TRIGONOMETRI A Nilai Perbandingan Trigonometri B Nilai ...

89 downloads 27378 Views 448KB Size Report
Selanjutnya nilai perbandingan trigonometri suatu sudut segitiga dapat ditentukan dengan ... Tabel Nilai Fungsi Trigonometri Untuk Sudut Istimewa. 0. 30. 45.

TRIGONOMETRI

1

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

A Nilai Perbandingan Trigonometri Perhatikan segitiga berikut ! Y

y r x = r y = x

Sin r

Cos

y X

O

=

Tan

x

Cosec Sec Cotan

r y r = x x = y

=

Selanjutnya nilai perbandingan trigonometri suatu sudut segitiga dapat ditentukan dengan menggunakan daftar / tabel dan kalkulator.

B Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Perhatikan gambar berikut !

45

60

2

1

2

45

1

30 3

1 Sin 30 =

1 2

1 2 1 Sin 60 = 2

Sin 45 =

1 2 1 Cos 45 = 2 1 Cos 60 = 2 Cos 30 =

2 3

1 3 3 Tan 45 = 1 Tan 60 = 3

3

Tan 30 =

2

Tabel Nilai Fungsi Trigonometri Untuk Sudut Istimewa 0

30

Sin

0

1 2

Cos

1

1 2

Tan

0

1 3

45

3

3

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

60

1 2

2

1 2

1 2

2

1 2

1

90 3

1

0

3

1

C Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi a. Kuadran I (0 < < 90 ) Sin (90 - ) = Cos Cos (90 - ) = Sin Tan (90 - ) = Cotan Cosec (90 - ) = Sec Sec (90 - ) = Cosec Cotan (90 - ) = Tan

e. Kuadran III (180 < < 270 ) Sin (270 - ) = - Cos Cos (270 - ) = - Sin Tan (270 - ) = Cotan Cosec (270 - ) = - Sec Sec (270 - ) = - Cosec Cotan (270 - ) = Tan

b. Kuadran II (90 Sin (90 + ) Cos (90 + ) Tan (90 + ) Cosec (90 + ) Sec (90 + ) Cotan (90 + )

< < 180 ) = Cos = - Sin = - Cotan = Sec = - Cosec = - Tan

f. Kuadran IV (270 Sin (270 + ) Cos (270 + ) Tan (270 + ) Cosec (270 + ) Sec (270 + ) Cotan (270 + )

c. Kuadran II (90 Sin (180 - ) Cos (180 - ) Tan (180 - ) Cosec (180 - ) Sec (180 - ) Cotan (180 - )

< < 180 ) = Sin = - Cos = - Tan = Cosec = - Sec = - Cotan

g. Kuadran IV (270 < < 360 ) Sin (360 - ) = -Sin Cos (360 - ) = Cos Tan (360 - ) = -Tan Cosec (360 - ) = - Cosec Sec (360 - ) = Sec Cotan (360 - ) = - Cotan

d. Kuadran III (180 < < 270 ) Sin (180 + ) = - Sin Cos (180 + ) = - Cos Tan (180 + ) = Tan Cosec (180 + ) = - Cosec Sec (180 + ) = - Sec Cotan (180 + ) = Cotan

< < 360 ) = - Cos = Sin = - Cotan = - Sec = Cosec = - Tan

h. Kuadran IV (270 < < 360 ) Sin (- ) = - Sin Cos (- ) = Cos Tan (- ) = - Tan Cosec (- ) = - Cosec Sec (- ) = Sec Cotan (- ) = - Cotan

Pada sistem koordinat kartesius dapat digambarkan sebagai berikut : Y Sin :+ Sin :+ Cos : Cos : + Tan : Tan : + O Sin Cos Tan

:::+

X Sin Cos Tan

::+ :-

Contoh: (i) Sin 65

= Cos (90 – 65) = Cos 25

(ii) Cos 120

= Cos (180 – 60) = - Cos 60 = -

(iii) Tan 210

= Tan (180 + 30) = Tan 30 =

(iv) Sin 315

= Sin (360 – 45) = - Sin 45 = -

(v) Cos (-60)

