk fysik, hvor et langt argument kan lede hen mod et hovedeksperiment, der efter udførelsen bliver brugt til at fuldføre argumentet.122 Han fortsætter: It is easy to see how experiments play [a] role in the arguments of physical theory. The physical theory can predict phenomena of space-time which equipment can be designed to register. Are we to say that the computer registered a phenomenon of mathematical space? If not, how else are we to explain the role of experiments in mathematics?123

Distinktionen mellem matematik og naturvidenskab bliver således udvisket, og Tymoczko mener, at der med Firefarvesætningen er tale om en a posteriori sandhed, hvilket adskiller den fra traditionelle 118

Tymoczko (1986): 260. Tymoczko nævner andre dikotomier, som jeg ikke vil komme ind på, da han koncentrerer sig om a priori – a posteriori. 119 Ibid.: 250. 120 Ibid.: 261. 121 Ibid.: 258 122 Ibid.: 261. 123 Ibid.: 261.

36

sætninger.124 Den type begrundelse, Appel og Hakens bevis giver, er derfor a posteriori, hvorfor bevisbegrebet nødvendigvis skal ændres drastisk, hvis computerassisterede beviser accepteres.

5.3 REAKTIONER Tymoczkos artikel har været genstand for megen debat, og allerede året efter udgivelsen rettes en heftig kritik af Tymoczkos synspunkter. Det sker i Tellers artikel Computer Proof, hvor der sættes spørgsmålstegn ved begge konsekvenser, som Tymoczko udleder af accepten af beviset: at bevisbegrebet ændres, og at der introduceres empiriske eksperimenter i matematikken. Næsten 30 år senere bliver konsekvenserne endnu en gang anfægtet. Denne gang i artiklen The Epistemological Status of Computer-Assisted Proofs af Mark McEvoy. Jeg vil først analysere disse indvendinger mod et ændret bevisbegreb med henblik på at diskutere og vurdere dem for derefter at præsentere min egen løsning. Sidst vil jeg se nærmere på indvendingerne mod empiriske eksperimenter i matematikken som følge af computerassisterede beviser. 5.3.1 BEVISBEGREBET OG A PRIORI BEGRUNDELSER Som just set er det den manglende mulighed for at overskue beviset, der er afgørende for Tymoczkos argument, og det er derfor her, Teller retter sin kritik: Tymoczko tager fejl, når han tror, at overskuelighed er en nødvendig del af det at være et bevis i traditionel forstand. Manglende overskuelighed betyder slet og ret, at matematikere ikke er i stand til at verificere, at et bevis er korrekt, men det ændrer ikke ved, om der overhovedet er tale om et bevis eller ej.125 Det er ønskværdigt, at beviserne er overskuelige, da matematikere i så fald kan blive overbeviste om bevisernes korrekthed, men derudover er der ingen konsekvenser ved muligheden for uoverskuelige beviser. Teller kan derfor skrive: In particular, we may take advantage of new methods of surveying as long as these enable us to meet sensible demands on checking proofs, and a shift in the means of surveying actually used means only a shift in methods of checking proofs, not a shift in our conception of the things checked.126

Tellers strategi er altså at fjerne overskuelighedens betydning for et bevis‟ status som bevis for på den måde at argumentere for, at bevisbegrebet forbliver uændret på trods af en accept af beviset for Firefarvesætningen. 124

Tymoczko (1986): 246. Teller (1980): 798. 126 Ibid.: 798. 125

37

Teller underbygger sit argument ved at påpege, at (global) overskuelighed kommer i gradsforskelle, hvilket Bassler ligeledes har påpeget: Nogle beviser er simple og kan overskues af mange, mens mere komplekse beviser kun kan overskues af ganske få specialister inden for det pågældende matematiske område.127 Hvis Tymoczko fastholder, at overskuelighed er et karakteristikum ved traditionelle beviser, er han ifølge Teller tvunget til at indrømme, at hvad, der tæller som et bevis, enten kommer i gradsforskelle eller ændrer sig ved enhver ændring i, hvem der er bedst i matematikersamfundet.128 Førstnævnte mulighed betyder, at det, der normalt anses som et bevis, kun er det for nogle, men ikke for andre. Denne mulighed forkastes gennem Tymoczkos første krav til overskuelighed: Overskuelighed – eller mangel på samme – måles ikke i forhold til en hvilken som helst person. Den anden mulighed kan tydeliggøres med et tankeeksperiment: En stor matematiker laver et bevis for en sætning, som kun han selv kan overskue, men han dør umiddelbart efter fuldførelsen af beviset. Bliver der aldrig født et menneske med samme evner som den nu afdøde matematiker, vil beviset være uoverskueligt nu og i fremtiden. Betyder det, at der ikke er tale om et bevis i traditionel forstand? Teller vil med rette mene, at Tymoczko er tvunget til at svare ja. Da uoverskueligheden kun har konsekvenser for muligheden for at tjekke et bevis, er den eneste grund til at være skeptisk over for et computerassisteret bevis, at matematikere ikke selv er i stand til at tjekke, hvorvidt det er et fejlfrit bevis.129 Trods uoverskueligheden skriver Teller derfor: If a computer is programmed to use the same methods of proof we use, a proof that is produced would be a proof in our old sense.130

McEvoy giver Teller ret i ovenstående påstand, men McEvoys angrebsvinkel på “the argument from unsurveyability” – at et bevis kun er a priori, hvis det er overskueligt – er dog anderledes end Tellers.131 McEvoy tager udgangspunkt i den påstand, at et og samme bevis kan udtrykkes i ret forskellige notationer, hvor han bruger Louis Kauffmans omformulering af det computerassisterede bevis for Robbins Problemet som eksempel.132 Kauffman har skrevet, at matematik kan opføre sig 127

Teller (1980): 798. Et eksempel på sidstnævnte er igen beviset for Fermats Sidste Sætning. Ibid.: 798. 129 Ibid.: 800. 130 Ibid.: 800. 131 McEvoy (2008): 375. 132 Ibid.: 377. McEvoy mener, der er tale om det samme bevis – og ikke to forskellige beviser – hvis de samme slutningsrelationer indfanges på trods af forskellige notationer. I [Dawson (2006)] undersøger John W. Dawson, hvornår to beviser med logisk ækvivalente præmisser er forskellige, og ud fra hans bud er der intet til hinder for, at der kan tales om et og samme bevis i to notationer. Er der alligevel tale om to forskellige beviser, undersøger McEvoy muligheden for at redde argumentet i fodnote 4 i [McEvoy (2008): 379]. 128

38

ikke-trivielt under notationsskift, og at den pågældende omformulering gør et matematisk område tilgængeligt for matematikere, hvor det tidligere kun har været tilgængeligt for computere. 133 Det ligger til grund for McEvoys angreb på uoverskuelighedsargumentet, da det åbner muligheden for, at et bevis, der er uoverskueligt i én type notation, kan gøres overskueligt i en anden. 134 Antages der, at et sådan notationsskift resulterer i, at et computerassisteret bevis bliver overskueligt, hvor det tidligere var uoverskueligt, er der tre muligheder at overveje:135

1) Beviset er og har altid været a priori. 2) Beviset var et a posteriori bevis, men det er blevet et a priori bevis. 3) Beviset var og forbliver a posteriori.

Sidste mulighed kan hurtigt fejes af vejen, da omformuleringen giver et overskueligt a priori bevis. Den midterste mulighed virker også usandsynlig, da den eneste forskel mellem de to udformninger af samme bevis – foruden forskellen i overskuelighed – er notationen. At ræsonnementsrækken kan overskues efter notationsskiftet og dermed kan give a priori viden, viser, at slutningsrelationerne mellem præmisser og konklusion i ræsonnementsrækken er a priori. Hvis det oprindelige bevis ikke er a priori, kan den blotte oversættelse af ækvivalente symboler ikke gøre det til et. 136 Tilbage står den første mulighed, hvortil McEvoy skriver: What the possibility of reformulation shows is that what makes a proof a priori is not the contingent fact that it can be surveyed and understood by beings like ourselves. Rather, what makes a proof a priori is the fact that the inferential relations obtaining between premises and conclusion are established using only a priori rules of inference.137

McEvoy gentager altså Tellers pointe: Uoverskueligheden af et bevis har ingen konsekvens for, hvorvidt det giver a priori begrundelse eller ej. 5.3.2 DISKUSSION AF TELLER OG MCEVOY Lykkes det Teller og McEvoy at give tilfredsstillende argumenter for, at computerassisterede beviser er a priori beviser på trods af deres manglende overskuelighed? Selvom argumenterne ved første øjekast virker overbevisende, opstår der alligevel problemer, da de synes at bygge på beviser 133

Kauffman (2001): 727. McEvoy (2008): 378. 135 Ibid.: 378. 136 Ibid.: 379. 137 Ibid.: 379. 134

39

som værende fuldt ud formelle, og som nævnt udgør formelle beviser en minoritet i den matematiske praksis. Det kommer til udtryk ved, at både Teller og McEvoy fjerner kravet om enhver form for overskuelighed og dermed fjerner det menneskelige element i gennemgangen af et bevis. Beviset bliver dermed et bevis i sig selv – uafhængigt af mennesket. McEvoy skriver, at hvad der er essentielt for aprioriteten af en ræsonnementsrække, er “[…] the nature of the inferential relations holding between premises and conclusion”,138 hvilket jeg til dels giver ham ret i.139 Jeg savner dog en uddybning af den type slutningsrelationer, McEvoy omtaler, når kravet om overskuelighed er fjernet. Derudover savner jeg en uddybning af de metoder, som Teller omtaler i seneste citat af ham. Da mange beviser er uformelle, kræver bevisskridtene, at man bliver overbevist om, at det næste skridt i ræsonnementsrækken må tages. Det sker sjældent gennem udelukkende brug af eksplicitte regler for logisk slutning eller uden nogen form for forståelse af meningen af de benyttede begreber. Skridtene kan derfor ikke tages uafhængigt af mennesket, medmindre de er fuldt ud formaliserede – et uformelt bevis skal være et bevis for nogen. Kan deres argumenter reddes ved at henvise til, at de netop snakker om computerassisterede beviser, og at de derfor med rette kan snakke om formaliserede beviser? Svaret er nej, da Appel og Hakens bevis ikke er fuldt ud formaliseret, hvilket Swart påpeger.140 Det samme gør sig gældende for Hales‟ bevis for Keplers Formodning: Hales er gået i gang med det såkaldte Flyspeck Project, hvor navnet Flyspeck kommer af FPK, der er akronym for The Formal Proof of Kepler.141 Han ønsker altså at lave et fuldt ud formaliseret bevis, hvorfor det første ikke er det. Det er dog ikke ensbetydende med, at Tymoczko har ret, og at computerassisterede beviser ikke er a priori beviser. Som nævnt skriver Bassler, at det er vanskeligt at svare på, hvorledes beviset for Firefarvesætningen på nogen måde er blevet eller kan overskues, hvis både lokal og global overskuelighed er krævet, og han skriver, at dette i så fald “[…] relies on some sense in which a computer is notarized to survey proof steps or else on some (ideal) human surveyor(s) serving as proxy for the computer in some sense.142 Jeg har valgt sidstnævnte mulighed, som præsenteres nedenfor.

138

McEvoy (2008): 379. I næste afsnit forklarer jeg, hvorfor jeg kun delvist giver ham ret. 140 Swart (1980): 702. 141 Hales (2008): 1378. 142 Bassler (2006): 124. 139

40

5.4 OVERSKUELIGHED I PRINCIPPET En skelnen mellem overskuelighed i praksis og i princippet kan efter min mening give en tilfredsstillende løsning på problemstillingen.143 McEvoy nævner selv denne mulighed, men fravælger den hurtigt, da han ikke mener, at Tymoczko og flere andre vil godtage den.144 Det har han ret i, men at det er tilfældet er ikke ensbetydende med, at det er en dårlig løsning, og som jeg lige har vist, er McEvoys egen løsning ligeledes svær at acceptere. Under alle omstændigheder er det yderst svært at tilfredsstille alle i en filosofisk diskussion, hvorfor jeg mener, det er værd at undersøge de muligheder, som føromtalte skelnen åbner op for. I forhold til McEvoy skal der sættes endnu et krav til, at et bevis er et a priori bevis. Der skal således gælde:

(*) Ræsonnementsrækken er a priori, hvilket sker gennem typen af slutningsrelationer mellem præmisser og konklusion. (McEvoys krav)

(**) Beviset kan i princippet overskues. (Nyt krav)

McEvoy mener fejlagtigt, at (*) er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse, mens han samtidigt afviser (**), hvilket gør hans teori modtagelig for min netop fremførte kritik. Konsekvensen ved de to krav er, at bevisbegrebet ikke bliver ændret, selvom beviset for Firefarvesætningen ikke kan overskues i praksis. Tymoczko skriver, at “[…] a priori truths are those truths which can be known independently of any experience”.145 Forskellen mellem Tymoczkos og min egen teori opstår i tolkningen af “kan” i dette citat: Hvor Tymoczko mener, at “kan” skal forstås som “kan i praksis”, mener jeg modsat, at det skal forstås som “kan i princippet”. At et bevis er overskueligt i princippet betyder i min optik, at beviset kan tjekkes af en kompetent matematiker, der er uden nogen form for tidsbegrænsning. Matematikeren har således al den tid til rådighed, han behøver.146 Tidsbegrænsningen opstår kun i praksis, hvilket for Tymoczko betyder en livstid, mens andre skærper kravene yderligere.147 At matematikeren skal være kompetent betyder 143

[Arkoudas & Bringsjord (2007)] giver en lignende løsning, der dog fokuserer mest på formelle beviser, mens pointen med min løsning er, at den også forklarer uformelle bevisers aprioritet. 144 Foruden Kitcher bliver Saul Kripke og Michael Resnik nævnt i [McEvoy (2008): 376-377]. 145 Tymoczko (1986): 260. 146 Min “i princippet”-teori er anderledes end Jody Azzounis, der end ikke tillader beviset for Firefarvesætningen at være overskueligt i princippet. Se [Azzouni (1994): 164-169]. 147 Eksempelvis stiller Kitcher spørgsmål ved, om der kan opnås a priori viden om en sætning, hvor alle skridt i beviset ikke kan huskes – tidsbegrænsningen er således betinget af hukommelsen. Se [Kitcher (1984): 40].

41

slet og ret, at han skal have et tilstrækkeligt kendskab til det pågældende matematiske område, således at han er i stand til at følge de skridt, der er involveret i beviset. Selvom der i givet fald er tale om en idealiseret matematiker, betyder det ikke, at der er tale om overskuelighed for Gud eller marsboere, som Kripke sarkastisk foreslår.148 Tidsbegrænsningen droppes blot, så den kompetente matematiker har mulighed for at følge et bevis‟ endelige antal skridt – også selvom dette antal er meget stort. Matematikeren er således ideel, men ikke i en sådan grad, at man står uforstående over for ham. Swart bruger ligeledes “i princippet” til at argumentere imod Tymoczkos synspunkt, men da Swarts idealiserede person er “[…] a sentient being, with a brain sufficiently large”, bliver hans teori modtagelig over for Kripkes kritik.149 Hvad vindes med det ekstra krav? I forhold til Teller og McEvoy kommer det menneskelige element tilbage, hvilket er nødvendigt for at kunne forklare, hvordan det er muligt for uformelle beviser at være a priori beviser. Hvis der eksisterer en uformel, logisk vej fra A til B i et bevis, har Teller og McEvoy svært ved at forklare, hvad der retfærdiggør skridtet fra A til B, hvis beviset er et bevis uafhængigt af enhver form for overskuelighed. Det bliver løst ved, at den idealiserede matematiker kan bruge alle de accepterede uformelle og formelle matematiske argumenter til at komme fra A til B. Alle de beviser, McEvoy mener, er a priori beviser, er det således også i denne teori, men derudover er alle accepterede uformelle beviser det ligeledes, hvilket McEvoy ville have særdeles svært ved at forklare i sin teori. Den nye skelnen mellem de to former for overskuelighed er i stand til at stå imod Tellers indvending om, at overskuelighed kommer i gradsforskelle, og beviser derfor er a priori beviser for nogle, men ikke for andre, hvis overskuelighed har betydning for, hvorvidt et bevis er a priori eller ej. Det er korrekt, at overskuelighed kommer i gradsforskelle, men det påvirker kun muligheden for at overskue beviset i praksis – ikke i princippet. Et bevis kan således være overskueligt i praksis for nogle, men uoverskueligt i praksis for andre, uden at det har konsekvenser for aprioriteten af beviset. Det stemmer overens med, at visse beviser bliver omtalt af matematikere som værende beviser i traditionel forstand, selvom alle matematikere ikke nødvendigvis selv kan overskue disse beviser. Det er ligeledes muligt at forklare, hvad der sker i forbindelse med McEvoys notationsskift: I det forestillede eksempel går beviset fra at være uoverskueligt til at være overskueligt, men igen er det kun en ændring i praksis. Beviset har hele tiden været overskueligt i princippet, og det er grunden

148 149

Se [McEvoy (2008): 377]. Swart (1980): 701.