= Cos 60 =

1 2

1 3

3

1 2

2

1 2

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

2

D Nilai Periodik Sin ( Cos ( Tan (

+ k.360 ) = Sin + k.360 ) = Cos + k.180 ) = Tan

;k

B

Contoh: (i) Sin 400 = Sin (40 + 1. 360 ) = Sin 40 (ii) Cos 780 = Cos (60 + 2. 360 ) = Cos 60 (iii) Tan 480 = Tan (120 + 2. 180 ) = Tan 120

Latihan 1 1. Perhatikan gambar di samping! Tentukan : a. Sin A, Cos A, Tan A, Cotan A, Sec A, Cosec A b. Sin B, Cos B, Tan B, Cotan B, Sec B, Cosec B

C

12

5

B 13

A 2. Jika

lancip, carilah nilai perbandingan trigonometri sudut , jika diketahui : 7 4 a. Sin = 0,5 b. Cos = c. Tan = 25 3

3. Sin 30 + Tan 60 . Cos 60 = … Sin45 4. =… Cos45 5. Tan 30 + Tan 60 = … 6. Sin 30 . Cos 60 + Sin 45 . Cos 45 = … 7. Buktikan Cos 60 . Cos 30 - Sin 60 . Sin 30 = 0 ! 8. QR = …cm PQ = …cm

R 12 cm P

300

Q

9. AB = …cm

C 15 cm 300 A

B

10. Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri sudut berelasi,lengkapi tabel berikut ! 120

135

150

180

210

225

240

270

300

315

330

360

Sin

























Cos

























Tan

























SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

3

2

KOORDINAT KUTUB (POLAR) Sebuah titik P dapat digambarkan pada bidang XOY atau pada bidang kartesius, koordinat titiknya P(x, y). Titik P juga dapat dinyatakan dengan koordinat kutub (polar), koordinat titiknya P(r, ) dengan : r = jarak titik O ke titik P = sudut yang dibentuk garis OP dengan sumbu X Y

Y

Y

P(x,y)

P(r,

y O

)

P(r cos

r

x

X

O

r X

O

, r. sin

)

y x

X

Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat kutub adalah sebagai berikut : (i) Kartesius P(x, y) r= Tan

Kutub P(r, )

x2

y2 y = x

(ii) Kutub Kartesius P(r, ) P(x, y) x = r.cos y = r.sin

Contoh: 1. Nyatakan titik P(4, 3) dalam koordinat kutub ! Jawab:

y 2 = 42 32 5 3 y Tan = = = Tan -1 0,75 = arc Tan 0,75 = 36,87 0,75 4 x Jadi koordinat kutubnya P(5, 36,87 ). r=

x2

2. Tentukan koordinat kartesius titik Q(4, 150 ) ! Jawab: 1 3 ) = -2 3 x = r cos = 4.cos 150 = 4 (2 1 y = r sin = 4.sin 150 = 4 ( ) = 2 2 Jadi koordinat kartesiusnya P(-2 3 , 2).

Latihan 2 1. Tentukan koordinat kartesius dari : a. (4, 60 ) c. (8, 300 ) b. (5, 120 ) d. (3 2 , 225 ) 2. Tentukan koordinat kutub dari : a. (1, 3 ) c. (-5 3 , 5) b. (6, -2 3 ) d (-3 2 , -3 6 )

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

4

3

ATURAN SINUS DAN KOSINUS

A Aturan Sinus A c

B

Pada setiap segitiga ABC berlaku : b

a

a sin A

b sin B

c sin C

C

Aturan sinus dipakai untuk menghitung unsur-unsur segitiga yang lain, jika diketahui : (i) sisi, sudut, sudut (ii) sudut, sisi, sudut (iii) sisi, sisi, sudut Contoh: Diketahui segitiga ABC, a = 15 cm, b = 20 cm, B = 30 . Hitunglah unsur-unsur yang lain dengan menggunakan aturan sinus ! Jawab: a b c sin A sin B sin C a. sin B 15. sin 30 15. 12 15 a b 0,375 (i) sin A = b 20 20 40 sin A sin B A = sin-1 0,375 = 22 (ii) C = 180 – ( A + B) = 180 - (22 + 30 ) = 180 - 52 = 128 . b. sin C 20 . sin 128 20 .0,788 15,76 b c 31,5 cm (iii) c= sin B sin 30 0,5 0,5 sin B sin C