42

til, at der i begge notationer kan påstås, at beviset er et a priori bevis. McEvoy har altså ret i, at det er den første af de tre muligheder, der gælder, men forklaringen fejler. Det er vigtigt at bemærke, at denne teori om aprioritet ikke indbefatter et krav om ufejlbarlighed, selvom Kitcher mener, at enhver udlægning skal indbefatte dette.150 Mennesker er fejlbarlige, og det er den idealiserede matematiker derfor også, hvorved a priori ræsonnementerne kan indeholde fejl, uden at matematikeren opdager det. Dog mener jeg, han har a priori viden om den pågældende sætning, da han er kommet frem til sin viden gennem (fejlagtige) a priori ræsonnementer. Teorien er derfor forenelig med følgende karakteristik af Burge: That a warrant for a belief is apriori does not entail that the belief is self-evident, infallible, indubitable, innate, unrevisable, or even unrevisable by empirical considerations. Apriority concerns the nature of the rational support for an attitude, not the nature of its vulnerability to criticism.151

Desuden har stringenskravene ændret sig i løbet af matematikhistorien, og tidligere accepterede beviser er sidenhen blevet forkastet på grund af dette. Det kan tænkes, at kravene vil blive skærpet yderligere i fremtiden, hvormed nogle beviser – og de dertilhørende sætninger – ikke længere kan accepteres. Det betyder dog ikke, at beviser kun kan betegnes som mulige a priori beviser, da den idealiserede matematiker følger de stringenskrav, der tilhører det matematiske samfund på det pågældende tidspunkt. Et bevis kan således være et a priori bevis, selv hvis det senere hen bliver forkastet på grund af skærpede stringenskrav. Tymoczko kan have ret i påstanden om, at ingen har a priori viden om Firefarvesætningen, men derfra kan han ikke slutte, at beviset ikke er et a priori bevis, og at Firefarvesætningen ikke er en a priori sandhed.152 Den begrundelse, beviset giver, er a priori, hvorfor Tymoczko tager fejl, når han skriver, at “[…] the current proof is no traditional proof, no a priori deduction of a statement from premises” (Min kursivering). Hvis ingen har a priori viden om sætningen, repræsenterer Firefarvesætningen det ekstreme tilfælde på en skala, der måler, hvor mange matematikere, der har a priori viden om matematikkens sætninger. I den modsatte ende er en sætning som De Moivres Formel, som de fleste matematikere gennemgår beviset for i et grundlæggende analysekursus. Tæt på Firefarvesætningen er Fermats Sidste Sætning, som meget få har gennemgået beviset for. Hvor 150

Se eksempelvis [Kitcher (1984): 43]. Burge (1998): 3. 152 I [Burge (1997)] argumenteres der for, at det er muligt i praksis at have a priori viden om Firefarvesætningen, selvom beviset ikke kan overskues. Jeg vil dog ikke komme nærmere ind på dette, da det – i min teori – ikke har betydning for, hvorvidt et bevis giver a priori begrundelse eller ej. [Arkoudas & Bringsjord (2007)] giver ligeledes et argument for, at der kan opnås a priori viden gennem visse uoverskuelige, computerassisterede beviser. 151

43

sætningerne er placeret på skalaen, har dog ingen betydning for, hvorvidt de tilhørende beviser er a priori beviser eller ej.

5.5 COMPUTEREN – ET VÆRKTØJ TIL EKSPERIMENTER? Selvom jeg har argumenteret for, at spørgsmålet om Appel og Hakens bevis‟ overskuelighed (i praksis) ikke har indflydelse på, hvorvidt beviset er et a priori bevis eller ej, er der dog stadigt visse problemer: Som nævnt hævder Tymoczko, at der med accepten af computerassisterede beviser ændres almindeligt accepterede opfattelser om matematik med den konsekvens, at matematikken konvergerer mod naturvidenskaben. En af de ændrede opfattelser er, at matematik benytter sig af empiriske eksperimenter. Har Tymoczko ret i denne påstand, udgør det et problem, fordi det ikke stemmer overens med, at computerassisterede beviser er a priori beviser, fordi beviserne i givet fald bruger a posteriori begrundelser, da de har empirisk indhold. Dermed vil de alligevel adskille sig fra traditionelle beviser i denne forstand. Jeg vil derfor lave en nærmere undersøgelse af Tymoczkos påstand om, at der med beviset for Firefarvesætningen er tale om et eksperiment. Det bør bemærkes, at der er to måder, hvorpå der kan tales om eksperimenter i matematik, hvilket McEvoy viser med en skelnen mellem eksperiment1 og eksperiment2. Førstnævnte har jeg allerede stiftet bekendtskab med i afsnit 1.3: Eksperiment1 henviser således til beregningen af instanser af en formodning for at opnå evidens for formodningens sandhedsværdi. Computeren er et stærkt redskab til dette, men i forhold til problemstillingen er denne type eksperiment uinteressant. Som jeg har nævnt, hører fremgangsmåden under eksperimentel matematik i Bakers forstand, og i denne er computere ikke essentielle.153 Denne type eksperiment er blevet udført allerede inden opfindelsen af computeren, og fremgangsmåden med brug af computere adskiller sig ikke synderligt fra et menneskeudført eksperiment1, hvorfor computerassisterede eksperimenter1 ikke introducerer noget essentielt nyt i den matematiske praksis.154 Eksperiment2 er derimod interessant, da det er den nye form for matematisk eksperiment, Tymoczko har i tankerne. Den svarer til eksperimenter i naturvidenskaben, og i det nedenstående vil “eksperiment” henvise til eksperiment2. Én af Tymoczkos grunde til at tro, at der er tale om et eksperiment, skyldes computerassisterede bevisers fejlbarlighed, hvilket Teller uddyber:

153 154

Baker (2008): 338. McEvoy (2008): 384.

44

Since proof by computer is subject to the possibility of error, Tymoczko concludes that running the program, for example, the one that makes the combinatorial check needed for 4CT, constitutes performing a certain kind of experiment.155

Teller sætter spørgsmålstegn ved, hvorvidt en computers og en matematikers fejlbarlighed er betydeligt forskellige. Da pålideligheden af computerassisterede beviser undersøges i næste hovedafsnit, vil jeg gemme store dele af diskussionen vedrørende denne, men dog blot nævne at pointen med Tellers sammenligning er, at både matematikere og computere kan lave fejl. Teller giver et eksempel med et komplekst bevis, han gerne vil have tjekket, men da han ikke selv er i stand til det på grund af kompleksiteten, kan han enten gå til en matematiker eller (i dette specifikke tilfælde) en computerprogrammør. Som Teller skriver, gør matematikeren og computeren begge noget, som Teller ikke selv kan følge, så hvorfor udgør computerens arbejde et eksperiment, mens det ikke er tilfældet med matematikerens?156 Tymoczkos svar på dette er, at pålideligheden af beviset for Firefarvesætningen er mindre end traditionelle bevisers, men næste hovedafsnit vil vise, at det er en påstand, der kan sættes spørgsmålstegn ved. Fejlbarlighed synes derfor ikke at retfærdiggøre påstanden om matematiske eksperimenter. Som nævnt fastholder Teller, at brugen af computere til at bevise sætninger ikke har konsekvenser for beviserne i sig selv. Da Tymoczko skriver, at det er ændringen i bevisbegrebet, der gør, at appellen til computere kan kaldes for et eksperiment, og Teller ikke mener, der er sket en ændring, forkaster Teller muligheden for, at der er tale om et eksperiment.157 Teller og McEvoy forsøger begge at anfægte Tymoczkos påstand ved at vise, at eksperimenter i naturvidenskaben er så forskellige fra den type eksperiment, som Tymoczko mener, at computerassisterede beviser bidrager med. Teller skriver, at eksperimenter i naturvidenskaben bestemmer et spatiotemporalt faktum, der derefter kan generaliseres eller ej. Derfor kan tid og sted have konsekvenser for eksperimentet, mens det ikke er tilfældet, når matematikere korrekt beviser en sætning.158 I samme stil opstiller McEvoy flere karakteristika, som eksperimenter plejer at have, men som umuligt kan gælde i forbindelse med computerassisterede beviser.159 Tymoczko synes selv at være klar over, at der er store forskelle, da han skriver, at computeren – i modsætning til eksperimenter i naturvidenskaben – registrerer et fænomen i matematisk rum. Dette taler imod en ren bogstavelig læsning af Tymoczkos brug af ordet “eksperiment”. I stedet skal der 155

Teller (1980): 801. Ibid.: 801. 157 Ibid.: 801. 158 Ibid.: 801. 159 McEvoy (2008): 385. 156

45

tænkes i analogiske og funktionelle vendinger.160 Brugen af ordet kan således være brugt til at navngive en aktivitet “[…] which function within mathematics in a way analogous to the role of experiment in empirical science”.161 Denne læsning bliver støttet af tidligere omtalte citat: [T]he argument for the 4CT is very like an argument in theoretical physics where a long argument can suggest a key experiment which is carried out and used to complete the argument.162

En konsekvens af dette er, at Tymoczkos matematiske eksperimenter ikke nødvendigvis behøver at dele alle egenskaber med naturvidenskabens ditto. Det er dog problematisk, at Tymoczko med sin påstand om, at skellet mellem matematik og naturvidenskaberne bliver udvisket, lægger op til, at lighederne mellem de to typer eksperimenter trods alt er store. Da det langt fra er tilfældet, mener jeg ikke, der er tilstrækkelig grund til at tale om indførslen af eksperimenter i matematikken. Et dødsstød til analogien mellem matematikkens og naturvidenskabens eksperimenter gives efter min mening, når der ses nærmere på de argumentationstyper, der benyttes: Det naturvidenskabelige eksperiment kan ikke give et argument, der deduktivt medfører det ønskede resultat, men det sker til gengæld i forbindelse med beviset for Firefarvesætningen. Så selv uden en bogstavelig læsning synes brugen af ordet “eksperiment” at være misvisende.

5.6 DELKONKLUSION Flere af de problemstillinger, der opstår i matematikken, hvis computerassisterede beviser bliver accepteret, er blevet belyst. Jeg har forsøgt at vise, at de bekymringer, Tymoczko havde i 1979, er ubegrundede: Bevisbegrebet skal ikke ændres, da der ikke er tale om et a posteriori bevis. Browne spurgte i afsnit 3, hvorvidt et bevis er et bevis, hvis ingen (i praksis) kan tjekke det, og jeg må svare bekræftende. Ligeledes er forskellen på naturvidenskabens eksperimenter og brugen af computere i bevisprocessen så store, at distinktionen mellem matematik og naturvidenskab ikke bliver så udvisket, som Tymoczko påstår. Problemerne med både Tellers og McEvoys indvendinger samt det faktum, at min egen løsning ikke tilfredsstiller alle, vidner dog om, at brugen af computerassisterede beviser åbner for matematikfilosofiske spørgsmål, hvis svar ikke er umiddelbare.

160

Jeg er blevet inspireret til denne læsning af [Baker (2008): 333]. Baker (2008): 333. 162 Tymoczko (1986): 261. 161

46

6 PÅLIDELIGHED 6.1 INDLEDNING Computerassisterede bevisers manglende overskuelighed åbner for endnu et spørgsmål, der bør besvares: Hvis ingen matematiker i praksis kan tjekke et sådant bevis, hvordan kan de så tro på dets korrekthed? Som Tymoczko skriver, kan der sættes spørgsmålstegn ved, hvorvidt computeren og programmet vitterligt gør, hvad de skal.163 Jeg bør derfor undersøge, om computerassisterede beviser er i stand til at give en grad af pålidelighed, der kan måle sig med komplekse, traditionelle bevisers. Viser det sig ikke at være tilfældet, er der grund til at være skeptisk over for deres indførsel i den matematiske praksis. Udover en kort gennemgang af mulige computerfejl vil jeg give et konkret eksempel på, hvordan en computer kan give et fejlagtigt resultat, hvilket er sket i forbindelse med Firefarvesætningen inden Appel og Hakens bevis. Derefter vil jeg se nærmere på Lams artikel How Reliable Is a Computer-Based Proof fra 1990 med særligt fokus på hans syn på computerassisterede bevisers pålidelighed i forhold til traditionelle bevisers.

6.2 MULIGE COMPUTERFEJL I Lams beskrivelse af hvordan risikoen for computerfejl opstår, opdeler han computerfejl i to kategorier: menneskelige fejl og hardwarefejl.164 Førstnævnte er mest almindelige, og blandt disse er fejl i input, for som Lam skriver, kan der ikke forventes korrekte svar fra computeren, hvis den gives forkert data. Derudover er der programmeringsfejl: Hvis der bliver givet forkerte instruktioner til computeren, vil den efterfølgende følge disse, selv når de ikke giver mening. Der opstår dermed fejl i programmet, der kan findes og elimineres ved testning, men det er velkendt, at testning kun kan vise fejlenes tilstedeværelse og ikke modbevise deres eksistens. Denne metode gør det således ikke muligt at verificere, at programmet er fejlfrit. Et karaktertræk ved programmeringsfejl er, at de fleste af dem er reproducerbare, hvilket betyder, at samme input giver det samme output. I disse tilfælde er det fejlagtigt at køre et program flere gange for derefter at slutte gennem induktion, at programmet ikke har fejl, fordi output forbliver uændret. De programmeringsfejl, der ikke direkte laves af brugeren selv, kalder Lam systemfejl, og disse indbefatter eksempelvis fejl i operativsystemer, compilers og biblioteker.

163 164

Tymoczko (1986): 258. Følgende bygger på [Lam (1990): 9-10].

47

Hardwarefejl er derimod udenfor menneskets kontrol, og de sker oftest som følge af kosmisk stråling.165 De opstår vilkårligt og fører ofte til forkerte resultater, men da fejlene tit opdages, udgør de sjældent et problem i forhold til korrektheden af et programresultat.166 Lam skriver dog, at “[…] the unnoticed errors that change the results in some subtle and non-obvious ways are the most dangerous”.167 Selvom sådanne fejl er sjældne, er de ikke nødvendigvis ubetydelige, hvilket jeg senere vil vise i forbindelse med Cray-1A-maskinens fejlrate.

6.3 SHIMAMOTOS HESTESKO Inden Appel og Hakens bevis var Yoshio Shimamoto interesseret i Firefarveproblemet, og han havde adgang til den dengang mest kraftfulde computer, Cray Control Data 6600.168 Heinrich Heesch og Ken Dürre arbejdede sammen på at bevise Firefarvesætningen ved at teste konfigurationer for reducerbarhed, og Shimamoto tilbød dem at fortsætte dette arbejde på Craymaskinen. Efter Dürres nødvendige konvertering af sine programmer fra Algol til Fortran skete der store fremskridt. Tidligt i processen opdagede Dürre dog en fejl i et program, der betød, at testen for reducerbarhed af nogle konfigurationer var mindre pålidelig end normalt. Da konfigurationerne ville tage flere timer at gentjekke, udskød han opgaven for i stedet at nedskrive advarsler omkring disse, men advarslerne blev efterfølgende væk.169 Gennem sin forskning kom Shimamoto frem til det resultat, at hvis han kunne finde en konfiguration med bestemte egenskaber, og denne efterfølgende viste sig at være D-reducerbar, ville Firefarvesætningen følge. I september 1971 fandt han en sådan konfiguration, der senere er blevet kendt som Shimamotos hestesko. Da Shimamoto efterfølgende mødte Heesch og Haken, kunne Heesch genkende hesteskoen som én af de D-reducerbare konfigurationer, han havde på sin liste. Shimamoto bad om at få konfigurationen tjekket endnu en gang, og Dürre påtog sig opgaven.170 Da de originale udskrifter fra første tjek af konfigurationen ikke længere var tilgængelige, skulle arbejdet begynde forfra, men resultatet blev ikke som håbet: Første computerkørsel tog over en time længere end den originale og blev derefter standset. Næste kørsel tog endnu længere tid. Til den tredje kørsel fik Cray-maskinen lov til at køre over en hel weekend,

165

Szpiro (2003): 231. Lam (1990): 167 Ibid.: 9. 168 Wilson (2002): 184. 169 Ibid.: 186. 170 Ibid.: 187. 166

48

og efter 26 timer kom resultatet: Hesteskoen var ikke D-reducerbar.171 Da Dürres advarsler som nævnt var blevet væk, står det uklart, om konfigurationen var blandt dem, der var påvirket af den fundne fejl i programmet. Rygtet var dog ude, at Firefarvesætningen var blevet bevist, og rygtet blev kun forstærket, da Haken allerede dagen efter opdagelsen af konfigurationen fortalte om resultatet ved et besøg på Princeton Institute for Advanced Study.172 Episoden var ikke med til at gøre matematikersamfundet mindre skeptiske, da Appel og Haken senere præsenterede deres bevis.173

6.4 LAM OG COMPUTERRESULTATER Jeg har tidligere nævnt Lams behov for computerassistance til at vise ikke-eksistensen af en endelig projektiv plan af orden 10. Lam ønsker ikke selv at kalde det færdige resultat for et bevis, men derimod et “beregnet resultat”.174 En af grundene til dette skal findes i det faktum, at supercomputeren Cray-1A, som blev benyttet til størstedelen af søgningen, har en rate af uopdagede fejl på cirka én per tusind timer.175 Da computeren blev benyttet i flere tusinde timer, kan det forventes, at der i tidsrummet er sket fejl.176 Computersøgningen kan altså have misset en plan, selvom sandsynligheden er meget lille, hvilket er grunden til, at Lam skriver følgende om resultatets korrekthed: Notice that the assertion of correctness is not absolute, but only nearly certain, which is a special characteristic of a computer-based result. […] [E]ven if the computer played only a minor role in a proof, the result may not be absolute.177 (Lams kursivering)

Citatet indeholder to påstande: For det første påstår Lam, at computerassisterede beviser ikke nødvendigvis giver en pålidelighed, der er absolut, hvilket jeg ikke ønsker at anfægte, da jeg allerede har vist, at der er en risiko for fejl. At han modstiller dette med traditionelle bevisers pålidelighed og dermed påstår, at disse er absolut pålidelige, finder jeg derimod problematisk, og jeg ønsker i det efterfølgende at anfægte denne påstand. Tymoczko deler ikke nødvendigvis dette absolutistiske syn på traditionelle beviser, men han har alligevel større tiltro til disses pålidelighed end til computerassisterede bevisers. For at vise, at denne tiltro er ubegrundet – eller naiv, som 171

Wilson (2002): 188. Ibid.: 188. 173 MacKenzie (1999): 31. 174 Lam (1990): 8. 175 Ibid.: 8. 176 De stødte faktisk på en uoverensstemmelse i deres resultater, som de efterfølgende tilskrev en hardwarefejl. Se [MacKenzie (1999): 47]. 177 Lam (1990): 9-10. 172

49

Swart stempler den – vil jeg se nærmere på, hvordan computerassisterede beviser kan give en grad af pålidelighed, der kan måle sig med traditionelle bevisers.178

6.5 TRADITIONELLE BEVISERS PÅLIDELIGHED Lam er ikke alene i sin tro på traditionelle bevisers absolutte pålidelighed, hvilket blandt andet ses i en allerede nævnt kronik af Baas et al., hvori de skriver, at hvis noget er bevist i matematikken, så står det som en sandhed til alle tider.179 En lignende påstand fremsættes af videnskabshistorikeren Helge Kragh i [Kragh (2003): 165-166]. Problemet er, at traditionelle beviser synes at blive identificeret med formelle beviser, eller i det mindste overføres troen på absolut pålidelighed fra den formelle til den praktiserede matematik. Som Dawson påpeger, kan nye beviser for en allerede bevist sætning tjene til at styrke tiltroen til, at sætningen er sand, hvilket det absolutistiske syn ikke kan forklare.180 For at gøre op med dette syn ønsker jeg at vise traditionelle bevisers fejlbarlighed fra to sider: gennem muligheden for fejl i beviser samt stringenskravs indflydelse på, hvorvidt et bevis er korrekt eller ej. 6.5.1 FEJL I BEVISER Matematikhistorien byder på talrige eksempler på beviser, der efter nærmere undersøgelser er fundet fejlfyldte. I 1879 annoncerede Alfred Kempe, at han havde bevist Firefarvesætningen, og i elleve år var beviset accepteret, før der blev givet et lokalt modeksempel.181 Af nyere dato kan nævnes Daniel Goldston og Cem Yildirims bevis for, at der er uendelig mange primtal, hvorom der gælder, at afstanden til næste primtal er meget lille.182 Beviset blev i første omgang accepteret, men da argumentet blev brugt til at give et resultat, der slet og ret blev anset for at være for godt til at være sandt, blev der efter nærmere granskning fundet en fejl i et lemma, hvilket fik argumentet til at falde. Det mest berømte eksempel på et fejlfyldt bevis er sandsynligvis Wiles‟ første bevis for Fermats Sidste Sætning.183 De tre eksempler skal ikke blot illustrere, at fejl forekommer i beviser. De skal tilmed vise, at det ikke altid er ligetil at gennemskue, hvorvidt et bevis er korrekt eller ej. Det skyldes i høj grad de sociale processer, der sikrer pålideligheden af beviser, for som John Harrison skriver: 178

Swart (1980): 700. Baas et al. (2004). 180 Dawson (2006): 281. 181 MacKenzie (1999): 20-21. 182 Devlin (2003). 183 Til forskel fra de to første eksempler var Wiles efterfølgende i stand til at udbedre fejlen i beviset. 179

50

[T]he correctness of mainstream mathematical proof is almost never established by formal means, but rather by informal discussion between mathematicians and peer reviews of papers.184

Det er ikke svært at se, hvordan dette kan resultere i, at beviser ikke er absolut pålidelige: Matematikere kan overbevise hinanden om, at et bevis er korrekt, selvom det ikke er tilfældet, og på trods af at den matematiske litteratur kan prale af en høj grad af pålidelighed, er risikoen for uopdagede fejl til stede.185 Sker det, at et fejlfyldt bevis slipper igennem bedømmelses-processen og ender i et tidsskrift, kan læseren af beviset ubevidst se mindre kritisk på det, end tilfældet ville være, hvis personen var opmærksom på, at beviset med stor sandsynlighed indeholdt en fejl. Var hullet i Wiles‟ bevis gået ubemærket hen – hvilket ikke er et utænkeligt scenarium – kunne det fejlfyldte bevis have status som værende korrekt den dag i dag, og det samme gør sig gældende ved Goldston og Yildirims bevis. Wiles har i et interview sagt, at bare det, at kunne forklare fejlen til en matematiker, kræver, at denne bruger to til tre måneder på at studere den del af beviset i detaljer for at kunne forstå det.186 I Goldston og Yildirims bevis var fejlen gemt dybt nede i den del af beviset, Devlin karakteriserer som “tried and tested”, og som alle havde accepteret som værende korrekt.187 Der er altså en vis fejlbarlighed tilknyttet traditionelle beviser – særligt hvis beviserne er lange og komplicerede. Dette bliver bakket op af Daniel Gorenstein, der i forbindelse med klassificeringen af alle endelige, simple grupper har skrevet: [I]t seems beyond human capacity to present a closely-reasoned, several-hundred-page argument with absolute accuracy.188

Dette er et alvorligt problem for fortalerne af traditionelle bevisers absolutte pålidelighed. 6.5.2 STRINGENSKRAV Ikke helt uafhængigt af ovenstående kan jeg stille spørgsmålet: Hvis der i den matematiske praksis mestendels arbejdes med stringente – og ikke formelle – beviser, hvor stringente skal de så være? Hvilke argumentationsmåder er tilladte, og hvor store må skridtene være, der overlades til læseren? Der eksisterer en vis form for konsensus i matematikerkredse om, hvornår et bevis kan accepteres, omend denne er tilpas vag til, at der kan opstå uenigheder. Et nutidigt eksempel på dette

184

Harrison (2008): 1399. Se eksempelvis [Quinn (1995)]. 186 http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/wiles.html (set 23/9 2010). 187 Devlin (2003). 188 Detlefsen (1980): 811. 185

51

ses i forbindelse med Gregori Perelmans bevis for Poincaré-formodningen.189 Beviset har skabt store diskussioner i det matematiske samfund, hvilket ikke kun skyldes, at Perelman fra 2002 til 2003 valgte at lægge sit resultat – fordelt på tre artikler – ud på pre-print-serveren ArXiv.org, samt at han efterfølgende har takket nej til Fields-medaljen. Historien tog således en ny drejning, da den kinesiske matematiker Shing-Tung Yau i 2006 annoncerede, at to af hans studerende – Xi-Ping Zhu og Huai-Dong Cao – havde lavet det første bevis for sætningen. Med dette mente Yau vel at mærke det første stringente bevis, for som han uddybede til annonceringen, var hovedidéer i Perelmans bevis blot skitseret, og detaljer manglede mange steder. Yaus to studerende følte sig derfor nødsaget til at udskifte “[…] several key arguments of Perelman by new approaches”.190 På trods af dette var der allerede opstået konsensus om, at Perelman havde bevist sætningen: To hold eksperter på området havde således tjekket beviset uden at finde signifikante huller eller fejl. John Morgan, der tilhørte det ene hold, udtalte, at han ikke kunne se, hvad kineserne bidragede med af nytænkning i deres bevis. Hvordan kan sådan en situation opstå? Følgende citat af Harrison når ind til sagens kerne: When considering the correctness of a conventional informal proof, it‟s a partly subjective question what is to be considered an oversight rather than a permissible neglect of degenerate cases, or a gap rather than an exposition taking widely understood background for granted.191

Dette ligger til grund for debatten, der har fulgt efter annonceringen af det nye bevis: Da den eksisterende konsensus om stringenskrav er vag, bliver det et fortolkningsspørgsmål, hvornår en passende stringens i et bevis er opnået. Eller sagt med andre ord: Da stringente bevisers rolle er at overbevise, kan der være forskellige meninger om, hvornår det er sket. Zhu og Cao kunne ikke følge Perelmans argument, og deres artikel fylder omkring 300 sider, hvilket er væsentligt mere end Perelmans tre artikler tilsammen. De har altså uddybet argumenter og efter deres mening gjort beviset tilpas stringent. Eksemplet viser, hvordan et accepteret bevis for nogle kan være fejlfyldt for andre. Som tidligere nævnt har stringenskravene ændret sig over tid, og der er ingen grund til at tro, at de ikke vil ændre sig i fremtiden.192 Det skyldes blandt andet, at der ikke er megen viden om, hvordan konsensus vedrørende korrekte logiske slutninger i uformelle beviser opstår.193 Ændres kravene, kan tidligere

189

Følgende bygger på [Nasar & Gruber (2006)]. Nasar & Gruber (2006). 191 Harrison (2008): 1399. 192 Crowe (1988): 269-271. 193 Rav (1999): 29-30. 190

52

accepterede beviser blive erklæret ukorrekte. Altså knytter stringenskrav endnu en form for fejlbarlighed til traditionelle beviser.

6.6 COMPUTERASSISTEREDE BEVISERS PÅLIDELIGHED Hvad skal gælde, før vi med rette kan kalde et computerassisteret bevis pålideligt? Kai-Yee Wong peger på tre ting:194 For det første skal den underliggende algoritme i programmet være korrekt. For det andet skal programmet kodificere i maskinsprog en matematisk korrekt procedure til at bestemme et matematisk udsagn. For det tredje skal computeren køre programmet korrekt. Er disse tre krav opfyldt, fås det ønskede, nemlig at computeren kører et program, der producerer et resultat, hvormed det pågældende matematiske udsagn er sandt eller falsk. I tilfældet med beviset for Firefarvesætningen er den benyttede algoritme til at tjekke reducerbarhed simpel, hvorfor det ikke bør volde store problemer at tjekke korrektheden af den. 195 Andre computerassisterede beviser kan indeholde komplekse algoritmer, der er mere tidskrævende at tjekke, men ikke desto mindre bør dette krav være uproblematisk i forhold til et krav om korrektheden af algoritmer benyttet i traditionelle beviser. De næste to krav er mere krævende: Som gennemgangen af mulige computerfejl har vist, er der flere faldgruber, man skal være opmærksomme på. For at mindske forekomsten af programmeringsfejl kan flere programmer til udførelse af samme job programmeres uafhængigt af hinanden. Dette skete i forbindelse med Appel og Hakens bevis og ligeledes i forbindelse med et andet bevis for Firefarvesætningen, der blev udgivet i 1994 af Neil Robertson et al.196 Selvom algoritmen som nævnt er simpel, var det en krævende opgave for Appel og Haken at implementere den, fordi programmerne skulle være så effektive som mulige for at kunne tjekke reducerbarheden af konfigurationer med 13 og 14 ringe.197 Den uafhængige programmering var med til at sikre, at programmeringsfejl blev holdt på et minimum. Hos Lam blev søgningen efter planer delt i tilfælde, der hver havde sit eget program. Samtidigt var der et program, der var langsommere, men som var i stand til at kunne håndtere alle tilfælde. På grund af den begrænsede hastighed blev sidstnævnte program kun brugt til at tjekke udvalgte tilfælde, hvorved der ikke skete et dobbelttjek af alle tilfælde, men trods alt en vis ekstra sikring af, at søgningen forløb uden fejl.198

194

Følgende bygger på [Wong (2007): 6]. Swart (1980): 703. 196 Ibid.: 698; Robertson et al. (1996): 21. 197 Swart (1980): 703. Lams programmer var ligeledes komplicerede for at øge deres effektivitet. Se [Pollack (1997): 5]. 198 Lam (1990): 11. 195

53

Ved ikke blot at programmere flere programmer uafhængigt af hinanden, men ligeledes benyttet forskellige compilers og operativsystemer i hele processen, mindskes risikoen for systemfejl. Køres programmerne tilmed på forskellige computere, mindskes risikoen samtidigt for, at fejl i hardwarekomponenter påvirker resultatet, hvormed det bliver mere robust.199 Programmer kan deles via eksempelvis ftp-servere, hvilket skete i forbindelse med 1994-beviset for Firefarvesætningen, men på trods af dette fjernes risikoen dog ikke helt, hvilket Robertson et al. tilkendegiver: We have not proved the correctness of the compiler we compiled our programs on, nor have we proved the infallibility of the hardware we ran our programs on. These have to be taken on faith, and are conceivably a source of error.200 (Min kursivering)

Er de tre krav indfriet, må pålideligheden af computerassisterede beviser dog betegnes som værende stor.