B Aturan Kosinus Pada setiap segitiga ABC berlaku : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C Aturan Kosinus dipakai untuk mewnghitung unsure-unsur segitiga jika diketahui : (i) sisi, sudut, sisi (ii) sisi, sisi, sisi Contoh: Diketahui segitiga ABC, a = 20 cm, b = 30 cm dan C = 64 . Hitunglah unsur-unsur yang lain dengan menggunakan aturan kosinus ! Jawab: (i) c2 = a2 + b2 – 2ab cos C = 202 + 302 – 2(20)(30) cos 64 = 400 + 900 – 1200(0,44) = 1300 – 526 = 774 c = 27,8 a 2 c 2 b 2 20 2 (27 ,8) 2 30 2 2 2 2 (ii) b = a + c – 2ac cos B cos B = 2ac 2(20 )( 27 ,8) B = 75,7 (iii) A = 180 - ( C + B) = 180 - (64 + 75,7 ) = 40,2 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

274 1112

0,25

5

Latihan 3 1. Diketahui ABC , A = 60 , B = 45 dan panjang sisi BC = 12 cm. Tentukan panjang sisi AC ! 2. Pada segitiga DEF, D = 135 , EF = 6 cm, E = 20 . Tentukan DF, F dan DE ! 3. Diketahui ABC dengan A = 60 ,sisi b = 10 cm dan sisi c = 16 cm. Tentukan unsur-unsur berikut! a. panjang sisi a b. besar B c. besar C 4. Pada segitiga ABC, a = 6 cm, b = 10 cm, c = 7 cm, C = …?

4

LUAS SEGITIGA Pada setiap segitiga ABC berlaku : L

ABC

1 .bc.sin A 2 1 = .ac.sin B 2 1 = .ab.sin C 2

=

Rumus ini dipakai untuk menghitung luas segitiga jika diketahui dua sisi dan sebuah sudut yang diapitnya. Rumus luas L

ABC

ABC jika diketahui ketiga sisinya : =

s(s a)(s b)(s c)

dengan s =

1 (a + b + c) 2

Contoh: Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui a = 4 cm, c = 3 cm dan

B = 30 !

Jawab: L

ABC

1 ac sin B 2 1 = . 4 . 3 . sin 30 2 1 1 = .4.3. 2 2 = 3 cm2.

=

Latihan 4 1. Luas segitiga ABC adalah 32 cm2. AB = 8 cm dan AC = 16 cm. Tentukan besar sudut A ! 2. Pada ABC, jika diketahui panjang sisi AB = 8 cm, sisi AC = 6 cm, dan A = 120 maka tentukan luas ABC ! 3. Diketahui ABC dengan B = 135 , AB = 3 cm dan BC = 4 cm. tentukan luas ABC ! 4. Luas ABC adalah 12 2 cm2. Panjang AB = 6 cm dan AC = 8 cm. Tentukan besar sudut A !

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

6

5

RUMUS TRIGONOMETRI JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

A Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut Rumus – rumus : 1. Sin ( ) = Sin . Cos + Cos . Sin 2. Sin ( ) = Sin . Cos Cos . Sin 3. Cos ( ) = Cos . Cos Sin . Sin 4. Cos ( ) = Cos . Cos + Sin . Sin Tanα Tanβ 5. Tan ( )= 1 Tan Tan Tanα Tanβ 6. Tan ( )= 1 Tan .Tan Contoh: 1. Jika Sin a. Sin ( b. Cos ( c. Tan (

=

6 dan Cos 10 ) ) )

=

12 dengan 13

dan

sudut lancip, hitunglah :

Jawab: 6 8 6 ; Cos = ; Tan = 10 10 8 12 5 5 Cos = ; Sin = ; Tan = 13 13 12 a. Sin ( ) = Sin . Cos + Cos . Sin 6 12 8 5 72 40 = . + . = 10 13 10 13 130 130 b. Cos ( ) = Cos . Cos Sin . Sin 8 12 6 5 96 30 = . . = 10 13 10 13 130 130 Tanα Tanβ c. Tan ( )= 1 Tan Tan 6 5 112 112 56 = 8 12 = 96 66 6 5 66 33 1 . 96 8 12

Sin

=

112 130

56 65

66 130

33 65

2. Tanpa menggunakan tabel, hitunglah nilai Cos 75 ! Jawab: Cos 75 = Cos (45 + 30 ) = Cos 45 . Cos 30 Sin 45 . Sin 30 1 1 1 1 3 2. 2. = 2 2 2 2 1 1 6 2 = 4 4 1 2) = ( 6 4 3. Hitunglah nilai Cos 110 . Cos 25 Jawab: Cos 110 . Cos 25

Sin 110 . Sin 25 !