6.7 TRADITIONELLE OG COMPUTERASSISTEREDE BEVISER Jeg har forsøgt at vise, at traditionelle beviser ikke er absolut pålidelige, mens der kan tages visse forholdsregler for at sikre en meget høj pålidelighed af computerassisterede beviser. Med dette in mente kan jeg stille spørgsmålstegn ved, om traditionelle beviser er mere pålidelige end computerassisterede beviser, som både Lam og Tymoczko påstår. Som nævnt skønner Lam, at der i deres computerkørsel ville opstå cirka én fejl per 1000 timer. Selvom risikoen for fejl dermed er til stede, kan den betegnes som minimal. Er det ikke mere sandsynligt, at en matematiker laver en regnefejl – selv med en beregning, der er betydelig mindre?201 Følgende citater fra henholdsvis Swart, Wilson og Robertson et al. er med til at underbygge denne pointe: Computers do not get tired and almost never introduce errors into a valid implementation of a logically impeccable algorithm.202 A computer that performs extensive but completely routine tasks may certainly be considered at least as reliable as a human who checks by hand a proof that is long and complicated or breaks down into a large number of special cases.203 [T]he chance of a computer error that appears consistently in exactly the same way on all runs of our programs on all the compilers under all the operating systems that our programs run on is

199

En kort gennemgang af begrebet robusthed gives i [Calcott (2010)]. Robertson et al. (1996): 18 og 24. 201 Et eksempel på dette fra matematikhistorien leveres af Pierre De Fermat, der øjensynligt lavede en simpel regnefejl, der fik ham til at overse, at det femte Fermattal er sammensat. Se [Fletcher (1991): 349]. 202 Swart (1980): 700. 203 Wilson (202): 219. 200

54

infinitesimally small compared to the chance of a human error during the same amount of case checking.204

Swart finder computerdelen af Appel og Hakens bevis mere pålidelig end den del, der er lavet på traditionel vis. Nærmere bestemt er han usikker på, hvorvidt discharging-metoden har fundet alle uundgåelige konfigurationer.205 Dette er med til at eksemplificere, at der i matematikerkredse langt fra er konsensus om, at traditionelle beviser er mere pålidelige end computerassisterede. Selvom implementeringen af algoritmer kan være krævende, hvilket forøger risikoen for fejl i programmeringsprocessen, gør Swart opmærksom på, at dette ikke er andet end “[…] errors of logic, no different in essence from errors that crop up in proofs that have nothing to do with computers”.206 Derfor er det svært at pege på dette som en grund til, at computerassisterede beviser er mindre pålidelige end traditionelle beviser. For at vende tilbage til spørgsmålet stillet af Tymoczko: Hvordan ved matematikere, at computer og program gør, som de skal? Det bygger på empiriske erfaringer, der siger, at disse beviser i høj grad er pålidelige. Er det ikke også tilfældet, når matematikere har et komplekst traditionelt bevis, de ikke umiddelbart selv kan tjekke? Hvorfor mener matematikere, at Fermats Sidste Sætning er bevist, når kun et fåtal er i stand til at tjekke hele beviset? Det skyldes en stor tillid til dem, der har tjekket beviset, og tilliden er opstået ved at erfare, at disse matematikere i deres hidtidige arbejde har været pålidelige. Der synes ikke at være den store formelle forskel mellem disse to situationer. En grund til at nogle matematikere alligevel ikke har stor tillid til de computerassisterede beviser, kan skyldes, at beviserne ikke er blevet tjekket på samme måde som traditionelle beviser. I det nedenstående vil jeg derfor se, hvorvidt det er muligt at lave et tjek af computerassisterede beviser, der kan minde om bevistjek i traditionel forstand.

6.8 MCEVOYS TO BUD 6.8.1 OPDELING I OVERSKUELIGE DELE McEvoy giver to bud på, hvorledes det er muligt at tjekke beviser for fejl, selv hvis de er uoverskuelige: Beviset kan enten deles op i overskuelige dele, der derefter kan tjekkes hvert for sig af en gruppe matematikere, eller andre computere kan tjekke beviset.207 Et oplagt problem ved førstnævnte metode er, at ingen matematiker opnår global overskuelighed ved kun at tjekke en del 204

Robertson et al. (1996): 24. Swart (1980): 700. 206 Ibid.: 703. 207 McEvoy (2008): 381. 205

55

af beviset. McEvoy er selv klar over dette, men nøjes med at koble problemet til debatten om a priori – a posteriori, hvorfor han ikke synes at indse, at fejl i beviser ikke nødvendigvis er af lokal karakter. Dette kan undskyldes med, at der i tilfældet med beviset for Firefarvesætningen er en ret isoleret del (testen for reducerbarhed af de mange konfigurationer), der giver uoverskueligheden og derfor skal opdeles. I andre tilfælde kan der dog ligeledes være fejl i beviset på tværs af de forskellige dele, og som Swart påpeger, er det derfor vigtigt, at forbindelsen mellem de forskellige dele ligeledes bliver tjekket.208 Delene kan således ikke altid tjekkes helt uafhængige af hinanden, som McEvoy ellers hævder. Et andet problem er, at metoden er svær at realisere i praksis, da de færreste matematikere er villige til at påtage sig det store arbejde, det er at tjekke selv dele af et computerassisteret bevis. 209 Metoden blev forsøgt benyttet i forbindelse med beviset for Keplers Formodning, men som tidligere nævnt var 12 bedømmere ikke i stand til at tjekke beviset på fire år, hvorefter de opgav arbejdet. Det er derfor kun i princippet, at metoden kan benyttes, hvis beviset har en vis størrelse. Derimod viser McEvoys andet bud sig at være mere rimeligt, hvilket bliver uddybet nedenfor. 6.8.2 COMPUTERTJEK AF COMPUTERASSISTEREDE BEVISER210 Det er muligt at vise et computerassisteret bevis‟ høje pålidelighed ved at benytte en såkaldt bevisassistent, som er et computerprogram, der kan tjekke formaliserede beviser. Det lykkedes Georges Gonthier at få et program til at gøre netop dette ved beviset af Robertson et al.211 Gonthiers bedrift har fået Devlin til at udmelde, at den sidste tvivl om beviset nu er fjernet. 212 Jeg har tidligere været inde på, at Appel og Hakens bevis ikke er helt formaliseret, og det er heller ikke tilfældet med 1994-beviset. Derfor foretog Gonthier først denne formalisering, hvor han ikke bare formaliserede programkoden, men hele beviset.213 Det er altså ikke 1994-beviset, men en formaliseret udgave af det, der er blevet tjekket.

208

Swart (1980): 705. McEvoy (2008): 381. 210 Af pladshensyn kan jeg ikke gå i detaljer i spørgsmålet om formel verifikation, der har været heftigt debatteret. Jeg vil dog nævne, at Pollack giver gode argumenter for, at De Millo et al. ikke har ret, når de skriver om formel verifikation, at “[…] one either believes them blindly as a pure act of faith, or not at all”. Se [Pollack (1997): 4] og [De Millo et al. (1979)]. 211 Se [Gonthier (2008)] for en kort gennemgang af fremgangsmåden. For en mere udførlig gennemgang henvises til [Gonthier (uudgivet)]. 212 Devlin (2005). Med “beviset” peger Devlin ikke på et bestemt bevis. Derimod mener han, at matematikere nu er sikre på, at sætningen er bevist med et korrekt bevis. Da formålet med afsnittet er at vise den høje pålidelighed af computerassisterede beviser generelt, er det dog uproblematisk, at der ikke er tale om Appel og Hakens bevis. 213 Gonthier (2008): 1382. 209

56

At benytte et computerprogram til at tjekke et andet computerprogram synes at være det samme som at bekæmpe ild med ild. Der er dog visse faktorer, der gør, at situationen er lidt mere nuanceret. Pollack skriver følgende: [M]y favorite technique for believing the correctness of a simple proof checker is to read and understand the program in light of your knowledge of the logic being checked and the semantics of the metalanguage in which the checker is written.214

Hvis både logikken i beviset og metasprogets semantik er tilpas simpel, er det, der skal læses og forstås, ikke længere eller sværere at forstå end et traditionelt bevis.215 Alle beregninger skal således ikke tjekkes, da det er bevisassistentens job. Troen på korrektheden af beviset bliver derfor indirekte: “[R]ather than using personal intuition to believe a proof, you use personal intuition to believe a mechanism to check proofs”.216 I forbindelse med Gonthiers tjek af beviset blev der benyttet en bevisassistent kaldet Coq, der er en almen bevisassistent. Det er altså ikke et ad hoc-program, der tjekker beviset, og af samme grund er programmet afprøvet mange gange til forskellige opgaver, hvorfor dets pålidelighed er stor. Som Pollack gør opmærksom på, kan sådanne almene programmer ligeledes være tjekket af eksperter, hvilket kun øger pålideligheden.217 Matematikere skal stadigvæk være sikre på, at computeren kører bevisassistenten korrekt, og dette gør, at ild-metaforen måske alligevel kommer til sin ret. Det er ikke muligt at verificere, at bevisassistenten gør, som den skal i en gennemkørsel.218 Ved tests kan matematikere dog sikre, at risikoen for, at den ikke gør, er meget lille. Som Gonthier skriver om de benyttede hardware- og softwarekomponenter: All of them come off-the-shelf, fulfill a more general purpose, and can be (and are) tested extensively on numerous other jobs, probably much more than the mind of an individual mathematician reviewing a proof manuscript could ever be.219

Matematikere kan med andre ord ikke sikre, at det computerassisterede bevis er korrekt, men dog at det er meget pålideligt.

214

Pollack (1997): 2. Ibid.: 2-3. 216 Ibid.: 3. 217 Ibid.: 3. 218 Det er netop problemet med formel verifikation. 219 Gonthier (uudgivet): 2. 215

57

6.9 DELKONKLUSION Jeg har forsøgt at vise, at pålideligheden af et computerassisteret bevis kan være meget stor, hvis de rigtige forholdsregler er taget. Selv uden et computertjek af et computerassisteret bevis er pålideligheden høj. Da jeg samtidigt har vist, at komplekse, traditionelle beviser ikke er absolut pålidelige, er den skepsis, Tymoczko og Lam præsenterer, ubegrundet. Computerassisterede beviser klarer derfor frisag, hvis de bliver målt på pålidelighed alene. Hvis matematikere har mere tillid til traditionelle beviser end computerassisterede beviser, og dette kun skyldes spørgsmålet om bevisernes pålidelighed, bygger det på et mere eller mindre irrationelt grundlag. Eksemplet med Shimamotos Hestesko viser dog, hvordan mistillid til computerassisterede beviser kan opstå. At episoden resulterede i en øget skepsis over for Appel og Hakens bevis peger samtidigt på, at når en sådan mistillid først er opstået i det matematiske samfund, så har den svært ved at forsvinde igen. Selvom Lam fejlagtigt anser traditionelle bevisers pålidelighed for at være større end computerassisterede bevisers, forhindrer det ham ikke i at skrive: The advent of computers has provided mathematicians with a very powerful tool. It enables us to tackle complex problems. The slight uncertainty inherent in a computer-based proof should not deter us from using it.220(Min kursivering)

Lam mener altså, at computerassisterede beviser har deres plads i matematikken. Jeg spørger dog til, hvorvidt beviserne kan accepteres som en integreret del af den matematiske praksis, og jeg bør ikke ignorere, at måden, hvorpå der skabes tillid til traditionelle beviser, er meget anderledes, end tilfældet er ved computerassisterede beviser. I første tilfælde opstår tilliden enten direkte ved at subjektet A selv læser et bevis og bliver overbevist om dets korrekthed, eller indirekte ved at andre subjekter læser beviset og bliver overbeviste om korrektheden, hvorefter subjekt A ligeledes bliver overbevist, hvorved der er tale om delegeret tillid. Ved computerassisterede beviser er tilliden derimod altid indirekte, og tilliden er ikke delegeret til et subjekt, men til et objekt. Selvom den formelle forskel måske ikke er stor, er den reelle, og jeg bør i det mindste være opmærksom på denne forskel i den endelige konklusion.

220

Lam (1990): 12.

58

7 MATEMATISK FORKLARING 7.1 INDLEDNING Næste skridt i undersøgelserne viser sig ved at indse, at bevisets funktion i matematikken ikke udelukkende består i at etablere sætningers korrekthed. Et sådan naivt syn overser et vigtigt faktum: Ofte ønsker den praktiserende matematiker ikke blot at blive overbevist om, at en sætning er korrekt, men ligeledes at indse hvorfor det er tilfældet. Der findes mange eksempler på beviser, der ikke opfylder sidstnævnte ønske, og Dawson peger på dette som én af grundene til, at matematikere genbeviser sætninger.221 Det gentages af Corfield, der skriver, at “[…] mathematicians pride themselves on producing beautiful, clear, explanatory proofs, and devote much of their effort to reworking results in conceptually illuminating ways”.222 Det leder hen mod en ønsket egenskab ved beviser, nemlig at de giver matematisk forklaring. At et bevis er forklarende betyder netop, at det viser, hvorfor den dertilhørende sætning er korrekt.223 Jeg vil kort beskrive den rolle, som matematisk forklaring har spillet i matematikfilosofien og i denne forbindelse komme ind på, hvordan tidligere teorier har fejlet i mødet med den matematiske praksis. Da jeg mener, at Bakers teori om matematiske tilfældigheder og disses forbindelse med matematisk forklaring giver et passende teoretisk grundlag for at kunne forstå computerassisterede bevisers forklaringsevne eller mangel på samme, vil jeg efterfølgende gå i detaljer med denne.

7.2 MATEMATISK FORKLARING I MATEMATIKFILOSOFIEN Hidtidige matematikfilosofiske undersøgelser af matematisk forklaring har været få, hvilket skyldes tidligere tiders fokus på grundlaget for matematikken, der, som tidligere nævnt, gjorde flere aspekter af den matematiske praksis irrelevante. Mancosu uddyber: Part of the reason [that mathematical explanation escapes traditional foundational work] is that the subject area is admittedly vague, and consequently difficult to treat with precise mathematical or logical tools. Moreover, it does not bear directly upon some of the traditional foundational concerns, such as certainty, which have dominated much of philosophy of mathematics.224

221

Dawson (2006): 275. At matematikere genbeviser sætninger ville i øvrigt være et mærkværdigt fænomen, hvis førnævnte naive syn var fremherskende. 222 Corfield (2004): 38-39. 223 Forklaring i denne forstand er tæt forbundet med matematisk forståelse, hvorfor næste hovedafsnit skal ses i forlængelse af indeværende afsnit. 224 Mancosu (2001): 97.

59

Det tidligere omtalte skift i matematikfilosofien resulterede dog i, at der blev sat fokus på matematisk forklaring, og siden 1970‟erne har flere artikler vedrørende emnet set dagens lys. I 1978 gav Mark Steiner sin filosofiske udlægning af begrebet, og inden da havde Kitcher i 1975 præsenteret sin, der efterfølgende blev underbygget gennem en årrække. 225 De står i dag som de mest kendte, men begge er blevet mødt af en kritik, der efter min mening gør dem ude af stand til at levere en tilfredsstillende teori om matematisk forklaring. Johannes Hafner og Mancosu viser således, hvordan begge teorier fejler i mødet med den matematiske praksis: I Steiners teori fremsættes et krav til, hvornår et bevis er forklarende, men kravet er ikke opfyldt i forbindelse med Ernst Kummers kriterium for konvergens, selvom kriteriet er anerkendt i den matematiske praksis som værende forklarende.226 Jeg vil minde om citatet af Maddy i afsnit 4.4, hvori der står, at hvis filosofien kommer i strid med succesfuld matematisk praksis, må filosofien bøje sig. Samme skæbne lider Kitchers teori, da Hafner og Mancosu benytter den i forbindelse med tre forskellige bevismetoder for Real Closed Fields og kommer frem til følgende: This result clearly conflicts with mathematical practice since Kitcher‟s model ends up positing as the best systematization one which in practice does not enjoy the properties of explanatoriness that Kitchers model would seem to bestow upon it.227

Eksemplerne understreger, hvor stor betydning den matematiske praksis har i vurderingen af matematikfilosofiske teorier.