Sin 110 . Sin 25 = Cos (110 + 25) = Cos 135 =

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

1 2

2

7

4. Jika Tan a. Sin ( b. Cos ( c. Tan ( Jawab:

=

3 dan Tan 4 ) ) )

=

8 , untuk 15

dan

3 3 4 Sin = ; Cos = 4 5 5 8 8 15 Tan = Sin = ; Cos = 15 17 17 a. Sin ( ) = Sin . Cos Cos . Sin 3 15 4 8 45 32 = . . = 5 17 5 17 85 85 b. Cos ( ) = Cos . Cos + Sin . Sin 4 15 3 8 60 24 = . + . = 5 17 5 17 85 85 Tanα Tanβ c. Tan ( )= 1 Tan .Tan 3 8 45 32 13 60 60 = 4 15 3 8 24 84 1 . 1 4 15 60 60

Tan

sudut lancip, hitunglah nilai :

=

13 85 84 85

13 84

5. Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai dari Sin 15o ! Jawab: Sin 15o = Sin (45o – 30o) = Sin 45o . Cos 30o Cos 45o . Sin 30o 1 1 1 1 3 2. 2. = 2 2 2 2 1 1 = 6 2 4 4 1 = ( 6 2) 4 6. Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai Cos 56o + Sin 56o.Tan 28o ! Jawab: Sin 28 Cos 56o + Sin 56o.Tan 28o = Cos 56o + Sin 56o. Cos 28 Cos 56 .Cos 28 + Sin 56 .Sin 28 = Cos 28 Cos(56 28) Cos 28 1 = Cos 28 Cos 28

B Rumus Trigonometri Sudut Rangkap Rumus – rumus : 1. Sin 2 = 2.Sin . Cos 2. Cos 2 = Cos2 - Sin2 = 2 Cos2 - 1 = 1 – 2 Sin2 2.Tanα 3. Tan 2 = 1 Tan 2 α SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

8

Contoh: 1. Nyatakan Sin 3 Jawab: Sin 3 = Sin (2 = Sin 2 = 2.Sin = 2.Sin = 3. Sin = 3. Sin = 3. Sin = 3. Sin

ke dalam Sin

!

+ ) . Cos + Cos 2 . Sin . Cos . Cos + (Cos2 - Sin2 ) .Sin . Cos2 + Sin . Cos2 - Sin3 . Cos2 - Sin3 (1 – Sin2 ) - Sin3 - 3. Sin3 - Sin3 - 4 Sin3 1 3 , buktikan bahwa Sin 180o = 0 ! 2. Dengan menggunakan Sin 60o = 2 Jawab: Sin 180o = Sin (3 . 60o) Berdasarkan hasil contoh 1: Sin 180o = 3. Sin 60o – 4 . Sin360o 1 1 3)–4( 3 )3 =3( 2 2 3 3 3 -4( 3) = 2 8 3 3 3 3 =0 = 2 2 4 3. Jika Sin = dan terletak di kuadrat ke-1, tentukan nilai dari yang berikut ini ! 5 a. Sin 2 b. Cos 2 c. Tan 2 Jawab: 4 3 4 Sin = Cos = dan Tan = 5 5 3 4 3 24 a. Sin 2 = 2.Sin . Cos = 2. . = 5 5 25 3 4 9 16 7 b. Cos 2 = Cos2 - Sin2 = ( )2 – ( )2 = 5 5 25 25 25 4 8 8 2 8 9 24 2.Tanα 3 3 3 c. Tan 2 = = 2 2 16 7 3 7 7 1 Tan α 4 1 1 9 9 3

C Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus Rumus – rumus : 1. 2 Sin Cos = Sin ( + ) + Sin( 2. 2 Cos Sin = Sin ( + ) - Sin( 3. 2 Cos Cos = Cos ( + ) + Cos( 4. 2 Sin Sin = Cos( - ) - Cos ( +

) ) - ) )

Contoh: 1. Ubahlah bentuk berikut menjadi bentuk selisih atau jumlah ! a. 2.Sin 3 .Cos 2 c. 2.Sin 60o.Cos 30o b. Cos 8 .Cos 2 d. Cos 105o.Cos 15o Jawab: a. 2 Sin 3 Cos 2 = Sin (3 + 2 ) + Sin (3 - 2 ) = Sin 5 + Sin

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

9

1 [Cos (8 + 2 ) + Cos (8 - 2 )] 2 1 = [Cos 10 + Cos 6 ] 2 c. 2 Sin 60o Cos 30o = Sin (60o + 30o) + Sin (60o - 30o) = Sin 90o + Sin 30o 1 d. Cos 105o Cos 15o = [Cos (105o + 15o) + Cos (105o - 15o)] 2 1 = [Cos 120o + Cos 90o] 2 2. Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel, tentukan nilai dari yang berikut ini ! a. 2.Sin 75o.Cos 15o b. 2.Cos 120o.Sin 30o c. Cos 135o.Cos 15o Jawab: a. 2.Sin 75o.Cos 15o = Sin (75o +15o) + Sin (75o - 15o) 1 2 = Sin 90o + Sin 60o = 1 + 2 b. 2.Cos 120o.Sin 30o = Sin (120o +30o) - Sin (120o - 30o) 1 1 = Sin 150o - Sin 90o = -1=2 2 1 c. Cos 135o.Cos 15o = [Cos (135o +15o) + Cos(135o - 15o)] 2 1 1 1 1 1 3 - ]= = [ Cos 150o + Cos 120o] = [( 3 1) 2 2 2 2 4 b. Cos 8 Cos 2

=

D Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus Rumus –rumus : 1 1 (A + B) Cos (A - B) 2 2 1 1 2. Sin A - Sin B = 2 Cos (A + B) Sin (A - B) 2 2 1 1 3. Cos A + Cos B = 2 Cos (A + B) Cos (A - B) 2 2 1 1 4. Cos A - Cos B = -2 Sin (A + B) Sin (A - B) 2 2

1. Sin A + Sin B = 2 Sin

Contoh: 1. Nyatakan dalam bentuk perkalian ! a. Sin 7A – Sin 5A b. Cos 10 + Cos 6 c. Cos x – Cos y Jawab: 1 1 a. Sin 7A – Sin 5A = 2 Cos (7A + 5A) Sin (7A – 5A) 2 2 = 2 Cos 6A Sin A 1 1 b. (b) Cos 10 + Cos 6 = 2 Cos (10 + 6 ) Cos (10 - 6 ) 2 2 = 2 Cos 8 Cos 2 1 1 c. Cos x – Cos y = -2 Sin (x + y) Sin (x - y) 2 2

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

10

2. Sederhanakan ! a. Sin 150o + Sin 30o b. Cos 125o + Cos 55o Jawab:

c. Cos 200o - Cos 20o d. Sin 75o - Sin 15o

1 1 (150o + 30o) Cos (150o - 30o) 2 2 1 = 2 Sin 90o Cos 60o = 2.1. =1 2 1 1 b. Cos 125o + Cos 55o = 2 Cos (125o + 55o) Cos (125o - 55o) 2 2 = 2 Cos 90o Cos 35o = 2.0. Cos 35o = 0 1 1 c. Cos 200o - Cos 20o = -2 Sin (200o + 20o) Sin (200o - 20o) 2 2 = -2 Sin 110o Sin 90o = -2. Sin 110o .1 = -2 Sin 110o 1 1 d. Sin 75o - Sin 15o = 2 Cos (75o + 15o) Sin (75o - 15o) 2 2 1 1 1 2. 2 = 2 Cos 45o Sin 30o = 2. = 2 2 2 a. Sin 150o + Sin 30o = 2 Sin

Latihan 5 1. Dengan menyatakan 105o = (60o + 45o), tentukan nilai Sin 105o !