7.3 BAKER OG MATEMATISKE TILFÆLDIGHEDER Som titlen på artiklen Mathematical Accidents and the End of Explanation antyder, nærmer Baker sig matematisk forklaring gennem såkaldte matematiske tilfældigheder.228 Han tilkendegiver, at sprogbrugen allerede fra start kan resultere i skepsis: dels synes denne terminologi ikke at spille nogen rolle i den matematiske praksis; dels bliver tanken ledt hen imod, at noget i matematikken kunne være anderledes, end det er, hvilket strider imod de fleste matematikfilosofiske syn, hvor grundlæggende matematiske påstande er korrekte af nødvendighed.229 Baker håndterer denne indledende skepsis ved først at fokusere på det beslægtede begreb matematisk sammenfald 225

Mancosu (2008): 143. Se teorierne i [Steiner (1978)] og [Kitcher (1975)]. Ibid.: 143. 227 Fafner & Mancosu (2008): 166. 228 I det efterfølgende bliver “tilfældighed” og “tilfælde” ikke brugt synonymt. Tilfældighed er en oversættelse af det engelske ord accident, mens tilfælde er en oversættelse af cases. Den danske oversættelse passer dog overraskende godt til Bakers teori, da en matematisk tilfældighed er større, jo flere tilfælde, den indeholder. 229 Baker (2009): 140. Det kan eksempelvis ikke være anderledes, at 7 er et primtal. 226

60

(coincidence), der benyttes som springbræt til at give en definition af matematiske tilfældigheder. Begge termer skal have betydninger, der til en vis grad er analoge til sammenfald og tilfældigheder i den virkelige verden.230 For at give mening til sammenfald i matematisk forstand, finder Baker det vigtigt at finde en egnet analog til “manglende kausal forbindelse”. Det skyldes, at han i litteraturen finder en definition af sammenfald i den virkelige verden, der – ved netop at angive disse som begivenheder, hvis enkeltdele er kausalt uafhængige af hinanden – indikerer, at uforklarlighed er en underliggende, essentiel egenskab ved disse. At sige at et sammenfald sker “uden nogen grund” er nemlig ikke at sige, at der ikke er en årsag, men derimod at der ikke er nogen kausal historie, som peger på en dybere grund, der kan forklare, hvorfor det sker.231 Sammenfald og uforklarlighed synes derfor at være tæt forbundne, og da forklaring er et anerkendt aspekt ved den matematiske metodologi, ser Baker dette som en mulig vej til at give matematisk sammenfald en passende definition. Han henter støtte til denne fremgangsmåde ved matematikeres egne refleksioner over sammenfald, som han eksempelvis finder på Wikipedia, hvor der står, at et matematisk sammenfald opstår, når to udtryk viser en tæt lighed, der mangler en teoretisk forklaring.232 For at kunne underbygge, hvad der nærmere bestemt menes med denne mangel, tyr Baker til en analogi mellem årsagsforhold i virkelige sammenfald og beviser i matematiske, der foreslår, at matematiske sammenfald bliver karakteriseret som påstande, hvis separate dele kræver separate beviser. Baker skriver derfor: From a structural perspective, therefore, the crucial feature of any proof of a mathematical coincidence is its disjointness. It is this disjointness which prevents the explanation of the two components from constituting an explanation of the coincidence as a whole.233 (Bakers kursivering)

Dette synes at give den ønskede matematiske analog til “manglende kausal forbindelse”: Hverken i det virkelige eller matematiske sammenfald kan det forklares, hvorfor delene netop falder sammen, som de gør.234

230

Af pladshensyn er det ikke muligt at inddrage alle Bakers overvejelser. I stedet fremdrages kun de vigtigste. Baker (2009): 141. 232 Ibid.: 142. 233 Ibid.: 142. Hvor sammenfald i den virkelige verden omhandler dele af en begivenhed, er der i matematikken tale om komponenter. Ved eksempelvis lighed er det let at udvælge de to komponenter i sammenfaldet, da de befinder sig på hver sin side af lighedstegnet. Da teorien om sammenfald som nævnt blot fungerer som springbræt, dvæler Baker ikke nærmere ved, hvorvidt der altid er en sådan klar opdeling af komponenterne. 234 Marc Lange kommer frem til en lignende karakteristik af matematiske sammenfald i [Lange (2010)]. Deres definitioner er dog en anelse forskellige, da Bakers fokus er på forklaringer, mens Langes er på selve sammenfaldene. 231

61

Næste skridt er at lave en passende kobling mellem sammenfald og tilfældigheder. Den filosofiske litteratur forbinder ofte tilfældigheder med tilfældige generaliseringer, hvorfor Baker nu fokuserer på disse.235 Han ønsker at behandle dem som universelle sammenfald, hvor den eneste væsentlige forskel fra tidligere nævnte sammenfald er antallet af begivenheder eller fænomener, der sammenfalder: Hvor sammenfald typisk omhandler partikulære kendsgerninger, hvor to fænomener deler en slående lighed, er tilfældige generaliseringer universelle i form, og der er ingen øvre grænse for, hvor mange fænomener, der er involveret.236 Han skriver videre: Mapping all this into the mathematical context, accidental mathematical generalizations will be generalizations that lack any unified proof. Such generalizations, even when provable, are thus inexplicable, and they share this core property with mathematical coincidences. One standard way in which a mathematical generalization may lack any unified proof is for it to be verifiable only on a case-by-case basis.237 (Bakers kursivering)

Det leder ham frem til følgende definition: Et universelt, sandt matematisk udsagn er tilfældigt, hvis det mangler et forenet, ikke-disjunkt bevis, hvor disjunktheden af beviset er målt ved antallet af distinkte tilfælde, der skal tjekkes separat.238 I manglen på et sådant bevis vil de matematiske udsagn, der i givet fald er tilfældigheder, være uforklarlige, hvad jeg ønsker at uddybe. Med et universelt, sandt matematisk udsagn, der mangler et forenet, ikke-disjunkt bevis, er en matematiker ude af stand til at påpege en dybere grund, der kan forklare, hvorfor udsagnet som helhed er korrekt, da han kun har “[…] a “bottom-up” explanation of its components as opposed to a “top-down” explanation of the whole”.239 Han ved derfor, at udsagnet er korrekt, men ikke hvorfor, hvilket netop er karakteristisk for et bevis, der ikke forklarer. Citatet af Stewart i afsnit 3.2 taler for, at disjunktheden medfører manglende forklaring: Det er den manglende “top-down”forklaring, Stewart efterlyser ved Appel og Hakens bevis. Tilmed bruger han netop ordet “sammenfald” til at beskrive bevisets disjunkthed og mangel på en overordnet struktur.240 Bakers tætte forbindelse mellem manglende forklaring og tilfældigheder finder yderligere berettigelse:

235

Baker (2009): 142. Ibid.: 143. 237 Ibid.: 143. 238 Ibid.: 148. Baker giver kun en tilstrækkelig betingelse for, at et matematisk udsagn er en tilfældighed, da han vedkender, at der er andet end blot disjunkthed, der kan gøre et bevis uforklarende. Jeg vil dog ikke følge dette spor, for som det ses snarest, er disjunktheden tilstrækkelig til indeværende undersøgelser. Derudover åbner han muligheden for at se på andre aspekter end det blotte antal af distinkte tilfælde i vurderingen af, hvor stor en tilfældighed et matematisk udsagn er. Eksempelvis kan muligheden for at gruppere tilfældene muligvis gøre et udsagn mindre tilfældigt. I det efterfølgende vil jeg dog vurdere tilfældigheden ud fra antallet af distinkte tilfælde alene. 239 Ibid.: 148. 240 Wilson (2003): 220. 236

62

[M]y account of mathematical accidents links them to a feature of proofs, namely disjunctiveness, which tends to be regarded by mathematicians as undesirable. The general preference is for “top-down” proofs rather than “brute force”, case-by-case verifications. […] [T]he preference for less disjunctive proofs is often expressed by citing the greater explanatory power of the “better” proof.241 (Min kursivering)

Alt i alt lykkes det altså Baker at forbinde matematisk tilfældighed og manglende forklaring. 7.3.1 DISKUSSION AF BAKERS TEORI Ud fra det foregående giver det mening at tale om matematiske tilfældigheder, og i forlængelse heraf vil jeg undersøge, hvorvidt teorien er tilfredsstillende. Jeg har tidligere beskrevet, hvordan teorierne af Steiner og Kitcher har problemer i mødet med den matematiske praksis, men hvordan klarer Bakers sig? Som seneste citat viser, finder Baker støtte til sin teori i den matematiske praksis. En klar fordel ved teorien er, at den har som konsekvens, at tilfældighed kommer i gradsforskelle: Det mest optimale – altså det mest forklarende – bevis for en given sætning kan være mere eller mindre disjunkt, hvilket er bestemmende for graden af tilfældighed og dermed også graden af bevisets forklaringsevne.242 Forklaringsevnen er derfor ikke et spørgsmål om enten-eller, hvad der stemmer overens med det umiddelbare syn på beviser: Et bevis kan således være mere forklarende end et andet, uden at det nødvendigvis betyder, at det andet absolut ingen forklaring giver. Samtidigt må eksempelvis beviset for, at der kun er fem platoniske polyedre, betegnes som værende forklarende, selvom det er delt op i fem tilfælde, hvilket skyldes, at antallet af tilfælde trods alt er lille. Da Baker tilmed kun giver en tilstrækkelig betingelse for, at et bevis har manglende forklaringsevne, indbefatter teorien ikke påstanden om, at den kan redegøre for grunden til denne mangel hos alle beviser, der bliver anset for at være ikke-forklarende af den praktiserende matematiker. Disjunkthed er blot et parameter blandt mange, der skal undersøges i vurderingen af et bevis‟ forklaringsevne, hvorfor teorien blot kan redegøre for, hvorfor nogle beviser ikke er forklarende. Teorien kan dermed stå imod indvendingen om, at der er mange ikke-disjunkte beviser, der ikke er forklarende. Jeg har dog en anden indvending mod teorien, men for at kunne forstå denne, bør jeg tydeliggøre sammenhængen mellem tilfældigheder og manglende forklaring. Som allerede nævnt er Baker kommet frem til følgende definition: 241

Baker (2009): 149-150. Ibid.: 149. Når jeg i det efterfølgende taler om ikke-forklarende beviser, er der således tale om beviser, der har en lav grad af forklaringsevne. 242

63

(*) Hvis der mangler et forenet, ikke-disjunkt bevis, så er et universelt, matematisk udsagn tilfældigt.

Derudover giver teorien implikationerne:

(**) Hvis et universelt, matematisk udsagn er tilfældigt, så er det mest optimale bevis ikke-forklarende.

(***) Hvis det optimale bevis er ikke-forklarende, så er alle andre beviser for samme matematiske udsagn ikke-forklarende.

Indvendingen har sit udspring i, at forklaringsevnen for et givent bevis bliver vurderet ud fra en egenskab ved sætningen, mens det eksempelvis i Steiners teori er ud fra en egenskab ved selve beviset. Egenskaben ved sætningen er ganske vist bestemt ud fra det optimale bevis, men Bakers teori kan kun forklare et bevis‟ manglende forklaringsevne, så længe den tilhørende sætning er en matematisk tilfældighed. Er en sætning en matematisk tilfældighed, forklarer (*)-(***), hvorfor alle beviser for sætningen er ikke-forklarende. Finder matematikere derimod et bevis, der er forklarende, og som derfor gør, at sætningen ikke længere med rette kan kaldes en tilfældighed, siger teorien intet om, hvorfor de tidligere beviser ikke er forklarende. Baker kan kun til dels imødekomme indvendingen ved at se tilfældighed som et teori-relativt begreb.243 Hvis sætning A med bevis X er en tilfældighed i teori Q, men ikke i teori R, hvor der er fundet et forklarende bevis Y, så kan den manglende forklaringsevne hos bevis X stadigvæk forklares med, at A er en tilfældighed i teori Q. Der er dog intet til hinder for, at Y tilhører den samme teori som X. I så fald kan en mulig imødekommen af indvendingen gå på, at A med bevis X bliver “set” som en tilfældighed, selvom den ikke er det. Med andre ord bliver tilfældighed et sætnings-relativt begreb, hvormed (*)-(***) skal udskiftes med følgende:

(^) Hvis bevis X er et uforenet, disjunkt bevis, så er et universelt, matematisk udsagn tilfældigt i forhold til bevis X.

243

Baker (2009): 153.

64

(^^) Hvis et universelt, matematisk udsagn er tilfældigt i forhold til bevis X, så er bevis X ikke-forklarende.

På trods af dette vil jeg i det nedenstående benytte Bakers teori og ikke den sætnings-relative udgave. Grunden er, at indvendingen i praksis først er relevant, når eller hvis der bliver fundet forenede, ikke-disjunkte beviser for de sætninger, der ellers er blevet anset for at være tilfældigheder. Overvejelser om dette gøres nedenfor.

7.4 MATEMATISKE TILFÆLDIGHEDER OG COMPUTERASSISTEDE BEVISER Det karakteristiske ved de behandlede computerassisterede beviser er, at der er et stort antal tilfælde, der skal tjekkes én efter én. Der er derfor grund til at tro, at de pågældende sætninger – såsom Firefarvesætningen – er matematiske tilfældigheder. Indtil det modsatte er (be)vist, kan jeg derfor benytte Bakers teori, der giver indblik i, hvorfor disse beviser ikke er forklarende: Matematikere må nøjes med “bottom-up”-forklaringer. En af de store fordele ved brugen af computere er netop, at de er effektive i situationer, hvor der er behov for “brute force” til at tjekke mange tilfælde, hvorfor Baker andetsteds skriver, at det kan tænkes, at både tilflugten til computere og uforklarlighed er symptom på samme underlæggende træk, nemlig disjunkthed.244 Interessant nok har Haken overvejet, hvorvidt Firefarvesætningen er det, Baker kalder en matematisk tilfældighed. Haken forestiller sig således formodninger, hvor “[…] even the shortest proof […] requires a correspondingly very large number of case distinctions”.245 Som allerede nævnt blev Firefarvesætningen først bevist ved at tjekke 1936 tilfælde. Selvom dette antal er blevet reduceret i senere beviser, hvorved de nye beviser i en vis forstand er simplere, er der grund til at tro, at fremgangsmåden med dannelsen af en uundgåelig mængde af konfigurationer ikke kan gøre et nyt bevis essentielt simplere.246 Beviset af Robertson et al. har trods alt stadig 633 distinkte tilfælde. De mange mislykkede forsøg siden 1852 på at finde et forenet, ikke-disjunkt bevis taler for, at sætningen er en matematisk tilfældighed. Så selvom Appel har indrømmet, at “[…] it would be nicer to have clean and elegant proofs”, kan der i givet fald være grænser for, hvor elegante beviser for visse sætninger kan blive.247

244

Baker (2008): 342. Haken (1977): 199. 246 Ibid.: 193. 247 Wilson (2002): 222. 245

65

Det er muligt, at Firefarvesætningen ikke er en matematisk tilfældighed, og som Rota skriver, er matematikere på jagt efter et argument, der forklarer, hvorfor sætningen er sand.248 En sådan jagt har hidtidigt været forgæves, men genkaldes Shimamotos Hestesko, kunne denne konfiguration have resulteret i det ønskede bevis, havde den været reducerbar. 249 Det er ligeledes muligt, at Firefarvesætningen kun er en tilfældighed i grafteori, da det kan tænkes, at der kan findes et forenet, ikke-disjunkt bevis i en anden teori.250 Det vil gå imod bevisets metoderenhed, men som Dawson skriver, kan et sådant brud på metoderenheden resultere i opnåelsen af et bevis med større forklaringsevne.251 Det kan tilmed tænkes, at der slet ikke er matematiske tilfældigheder, blot at den matematiske teoridannelse endnu ikke er tilstrækkelig.252 Nye matematiske begreber og fremgangsmåder kan måske resultere i et forklarende bevis, hvilket blandt andre Halmos tror og håber på.253 Indtil videre tyder det dog på, at de computerassisterede beviser, hvor computeren spiller en essentiel rolle på grund af bevisets disjunkthed, er beviser for matematiske tilfældigheder – i det mindste inden for den pågældende teori. Beviserne er derfor ikke forklarende. Om tilfældighedernes betydning skriver Baker: Mathematical accidents are at best the endpoints of explanatory chains and at worst more-orless completely isolated from the broader explanatory framework of mathematical theories. Nor is there any plausible way to view these endpoints as “self-explanatory,” along the lines (perhaps) of axioms. Mathematical accidents are brute facts but they are not fundamental in any significant sense.254