3 untuk A sudut lancip, dan Cos B = 5 nilai dari jumlah dan selisih sudut berikut ! a. Sin (A + B) b. Cos (B – A)

2. Diketahui Sin A =

3. Diketahui Sin A = a. Sin 2A

12 untuk B sudut tumpul. Tentukan 13 c. Tan (A – B)

3 untuk A sudut lancip. Tentukan nilai identitas trigonometri berikut! 5 b. Cos 2A c. Tan 2A

4. Nyatakan 2 Sin 75o Cos 15o sebagai rumus jumlah sinus ! 5. Hitunglah penjumlahan trigonometri berikut ! a. Cos 75o + Cos 15o b. Sin 75o + Sin 15o 7 4 dan Tan B = , dengan A sudut tumpul dan B sudut lancip. Tentukan 24 5 nilai dari bentuk trigonometri berikut ! a. Cos (A – B) b. Sin (A + B) c. Tan (A – B)

6. Diketahui Tan A =

7. Sederhanakan bentuk trigonometri berikut ! Cos75 Cos15 Sin7 A Sin3 A a. b. Sin75 Sin15 Sin9 A Sin3 A 8. Diketahui Sin A =

1 , Cos B = 2

3 , A sudut tumpul dan B sudut lancip. Tentukan nilai 2

Cos (A – B) !

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

11

6

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

A Identitas Trigonometri Idnetitas trigonometri yaitu rumus-rumus yang menghubungkan antara sin , cos , dan tan . 1 1. Cos2 + Sin2 = 1 4. Sec = Cos Sin 1 Cos 2. Tan = 5. Cotan = Cos Tg Sin 2 2 1 6. 1 + Tan = Sec 3. Cosec = 7. 1 + Cotan2 = Cosec2 Sin Contoh: 1. Tentukan nilai Cos A, Tan A, Cosec A, Sec A, dan Cotan A jika Sin A =

4 dan A sudut 5

lancip ! Jawab: Cos2A + Sin2A = 1 Cos2A = 1 - Sin2A 1 1 4 16 9 5 Cos2A= 1 – ( )2 = 1 Cosec A = = = 4 Sin A 5 25 25 4 5 9 3 Cos A = 1 5 1 25 5 Sec A = = 3 3 Cos A 3 A lancip Cos A = 5 5 1 1 3 4 Cotan = Tan A 4 4 4 SinA Tan A = = 5 3 3 3 CosA 5 5 2. Jika Sin A = dan 90o < A < 180o ( A tumpul), tentukan Cos A dan Tan A ! 13 Jawab: 5 25 144 Cos2A = 1 - Sin2A = 1 – ( )2 = 1 13 169 169 144 12 Cos A = 169 13 12 Karena 90o < A < 180o maka Cos A = 13 5 5 SinA Tan A = = 13 12 12 CosA 13 3. Buktikan identitas berikut ini ! a. Tan2A + 1 = Sec2A b. Tan A . Sin A + Cos A = Sec A c. (Sin A + Cos A)2 + (Sin A – Cos A)2 = 2 Jawab: a. Ruas kiri = Tan2A + 1 Sin 2 A Sin 2 A Cos 2 A Sin 2 A Cos 2 A 1 = Cos 2 A Cos 2 A Cos 2 A Cos 2 A 1 Sec 2 A = ruas kanan (terbukti) = 2 Cos A

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

12

b. Ruas kiri = Tan A . Sin A + Cos A SinA = . Sin A + Cos A CosA SinA.SinA CosA.CosA = CosA CosA 2 2 Sin A Cos A 1 = CosA CosA = ruas kanan (terbukti)

SecA

c. Ruas kiri = (Sin A + Cos A)2 + (Sin A – Cos A)2 = Sin2A + 2 Sin A Cos A + Cos2A + Sin2A - 2 Sin A Cos A + Cos2A = 2 (Sin2A + Cos2A) = 2.1 = 2 = ruas kanan (terbukti)

B Persamaan Trigonometri Bentuk Sederhana a. Sin x = Sin

b. Cos x = Cos

c. Tan x = Tan

x1 = + k.360 atau x2 = (180 - ) + k.360 ; k x1 = + k.360 atau x2 = - + k.360 ; k x=

+ k.180 ; k

B

B

B

Contoh: 1. Tentukan penyelesaian dari Sin x =

1 ;0 2

x

360 !

Jawab: 1 2 Sin x = Sin 30

Sin x =

x1 = 30 + k.360 k = 0 x1 = 30 x2 = (180 - 30) + k.360 = 150 + k.360 k = 0 x2 = 150

HP = {30 , 150 } 2 Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos 3x =

1 ;0 2

x

360 !

Jawab: 1 2 Cos 3x = Cos 60

Cos 3x =

(i) 3x1 = 60 + k.360 x1 = 20 + k.120 k = 0 x1 = 20 k = 1 x1 = 140 k = 2 x1 = 260 (ii) 3x2 = -60 + k.360 x2 = -20 + k.120 k = 1 x2 = 100 k = 2 x2 = 220 k = 3 x2 = 340 HP = {20 , 100 , 140o, 220o, 260o, 340o} SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

13

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari Tan 2x = Jawab: Tan 2x = 3 Tan 2x = Tan 60o 2x = 60o + k.180o x = 30o + k.90o k = 0 x = 30 k = 1 x = 120 HP = { 30 , 120 }

C Persamaan Trigonometri Bentuk Cos A

3 ;0

x

180 !

Cos B dan Sin A

Sin B

Rumus yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk di atas adalah : 1 1 1. Sin A + Sin B = 2 Sin (A + B) Cos (A - B) 2 2 1 1 2. Sin A - Sin B = 2 Cos (A + B) Sin (A - B) 2 2 1 1 3. Cos A + Cos B = 2 Cos (A + B) Cos (A - B) 2 2 1 1 4. Cos A - Cos B = -2 Sin (A + B) Sin (A - B) 2 2 Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 a. Cos 4x + Cos 2x = 0 b. Sin 3x – Sin x = 0

x

360 !

Jawab; 1 1 (4x + 2x).Cos (4x - 2x) 2 2 = 2 Cos 3x.Cos x Cos 4x + Cos 2x = 0 2 Cos 3x.Cos x = 0 Cos 3x.Cos x = 0 Cos 3x = 0 atau Cos x = 0  Cos 3x = 0 Cos 3x = Cos 90 (i) 3x1 = 90 + k.360 x1 = 30 + k.120 k = 0 x1 = 30 k = 1 x1 = 150 k = 2 x1 = 270 (ii) 3x2 = -90 + k.360 x2 = -30 + k.120 k = 1 x2 = 90 k = 2 x2 = 210 k = 3 x2 = 330  Cos x = 0 Cos x = Cos 90 (i) x1 = 90 + k.360 k = 0 x1 = 90 (ii) x2 = -90 + k.360 k = 1 x2 = 270 o o o o HP = {30 , 90 , 150 , 210 , 270o, 330o}

a. Cos 4x + Cos 2x = 2 Cos

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

14

1 1 (3x + x) Sin (3x - x) 2 2 = 2 Cos 2x.Sin x Sin 3x – Sin x = 0 2 Cos 2x.Sin x = 0 Cos 2x Sin x = 0 Cos 2x = 0 atau Sin x = 0  Cos 2x = 0 Cos 2x = Cos 90 (i) 2 x 1 = 90 + k.360 x 1 = 45 + k.180 k = 0 x1 = 45 k = 1 x1 = 225 (ii) 2 x2 = -90 + k.360 x2 = -45 + k.180 k = 1 x2 = 135 k = 2 x2 = 315  Sin x = 0 Sin x = Sin 0 (i) x1 = 0 + k.360 k = 0 x1 = 0 k = 1 x1 = 360 (ii) x2 = (180 – 0) + k.360 = 180 + k.360 k = 0 x2 = 180 HP = {0o, 45o, 135o, 180o, 225o, 315o, 360o}

b. Sin 3x – Sin x = 2 Cos

D Persamaan Trigonometri Bentuk : a Cos x + b Sin = c Bentuk a Cos x + b Sin x dapat dinyatakan dengan bentuk k Cos (x konstanta dan 0 x 360 . Untuk menentukan k dan perhatikan hal berikut : a Cos x + b Sin x = k Cos (x - ) = k (Cos x.Cos + Sin x.Sin ) = k Cos x.Cos + k Sin x.Sin Dari persamaan di atas , diperoleh : k Cos = a k Sin = b 2 a + b2 = k2 Cos2 + k2 Sin2 = k2 (Cos2 + Sin2 ) = k2 . 1