I 1980 medgav Swart, at Firefarvesætningen stod som “a monument on its own”, hvilket svarer til den værste mulighed, Baker nævner ovenfor.255 Swart var dog sikker på, at dette ikke var sætningens permanente plads, hvilket senere har vist sig at holde stik: Som vist i afsnit 4.5 er der flere ækvivalente formuleringer af Firefarvesætningen i andre matematiske grene. At Robertson et al. beviste Firefarvesætningen med et nyt bevis skyldtes, at de havde reduceret femfarve-tilfældet af

248

Rota (1997): 186. Andre faktorer kunne dog have spillet ind med det resultat, at beviset alligevel ikke ville være forklarende – beviset bygger eksempelvis stadigvæk på mange beregninger. 250 Denne teori skal selvfølgelig være ikke-triviel. I modsat fald kan en teori dannes med et aksiomsystem, hvor Firefarvesætningen er blandt aksiomerne. 251 Dawson (2006): 280. 252 At der skal en ny teoridannelse til, før det er muligt at bevise Firefarvesætningen med et forenet, ikke-disjunkt bevis, bliver bakket op af Haken i [Haken (1977): 199]. 253 Hersh (1993): 393. 254 Baker (2009): 156. 255 Swart (1980): 704. 249

66

Hadwigers Formodning til netop denne sætning, hvorfor de ville være sikre på sætningens korrekthed.256 Firefarvesætningen er derfor ikke fuldstændig isoleret. Den anden – og bedste – mulighed, Baker nævner, er, at tilfældighederne er endepunkter for forklaringskæder. Om eksempelvis femfarve-tilfældet af Hadwigers Formodning kan jeg spørge, hvorfor den er sand, og svaret er: Fordi Firefarvesætningen er sand. Hvis jeg spørger videre til, hvorfor Firefarvesætningen er sand, nås et endepunkt i forklaringskæden, da beviset ikke i sig selv er forklarende. Ud fra en vurdering af disse to muligheders betydning i den matematiske praksis påstår Baker, at tilfældigheder ikke er fundamentale på nogen signifikant måde. I denne påstand gemmer sig en antagelse om, at sætninger og bevisers værdi skal vurderes i en bredere matematisk kontekst, hvilket jeg undersøger nærmere i næste hovedafsnit.

7.5 DELKONKLUSION Hvis computerassisterede beviser er beviser for matematiske tilfældigheder, er der grund til at være skeptiske over for at acceptere dem som en integreret del af den matematiske praksis, da bevisernes funktion i værste fald er reduceret til at stille matematikeres nysgerrighed og i bedste fald sikrer korrektheden af et resultat, der efterfølgende kan bruge i andet øjemed. Begge muligheder kan i og for sig være ønskværdige, men bør matematikere ikke kræve mere af beviser? I næste hovedafsnit ser jeg nærmere på matematisk forståelse og bevisets rolle, hvor konsekvenserne af computerassisterede bevisers manglende forklaringsevne bliver tydeligere.

256

MacKenzie (1999): 51.

67

8 MATEMATISK FORSTÅELSE OG BEVISETS ROLLE 8.1 INDLEDNING Formålet med dette hovedafsnit er at sætte computerassisterede beviser ind i en større historisk og sociologisk sammenhæng, hvor bevisets rolle i matematikken bliver undersøgt med udgangspunkt i matematisk forståelse. “Forståelse” bliver brugt i mange forbindelser i matematikken: I artiklen Understanding Proofs nævner Avigad, at der eksempelvis kan spørges om, hvad det betyder at forstå en definition, en sætning, et bevis, en teori, en metode, en algoritme eller en løsning.257 Det er derfor ikke uden grund, at han andetsteds kalder emnet “a sprawling wilderness”, og at skeptikere mener, at der ikke kan siges noget filosofisk interessant derom.258 Jeg deler ikke skeptikernes synspunkt, og i forlængelse af forrige hovedafsnit vil jeg derfor benytte føromtalte artikel af Avigad til at komme nærmere ind på begrebet matematisk forståelse.

8.2 MATEMATISK FORSTÅELSE Matematikere har muligvis en god intuition om de måder, hvorpå de opnår forståelse i matematik, men jeg bliver dog nødt til at præcisere, hvad denne forståelse reelt består i. Jeg vil følge Avigad i påstanden om, at tilskrivning af matematisk forståelse bedst ses som udtryk for besiddelsen af bestemte evner.259 Avigad konstaterer således: When we say that someone understands something – a theorem, a method, or whatever – what we mean is that they possess some general ability.260

Denne funktionelle tilgang er fordelagtig, da jeg ikke tvinges til at skulle bestemme matematisk forståelse som en slags ting, men i stedet kan fokusere på de omstændigheder, hvor en matematiker kan tilskrives denne forståelse.261 Jeg bør indskrænke genstandsfeltet og fokusere på forståelsen af beviser, hvortil jeg kan spørge, under hvilke omstændigheder der i så fald kan tilskrives en matematiker forståelse.262 Det kan blandt andet ske, hvis matematikeren er i stand til at uddybe detaljer i et bevis eller retfærdiggøre skridt i bevisgangen. Kan han skabe sig et overblik over beviset eller identificere de vigtigste skridt

257

Avigad (2008b): 318. Avigad (2008a): 313. 259 Avigad (2008b): 318. 260 Ibid: 323. 261 Avigad imødegår flere indvendinger til denne tilgang i [Avigad (2008b): 328-331]. 262 Jeg er klar over, at det er umuligt helt at isolere forståelsen af et bevis fra de andre typer forståelse, der er nævnt i afsnittets indledning, men det hindrer ikke, at jeg i det mindste kan tage udgangspunkt i bevisforståelse. 258

68

i argumentet, peger det ligeledes på en forståelse af beviset. 263 Dog bør det bemærkes, at de evner, matematikere kommer i besiddelse af, ikke nødvendigvis blot gør dem i stand til at indse, hvorfor den pågældende sætning er sand. Evnerne kan tilmed gøre matematikerne i stand til at bruge eksempelvis de benyttede begreber eller metoder i nye beviser. Jeg ønsker derfor at skelne mellem intern og ekstern forståelse, hvor sidstnævnte peger udover forståelsen af selve beviset. Med andre ord er det muligt at komme i besiddelse af evner, der ikke knytter sig specifikt til et enkelt bevis, men også kan bruges i andre sammenhænge. De to typer forståelse er ikke uafhængige af hinanden, da den interne betinger den eksterne. At dette gør sig gældende, kan indses ved at minde om den funktionelle tilgang til forståelse: Det er således ikke muligt at benytte evner i nye eksterne sammenhænge, hvis man ikke allerede er kommet i besiddelse af dem i den oprindelige interne sammenhæng. 8.2.1 FORSTÅELSE OG FORKLARING Det er interessant at se, hvorledes det er muligt at koble matematisk forklaring sammen med matematisk forståelse, da begge tager udgangspunkt i spørgsmålet om, hvorfor en sætning er sand. Det er vigtigt indledningsvis at indse, at et bevis giver forklaring, mens en matematiker opnår forståelse. Den opnåede forståelse kan derfor variere med tiden og fra matematiker til matematiker. Der kan altså tales om gradsforskelle i forståelsen af et bevis, hvilket bør stemme overens med matematikeres egne erfaringer: Det er ikke unormalt at opleve, at en matematiker forstår et bevis bedre eller dårligere end en anden. Ligeledes kender de fleste matematikere sikkert følelsen af, at forståelsen af et bevis varierer over tid. Jeg ønsker at argumentere for, at et bevis’ manglende forklaringsevne er begrænsende for muligheden for at opnå intern forståelse, hvormed den indirekte også er begrænsende for den eksterne forståelse. Da et forklarende bevis svarer på, hvorfor en sætning er sand, er det således i høj grad muligt for matematikeren at forstå beviset: Indser en matematiker, hvorfor et bevis er sandt, skabes de omstændigheder, hvorpå han tilskrives intern forståelse. Det er værd at påpege, at matematikeren ikke nødvendigvis har opnået ekstern forståelse, da han muligvis ikke kan benytte sine evner i andre bevissammenhænge. Jeg bør imødegå en indvending: Appel og Hakens bevis er ikke forklarende. Betyder det, at der overhovedet ikke kan opnås bare en form for forståelse af beviset? At både forklaring og forståelse kommer i gradsforskelle, gør, at et ikke-forklarende bevis – altså et bevis med en lav grad af 263

Flere eksempler er givet i [Avigad (2008b): 328-328]. Kursiveringen skal understrege, at der i alle tilfælde er tale om evner, matematikeren besidder.

69

forklaringsevne – begrænser matematikerens mulighed for at opnå intern forståelse, uden at al forståelse nødvendigvis forsvinder. Et sådant bevis kan eksempelvis have dele, der er lette at forstå, hvilket gør sig gældende ved beviset for Firefarvesætningen. De dele, der gør beviset ikkeforklarende, kan der dog ikke opnås fuld forståelse af. At denne løsning er fordelagtig indses ved, at matematikere i modsat fald end ikke ville evne at have selv det mindste overblik over beviset eller kunne identificere et eneste skridt – de ville bogstavelig talt stå helt uforstående over for beviset. Det er derfor ikke umuligt at opnå forståelse af et bevis, selvom det ikke er forklarende. Dog er det sværere at opnå denne, og der er grænser for, hvor stor forståelsen kan være, da det ikke er muligt ud fra et ikke-forklarende bevis alene at kunne forstå, hvorfor den pågældende sætning er sand. Den netop dannede kobling mellem forståelse og forklaring finder støtte hos Avigad, der skriver, at “[…] when it comes to proofs based on extensive computation, a […] pressing concern is that they do not provide the desired mathematical insight”.264 Han forklarer denne indsigt ud fra tilegnelsen af evner, hvorved den knyttes til opnåelse af forståelse. Beviser for (foreløbige) matematiske tilfældigheder er ikke forklarende og kan netop kræve omfattende beregninger på grund af deres disjunkthed. Denne manglende forklaring gør, at matematikere ikke opnår en tilstrækkelig forståelse. Den bekymring, der omtales i citatet, kan således – i forbindelse med matematiske tilfældigheder – forklares med udgangspunkt i den dannede kobling.

8.3 THURSTON, RAV OG UDBREDELSEN AF MATEMATISK FORSTÅELSE Efter denne præcisering af matematisk forståelse vil jeg rette blikket mod William P. Thurstons betragtninger i On Proof and Progress in Mathematics, der kombineres med Ravs teori om bevisets rolle i matematikken i Why Do We Prove Theorems?. Artiklerne giver et godt indblik i visse problemer, som brugen af computerassisterede beviser skaber.

8.3.1 FORSTÅELSE I CENTRUM Udgangspunktet for Thurstons artikel er, at han ikke mener, at matematikkens fremskridt kan reduceres til at være et spørgsmål om, hvordan der mest effektivt kan skabes flest definitioner, sætninger og beviser, hvorfor han i stedet spørger sig selv om, hvad matematikere egentligt ønsker at udrette.265 For Thurston skal en besvarelse finde sin begyndelse i besvarelsen af, hvordan matematikere fremmer menneskelig forståelse af matematik, da dette peger på noget fundamentalt i 264 265

Avigad (2008a): 307. Thurston (1994): 1-2. Artiklen er et svar til den kontroversielle artikel [Jaffe & Quinn (1993)].

70

matematikken, nemlig at “[…] what we are doing is finding ways for people to understand and think about mathematics” (Thurstons kursivering).266 Interessant nok benytter Thurston Appel og Hakens bevis til at eksemplificere, hvornår dette ikke sker. Ifølge Thurston skyldtes kontroverserne, der fulgte beviset, ikke spørgsmålet om hvorvidt beviset er korrekt eller ej, men derimod at matematikere ønsker at forstå beviset. Thurston gentager altså én af pointerne fra sidste hovedafsnit: Det er ikke blot tilfredsstillende at vide, at noget er sandt, uden at vide hvorfor det er tilfældet, og et for stort fokus på øgningen af antallet af beviste sætninger overser de psykologiske og sociale dimensioner, der er essentielle for en god beskrivelse af matematisk fremskridt.267 Thurston benytter sit arbejde med foliationer til at eksemplificere sin pointe: Han skabte ikke den indsigt, der ville have givet andre matematikere gode muligheder for at arbejde videre med emnet. I stedet fokuserede han på at bevise mange sætninger, og resultatet blev, at andres interesse faldt drastisk.268 Thurston skriver derfor: We are not trying to meet some abstract production quota of definitions, theorems and proofs. The measure of our success is whether what we do enables people to understand and think more clearly and effectively about mathematics.269

Rav ville støtte op om dette, hvilket tankeeksperimentet med supercomputeren PYTHIAGORAS vidner om:270 Rav forestiller sig en computer, der kan give svaret på alle de formodninger, der fremsættes, hvormed tankeeksperimentet i sin form minder meget om Tymoczkos med Simon og marsboerne, om end målet er anderledes: Gennem en efterfølgende undersøgelse af cases fra matematikkens historie ønsker Rav at tydeliggøre, at matematikken udvikler sig gennem beviser og bevisforsøg, der introducerer frugtbare idéer, begreber og metoder i den matematiske praksis, hvilket jeg vil udbygge yderligere nedenfor.271

8.4 UDVIKLINGEN AF FRUGTBARE IDÉER, BEGREBER OG METODER Forståelse er et centralt begreb i Thurston artikel, og i sin brug af begrebet lægger han sig ikke langt fra Avigads teori: Forståelse ønskes hele tiden opnået med henblik på at kunne noget, hvilket bliver tydeligt, da Thurston uddybende kalder det “[…] a working understanding” (min kursivering).272 266

Thurston (1994): 2. Ibid.: 2. 268 Ibid.: 13. 269 Ibid.: 3. 270 Se [Rav (1999): 5-6]. 271 At Rav er inspireret af Lakatos er tydeligt. 272 Thurston (1994): 15. 267

71

Jeg har allerede nævnt, at hvis et bevis forstås af en matematiker, kan denne komme i besiddelse af bestemte evner, der kan resultere i udarbejdelsen af nye, matematiske resultater – med andre ord kan matematikeren opnå ekstern forståelse. Forbundet med dette er et bevis‟ frugtbarhed, hvor et bevis er frugtbart, hvis dele af indholdet – eksempelvis dets begreber – kan benyttes i andre sammenhænge.273 Thurston benytter andres beviser for hans egen Geometrisationssætning til at eksemplificere, hvordan der i disse beviser er blevet introduceret nye begreber, der har været interessante i sig selv og derfor har fremmet matematikken.274 Det foregående peger på, at matematikken kan udvikles, hvis en matematiker opnår både intern og ekstern forståelse af et bevis. Samme vigtige rolle bliver beviset også givet af Rav: Proofs are for the mathematician what experimental procedures are for experimental scientist: in studying them one learns of new ideas, new concepts, new strategies – devices which can be assimilated for one‟s own research and be further developed.275

Faktisk går han et skridt videre og skriver, at hele matematikkens know-how er indkapslet i beviser, hvorfor de er “[…] the bearers of mathematical knowledge”.276 Det skyldes, at beviser indeholder information, der går ud over den information, der er indeholdt i selve formuleringen af en sætning.277 Beviser er derfor centrale i matematikken, hvilket ikke er en overraskende påstand. Mere overraskende er derimod den måde, hvorpå beviser spiller denne centrale rolle: […] the essence of mathematics resides in inventing methods, tools, strategies and concepts for solving problems which happen to be on the current internal research agenda or suggested by some external application. But conceptual and methodological innovations are inextricably bound to the search for and the discovery of proofs, thereby establishing links between theories, systematising knowledge, and spurring further development.278 (Min kursivering)

Selve det at kende sandhedsværdien af en sætning og bevisets betydning for dette er ikke det primære i matematikken. Derimod skal matematikkens essens findes i jagten på – og opdagelsen af – beviser og de opfindelser, der følger med, da det er derigennem, matematikken udvikler sig. Bevisforsøg er altså af stor vigtighed for matematikken, og Rav bruger Goldbachformodningen og

273

Thurston anser frugtbarheden – og dermed den eksterne forståelse – for at være yderst vigtig, hvorfor nye beviser hurtigt skal kommunikeres ud til de matematikere, der kan bruge dem yderligere. Se [Thurston (1994): 11]. 274 Thurston (1994): 15-16. 275 Rav (1999): 20. Hans tilgang til eksperimenter tilhører New Experimentalism. 276 Ibid.: 20. 277 Corfield støtter Ravs påstand, da han skriver, at et godt bevis typisk introducerer lemmaer og nye begreber, der kan vise sig at være vigtigere end sætningen selv. Se [Corfield (2004): 51]. 278 Rav (1999): 6.

72

Kontinuums-hypotesen til at vise dette: Forskellige forsøg på at bevise disse har således givet matematikken nye begreber og teknikker.279 Det er værd at bemærke, at de forskellige forsøg på at bevise Goldbachformodningen har vist sig frugtbare for matematikken, selvom der endnu ikke er fundet et bevis. Derudover vil jeg minde om, at formodningen er et af de to eksempler, Baker giver på et udsagn, der kan være en matematisk tilfældighed.280 Formodningen har dermed været givtig for matematikken, selvom der ikke er – og muligvis aldrig kommer – et forklarende bevis. Er det ligeledes tilfældet for Bakers andet eksempel, Firefarvesætningen? Firefarvesætningens historie har budt på mange bevisforsøg, og Appel og Haken estimerer, at der er brugt over 10 millioner persontimer på at løse problemet.281 Det er selvfølgelig et meget groft estimat, der ikke desto mindre vidner om de talrige forsøg, der er gjort på at bevise sætningen. Med det forrige in mente er det ikke overraskende, at de mange timer, der ikke direkte har ført til Appel og Hakens bevis, ikke bør betragtes som ubrugelige. Blandt andet har jagten på et bevis ført til de svagere Seksfarvesætningen og Femfarvesætningen samt Ringel og Youngs bevis for Heawoods Formodning.282 Tilmed skriver Wilson, at “[…] the various attempts to solve it over the years have stimulated the development of much exciting mathematics”.283 Søgningen efter et bevis har altså virket som katalysator for udviklingen af ny matematik, hvilket særligt er sket inden for grafteori. 284 Jeg synes derfor umiddelbart at stå over for et paradoks: Succesen ved langt om længe at finde et bevis betyder, at sætningen mister en del af sin betydning for matematikken, da den potentielt frugtbare søgning efter et bevis ophører. Det er specielt uheldigt, hvis det endelige bevis i sig selv ikke er frugtbart, og et spørgsmål trænger sig derfor på: Hvilke idéer, begreber og metoder kan blive udbredt gennem et computerassisteret bevis? Med andre ord: Hvor frugtbart kan sådant et bevis være?

279

Jean Merlins fejlagtige bevis for førstnævnte formodning har eksempelvis ført til Merlin Si-metoden, der med succes er blevet anvendt på en række problemer i talteori ([Rav (1999): 26]). Et andet godt eksempel er Kummers idealteori, der blev udviklet i forsøget på at bevise Fermats Sidste Sætning. 280 Baker (2009): 145-147. 281 Appel & Haken (1986): 11. 282 Heawoods Formodning giver en øvre grænse for antallet af farver, der er tilstrækkelige for at farve kort på en flade med en given genus. 283 Wilson (2002): 3. 284 Swart (1980): 705.

73

8.5 COMPUTERASSISTEREDE BEVISERS FRUGTBARHED Som nævnt skyldes Thurstons kritik af Appel og Hakens bevis, at matematikere ikke kan opnå tilfredsstillende forståelse af beviset, og en sådan forståelse kobles sammen med et bevis‟ frugtbarhed.285 For Thurston er det vigtigt, at beviser forklarer, men det er et problem for computerassisterede beviser.286 Derfor har matematikere svært ved at opnå ekstern forståelse, hvor matematikken kan videreudvikles, og Thurstons egen dom er klar: […] we should recognize that the humanly understandable and humanly checkable proofs that we actually do are what is most important to us.287

Thurston identificerer således egenskaber ved beviser, der har særlig værdi for den praktiserende matematiker, men computerassisterede beviser har netop ikke disse egenskaber. Spørgsmålet er dog, om Thurston er for skarp i sin kritik af Appel og Hakens bevis. At beviset er uforklarende betyder ikke nødvendigvis, at der ikke kan opnås ekstern forståelse, der kan åbne op for dannelsen af ny matematik. Selv en meget lille ekstern forståelse kan skabe store fremskridt i matematikken, hvis denne forståelse fører til resultater, der viser sig særligt frugtbare. Beviset indeholder jo ikke blot beregninger, men ligeledes idéer, metoder og begreber, der muligvis kan benyttes i nye sammenhænge. Et stort problem er dog, at matematikken i beviset er skabt til formålet og med særligt henblik på at reducere sætningens sandhed til at være et spørgsmål om et endeligt antal tilfælde, der derefter kan angribes med brug af computere. Beviset byder således på mange ad hoc-metoder, hvor discharging-metoden er én af dem, og disse er per definition ikke frugtbare. Discharging-metoden er blevet benyttet sidenhen i en raffineret udgave, men det var til 1994-beviset for samme sætning. Derudover synes dens anvendelsesmuligheder indtil videre at være yderst begrænsede. Ligeledes taler det faktum, at de benyttede programmer til at bevise sætningen blev programmeret ad hoc – og altså ikke tilhørte en overordnet softwarepakke – for, at beviset er meget isoleret i matematikken. Michael Atiyah har sagt om sådanne beviser, at de næppe bliver studeret i nærmere detaljer af mere end en håndfuld matematikere – selv hvis de løser kendte problemer, som det er tilfældet her.288 Der bør ligeledes tages hensyn til de psykologiske aspekter i den matematiske praksis: Et bevis som Appel og Hakens kan virke intimiderende på matematikere, hvilket afskrækker dem fra at

285

En lignende kritik bliver givet i [Rota (1997): 190]. Thurston (1994): 11. 287 Ibid.: 11. 288 Gowers (2000): 62. 286

74

undersøge det nærmere. At det tilmed er umuligt at overskue hele beviset, hvis alle skridt skal besigtiges, kan virke yderligere afskrækkende. Den manglende motivation for at give sig i kast med beviset, der med stor sandsynlighed opstår, kan forringe mulighederne for, at beviset fører til ny udvikling i matematikken.289 Viser Thurstons eksempel med foliationer ikke netop, at hvis et område virker intimiderende på matematikere, så holder de sig væk, selvom der er resultater at opnå? Jeg kan selvfølgelig ikke sige med sikkerhed, at Appel og Hakens bevis ikke viser sig frugtbart i fremtiden. Dog er jeg kommet med argumenter, der taler imod dette, og så længe beviset endnu ikke har vist sig frugtbart, ligger bevisbyrden hos dem, der er af en anden mening. William Timothy Gowers opdeler matematikken i to kulturer: i den ene prioriteres matematikkens problemløsende karakter højest, hvilket er typisk inden for eksempelvis kombinatorik, mens den anden – som Thurston tydeligvis tilhører – har som hovedformål at opbygge og forstå teorier.290 Jeg fremdrager dette af den grund, at Appel og Hakens bevis må være ildeset i begge kulturer. Thurston har allerede leveret kritik kommende fra den ene side, men beviset må tilmed være ildeset af problemløserne, da “[...] their interest in one of today's results will be closely related to whether, by understanding it, they will improve their own problem-solving ability” (min kursivering).291 Det vigtige for problemløserne er at få matematisk værktøj med bred anvendelsesmulighed, og på grund af ad hoc-metoderne og de sparsomme muligheder for ekstern forståelse, har beviset dårlige vilkår for at blive accepteret af problemløserne. Der er altså store problemer med at retfærdiggøre brugen af computerassisterede beviser som Appel og Hakens ud fra deres frugtbarhed.

8.6 ER INTERN FORSTÅELSE TILSTRÆKKELIGT? I Social Processes and Proofs of Theorems and Programs skriver De Millo et al. følgende: Stanislaw Ulam estimates that mathematicians publish 200,000 theorems every year. […] [M]ost are ignored. Only a tiny fraction come to be understood and believed by any sizable group of mathematicians.292 (Min kursivering) 289

Måske kan dette bedst belyses med Stewarts sammenligning af Wiles‟ bevis for Fermats Sidste Sætning og Hales‟ bevis for Keplers Formodning: Mens førstnævnte minder om Lev Tolstojs Krig og Fred, minder Hales‟ bevis om en telefonbog. De færreste ville vælge at give sig i kast med sidstnævnte bog, hvis de havde valget mellem de to. Se [Szpiro (2003): 232]. 290 Gowers (2000): 65. Rota synes enig, da han skriver følgende: “The value of a proof is more likely to depend on whether or not a given proof can be turned into a proof technique, that is, on whether the proof can be viewed as one instance of a type of proof, suitable for proving other theorems”. Se [Rota (1997): 185]. 291 Gowers (2000): 68. 292 De Millo et al. (1979): 267.

75

Hvis det kun er en brøkdel af de udgivne sætninger og de tilhørende beviser, der bliver forstået af en anseelig gruppe, hvorfor er der så stor fokus på, at mange matematikere ikke kan forstå netop computerassisterede beviser? Der er tydeligvis mange traditionelle beviser, der ligeledes ikke kan forstås i alle dele af det matematiske samfund grundet den store specialisering, der er sket i matematikken. Svaret ligger måske i, at sætninger som Firefarvesætningen og Keplers Formodning begge har en betydelig plads i matematikhistorien, hvorfor de bliver anset som værende specielt betydningsfulde. Min påstand er, at ekstern forståelse ikke spiller den store rolle i forbindelse med ønsket om at finde et traditionelt bevis for de førnævnte sætninger. I stedet er det den interne forståelse, der er vigtigst, hvilket er det stik modsatte af Ravs pointe: I dette konkrete tilfælde er det primære ikke, hvorvidt matematikken kan udvikle sig gennem beviset, men derimod beviset selv og hvordan det viser sandhedsværdien af sætningen. Grunden til dette skal findes i matematikeres ønske om at finde elegante beviser for sætninger, der har en særlig plads i matematikken. Påstanden bliver bakket op af Appel og Haken, der mener, at kontroverserne omkring beviset netop skyldtes den sætning, de beviste med computerassistance.293 Da en kombinatoriker hørte om Appel og Hakens planlagte fremgangsmåde, udbrød han, at “God would never permit the best proof of such a beautiful theorem to be so ugly”.294 Dette vidner om, at der er et ønske i matematikerkredse om, at visse sætninger har beviser, der kan anses for at være elegante på den ene eller anden måde. Det bringer atter en gang Bakers teori om matematiske tilfældigheder i fokus: Matematikere kan tro og håbe på, at tilfældigheder ikke kan forekomme i matematikken – at teoridannelsen blot ikke har udviklet sig tilstrækkeligt til, at der kan findes et elegant og forklarende bevis. Kun et sådant bevis synes at kunne tilfredsstille mange matematikere.

8.7 COMPUTERASSISTEREDE BEVISER SOM LEDETRÅD? Computerassisterede beviser kan dog finde en uventet nytte: Med computerens hjælp ved matematikere nu, at eksempelvis Firefarvesætningen er sand. Kan dette faktum ikke virke som stimulus til at finde et traditionelt bevis for sætningen? Jonathan M. Borwein finder grund til at tro, at visheden om, at en sætning er sand, kan hjælpe til at give et nyt bevis for sætningen, hvilket

293 294

Appel & Haken (1986): 12. Ibid.: 12.

76

bakkes op af Abel-prisvinderen Leonard Carleson, der har sagt, at “The most important aspect in solving a mathematical problem is the conviction of what is the true result”.295 Der er dog et åbenlyst problem med dette, hvilket skyldes et socialt aspekt ved at bevise sætninger: Forsøget på at bevise specielt krævende sætninger er i høj grad motiveret af jagten på anerkendelse, der er et centralt fænomen i den matematiske praksis. Det kan derfor tænkes, at incitamentet til at bevise en sætning er mindre, hvis der allerede eksisterer et bevis – også selvom dette er computerassisteret. Denne holdning deler en matematiker, der mødte Appel efter offentliggørelsen af beviset af Firefarvesætningen: Since the problem had been taken care of by a totally inappropriate means, no first-rate mathematician would now work any more on it, because he would not be the first to do it, and therefore a decent proof might be delayed indefinitely.296

En indvending til dette kan være, at et traditionelt bevis for eksempelvis Firefarvesætningen stadigvæk kan give stor anerkendelse på grund af den store utilfredshed med computerassisterede beviser. Atle Selberg og Paul Erdös‟ talteoretiske bevis for Primtalssætningen, der var med til at indbringe førstnævnte en Fields-medalje, er et glimrende eksempel på, at anerkendelse ikke nødvendigvis kun behøver at blive givet for det første bevis for en sætning. Derfor kan der stadigt være incitament til at (gen)bevise sætningen på traditionel vis. Jeg kan dog ikke ignorere diskussionen fra forrige hovedafsnit: Hvis sætninger som Firefarvesætningen, der er blevet bevist med computerassistance, er matematiske tilfældigheder, er muligheden for et traditionelt bevis måske ikke til stede, og den føromtalte nytte forsvinder dermed.

8.8 DELKONKLUSION Jeg er nu i stand til at vurdere, hvorvidt computerassisterede beviser hjælper med at indfri et af matematikkens overordnede mål. Jeg har forsøgt at vise, at matematikken kan udvikle sig ved, at matematikere opnår intern og ekstern forståelse af beviser. Dette udgør et stort problem for computerassisterede beviser på grund af deres manglende forklaringsevne, der netop begrænser matematikeres mulighed for at opnå denne forståelse. Derfor er der grund til at tro, at computerassisterede beviser ikke spiller en nævneværdig rolle i den videre matematiske udvikling. Selv hvis der ses bort fra den eksterne forståelse – hvilket er problematisk i sig selv på grund af dennes store betydning for matematikkens udvikling – volder computerassisterede beviser stadig 295 296

Borwein (2009): 3. MacKenzie (1999): 41.

77

problemer, da matematikerens “[…] search for hidden structure, his pattern-binding urge, is frustrated”.297 “Bottom-up”-forklaringer, hvor computeren bliver benyttet til at lave omfattende beregninger, huer ikke mange matematikere, der i stedet ønsker “top-down”-forklaringer, hvor det er muligt at opnå stor intern forståelse. Det gør sig særligt gældende med beviser for sætninger, der i løbet af matematikhistorien har fået tildelt en stor grad af vigtighed. Bliver disse bevist af et “grimt” computerassisteret bevis, skaber det forargelse og utilfredshed hos den praktiserende matematiker.

297

Wilson (2003): 220-221. Se hele citatet i afsnit 3.2.