), dengan k suatu

a2 + b2 = k2 , sehingga k = a 2 b 2 k .Sin b k .Cos a b Tan = . Jadi diperoleh dari Tan . a Dengan demikian maka : a Cos x + b Sin x

= k Cos (x - )

dengan k = Tan

a2

b2 b = a

Besarnya sudut tergantung pada tanda a dan b, karena keadaan a dan b dapat menentukan keadaan kuadran di mana berada. SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

15

Contoh: 1. Tentukan k dan dari : -Cos x + Sin x ! Jawab: -Cos x + Sin x = k Cos (x - ) a = -1 ; b = 1 = ( 1) 2 (1) 2 2 b 1 Tan = = 1 ( di kuadran II) a 1 = 135o Jadi, -Cos x + Sin x = 2 Cos (x - 135o) k=

a2

b2

2. Tentukan k dan dari : 8 Cos x + 6 Sin x ! Jawab: 8 Cos x + 6 Sin x = k Cos (x - ) a=8;b=6 k=

a2

b2

82 6 2 100 10 3 ( di kuadran I) 4

=

b 6 = a 8 o = 36,89 Jadi, 8 Cos x + 6 Sin x = 10 Cos (x – 36,89o)

Tan

=

3. 3) Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos x + Sin x =

1 2

2 ;0

x

360 !

Jawab: Cos x + Sin x =

1 2

2

a=1;b=1 k=

a2

Tan

=

b2

= 12 12

2

b 1 = 1 ( di kuadran I) a 1

= 45o Cos x + Sin x = k Cos (x - ) 1 2 Cos (x - 45o) = 2 2 1 2 1 Cos (x - 45o) = 2 2 2 Cos (x - 45o) = Cos 60o (i) x1 - 45o = 60o + k.360o x1 = 105o + k. 360o k = 0 x1 = 105o

(ii) x2 - 45o = -60o + k.360o x2 = -15o + k. 360o k = 1 x2 = 345o

HP = {105o, 345o} 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos x Jawab: Cos x - 3 Sin x = 1 a=1;b=- 3 k=

a2

b2

= 12

Tan

=

b = a

3 1

(

3) 2

1 3

3 Sin x = 1 ; 0

x

360 !

2

3 ( di kuadran IV)

= 300o SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

16

Cos x - 3 Sin x = k Cos (x - ) 2 Cos (x – 300o) = 1 1 Cos (x – 300o) = 2 o Cos (x – 300 ) = Cos 60o (i) x1 - 300o = 60o + k.360o x1 = 360o + k. 360o k = 0 x = 360o

(ii) x2 - 300o = -60o + k.360o x2 = 240o + k. 360o k = 0 x = 240o

HP = { 240o, 360o}

Latihan 6 1.

Buktikan : Sec A – Cos A = Tan A . Sin A !

2.

Buktikan : Sec2x(1 – Sin4x) – 2 Sin2x = Cos2x !

3.

Tentukan himpunan penyelesaian Sin x =

4.

Diketahui Cos x =

5.

Tentukan himpunan penyelesaian dari Tan x =

1 untuk 0 2

x

1 3 untuk 0 2

x

360 !

360 . Tentukan himpunan penyelesaiannya ! 1 3 untuk 0 3

x

2 !

6.

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 x 360 ! 1 a. 2 Sin 2x = 3 b. Cos 2x = c. 3 Tan 3x = -1 2 1 7. Tentukan penyelesaian dari 3 Tan x = 1 untuk 0 x 2 ! 2 8.

Tentukan penyelesaian persamaan berikut untuk untuk 0 a. Sin (60o + x) – Sin (60o – x) = 1 b. Sin 5x – Sin x = 0 c. Cos 4x – Cos 2x = 0

x

360 !

9.

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan Cos x - Sin x untuk 0

x

360 !

10. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan Sin2x + Sin x – 2 = 0 untuk 0

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

x

360 !

17