78

9 KONKLUSION Jeg har undersøgt, hvorvidt computerassisterede beviser kan accepteres som en integreret del af den matematiske praksis, hvilket er sket ved at se nærmere på bevisernes betydning for selve bevisbegrebet, deres pålidelighed samt evne til at forklare og skabe matematisk forståelse. Baker skriver i tilknytning til disse beviser: Roughly, philosophers have tended to worry about the type of epistemic warrant provided by computer proofs […], while mathematicians are typically more concerned about the reliability and the explanatory value of such proofs.298

Dette styrker mig i troen på, at jeg har valgt at fokusere på de rette aspekter af problemstillingen. Gennem en skelnen mellem overskuelighed i princippet og i praksis har jeg argumenteret for, at computerassisterede beviser er a priori beviser trods Tymoczkos argumenter for det modsatte. Bevisbegrebet ændres derfor ikke. Computerassisterede bevisers manglende overskuelighed i praksis resulterer dog i, at matematikere ikke kan få a priori viden om de dertilhørende sætninger ved at besigtige alle bevisskridt. Hvis matematikere kan få a priori viden om sætningerne, sker det på en indirekte måde. Derudover er computerassisterede beviser i høj grad pålidelige, og risikoen for fejl i beviserne kan mindskes ved at tage visse forholdsregler. Graden af pålidelighed alene giver derfor ikke en berettiget grund til at være skeptisk over for bevisernes indførsel i den matematiske praksis. Dog har de seneste hovedafsnit givet andre grunde til at være skeptisk: Beviserne er ikke forklarende, og matematikere har dårlige muligheder for at opnå en tilstrækkelig forståelse af beviserne, hvorigennem matematikken kan udvikle sig. Jeg har vist, at det blotte antal af beviste sætninger sjældent er af afgørende betydning for den praktiserende matematiker, hvilket er vigtigt at have for øje, hvis der skal laves en cost-benefitanalyse af en interpraksis-transition igangsat af accepten af computer-assisterede beviser: Matematikere får bevist sætninger, der i mange år uden held er forsøgt bevist med traditionelle beviser. Tilmed er det muligt, at sætningerne ikke kan bevises med traditionelle beviser, hvis sætningerne er matematiske tilfældigheder. Prisen for beviserne er dog høj, da der sker omfattende ændringer i de metamatematiske antagelser, hvor bevisstandarderne ændres betragteligt. I delkonklusionen i afsnit 6 nævnte jeg, at måden, hvorpå matematikere opnår tillid til et computerassisteret bevis, er væsentligt anderledes end tilfældet er ved et traditionelt bevis, da tilliden i førstnævnte tilfælde altid er indirekte og delegeret til et objekt, nemlig computeren. Dette 298

Baker (2008): 343.

79

belyser problemet ved computerassisterede beviser: De er anderledes i en sådan grad, at de er yderst svære at integrere i den matematiske praksis. Samtidigt er beviserne ikke særligt gavnlige for matematikkens videre udvikling på grund af deres manglende forklaringsevne og de benyttede ad hoc-metoder. Svaret på spørgsmålet i problemformuleringen er derfor negativt. Jeg har tidligere skrevet, at matematikfilosofien ikke skal diktere matematikken, men er det ikke det, jeg just har gjort? Ikke nødvendigvis, da målet med undersøgelserne “blot” har været at belyse, hvordan og hvorfor der kan opstå problemer gennem accepten af computerassisterede beviser. Det er således stadigt op til de praktiserende matematikere at bestemme, hvorvidt beviserne skal accepteres eller ej. Det matematiske samfund er muligvis ikke i stand til at nå til enighed om dette, hvorpå det scenarium, der nævnes i indledningen, kan forekomme: At der i fremtiden kan opleves to matematikergrupperinger, hvor den ene accepterer computerassisterede beviser, mens den anden ikke gør. Ved at belyse problemstillingen fra forskellige vinkler, bidrager matematikfilosofien dog til at forbedre den enkelte matematikers forudsætninger for at træffe et velovervejet valg. Avigad skriver i forbindelse med computerens rolle i matematik: What we need now is not a philosophy of computers in mathematics; what we need is simply a better philosophy of mathematics.299

Jeg har behandlet flere problemstillinger, der er del af en bredere matematikfilosofisk kontekst: Hvornår giver et bevis a priori begrundelser? Hvor pålidelige er beviser? Hvad betyder forståelse i matematikken, og hvordan kobles denne sammen med bevisers forklaringsevne? Det er blot nogle af de vigtige spørgsmål, jeg er kommet nærmere et svar, samtidigt med at konsekvenserne af indførslen af computerassisterede beviser i den matematiske praksis er blevet tydeligere. Jeg mener derfor, jeg har taget skridt i den rigtige retning i forhold til ovenstående citat.

299

Avigad (2009): 315.

80

10 LITTERATURLISTE Appel, Kenneth og Wolfgang Haken (1986): “The Four Color Proof Suffices” i The Mathematical Intelligencer, vol. 8, nr. 1, s. 10-20. Arkoudas, Konstantine og Selmer Bringsjord (2007): “Computers, Justification, and Mathematical Knowledge” i Minds & Machines, 17, s. 185-202. Avigad, Jeremy (2006): “Mathematical method and proof” i Synthese, 153, s. 105-159. Avigad, Jeremy (2008a): “Computers in Mathematical Inquiry” i Mancosu, Paolo (red.): The Philosophy of Mathematical Practice. Oxford: Oxford University Press, s. 302-316. Avigad, Jeremy (2008b): “Understanding Proofs” i Mancosu, Paolo (red.): The Philosophy of Mathematical Practice. Oxford: Oxford University Press, s. 317-353.

Azzouni, Jody (1994): Metaphysical Myths, Mathematical Practice: The Ontology and Epistemology of the Exact Sciences. New York: Cambridge University Press. Baas, Nils A., Johan P. Hansen og Ib Madsen (2004): “Kronik: Matematik er en smuk videnskab” i Politiken, 4. juni, 2. sektion, s. 7. Baker, Alan (2007): “Is there a problem of induction for mathematics?” i Leng, Mary, Alexander Paseau og Michael Potter (red.): Mathematical knowledge. Oxford: Oxford University Press, s. 5973. Baker, Alan (2008): “Experimental Mathematics” i Erkenntnis, Volume 68, nr. 3, maj, s. 331-344. Baker, Alan (2009): “Mathematical Accidents and the End of Explanation” i Bueno, Otávio og Øistein Linnebo (red.): New Waves in the Philosophy of Mathematics. Palgrave Macmillan, s. 137– 159.

81

Bassler, O. Bradley (2006): “The surveyability of mathematical proof: A historical perspective” i Synthese, vol. 148, s. 99-133. Bernhart, Frank R. (1977): “A Digest of the Four Color Theorem” i Journal of Graph Theory, vol. 1, s. 207-225. Borwein, Jonathan M. (2009): “Exploratory Experimentation: Digitally-assisted Discovery and Proof” på http://web.cs.dal.ca/~jborwein/gazette.pdf, set 1/11 2010. Brouwer, L.E.J. (1996): “Mathematics, science, and language” i Ewald, William B: From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics – Volume II. Oxford: Clarendon Press, s. 1170-1185. Browne, Malcolm W. (1988): “Is a math proof a proof if no one can check it?” i The New York Times, 20. December. Burge, Tyler (1998): “Computer Proof, Apriori Knowledge, and Other Minds” i Philosophical Perspectives, 12, Language, Mind, and Ontology, s. 1-37. Calcott, Brett (2010): “Wimsatt and the robustness family: Review of Wimsatt‟s Re-engineering Philosophy for Limited Beings” i Biology and Philosophy, http://www.springerlink.com/content/72806328084q2645, set 25/11 2010. Chang, Kenneth (2004): “In Math, Computers Don‟t Lie. Or Do They?” i The New York Times, 6. april. Coleman, Edwin (2009): “The Surveyability of Long Proofs” i Foundations of Science, 14, s. 2743.

Corfield, David (2004): Towards a Philosophy of Real Mathematics. New York: Cambridge University Press.

82

Crowe, Michael J. (1988): “Ten Misconceptions about Mathematics and Its History” i Aspray, William og Philip Kitcher (red.): History and philosophy of modern mathematics. Minneapolis: University of Minnesota Press, s. 260–277. Dawson, John W. (2006): “Why Do Mathematicians Re-prove Theorems?” i Philosophia Mathematica, (3) 14, s. 269–286. De Millo, Richard A., Richard J. Lipton og Alan J. Perlis (1979): “Social Processes and Proofs of Theorems and Programs”. i Communications of the ACM, 22.5, s. 271–280. Detlefsen, Michael og Mark Luker (1980): “The Four-Color Theorem and Mathematical Proof” i The Journal of Philosophy, 77, 12 (december), s. 803–820. Devlin, Keith. (2003): “When is a proof” i Devlin’s Angle (MAA column), juni, http://www.maa.org/devlin/devlin_06_03.html, set 27/12 2010. Devlin, Keith. (2005): “Last doubts removed about the proof of the Four Color Theorem” i Devlin’s Angle (MAA column), januar, http://www.maa.org/devlin/devlin_01_05.html, set 27/12 2010. Fafner, Johannes og Paolo Mancosu (2005): “The Varieties of Mathematical Explanation” i Mancosu, Paolo, Klaus Frovin Jørgensen og Stig Andur Pedersen (red.): Visualization, Explanation and Reasoning Styles in Mathematics. Dordrecht: Springer, S. 215-250. Fafner, Johannes og Paolo Mancosu (2008): “Beyond Unification” i Mancosu, Paolo (red.): The Philosophy of Mathematical Practice. Oxford: University Press, s. 151-178. Fletcher, Colin R. (1991): “A reconstruction of the Frénicle-Fermat correspondence of 1640” i Historia Mathematica, nr. 18, s. 344-351. Gonthier, Georges (2008): “Formal Proof – The Four-Color Theorem” i Notices of the AMS, 55.11 (december), s. 1382–1393.

83

Gonthier, Georges (uudgivet): “A computer-checked proof of the four-colour theorem” på http://research.microsoft.com/~gonthier/4colproof.pdf, set 23/9 2010. Gowers, William Timothy (2000): “The Two cultures of mathematics” i Arnold, Vladimir, Michael Atiyah, Peter Lax og Berry Mazur (red.): Mathematics: Frontiers and Perspectives, American Mathematical Society, s. 65-78. Gruber, David og Sylvia Nasar (2006): “A legendary problem and the battle over who solved it” i The New Yorker, 28. august. Haken, Wolfgang (1977): “An Attempt to Understand the Four Color Problem” i Journal of Graph Theory, vol. 1, s. 193-206. Hales, Thomas C. (2008): “Formal Proof” i Notices of the AMS, 55.11 (december), s. 1370-1380. Harrison, John (2008): “Formal Proof – Theory and Practice” i Notices of the AMS, 55.11 (december), s. 1395-1406. Heintz, Bettina (2003): “What is a Proof a Proof? Review of “Mechanizing Proof. Computing, Risk and Trust” by Donald MacKenzie, MIT Press, Cambridge (MA) & London, 2001” i Social Studies of Science, 33.6 (december), s. 929-943. Hersh, Reuben (1993): “Proving is Convincing and Explaning” i Educational Studies in Mathematics, 24, s. 389-399.

Hersh, Reuben (1997): What is Mathematics, Really?. Oxford: Oxford University Press. Jaffe, Arthur og Frank Quinn (1993): ““Theoretical mathematics”: Toward a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics” i Bulletin of the American Mathematical Society, 29 (1), s. 1– 13.

84

Johansen, Mikkel Willum (2009): “Kan man stole på en computer” på Videnskab.dk, http://videnskab.dk/content/dk/blogs/bag_om_videnskaben/kan_man_stole_pa_en_computer, set 14/9 2010. Kauffman, Louis H. (2001): “The Robbins problem: computer proof and human proofs” i Cybernetes, vol. 30, nr. 5/6, s. 726-742. Kitcher, Philip (1975): “Bolzano‟s Ideal of Algebraic Analysis” i Studies in History and Philosophy of Science, 6, s. 229-269.

Kitcher, Philip (1984): The Nature of Mathematical Knowledge. Oxford: Oxford University Press. Kragh, Helge (2003): “Hvad er videnskab?” i Universitet og Videnskab. Universitets idéhistorie, videnskabsteori og etik, København: Hans Reitzels Forlag, s. 145-192.

Lakatos, Imre (1976): Proofs and Refutations. The Logic of Mathematical Discovery. Cambridge: Cambridge University Press. Lam, Clement W.H. (1990): “How Reliable Is a Computer-Based Proof?” i The Mathematical Intelligencer, vol. 12, nr. 1, s. 8-12. Lange, Marc (2010): “That Are Mathematical Coincidences (and Why Does It Matter)?” i Mind, vol. 119, 474, s. 307-340. MacKenzie, Donald (2006): “Computers and the Sociology of Mathematical Proof” i Hersh, Reuben (red.): 18 Unconventional Essays on the Nature of Mathematics. New York: Springer Verlag, s. 128–146. MacKenzie, Donald (1999): “Slaying the Kraken: The Sociohistory of a Mathematical Proof” i Social Studies of Science, februar, s. 7-60.

85

Mancosu, Paolo (2001): “Mathematical Explanation: Problems and Prospects” i Topoi, 20, s. 97117. Mancosu, Paolo (2008a): “Introduction” i Mancosu, Paolo (red.): The Philosophy of Mathematical Practice. Oxford: University Press, s. 1-21. Mancosu, Paolo (2008b): “Mathematical Explanation: Why it Matters” i Mancosu, Paolo (red.): The Philosophy of Mathematical Practice. Oxford: University Press, s. 134-150. McEvoy, Mark (2008): “The Epistemological Status of Computer-Assisted Proofs” i Philosophia Mathematica, III, 16, s. 374-387. Pollack, Robert (1997): “How to Believe a Machine-Checked Proof” i BRICS Report Series, 18, juli. Putnam, Hilary (1986): “What Is Mathematical Truth?” i Tymoczko, Thomas (red.): New directions in the philosophy of mathematics: an anthology. Boston: Birkhäuser, s. 49-65. Quinn, Frank (1995): “Roadkill on the Electronic Highway: The Threat to the Mathematical Literature” i Notices of the AMS, 21.1 (januar), s. 53-56. Rav, Yehuda (1999): “Why do we prove theorems?” i Philosophia Mathematica, (3) 7, s. 5-41. Robertson, Neil, Daniel P. Sanders, Paul Seymour og Robin Thomas (1996): “A New Proof of the Four-Colour Theorem” i Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, Vol. 2, nr. 1 (august). Rota, Gian-Carlo (1997): “The Phenomenology of Mathematical Proof” i Synthese, 111, s. 183-196. Rota, Gian-Carlo (2006): “The Pernicious Influence of Mathematics upon Philosophy” i Hersh, Reuben (red.): 18 Unconventional Essays on the Nature of Mathematics. New York: Springer Verlag, s. 220-230.

86

Shapiro, Stewart (1997): Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. Oxford: Oxford University Press. Steiner, Mark (1978): “Mathematical Explanation” i Philosophical Studies, 34, s. 135-151. Swart, Edward R. (1980): “The Philosophical Implications of the Four-Colour Problem” i The American Mathematical Monthly, 87.9 (november), s. 697–707. Szpiro, George G. (2003): Keplers kugler – 400 års søgen efter et matematisk bevis. København: Ingeniøren-bøger. Sørensen, Henrik Kragh (2010): “Exploratory experimentation in experimental mathematics: A glimpse at the PSLQ algorithm” i PhiMSAMP. Philosophy of Mathematics: Sociological Aspects and Mathematical Practice, s. 341-360. Teller, Paul (1980): “Computer Proof” i Journal of Philosophy, 77 (12), s. 797-803. Thomas, Robin (1998): “An Update on the Four-Color Theorem” i Notices of the AMS, 45.7 (august), s. 848–859. Thurston, William P. (1994): “On Proof and Progress in Mathematics” i Bulletin of the American Mathematical Society, 30, nr. 2, april, s. 161-177. Tymoczko, Thomas (1986): “The Four-Color Problem and Its Philosophical Significance” i Tymoczko, Thomas (red.): New directions in the philosophy of mathematics: an anthology. Boston: Birkhäuser.

Wilson, Robin (2002): Four Colours Suffice: How the Map Problem was Solved. London: Penguin Books Ltd. Wong, Kai-Yee (2007): “Computers, Mathematical Proof, and A Priori Knowledge” på http://phil.arts.cuhk.edu.hk/~phidept/papers/kywong/body_cognition.pdf, set 29/10/10.

87

Citaterne på side 2 er fra henholdsvis [Appel&Haken (1988): 12] og http://www.fortunecity.com/emachines/e11/86/proof.html, set 5/11/10.

88